（应用数学专业论文）格蕴涵代数与相关逻辑代数关系的研究.pdf

西南交通大学研究生硕士学位论文第1 页 摘要 逻辑代数是计算机科学、信息科学、控制论与人工智能等许多领域推理 机制的代数基础格蕴涵代数是一种逻辑代数，它是研究格值逻辑理论的一 种基础研究格值逻辑理论的目的是为了给不确定性推理和自动推理提供一 种逻辑理论基础作为一种重要的逻辑代数，格蕴涵代数与许多其它逻辑代 数，象m v 代数，b c k - 代数，凡代数等，都有着十分密切的联系 本文主要研究了格蕴涵代数与若干类逻辑代数系统包括正则f u z z y 蕴涵 代数、m t l - 代数、i m t l - 代数、w n m 代数、n m 代数、b l - 代数、蕴涵格 h e y t i n g 代数、d em o r g a n 代数之间的关系，同时还研究了格蕴涵代数的对偶 性质最后，提出了格蕴涵代数的强素理想的概念并得出其若干性质这 些内容都是格值逻辑和不确定推理中关注的问题本文主要取得以下成果： 1 讨论了格蕴涵代数与正则f u z z y 蕴涵代数之间的关系通过在正则 f u z z y 蕴涵代数上定义v 、入运算，使之构成格的结构，然后证明了这样的正 则f u z z y 蕴涵代数如果满足一定的条件，则构成格蕴涵代数，而且这个条件是 充分必要的 2 得到了格蕴涵代数与m t l - 代数、i m t l - 代数、w n m 代数、n m 代数、b l - 代数、蕴涵格、h e y t i n g - 代数、d em o r g a n 代数之间的关系 3 通过讨论格蕴涵代数的滤子和上 理想的性质，刻画了格蕴涵代数的对 偶性 4 引进了格蕴涵代数的强素从理想的概念，探讨了强素三，理想和素从 理想，强素工 理想和极大真从理想，强素“理想和有限并性质，强素z 理 想和超滤之间的关系证明了强素肼理想是素从理想，强素l 厶理想和极大 真从理想是等价的推广了已有的相应结果 关键词：格蕴涵代数，正则f u z z y 蕴涵代数，m t l - 代数，i m t l 代数， h e y t i n g 代数，强素从理想 西南交通大学研究生硕士学位论文第1 i 页 a b s t r a c t l o g i ca l g e b r ai st h el o g i c a lf o u n d a t i o no fr e a s o n i n gm e c h a n i s mi nm a n yf i e l d s s u c ha sc o m p u t e rs c i e n c e ，i n f o r m a t i o ns c i e n c e ，c y b e r n e t i c sa n da r t 王丘c i a li n t e u i 筘n t l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r ai sak i n do fl o g i ca l g e b r a ，a n di ti st h eb a s i sf o r r e s e a r c h i n go nl a t t i c e v a l u e dl o g i ct h e o r y 删l et h ep u r p o s eo fr e s e a r c h i n go n l a t t i c e - v a l u e dl o g i ci st op r o v i d eak i n d o fl o g i c a lf o u n d a t i o nf o ru n c e r t a i n t y r e a s o n i n ga n da u t o m a t e dr e a s o n i n g l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r ah a sq u i t ec l o s e r e l a t i o n sb e t w e e nm a n yo t h e rl o g i ca l g e b r a ss u c ha sm v - a l g e b r a s ，b c k - a l g e b r a s a n dr o a l g e b r a s n ea u t h o rm a i n l yr e s e a r c h e di n t ot h er e l a t i o n sb e t w e e nl a t t i c ei m p l i c a t i o n a l g e b r a sa n ds o m el o g i ca l g e b r a i cs y s t e m si n c l u d i n gr e g u l a rf u z z yi m p l i c a t i o n a l g e b r a s ，m t l - a l g e b r a s ，i m t l - a l g e b r a s ，w n m a l g e b r a s ，n m - a l g e b r a s ， b l - a l g e b r a s ，i m p l i c a t i o nl a t t i c e s ，h e y t i n g - a l g e b r a sa n dd em o r g a n - a l g e b r a s a t t h es a m et i m e ，t h ea u t h o ra l s os t u d i e dt h ed u a lp r o p e r t i e so fl a t t i c ei m p l i c a t i o n a l g e b r a s a tl a s t ，t h ea u t h o ri n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fs t r o n gp r i m el i - i d e a l so f l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a sa n dr e c e i v e di t ss o m ep r o p e r t i e s 趾lt h ea b o v ea r et h e p r o b l e m st h a ta r ep a i dm u c ha t t e n t i o nt oi nl a t t i c e v a l u e dl o g i ca n du n c e r t a i n t y r e a s o n i n gt h e o r y t h j sp a p e rm a i n l yo b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： 1 s t u d i e dt h er e l a t i o nb e t w e e nl a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a sa n dr e g u l a rf u z z y i m p l i c a t i o na l g e b r a s b yd e f i n i n gt w oo p e r a t i o n sva n d 八i nar e g u l a rf u z z y i m p l i c a t i o na l g e b r a s ，s u c ht h a ti tc a nb ea l a t t i c es t r u c t u r e ，t h e np r o v e dt h a ts u c h r e g u l a rf u z z yi m p l i c a t i o na l g e b r ai s al a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r ai fi ts a t i s f i e d c e r t a i nc o n d i t i o n ，a n dt h ec o n d i t i o ni ss u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r y 2 g a i n e dt h er e l a t i o n sb e t w e e nl a t t i c ei r e p l i c a t i o na l g e b r a sa n dm t l 广a l g e b r a s i m t l - a l g e b r a s ，w n m - a l g e b r a s ，n m a l g e b r a s ，b l - a l g e b r a s ，i m p l i c a t i o nl a t t i c e ， h e y t i n g a l g e b r a s ，d em o r g a n - a l g e b r a s ，r e s p e c t i v e l y 3 b yt a l k i n ga b o u tt h ep r o p e r t i e so ff i l t e r sa n dl i - i d e a l so fl a t t i c ei m p l i c a t i o n a l g e b r a ，d e p i c t e dt h ed u a lp r o p e r t yo fl a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a 4 i n t r o d u c e dt h en o t i o n o fs t r o n gp r i m el i - i d e a l s ( b r i e f l y , s p l - i d e a l s ) o f l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a s i n v e s t i g a t e dt h er e l a t i o n sb e t w e e n 研琵- i d e a l sa n d p r i m el l - i d e a l s ，b e t w e e n 铲己- i d e a l sa n dm a x i m a lp r o p e rl i - i d e a l s ，b e t w e e n s p l i i d e a l sa n dt h ef i n i t eu n i o np r o p e r t y , a n db e t w e e nu l 缸a f i l t e ra n ds p l i i d e a l 、 c o n c l u d e dt h a t s ! p 一h d e a l sa r ee q u i v a l e n tt om a x i m a lp r o p e rl i - i d e a l s e x t e n d e d t h er e s u l t sa l r e a d yr e c e i v e d k e yw o r d s ：l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a ，r e g u l a rf u z z yi m p l i c a t i o na l g e b r a s ， m t l - a l g e b r a s ，i m t l - a l g e b r a s ，h e y t i n g - a l g e b r a s ，跚琵 i d e a l s 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位 论文 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密团，使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“4 ) 学位论文作者签名：久易初导 日期：。柙、j 1 、乙午 指导老师签名： 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作 所得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已 在文中作了明确的说明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 本学位论文的主要创新点如下： 1 讨论了格蕴涵代数与正则f u z z y 蕴涵代数之间的关系通过在正则 f u z z y 蕴涵代数上定义v 、八运算，使之构成格的结构，然后证明了这样的正 则f u z z y 蕴涵代数如果满足一定的条件，则构成格蕴涵代数，而且这个条件是 充分必要的得到了格蕴涵代数与m t l - 代数、i m t l - 代数、w n m 代数、 n m 代数、b l - 代数、蕴涵格、h e y t i n g 代数、d em o r g a n 代数之间的关系 2 引进了格蕴涵代数的强素从理想的概念，探讨了强素协理想和素从 理想，强素肛理想和极大真从理想，强素从理想和有限并性质，强素n 理 想和超滤之间的关系证明了强素从理想是素工厶理想，强素肚理想和极大 真从理想是等价的推广了已有的相应结果。 西南交通大学研究生硕士学位论文第1 页 第1 章绪论 格蕴涵代数【5 0 】是徐扬为了建立命题真值取值于相对比较广泛的一类格上 的逻辑系统，在对算子的公理化定义的框架之内，通过结合代数格和蕴涵代 数，于1 9 9 3 年提出的一种逻辑代数系统格蕴涵代数也为格值逻辑与不确定 性推理提供了一种代数基础关于格蕴涵代数结构和性质以及基于格蕴涵代 数的格值逻辑系统的研究，目前已有许多成果作为一种重要的逻辑代数，格 蕴涵代数与许多其它逻辑代数，象m v - 代数，b c k - 代数，粕代数等，都有着十 分密切的联系为了进一步研究基于不确定性信息的不确定性推理和自动推 理以及基于格蕴涵代数的格值逻辑系统，本文在已有成果基础上，继续研究 格蕴涵代数与相关逻辑代数之间的关系，希望能为相关领域的研究工作提供 一定的基础 本章将介绍相关的研究工作进展和本文的写作背景，并简要介绍本文的 主要研究工作 1 1 1 逻辑代数 1 1 引言 非经典逻辑研究的一个显著特点是逻辑学与代数学的相互渗透与融合， 即称为逻辑代数强有力的代数方法已经成为非经典逻辑研究的重要工具 剩余格、m v - 代数、b l - 代数，舶代数都是为研究非经典逻辑所建立的代数结 构，都是对布尔代数的推广m v - 代数来自l u k a s i e w i c z 逻辑同时又是解决这 一逻辑之完备性问题的有力工具 1 9 3 0 年，h e y t i n g 提出了h e y t i n g 代数的概念【3 4 j ，它是作为直觉主义命题 演算的t a r s k i - l i n d e n b a u m 代数模型而引进的，可以看作是b o o l e 代数的推广 1 9 5 8 年，著名逻辑学家c c c h a n g 为解决l u k a s i e w i c z 多值逻辑系统的完备性 而引入了m v 代数1 4 j 这样一种逻辑代数系统，这种逻辑系统的完备性就可以 归结为关于m v - 代数的一种完备性1 9 6 6 年，日本数学家k i s 6 l 【i 从命题演算 系统的代数公式化的角度提出了b c k - 代数【1 0 】，此后又提出了b c i 代数【l l 】， 并证明了b c k - 代数是b c i 代数的子类1 9 8 6 年，d m u u d i c i 1 2 】证明了m v - 代 数范畴等价于有界可换的b c k - 代数1 9 9 0 年，为研究蕴涵算子的共性，吴望 名在文1 1 ) j 中引入了f u z z y 蕴涵代数( 简称为f i 代数) ，并详细地讨论了一类 h e y t i n g 型f i 一代数一正则h f i 代数的性质，f i 代数是对【0 ，1 】值逻辑中的蕴涵 连接词的一种代数抽象1 9 9 7 年，王国俊提出了r o 代数【4 5 】1 9 9 8 年，p h d j e k 西南交通大学研究生硕士学位论文第2 页 基于剩余格理论提出了与基本逻辑b l 对应的b l - 代数理论【3 0 1 1 9 9 9 年，张小 红提出了模糊b c c 代数【3 5 】2 0 0 1 年，e s t e v a 和g o d o 基于h a j e k 的方法，提出 了相应的代数结构，分别称为m t l - 代数，i m t l - 代数，w n m 代数和n m 代数 i v 2 0 0 0 年，gg e o r g e s c u 7 1 , 7 2 1 等提出了伪b l - 代数，它是b l - 代数的非交换推 广2 0 0 1 年，p f l o n d o r1 7 3 j 等提出了伪m t l - 代数( 或称弱伪b l 代数) ，它是 m t l - 代数的非交换推广2 0 0 6 年，在gg e o r g e s c u 及p f l o n d o r 等人的基础 上，刘用麟【7 4 】提出了伪n m 代数( 或称伪代数) ，它是n m 代数的非交换推 广为了研究命题真值取值于相对比较广泛的一类格上的逻辑系统，徐扬于 1 9 9 3 年通过结合代数格和蕴涵代数，在对算子的公理化定义的框架之内，提 出了格蕴涵代数l 5 0 j 的概念 1 1 2 非经典逻辑 逻辑是研究思维的科学在现实生活中，人们总是自觉或不自觉地运用 逻辑进行思维经典的二值逻辑是针对确定性信息的逻辑系统它是确定性 信息处理的一种十分有效的工具然而它却无法直接有效地刻画人类基于不 确定性信息的思维活动于是，计算机科学、人工智能、数学以及相关应用领 域的研究人员纷纷提出各种各样的非经典逻辑系统( 如多值逻辑、量子逻辑、 模糊逻辑、模态逻辑和直觉主义逻辑等) ，试图为智能信息处理中的不确定性 推理建立合适的逻辑基础 “非经典逻辑”一词是泛指不同于经典命题演算和经典谓词演算的逻辑系 统非经典逻辑总体上可以划分为两大类：一类是与经典逻辑平行的逻辑系统， 如多值逻辑、模糊逻辑和直觉逻辑；一类是对经典逻辑做了扩充的逻辑系统， 如模态逻辑和时态逻辑非经典逻辑是对经典二值逻辑的补充和推广，其运 算规则更符合人类的思维过程因此，它对现实世界的描述比经典逻辑更科 学、合理 1 9 2 0 年，l u k a s i e w i c z 首先考虑到在【0 ，1 1 中取真值而不仅仅是经典的二值 集 0 ，1 ) 中取真值，他提出了一个三值逻辑系统 2 5 1 ，将第三个值解释为“未知 的”、“未定义的”或者某种中间状态这是一个严格的多值逻辑系统随后 不久，p o s t 独立地提出了附加真值的基本思想，建立了有穷多值逻辑系统，并 将此思想用于函数的可表示问题1 3 2 1 它并不十分关注其哲学意义，而更注重 于建立一个纯形式化的多值逻辑系统此后，各种各样的具有不同哲学背景 和应用领域的多值逻辑系统被相继提出并研究( 参看文献【4 6 ，4 3 4 6 1 ) 1 9 6 5 年，z a d e h t 5 圳引进了在非经典逻辑研究中具有里程碑意义的“模糊集 的概念；1 9 6 7 年，g o g u e n 8 j 把模糊集的概念扩充到了l 型模糊集，其隶属度形 成一个偏序集，而不再是象【0 ，1 1 一样的线性有序集 格值逻辑是种重要的非经典逻辑，它特别将链型真值域扩充为较一般 的格结构，能为同时刻画可比较性与不可比较性提供有效手段1 9 3 4 年， 西南交通大学研究生硕士学位论文第3 页 j o r d a n 等提出了一种重要的格值逻辑一量子逻辑【2 6 】，旨在为量子力学提供一 个公理化的基础量子逻辑基于正交模格，如由实或复h i l b e r t 空间中的闭凸 子集或闭线性子空间构成的格，它们都是非布尔格量子逻辑比布尔逻辑更 一般，因为它不要求格的分配性，甚至不要求模律 1 9 6 7 年，g o g u e n 将模糊集的概念扩充到格值型( 简称l 型) 模糊集，并提 出了基于完备格序半群的第一个格值逻辑形式系统，为研究格值逻辑提供了 一条新的路线随后，r o s s e r , t u r q u e t t e 和p a v e l k a 等对g o g u e n 的逻辑系统进 行了改进和发展，其中p a v e l k a 的工作最为显著1 9 7 9 年，p a v e l k a 提出了一个 真值集为丰富剩余格模糊命题逻辑系统，并证明了许多关于其可公理化的重 要结论【1 8 1 1 9 8 2 年之后，n o v a k 将p a v e l k a 的工作扩充为一阶模糊逻辑瞄7 硎1 9 8 7 年， g i n s b e r g 提出了基于双格结构的逻辑，其中一个用于记录真值度，另一个记录 信息或知识度，它为一类逻辑编程语言提供了一种统一的语义基础 1 9 9 6 年，p h d j e k 根据积三角范数和g o g u e n 蕴涵，提出了积逻辑系统 1 9 9 8 年，他又根据连续三角范数及其诱导的剩余型蕴涵的性质，提出了一种 通用的形式系统b l 称为基本逻辑( b a s i cl o g i c ) 2 9 ，3 0 2 0 0 1 年，e s t e v a 和g o d o 基于h d j e k 的关于连续三角范数的逻辑的工作，提出了几个有趣的新系统 m t l ( m o n o i d a l t - n o r m - b a s e d l o g i c ) ，w n m ( w e a kn i l p o t e n tm i n i m u m ) ， i m t l ( i n v o l u t i v em o n o i d a lt - n o r m b a s e dl o g i c ) 和n m ( n i l p o t e n tm i n i m u m ) 7 1 和h d j e k 的b l 系统相比，e s t e v a 和g o d o 的系统m t l 已经建立了相应的一阶 逻辑系统且进行了深刻、细致的工作【7 ，2 9 , 4 2 1 1 9 9 7 年之后，王国俊等研究了一 类代数上的逻辑学，得到了一系列重要的结果m4 5 4 7 巾】 为从符号逻辑出发给不确定性信息处理，特别是对带有两种不确定性( 模 糊性和不可比较性) 的不确定性推理提供一种逻辑基础，徐扬【5 0 j 等学者于 1 9 9 3 年提出了基于格蕴涵代数的格值逻辑系统，在1 9 9 3 到1 9 9 4 年期间，徐扬 等建立了基于格蕴涵代数的格值命题逻辑系统蚴【7 5 7 引，讨论了它的语义问 题和语法问题，证明了可靠性定理、演绎定理、协调性定理和弱完备性定理 1 9 9 6 到1 9 9 7 年间，徐扬等继续研究了基于格蕴涵代数的格值一阶逻辑系统 凡砷【7 耳7 8 l ，并讨论了语义问题和语法问题，证明了可靠性定理、演绎定理和 协调性定理为刻画“两个层次 ( 对象本身和对于对象处理过程中) 的模糊 性与不可比较性，1 9 9 9 年之后，徐扬等建立了动态的格值逻辑系统，即基于格 蕴涵代数的分层的格值命题逻辑系统l 功f 和格值一阶逻辑系统l 7 9 。8 1 j 2 0 0 7 年，常之艳通过对比l p ( x ) 和v p f 中的相关概念得到l 州是l p ( x ) i 拘推广，并指 出了二者的主要区别【3 1 】 1 1 3 本文的写作动机 近年来，关于各种逻辑代数的研究纷繁复杂，其中也包括各种逻辑代数 西南交通大学研究生硕士学位论文第4 页 之间关系的研究 格蕴涵代数作为一种重要的逻辑代数，为格值逻辑和不确定性推理的研 究提供了一种理论基础，而格蕴涵代数与许多重要的代数，象m v 代数， b c k - 代数，凡代数等，都有着十分密切的联系关于格蕴涵代数的研究，尤 其是格蕴涵代数与相关逻辑代数之间关系的研究，虽然目前已有许多成果， 但是仍然还存在很多问题，许多人对格蕴涵代数的认识不够深入，格蕴涵代 数自身也需要进一步的研究和发展因此，为了格蕴涵代数及不确定性信息 处理理论的进一步发展，本文进一步研究了格蕴涵代数与若干类逻辑代数象 正则f u z z y 蕴涵代数，m t l - 代数，i m t l - 代数，w n m 代数，n m 代数，b l - 代数， h e y t i n g 代数，d em o r g a n 代数，蕴涵格等之间的关系，并对格蕴涵代数的结 构性质做了进一步探讨 1 2 格蕴涵代数的研究进展和本文具体工作简介 本节将对本文所选课题的研究现状以及本文具体的研究工作作一个简要 的介绍 1 2 1 格蕴涵代数的研究进展 上个世纪八十年代后期，徐扬致力于研究多值逻辑以及逻辑公式的真值 取于格上的逻辑系统，通过结合代数格和蕴涵代数，于1 9 9 3 年首次提出格蕴 涵代数【删的概念，并对它的性质做了研究1 9 9 2 年，徐扬【8 2 l 对有余格的性质 进行了深入的研究1 9 9 3 年，秦克云1 8 3 】研究了基于格蕴涵代数的模糊幂集以 及格蕴涵代数的直积和分解1 9 9 5 年，徐扬【3 】将模糊集合论应用于格蕴涵代数， 给出了模糊格蕴涵代数的概念，并讨论了它们的一些基本性质1 9 9 6 年，刘军 【6 3 】给出了格蕴涵代数的一个重要性质( p ) ，并结合此性质证明了格蕴涵代数构 成一个剩余格1 9 9 6 年，宋振明【驯讨论了格日蕴涵代数的一个表示2 0 0 5 年， 潘小东从代数方程的角度对格蕴涵代数方程作了深入细致的研究【85 。同年， 朱华畔l 在其毕业论文中提出了格蕴涵代数中的零化子的概念，并讨论了一些 特殊性质，证明了格蕴涵代数中的零化子是格蕴涵代数的理想，为进一步研 究格蕴涵代数的结构提供了理论依据 1 9 9 2 年，徐扬提出了格蕴涵代数中的同态、蕴涵同态、蕴涵同构等概念， 并利用滤子和对偶核的概念给出了格蕴涵代数中的同态基本定理1 5 1 | ，指出了 格蕴涵代数在蕴涵同态下的一些不变性质 由于格蕴涵代数的各种滤子在一定意义上分别反映了逻辑中假言推理、 假言三段论、拒取式等推理规则，滤子从代数形式的角度反映了不确定性推理 中的一些特征，所以格蕴涵代数中的滤子在格蕴涵代数与基于格蕴涵代数的 格值逻辑系统的研究中起着重要的桥梁作用1 9 9 3 年，徐扬【5 0 】等人首次提出 西南交通大学研究生硕士学位论文第5 页 了格蕴涵代数滤子和关联滤子的概念，并讨论了它们之间的关系，给出了滤 子结构定理，徐扬和刘军以滤子为工具对格蕴涵代数的结构进行了研究，证 明了一个有限的格蕴涵代数都是有限个l u k a s i e w i c z 链的乘积【觚6 2 ，跖j 关于滤 子的更多研究成果可参看文献f 2 ，3 9 ，5 4 ，6 4 1 理想作为滤子的对偶结构，讨论它对滤子及格蕴涵代数的研究具有重要 的意义1 9 9 8 年以后，徐扬、秦克云、赵光峰、y o n gb a ej u n 、e u nh w a nr o b 等一起引入并讨论了格蕴涵代数中的从理想、超从理想、模糊认理想、正 规模糊从理想、l 型模糊理想的概念和性质，证明了利用格蕴涵代数上的 一个模糊从理想可以得到格蕴涵代数上的一簇同余关系，并且这簇同余关系 可以构成一个完备链【5 l ，5 6 , 6 6 ，8 7 2 0 0 3 年，刘用麟【3 7 】等提出了格蕴涵代数中的 肝理想、极大从理想的概念并讨论了肚理想、素从理想、极大从理想的 特征与性质，得到了尼厶理想的扩张定理 作为一种新的逻辑代数，格蕴涵代数与许多著名的代数，象m v o 代数， b c k - 代数，代数等，都有着十分密切的联系，具体结果可参看文献 1 3 1 7 1 9 9 6 年，刘掣5 3 】在其硕士论文中指出：m y - 代数是范畴等价于格蕴涵代数的 1 9 9 7 年，徐扬删给出了有界可换的b c k - 代数中关于分配性的一些等价条件， 指出了格蕴涵代数与有界可换b c k - 代数以及格日蕴涵代数与有界关联b c k - 代数之间的对偶关系，并证明了格蕴涵代数与有界可换的b c k - 代数等价 2 0 0 2 年，王国俊【1 6 l 讨论了m v - 代数，b l - 代数，凡代数与多值逻辑的关系，证 明了三中不同形式的m v - 代数刻画的等价性，指出格蕴涵代数是m v 代数的 一种等价形式2 0 0 3 年，徐扬1 1 4 j 等人撰写了( ( l a t t i c e v a l u e dl o g i c ) ) ，在“与 相关代数的联系 章节中，证明了格蕴涵代数和m v 代数可以相互转化，并 且再由m v - 代数和f u z z y 蕴涵代数的关系，最后得到了f u z z y 蕴涵代数如果满 足一定的条件，则与格蕴涵代数是可以互相推出的结论文中还讨论了格蕴 涵代数和粕代数的关系，得到了格蕴涵代数和代数如果分别满足一定的 条件，则可以相互推出2 0 0 4 年，苏忍锁l 2 0 j 在其硕士论文中讨论了格蕴涵代数 和剩余格之间的关系，证明了格蕴涵代数与正规剩余格，正规f u z z y 蕴涵代数 都是等价的代数系统需要说明的是，这里所说的等价，实际上是指它们之间 可以相互转换 除上述之外，美国、日本、韩国、意大利、丹麦、波兰、捷克、比利时、 芬兰、英国、中国台湾、中国大陆等国家和地区的另外许多学者也对格蕴涵 代数相继做了大量的研究，取得了许多研究成果 1 2 2 本文具体工作简介 本文基于以上研究工作，继续探讨了格蕴涵代数和相关逻辑代数之间的 关系，并研究了格蕴涵代数的一些结构性质，以期为格蕴涵代数的发展以及 将来为格值逻辑系统及不确定性推理理论提供一些基础具体研究工作如下： 西南交通大学研究生硕士学位论文第6 页 1 讨论了格蕴涵代数和正则f u z z y 蕴涵代数之间的关系通过在正则 f u z z y 蕴涵代数上定义v 、八运算，使之构成格的结构，然后证明了这样的正 则f u z z y 蕴涵代数如果满足一定的条件，则构成格蕴涵代数，而且这个条件是 充分必要的 2 得到了格蕴涵代数和m t l - 代数，i m t l - 代数，w n m 代数，n m 代数， b l - 代数，蕴涵格，h e y f i n g 代数，d em o r g a n 代数之间的关系 3 通过讨论格蕴涵代数的滤子和n 理想的性质，刻画了格蕴涵代数的 对偶性 4 引进了格蕴涵代数的强素从理想的概念，探讨了强素从理想和素从 理想，强素从理想和极大真从理想，强素厶理想和有限并性质，强素从理 想和超滤之间的关系证明了强素从理想是素从理想，强素理想和极大 真理想是等价的推广了已有的相应结果 1 3 预备知识 定义1 3 1 【9 】设p 是一个集合，p 上的二元关系“s 叫做一个偏序关 系( 或半序关系) ，如果满足 ( 1 ) 自反性：口s 口，( v ae p ) ； ( 2 ) 反对称性：订s b , bs 口号a = b ，( v a ，b e p ) ； ( 3 ) 传递性：口s6 ，bs c = 争as c ，( v 口，b ，ce p ) ， 这时称( p ，s ) ( 或简称p ) 为一个偏序集( 或半序集) 定义1 3 2 1 9 1 在一个偏序集伍，墨) 中，如果任意两个元素x ，) ，都有上确界 xvy 和下确界x y ，则称偏序集伍，s ) ( 或简称l ) 为一个格 文【9 】中给出了格的定义的另一种形式如下： 定义1 3 3 设是一个任意集合，工上有两个二元运算，记为八和v 则 ( 厶 ，v ) 是一个带有两个二元运算的代数结构，我们称( 工， ，v ) 是一个格如果 它满足对于任意的z ，y ，z 三， ( 1 ) z ( y z ) - ( x ) ，) z ，xv ( yvz ) = ( xvy ) vz ； ( 2 ) x a y = y az ，xvy = yvx ； 西南交通大学研究生硕士学位论文 第7 页 ( 3 ) x 工一x ，xv 工一x ； ( qx ( xvy ) 一工，xv ( x y ) 一工 对任意的格厶如果满足：对任意的x ，y ，z 工， x ( y v z ) = ( x y ) v ( z z ) ， 则称l 为分配格【9 1 。 定义1 3 4 【1 8 1 设p 是偏序集，o 与_ 分别为p 上的两个二元运算，称 ( _ ) 为p 上的伴随对，如果下列条件成立： ( 1 ) ：p x p p 关于两个变量都是单调递增的； ( 2 ) 对任意的x ，y ，z p ，x ysz 当且仅当xsy _ z z o r n 引理1 9 】若偏序集( l ，s ) 内任一链在l 内都有一个上界，则l 的每一 个元素都含于某一个极大元中 西南交通大学研究生硕士学位论文第8 页 第2 章格蕴涵代数与相关逻辑代数之间的关系 格蕴涵代数是研究格值逻辑和不确定性推理的一种重要的数学工具关 于格蕴涵代数与相关逻辑代数之间关系的研究，虽然目前已有许多成果，但 仍然存在许多需要进一步研究的工作 本章中，首先简要介绍在本文中将要用到的有关格蕴涵代数的一些基本 性质和概念；随后，将讨论格蕴涵代数与相关逻辑代数之间的一些关系 2 1 格蕴涵代数的基本概念和性质 本节将简单介绍格蕴涵代数的一些基本概念和相关的主要结论，它们是 本文研究工作的基础 定义2 1 1 5 0 设( 己，v ， ，o ，) 是一带有逆序对合的有余格【6 5 1 ，d 和 ，分别是它的最小元和最大元若映射呻：l l - 工满足：对于任意的 x ，y ，z e l ， 帆) z _ ( y 呻z ) = y g z ) ； x _ x = j ； ) x 呻y = y 一x ； m ) 若x 呻y = y x = i ，则x = y ； 岱) g 呻y ) 一y ；( y 呻z ) 一z ； 则称( l ，v ， ，t ，呻，o ，) 为一个拟格蕴涵代数拟格蕴涵代数三称为格蕴涵 代数，若它满足： 仁。) bvy ) 一z = g z ) ( y z ) ； z ) b y ) 呻z ；b 呻z ) v ( y z ) 若它还满足： x v yv ( ( z y ) _ z ) = r 西南交通大学研究生硕士学位论文第9 页 则称( l ，v ， ，一，o ，) 是格日蕴涵代数 例2 。1 1 【5 0 1 设犯，v ，a ，) 是一个布尔格，对任意的x ，y e l ，定义： x _ y tx 7v y ， 则，v ， ，呻) 是一个格日蕴涵代数 例2 1 2 【1 4 1 设l 一 d ，盘，b ，) 并且o7 ；，口。6 ，b 。口，i o ，l 上的蕴涵 运算“_ 定义如下： 裹2 1 1 l 一| 【d ，a ，b ，) 上的蕴涵运算“ ” d 口 6 i 上的偏序关系如图2 1 1 所示，则( l ，v ， ，呻，o ，i ) 构成一个格蕴涵代数且 是一个格日蕴涵代数 i a 图2 1 1 l 上的偏序关系“s ” 例2 1 3 【1 4 】设l 盘【0 ，1 1 ，l 上的运算v ， ，呻分别定义如下： zv y = m a x x ，) ，) ， x y = m i n x ，) ， ， x = 1 一x ， 一一一 西南交通大学研究生硕士学位论文第1 0 页 x 呻y ；m i n ( l 1 - x + y ) 则犯，v ， ，- ) 是一个格蕴涵代数通常称它为【0 , 1 】上的l u k a s i e w i c z 蕴涵代 数 例2 1 4 t 1 4 1 设l - a ；l i - 1 , 2 i po ，咒 ，对任意的1 sj , ks ，l ，定义： 口jv 口t 。口m “u ，七 ， “ “七墨以m i n ，七 ( 口一口。小1 ， 口j _ a k 。a m i n 一，+ i 一 则仁，v ，a ，_ ) 是一个格蕴涵代数通常称它为有限链上的l u k a s i e w i c z 蕴涵 代数 例2 1 5 【1 4 1 设lz d ，口，b ，c ，d ， 是图2 1 2 所示的偏序集定义l 上的并 运算“v 和交运算“a ”为： xvy = g 呻) ，) - y ， - x y 一( ( x 7 呻y ) - - y ，) ， 其中，l 上的蕴涵运算“_ 定义如下： 表2 1 2 l = d ，a ，b ，c ，d ，) 上的蕴涵运算“一 呻 d oi 口c 6d c口 db io cd ii c b ba ia bi cd 余运算定义为：，7 o ，o = ，口= c ，c ：口，b 7 d ，d b 则 ( l ，v ， ，- ，o ，i ) 是一个格蕴涵代数 口一，口口，口 西南交通大学研究生硕士学位论文第1 1 页 d 图2 1 2 l 上的偏序关系“s ” 注2 1 1 由上述例子可以看出，格蕴涵代数是一类比较广泛的代数结构， 它不仅包含了两类极为重要的逻辑代数结构，即布尔代数和l u k a s i e w i c z 蕴涵 代数，同时也包含了较一般的非链结构，这就使得它可以用来刻画真值的不 可比较性，从而可以更真实地描述人类的思维活动，增强了以此为基础的格 值逻辑系统的表达能力 定理2 1 1 【1 4 】设( ，v ， ，呻，o ，) 是一个格蕴涵代数，则仁，v ， ) 是一个 分配格 定理2 1 2 【1 4 1 设犯，v ， ，7 ，呻，d ，j ) 是一个格蕴涵代数，对于任意的 x ，y l ，有： ( 1 ) x 呻0 一石，i - x = x ； ( 2 ) xsy 当且仅当x y i ； ( 3 ) ( x - - - y ) - * yz x v y ，x y ；( ( 石- ，y ) 呻x 7 ) ； ( 4 ) 一) ，) v ( y x ) = i ； ( 5 ) z - y x vy ； ( 6 ) 对任意z 工，x 呻z = y z 当且仅当x y 当且仅当对任意 z e l ，z _ z z 呻y ； ( 7 ) xvy i 当且仅当x y = y ； 西南交通大学研究生硕士学位论文第1 2 页 ( 8 ) x y o 当且仅当x - y ；x ； ( 9 ) 对任意口，b e l ，有：( 口- - , b ) so _ a ) p 呻) ，) 定理2 1 3 【1 4 1 设( l ，v ， ，- ，o ，) 是一个格蕴涵代数，对于任意的 x ，y ，z e l ， ( 1 ) 呻y ) 一( ( y - - - - z ) - o - - - z ) ) - i ； ( 2 ) x _ ( y v z ) = ( x 呻y ) v ( x z ) ，x _ ( y z ) tg 呻y ) g 一z ) ； ( 3 ) g _ z ) - ( y _ z ) = y b vz ) 一( z _ 工) _ o ，_ x ) ； ( 4 ) g z ) 呻( z _ y ) - g z ) 一y b 呻z ) - - , b _ y ) ； ( 5 ) 若xsy ，n x 呻z y 呻z , z - xsz _ y ； ( 6 ) zsy _ x 当且仅当ysz _ x ： ( 7 ) z _ ( y 呻工) 乏( z y ) _ ( z _ 工) ； ( 8 ) ( x 一( y - - - z ) ) 一( _ y ) 呻 - - , z ) ) - - - - x v yv ( o y ) 呻z ) ； ( 9 ) x 呻( y 呻z ) = vy ) 呻z 当且仅当x 一( y _ z ) = z z = y z ； ( 1 0 ) ( ( z 一y ) ( y - - - z ) ) _ 0 - z ) 一( x - - - y ) v ( y z ) v ( z - - , x ) 定理2 1 4 【1 4 1 设( l ，v ， ，_ ，o ，) 是格蕴涵代数则下述命题等价： ( 1 )( l ，v ，a ，时，o ，) 是格日蕴涵代数； ( 2 ) v x ，y 工，x y ；x 呻( x y ) ； ( 3 ) x _ ( y 呻z ) = g 呻y ) 一b 呻z ) ，坛，y ，z 上； ( 4 ) b _ y ) 一z ；x , v x ，ye l ； 西南交通大学研究生硕士学位论文第1 3 页 ( 5 ) x 呻y x vy ，慨，ye l ； ( 6 ) x v z7 。j ，v x e l 定义