（计算数学专业论文）奇异摄动问题的双参数有限元方法研究.pdf

摘要 本文主要研究了塑叁墼直退丞直鎏对 ( 譬娑咒i n ： 的应用e 中是实数且o c f l 当f 从l 趋向于。时，问题( 10 ) 从一个四阶板模型逐渐退化为一个二 阶弹性膜问题，因此如果某种有限元方法对( 1o ) 适用，则它可能对几乎所 有二阶和四阶问题都适用 、，一 一+ 然而，) 关手奇异摄动问题0 窃的研究目前尚不多见，文自飑埘m o r l e y 元进行改进，构造了一个r o b u s t 非协调元石东洋教授等通过引进b u b b j e 函数和双参数技术构造了新的9 参三角形元和1 2 参矩形双参数元，我们分 ， 析了其对f 西的收敛性，并进行了大量数值实验，结果表明：新的9 参三 角形元比r o b u s t 非协调元，新的1 2 参矩形元已有的1 2 参矩形元”，a c m 元，不完全双二次矩形元数值效果都要好因此可以预见，双参数有限元 方法对奇异问题的研究有着重要的意义 2 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w em a i n l yd i s c u s st h ea p p l i c a t i o no fd o u b l es e tp a r a m e t e r f i n i t e e l e l u e n cm c t h o dt o t h e f o l l o w i n g e l l i p t i cs i n g u l a rp e r l u r b a t i o u d r o b l e l n l i s 2 e u a u = f i nq 。砘孚：o 。施 o l w 1 1 e r e 占i sar e a lp a r a m e t e rs u c h t b a t 0 8 1 i ti se n s i l ys e e nt h a tp r o b l e m ( 1o ) f o r m a l l yd e g e n e r a t e sf r o m af o u r t l lo r d e rp l a t em o d e lt o w a r das e c o n do r d e rm e m b r a n ep r o b l e m w h e nsd e c r e a s e sf r o ml t oz e r o t h e r e f o r e ，ifac e r t a i nf e mi s a p p l i c a b l et o ( 1 o ) ，i tm a yb ea p p l i e a b l et o a l m o s ta l lt h es e c o u d o r d e ra n df o u r t ho r d e rp r o b l e m s h o w e v e r r e s e a r c h e ao rs i n g u l a rp e r t u r b a t i o np r o b l e m ( 1 0 ) a r e r a r e l yf o u n ds of a r i n 【1 ，b ym o d i f y i n gm o r l e yf e m ，an o n c o n f o r m i n g r o b u s tf e mi sc o n s t r u c t e d r e c e n t l yp r o f e s s o rs h i ，d o n g y a n ge t c h a v e c o n s t r u c t e da n e w9p a r a m e t e r st r i a n g u l a re l e m e n ta n dan e w 1 2 p a r a m e t e r sr e c t a n g u l a r o n e b yi n t r o d u c i n g b u b b l ef u n c t i o n sa n d d o u b l es e td a r a n e t e rm e t h o d 【2 】i ti sp r o v e dt h a tt h e ya r ee o o v e r g e n t t o ( 1o ) f u r t h e r m o r e ，w e m a d eag r e a td e a lo fn u m e r i c a le x p e r i m e n t s a n dt h en a m e r i c a lr e s u l t ss u g g e s t t h a tt h en e w9p a r a m e t e r s t r i a n g u l a re l e m e n t i sm o r ee f f e c t i v et h a nr o b u s te l e m e n t ，a n dt h e n e w1 2p a r a m e t e r sr e c t a n g u l a re l e m e n ti sm o r ee f f e c t i v et h a nt h e1 2 p a r a m e t e r s o a ei n 5 ，a c m ，a n dt h en o r c o m p l e t eb i q u a d r a t i c r e c t a n g u l a re l e m e n t s o i t m a yh ep r e d i c t e dt h a t t h ed o u b l es e t p a r a m e t e r sf e mi sv e r ys i g n i f i c a n t t of u r t h e rr e s e a r c h e so nt h e s i n g u l a rp e r t u r b a t i o np r o b l e m 3 目u 茜 有限元方法是当今数学物理，计算力学，科学与工程计算的非常有效 的手段 对于常规有限元来说，一般有两个困难，一个是从构造简单，总体自 由度少，因而计算量少出发，般节点参数取为对称的单元顶点函数值和 导数值，但难以保证函数值及一阶导数值在单元边界上的平均连续性，如 z i e l l k i e w i c z 元，a c m 元等另一个是为了保证收剑性，有些单元如g e u b e k e 元取边上外法向导数平均值及中点函数值作为节点参数，但这时总体的自 由度增加，给计算带来很大的不方便 为了克服以上困难，工程力学界开始从力学角度寻找有效的构造方法 例如唐立民提出的拟协调元，从离散应变入手，直接构造单元刚度矩阵， 不需要位移函数，但其收敛性条件验证起来比较麻烦龙驭球提出了广义 协调元方法。但存在自由度选取不对称，形函数对单元的依赖性较强的缺 点石钟慈和陈绍春进一步发展了广义协调元方法，提出双参数有限元方 法，由此构造了许多有效单元，也统一分析了一些单元，其优点是：自由 度和节点参数可独立选取，不需求出形函数空间，这一方法开辟了非常规 单元构造的新途径 然而，关于双参数有限元方法的应用主要针对四阶问题，对奇异摄动 问题( 1 0 ) 的研究目前尚不多见。文献对m o r l e y 元进行改进，构造了 个r o b u s t 非协调元石东洋教授通过引进b u b b l e 函数和双参数技术构造 了新的9 参三角形元和1 2 参矩形双参数元，我们分析了其对( 1 o ) 的收敛 性，并进行了大量数值实验，结果表明：新的9 参三角形元比r o b u s t 非协 调元，新的1 2 参矩形元已有的1 2 参矩形元。，a c m 元，不完全双二次矩形 元数值效果都要好因此可以预见，双参数有限元方法对奇异问题的研究 有着重要的意义 4 1 预备知识 1 1 构造单元刚度矩阵的双参数法及其优点 位移法构造有限元单元刚度矩阵的通常的方法是 形函数空间为 p ( k ) = s p a n n ，a ，n 。) 设单元为k ，位移 ( 11 ) 其中d ，a ，d 。是日( k ) 上的线性泛函，k 1 其中b = ( ，a ，成) 7 ， f d l ( n i ) ad l ( 帆) 1 c = i mm i ( 1 6 ) l d 。( 1 ) ad 。( 帆) k 。= ( c 。1 ) 7 p 7 d b d v c ， 5 ( 17 ) 其中d 是弹性矩阵，b 是应变矩阵，其元素是位移函数的某种导数 上述方法的收敛性要求有限元空间通过广义分片检查1 ， 实际应用 往往归结为适当选择自由度( 12 ) 使得插值函数( 14 ) 在单元边界上具有某 种连续性 v i a i - 自由度又是有限元离散方程的未知量，因此应取得简便， 使总体未知量少自由度的这两种职能有时很难兼顾，为克服这种缺陷， 1 9 9 1 年陈绍春教授和石钟慈教授提出构造单元刚度矩阵的双参数法，将自 由度的两种职能分开，另取一套节点参数作为未知量，具体做法如下： 设节点参数为 q ( v ) = ( g 。( v ) ，a ，g 。( v ) ) 7 ， ( 18 ) 其中g ，通常是结点上的函数值和偏导数值，将自由度( 12 ) 离散为( 18 ) 的 线性组合得： d ( v ) = g q ( v ) + g ( v ) ，( 19 ) 其中g 是离散系数矩阵，s ( v ) 是会项忽略s ( v ) 我们得到一套新的结点 参数： 使得 由( 1 1 1 ) 可得 百( v ) = ( ；。( v ) ，人，i ，( v ) ) 。， ( 11 0 ) c b = q ( v ) ， b = c g q ( v ) ， 于是由( 1 4 ) 得到双参数法的单元刚度矩阵 ( 11 1 ) ( 1 1 2 ) k 。= ( c 。1 g ) 7 l 占7 d b d v ( c 。g ) ， ( 1 ，1 3 ) 称c 。g 为双参数法的过渡矩阵 比较( 1 7 ) 和( 1 s 3 ) ，可知两种单元刚度矩阵的区别是双参数元的过 6 渡矩阵中多r 个因子g 另外双参数元的离散方程的未知量是q ( v ) 双参数法的优点是： ( 1 ) 节点参数与自由度是相互独立地选取，可按形式简单，总体未 知量少的原则选取节点参数，按通过广义分片检查的原则选取自由度 ( 2 ) 节点参数与形函数的匹配是常规方法的又一大难题而这一问题 在双参数法中是自动解决的我们可以根据需要选取，个节点参数，再选 一 取某个完整的f ，( k ) 作为p ( k ) ，称p ( k ) 为初始形函数空间，真正的 形函数空间p ( k ) 是芦( k ) 的一个子空间，它是从茂k ) 中自动筛选出来 的并不需要求出p ( k ) 的基函数 ( 3 ) 双参数元程序具有很强的通用性通常我们计算单元刚度矩阵需 要汁算大量涉及形函数的积分，形函数不同时这些积分要重新计算对双参 数元来说，一旦计算出初始形函数的单元刚度矩阵i 占7 d & 加，同类型的 j ， 双参数元都可利用，彼此间唯一区别是转换矩阵c 。1 g 的表达式，尽管真 正形函数空间彼此并不相同 1 2 板弯曲问题和奇异摄动问题 设，r c 吼= 导+ 等是埘a c e 算子，舒= 导+ 割2 q r 2 是一有界多边形区域a q 是q 的边界 ( i ) 四周固支的板弯曲问题 求掰( q ) 使得 a ( u ，v ) = ，( y ) ， v v h 0 2 ( n ) ( 1 2 i ) a ( u ，v ) 2 a u a v + ( 1 一盯) ( 2 f p a y 一”。o u y y v ) 扫k 砂( 1 2 2 ) ，( v ) = s , ，f v a x a y 其中。 盯 1 2 泊松比 7 | 殳x 。是一双参数有限元空间，k ，是结点参数 k ，：知。e 。；i ，= i 。= i w = 0 ，伽。q 注：这里i ，i 。，i 不一定是v 的函数值和一阶偏导数 ( 1 2 1 ) 的离散问题是 找到” 圪 使得 a h ( f f j f ，h ) = f ( v ) v v 、 ( 123 ) 吼( ? ，d = 莓 必v + ( 1 一盯) 似，一”“，- v 一，以) 锄，( 1 2 4 ) 记 l i 1 l ：= i i ：，。 ( 1 t 2 5 ) ( 2 ) 奇异摄动问题 f 占2 2 ”一a u = f i nq ”- o 塑；o d ，j & ( 1 2 6 ) i曲i 这早g 是一实数目0 g 1 四周固支的奇异摄动问题就是 求 ；( q ) 使得 s 2 a ( u ，v ) + 6 ( 虬v ) = ，( v )v v ；( 锄 b ( u , v ) = i n ( g r a d u g r a d v ) d x d y ( 1 2 7 ) 的离散问题是： 求“ 圪 使得 f 2 目 ( ” ，v ) + 6 h ( “ ，v h ) = f ( v ) v v k b h ( j j ，v ) - 莓l ( 砒。剿咖) 蚴 这里a ( u ，v ) ，a ( ，v ) 定义如( 1 2 2 ) ，( 1 2 4 ) 取半范川w 肌 = s 2 巩w ，w ) + 巩( w ，w ) 8 ( 1 27 ) ( 1 2 8 ) ( 129 ) ( 1 2 1 0 ) 。在上是范数 定义l g m ，a x i d 。g | ，兆_ 。 ，= o ，1 【2 9 2 一个新的双参数三角形元 文献对i e s - 元进行改进，构造了适用于奇异摄动问题( i2 6 ) 的 r o b l 】s t 非协调元，但该元总体自由度较大，大致为7 n p ( n p 为网格中顶点的 个数) 我们通过引进泡函数和双参数技术，构造了一个新的双参数三角形 元，记为b u b b l e 一三角形元，其自由度仅为3 n p 1 单元构造 形函数空间为： ( 世) = 五，且：， ，五。五：，a ：五，也 ，田 ：丑， 正毛， 。如驾) ( 21 ) 取第一套自由度为 d ( v ) = ( d l ( v ) ，a ，d 。( v ) ) 1 ， ( 2 2 ) 其中 吨巩奴，刮。以s 一2 l 挚，i f 3 v v ( 足) 可表示为 将( 23 ) 代入( 2 2 ) 得 d ) = c b ( 23 ) ( 24 ) 其中b = ( 。，：，：) 7 取第二套自由度为 9 ( = ( v i ，v i 。，v 2 ，吃。，”和，吩，) 7 ， ( 25 ) 将自由度( 2 2 ) 离散为( 2 5 ) ，过程如下： 1 0 p卢 n m = v c ，= ，l ，3 + 0 + + 1 3 + + ，+ ； ( v 3 x - v l x ) c ： 因为协歹( k ) ，f “为二次多项式 得： d 7 = 6 ，( v 。，+ v 3 x ) + q ( 1 ，2 ，+ 1 7 3 ，) ( 1 j j ；一l ，”) 也 - ( 2 r 一1 ) 6 】 。为一次多项式，由梯形公式 由此得离散矩阵g ，将插值多项式( 2 3 ) 代入( 2 2 ) 得插值矩阵c g 和c 分别如下： 7 g = o 0 1 一虿q 1 i c ： 电 b 2 0 o ji吖jj儿吖jij b 溉 r x q 一 一 k 么 ，k ，k 一4一4 p p ” ，f，l，f、il r，fl 02，一2一2 = f f f 以 吒 吼 业跏 ) ) y y n 。 + 协哪 ( (吃岛 + + ) ) r r嵋 + 卜 k ( (也以 = f 以以 o o卜bo q 吒o ，0 一2，一20 0 o 。卜弘。q。乌。o，一。弘。岛。以 o，一2一2 0 o o 0 6 2 o o o。一8 o b 8 0 吒q o o o。o。吖o o 如屯 o 0 一2 o ，一2 0 0 o r f 2 ， r 2 i i ，3 一：- 3 o 且d e t ( c ) = t l t 2 f 3 5 5 2 9 6 0 ，因此得到 b = c c o ( v ) f 1，l 1 21 2 o 蔓 1 2 蔓o 1 2 这就是系数b = ( 届，压，届：) 7 关于q ( v ) 的表达式，形成单元刚度矩 阵的方法同常规有限元一样 因此v v 芦( 足) 可由d ( v ) 唯一决定又由s i m p s o n 公式： v d s = 州仲d 所以 l v 】出= 杀弘= 【票坊= o 即该元通过f - em t e s t “1 ，并且是平均c 1 元，所以是收敛的对以上构造 的双参数三角形元，记作b u b b l e 一三角形元 1 2 o生他一挖o，一4一2。|2屯一2 o 。一4 o一2屯一2一2 ，一4 o o 一2 o o o一2一2 也 o，o一2一2 o o o 一2 o ，一2 i 3 一个新的双参数矩形元 a c m 元是工程计算中著名的板元由于它是co 元外法向导数在单元 间不连续石东洋教授通过引进泡函数和双参数技术，构造了一个新的双 参数矩形元，记作b u b b l e 矩形元，它克服了上述缺点 1 单兀构造 为简单起见，假设q 是两边分别平行x 轴和j ，轴的矩形区域，l 是q 的正则矩形剖分v k q ，a ，托，y 。l ，= 1 ，2 ，3 ，4 ，a 0 0 。，儿) 分别表示 其四个顶点和中心点，记它分别平行y 轴和y 轴的边长分别是2 a 和2 6 通过仿射变换 i 古：x - - x 0 ， j 甜 i ，7 ：与丛， 将k 羔垫哼启，爿，( 点，巩l f = l ，2 ，3 ，4 为霞的四个顶点， 4 1 ( _ 1 ，一1 ) ，爿2 ( 1 ，一1 ) ， 4 3 ( 1 ，1 ) ，彳。卜i ，i ) 取詹上的形函数空间 p 暇) = p ，p ：，。p ：) 其中 ( 3 1 ) p i 2 i ( 1 一f ) ( 1 一，7 ) ，p z = j ( 1 + f ) ( 1 一玎) ， p 32 j ( 1 + 掌) ( i + ，7 ) ，p 。2 j ( 1 一善) ( 1 + ，7 ) ， b = 1 一2 ， p 6 = 1 一叩2 ， p ，2 ( 1 一孝2 ) 叩，p 8 = ( 1 一叩2 ) 善， p 92 ( 1 一毒2 ) 妒( 叩) ，p 。= ( 1 一玎2 ) 庐( 孝) ， p “= ( 1 一手2 ) 妒( 叩) ， a ：= ( 1 一，2 ) 妒( 善) 其中庐( f ) ，妒( f ) 是【_ l ，1 】上的相互独立的函数，它的选取要使得插 值矩阵c 非奇异例如： 妒( f ) = t 3 ，妒( f ) = t 4 取第一套自山度为 d ( v ) = ( d 。( v ) ，a ，z 。( v ) ) 。 其中 d 。= v ，i = l ，2 ，3 ，4 d ，d 1 崛 v d s ，d 。 d 9 = - 鱼a l 熹出，o c 驰 d u = - 尝瑶如 ( 32 ) ；肛，咖一l 艄 v d s ，小一；肛 九= 詈芸凼， d ，：一af 竺凼 “ b 帕a 他 只= 4 ，4 j + 1 ，f = 1 ，2 ，3 ，4 表示岸上的四条边，历o ，i = 1 ，2 ，3 ，4 表示f 上的 外法向导数 取第二套自由度为 q ( = ( v 1 ，1 ，v l ，v 4 ，k ，v 4 y ) ( 33 ) v v p ( k ) 可表示为 将( 3 4 ) 代入( 3 2 ) 得 d ( ，) = c b ( 3 4 ) ( 3 5 ) 其中d ) 如( 3 2 ) ，b = ( 层，屈，届：) 7 ，( r ) ，妒( o 分别取f 3 ，4 1 4 p卢 ” j i 矿 c = d e t ( c ) = 6 5 4 62 0 即v 可由d ( v ) 唯一决定 最后，将d ( v ) 离散为q ( v ) 的线性组合，吐( v ) = v i , i = 1 , 2 ，3 ，4 以( v ) d s ( v ) 取其在相应边上的三次h e r m i t 插值的数值积分 峨( u ) d 1 2 ) 利用梯形公式对其数值积注意到插值函数在每条边上 是z - 次多项式，而上述离散方式对二次多项式是精确成立的离散结果可 写成 d ( v ) = g q ( v ) + o ( h 3 x 啦弦 ( 3 6 ) d ) ，o ( u ) 定义如上，k = 讲a m ( k ) ，e = ( 0 , 0 ，1 1 1 ，1 ) 7 ， o o o o o 4 3 o 4345m一345拍3 o o o 0 4 3 o 4 3 o m 3 45m一345 o o 0 o 0 4 3 o 4 3 o 4 o 4 0 0 0 0 4 3 0 4 3 o 4 o 4 o o o o o o 4 3 o 4 3 o 4 3 o 4 3 o o o 0 4 3 o 4 3 o 4 3 o 4 3 o 0 o o o o 4 3 o 4 3 4 o 4 ，o o 0 o 0 4 3 o 4 3 o o 4 o 4 o o o o o 一2一2一2一2 o o 0 o l l o 12121212 o o o ， ， o 02一22一2 ，o。o。 o o ，。：。一：。：。： g = 舍去( 3 6 ) 中的余项o ( 蝶卜1 ，。扣， 引进新的参数 g = ( 9 1 9 2 ，q ，：) 7 使得 d ) = 回 由( 35 ) 和( 3 7 ) 可得 b = c 1 g q ( 3 7 ) ( 3 8 ) 其中( 9 1 ，q 2 ，q 3 ) ，( q 4q 5 ，q 6 ) ，( q 7q 8 ，q 9 ) 和( q 1 0 吼l ，q 1 2 ) 分别对应 于a 1 ，a 2 ，a 3 和a 4 由于 l = l 层卜= 卦= 。 ( 3 9 ) 即该元通过f - e m - t e s d “，并且是平均c 1 元对以上构造的双参数矩形元 1 6 o o o o o 0 o 6 3 o 0 6 o o o o 0 o o 盯一3 d o o o 口 o o o o o 1 0 o 0 o o 0 o o 0 6 3 o 0 o o 6 o o o o o o o 口一3 o 0 口o o o o o o l i o o o 0 o ， o o o o o 6 3 o 0 6 0 o o o o o o 口3 o o o o 盯o o o o o o o 0 0 o o o o o o o 0 o 6 3 6 0 o 0 o o o o “一3 o o o o 0 o 盯 1)1 ) ) 1 0 1 y 0 n v 记作b u b b l e 一矩形元，为了区别，记文献自造的双参数矩形元为s z c 一1 2 参冗 1 7 4 数值实验 本节主要给出以上构造的b u b b l e _ 矩形元和b u b b l e 一三角形元的数值 结果，并与有关文献的相应单元进行了比较，结果表明：双参数有限元方 法对奇异问题非常有效，理论分析与实际计算是相吻合的这将对进一步 研究其超收敛性有重要意义 计算的问题 就问题( 1 ) ，q = t o ，1 1 2 匕r 二“= ( s i n 瓜s i n 删) 2 ，厂= s 2 ? ，_ ， 对以上构造的b u b b l e 矩形元，与文献【5 1 中的s z c 一1 2 参元，a c m 元和 不完全双二次矩形元进行了数值计算结果比较，对b u b b l e 三角形元与文 献中的r o b u s t _ = 角形元，z i e n k i e w i e z 元进行了比较均匀剖分时，矩 形如网格l ，三角形如网格2 非均匀剖分时，所有单元的宽度相同，下 半部分单元的高度是上半部分的3 倍，如网格3 ，如网格4 网格l 7 网格2 | 【 网格3 j 网格4 注：本文中所有数值实验均在同一机器，m a t a b 52 的语言环境下进行的 机器配置： 处理器g e n u h l t e l 内存1 2 80 m b 硬盘4 0 g b 1 8 4 1b u b b l c - 矩形元 1 i 中心点的位移 表4 ii ，表4 i2 ，表4 i3 和表4 1 4 给出的均匀网格，削分不同 g 取不同值时，b u b b l e 一矩形元等对应的中心点的位移，精确解i i = 1 表4 1i b u b b i 巳矩形元中心点的位移( 均匀网格) 泌 8 81 6 1 63 2 x 3 2 10 9 8 8 00 9 9 5 30 9 9 8 9 2 20 9 8 2 20 9 9 6 30 9 9 9 l 2 40 9 9 4 l0 9 9 9 l0 9 9 9 8 2 60 9 9 8 00 9 9 9 81 0 0 0 0 2 80 9 9 8 70 9 9 9 91 0 0 0 0 2 1 00 9 9 8 7 0 9 9 9 91 0 0 0 0 p o i s s o n0 9 9 8 70 9 9 9 9l _ 0 0 0 0 b i h a r m o n ic0 9 7 7 50 9 9 5 20 9 9 8 9 表4 12 s z c 一1 2 参元中心点的位移( 均匀网格) 基。 8 81 6 1 63 2 3 2 、 l1 0 4 l l 1 0 1 9 51 0 1 0 6 2 21 0 4 7 2 1 0 1 9 11 0 0 9 1 2 一 1 0 7 4 01 0 2 0 41 0 0 5 6 2 6 1 1 5 7 41 0 5 9 81 0 2 1 6 2 8 1 2 4 0 11 2 0 3 9 1 1 7 2 7 2 1 01 2 5 l ll _ 2 5 5 2 1 3 5 3 l p o i s s o n1 2 5 1 9 1 2 5 9 71 3 8 0 8 b i h a r m o n i c1 0 4 0 61 0 1 9 5 1 0 1 0 8 由表4 1 1 可以看出，b u b b l e - 矩形元的数值效果较好，s z c1 2 参元 随着g 的减小，误差越来越大 n 8 8 1 6 1 63 2 3 2 一 11 0 3 1 61 0 0 8 2 1 0 0 2 l 2 2 1 0 2 5 0 1 0 0 6 41 0 0 1 6 2 4 1 0 0 6 7 1 o o l 51 0 0 0 4 2 61 0 0 1 7 1 0 0 0 21 0 0 0 0 2 8 1 0 0 1 2 1 0 0 0 i1 0 0 0 0 2 1 01 0 0 1 2 1 0 0 0 l1 0 0 0 0 p o is s o i i1 0 0l 2 1 0 0 0 l1 0 0 0 0 b i h a r m o n i c1 0 3 2 0 1 0 0 9 l1 0 0 3 2 表41 , 4 不完全双二次元中心点的位移( 均匀网格) 腻 8 81 6 1 63 2 3 2 15 7 5 0 55 7 5 3 95 7 5 2 8 2 一z2 7 8 1 22 7 6 6 71 i 6 5 0 2 41 1 7 6 91 1 6 8 31 0 1 1 5 2 61 0 l o l1 0 1 2 91 0 0 0 9 2 一。0 9 9 5 81 0 0 0 71 0 0 0 0 2 1 00 9 9 5 21 0 0 0 11 0 0 0 0 p o i s s o l l0 9 9 4 80 9 9 9 71 0 0 0 0 b i h a r m o n i c5 8 0 1 25 8 1 0 35 7 8 1 2 从表4 13 看，a c m 元的数值效果与b u b b l e _ 矩形元相比，基本相当但 由于a c m 元是c o 元，在单元边界上外法向导数不连续，所以其相对误 差较大，由于篇幅有限，这里不再列出其相对误差表 从表41 4 看，不完全双二次非协调元，在占较小时，收敛较快，随 着s 的增大，误差越来越大 c t z ，均匀剖分时的相对误差业需言署裂堕比较 以r 我们主要比较b u b b l e 矩形元和s z c1 2 参元，表4 1 5 和表4 i6 给出了其相对误差表和图，接着又给出其卜：一zr 。l ，卜一1 一“n l 的图 泌 8 8 1 6 1 63 2 3 2 l0 0 2 5 70 0 0 5 4 o 0 0 1 2 2 20 0 2 4 l0 0 0 4 6 o o o l o 2 一0 0 2 0 50 0 0 3 0 0 0 0 0 9 2 60 0 1 3 00 0 0 2 3 0 0 0 0 4 2 一。0 0 l o lo 0 0 1 40 0 0 0 4 2 1 00 0 0 9 80 o o l 3 0 0 0 0 2 p o i s s o n0 0 0 9 70 0 0 1 2 0 0 0 0 2 b i h a r m o n i c0 0 2 7 2 。0 0 0 5 5 o o o l 2 n 8 81 6 1 63 2 3 2 l0 0 5 2 6o 0 1 7 70 0 0 9 4 2 20 0 5 7 60 0 1 7 30 0 0 7 9 2 + 0 0 8 6 80 0 1 9 20 0 0 4 9 2 60 1 8 9 lo 0 6 1 2o 0 1 9 3 2 50 2 6 3 20 1 8 2 90 1 3 8 6 2 1 00 2 7 2 00 2 2 0 00 2 5 l l i p o i s s o n0 2 7 2 60 2 2 3 20 2 6 6 2 b i h a r m o n i c0 0 5 2 2o 0 1 7 8 0 0 0 9 5 为了更直观地进行比较，下面又给出了相对误差图 2 1 0 0 1 0 1 0 b u b br e 矩形元( 均匀同捂) = 2 0 = 2 2 t = 2 4 = 2 4 5 ”= 2 8 敷8 1 6 k 1 63 2 x 3 2 8 x 81 6 x 1 63 2 x 3 2 气置，罨。毛互，； 戛nm11lirt薹 1 0 0 1 0 1 0 。2 b u b b l e 矩形元( 均匀f m 挪 。之4出名加啪一疗意 j 王n 1 2 非均匀剖分时的比较 由于篇幅有限，这里只给出b u b b l e _ 土巨形儿和s z c 一1 2 参元的比较 袭417 ，表4l8 给出的是非均匀剖分时，中心点的位移，精确解，一1 表 419 和表411 0 给出相应的相对误差表 表4 】7b u b b l e 矩形元中心点的位移( - j iz 均匀网格) n j l 2 82 4 1 63 2 2 4 0 9 7 3 50 9 9 4 l0 9 9 7 1 0 9 7 8 80 9 9 5 30 9 9 7 7 0 9 9 3 80 9 9 8 80 9 9 9 4 0 9 9 8 20 9 9 9 80 9 9 9 9 0 9 9 8 80 9 9 9 91 0 0 0 0 0 9 9 8 90 9 9 9 91 0 0 0 0 lp o i s s o n0 9 9 8 90 9 9 9 91 0 0 0 0 b i h a r m o n i c0 9 7 3 00 9 9 4 00 9 9 7 0 表41 8s z c1 2 参元中心点的位移( 非均匀网格) 、；、咱】。1 2 82 4 x 1 6 3 2 2 4 l 1 0 2 9 61 0 1 9 7 1 0 1 4 9 2 2l - 0 4 0 71 0 2 0 0 1 0 1 3 8 2 一1 0 8 5 6 1 0 2 3 21 0 1 1 8 2 6l - 1 8 3 2 l _ 0 6 2 71 0 3 2 2 2 8l i2 7 2 8 1 _ 2 2 1 61 1 9 0 7 2 1 0 1 2 8 5 01 2 8 8 01 3 2 8 4 p o i s s o n1 2 8 5 81 2 9 4 2 1 3 4 5 9 b i h a r m o n i c1 0 1 0 5 1 0 0 8 00 9 9 6 0 同均匀剖分一样，由上表可以看出，b u b b l e 一矩形元的数值效果较好 s z c j 2 参元随着f 的减小，误差越来越大 表4l9b u b b l e 矩形元相对误差( 非均匀网格) 1 2 82 4 1 63 2 2 4 1 0 0 2 7 30 0 0 5 40 0 0 2 6 1 2 20 0 2 3 10 0 0 4 30 0 0 2 0 2 4 0 0 1 4 80 0 0 2 00 0 0 0 8 2 60 0 1 1 60 0 0 1 70 0 0 0 6 2 80 0 0 9 3o 0 0 1 30 ，0 0 0 5 2 1 0 0 0 0 9 l0 0 0 1 2 0 0 0 0 4 p o i s s o n0 0 0 9 l o o o l 20 0 0 0 4 b i h a r m o n ic0 0 2 7 7 0 0 0 5 60 0 0 2 7 泌 1 2 8 2 4 1 63 2 x 2 4 l 0 0 3 9 50 0 1 6 4 0 0 1 2 5 2 20 0 4 6 2 0 0 1 6 30 o l l 3 2 一o 0 8 l o 0 0 1 8 30 0 0 9 1 2 6 0 1 8 9 8 0 0 5 7 20 0 2 8 9 2 一o 2 7 1 8 0 1 8 2 6 0 1 5 0 2 2 + 1 00 2 8 1 6 0 2 2 5 5 0 2 3 4 5 p o i s s o n0 2 8 2 2 0 2 2 9 20 2 4 4 1 b i h a r m o n i c0 0 3 5 5 0 0 0 7 7 0 0 0 8 l 从下面的误差表可以更直观地看出：b u b b l t 矩形元在非均匀剖分时 也非常稳定，效果比较好 j 旦 暑 j 早 0 0 b u b b l e 拍元 元( 非均匀冈向 1 矿l 1 2 x 8 付 耋 f 0 - 2 亏 一三 呈 1 0 3 1 0 4 = 2 0 2 2 2 e = 2 4 s = 2 j 5 e = 2 - 8 = 2 。1 0 p o i s s o n b i h a r m o n i c ? = ? 喜 j ；i ! ； 2 4 x 1 63 2 x 2 4 ，m x n s z c - 1 2 棼己( 非均匀网 ) 2 4 x 6 2 6 3 2 x 2 4 4 2 b u b b l e 一：珀形元 与b u b b l e 矩形元一样，我们对b u b b l e 一三角形元和r o b u s l 三角形元， z i k i e w ic z 元作了类似的数值分析和比较，结果表明：b u b b l eu - 角形元 比r o b u s t 元计算量小，数值效果要好：与z i e j l k i p w i c z 元相比，虽然位移 数值效果相当，但后者的相对误差比较大限于篇幅这里仪列出均匀网 格的部分表格和图： 1 中心点的位移( 精确解“= 1 ) 表4 2 b u b b l e 一三角形元中心点的位移( 均匀网格) 了、。k 。 8 81 6 1 63 2 3 2 l0 8 8 2 40 9 7 8 10 9 9 5 5 2 20 9 0 3 60 9 8 2 70 9 9 6 5 2 一0 9 6 9 90 9 9 5 50 9 9 9 2 2 60 9 9 5 40 9 9 9 2 0 9 9 9 9 2 31 0 0 6 71 0 0 0 21 0 0 0 0 2 1 01 0 0 7 51 0 0 0 5 1 0 0 0 0 p o i s s o n1 0 0 8 81 0 0 0 71 0 0 0 0 b i h a r m o n i c0 8 8 2 00 9 7 5 30 9 9 5 2 表4 2 2z i e n k i e w i c z 元( 均匀网格) 、嘲k 。 8 81 6 1 6 3 2 3 2 、 l1 0 4 1 41 0 1 0 6 1 0 0 2 7 2 2 1 0 3 3 51 0 0 8 4 1 0 0 2 l 2 4 1 0 1 2 51 0 0 2 21 0 0 0 5 2 61 0 1 2 9 1 0 0 0 81 0 0 0 1 2 8 1 0 1 7 2l0 0l 3l0 0 0 2 p o i s s o ni 0 1 7 81 0 0 1 6 1 0 0 0 9 b i h a r m o n i c1 0 4 2 0 1 o l l o 1 0 0 3 5 2 7 z 删溅喘黔 表4 2 3b u b b l e 三角形元相对误差( 均匀网格) n 1 8 81 6 1 63 2 3 2 1 0 1 3 8 l0 0 2 3 8 0 0 0 4 8 2 2o 1 1 1 7o 0 1 9 l0 0 0 3 7 2 4 0 0 3 8 80 0 0 6 20 0 0 1 0 2 6 0 o 0 9 40 0 0 2 60 0 0 0 4 2 8 0 0 3 0 l0 0 0 2 80 0 0 0 l 2 1 00 0 3 5 00 0 0 5 40 0 0 0 6 p o i s s o n0 0 3 5 40 0 0 5 70 0 0 0 8 b i h a r m o n i c0 1 4 0 40 0 2 4 50 0 0 5 0 表4 2 4 r o b u s t 一三角形元相对误差( 均匀网格) 、n8 81 6 1 63 2 3 2 1 0 3 3 5 90 1 7 9 0o 0 9 1 1 2 2 0 3 0 1 60 1 5 8 90 0 8 0 6 2 4 o 1 5 1 90 0 7 6 30 0 3 8 2 2 6 0 0 5 6 40 0 2 2 9o 0 1 0 7 2 8 0 0 4 1 60 o l l 30 0 0 3 6 2 1 0 0 0 4 0 60 0 1 0 30 0 0 2 6 p o i s s o n 0 0 4