（计算数学专业论文）riemannzeta函数的超几何级数方法和组合恒等式.pdf

摘要 本文在超几何级数的理论基础上，利用经典分析和形式幂级数的方法，研究r i e m a n n - z e t a 函数封闭性公式，无穷级数求和公式以及关于p a s c a l 矩阵等组合计算问题其具体内窑如下： 1 从两个三角函数的超几何级数展开式出发，利用导数算子和对称函数，建立了众多的含 有h a r m o n i c 数的无穷级数求和公式由于使用的公式含有两个自由变量，有充分的灵活性，使 我们得以成功地对这类求和公式进行全面而系统的研究特别地，利用g a u s s 超几何级数得到 一系列分母含有中心二项式系数的无穷级数封闭和式，从而从本质上推广了e l s n e r 的相关结论 21 9 9 7 年，初文昌发现了研究r i e m a n n z e t a 函数的超几何级数方法，作为这一方法的继 续和延伸，我们利用g a u s s 、k u m m e r 和d i x o n 求和公式，建立了一系列关于( ( 5 ) 和( 6 ) 的求 和公式这些形式简洁内容丰富的结果，再次证明了超几何级数方法确实是研究r i e m a n n - z e t a 函数的有效工具 3 对g a u w h i p p l c 和w a t s o n 的超几何级数求和公式作适当的参数替换，使得我们能够 研究另一类型的无穷级数求和公式，它们的通项是关于中心二项式系数和( 高阶) h a r m o n i c 数 的简单线性函数这些函数均与r i e m a n n z e t a 函数密切相关，而且在本质上区别于前面研究的 类似级数 4 研究了p a s c a l 矩阵和对称p a s c a l 矩阵的g 一模拟证明了q - p a s c a l 矩阵能被分解为一些特 殊矩阵的积。给出了对称q - p a s c a l 矩阵的c h o l e s k y 分解，明确了q - p a s c a l 矩阵和对称q - p a s c a l 矩阵之间的密切关系进一步地把这些矩阵推广到具有一个或两个变量的函数矩阵，并且计算 了这些矩阵的行列式值对于单变量q - p a s c a l 函数矩阵建立了它的整数次幂及作为指数函数的 表达式 关键词；超几何级数，r i e m a r m - z e t a 函数，h a r m o n i c 数，a p c r y - l i k e 级数，q - p a s c a l 矩阵 组合恒等式 a b s t r a c t b ym e a n so fc o m b i n a t i o no fc l a s s i c a la n a l y s i s ，h y p e r g e o m e t r i cs e r i e sa n df o r m a lp o w e rs e - r i c sm e t h o d ，t h i sd i s s e r t a t i o ni n v e s t i g a t e st h ep r o b l e m so nc o m b i n a t o r i a lc o m p u t a t i o n so fc l o s e d f o r m u l a eo fr i e m a n n z e t af u n c t i o n i n f i n i t es e r i e si d e n t i t i e sa sw e l la sp a s c a lm a t r i c e s ，e t ct h e c o n t e n t si sa sf o l f o w s ： 1b a s e do nt w oh y p e r g e o m e t r i ce x p a n s i o nf o r m u l a eo ft r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n s ，w ec o m b i n e t h e i rd e r i v a t i v e sw i t ht h cs y m m e t r i cf u n e t i o n sa n de s t a b l i s hn u m e r o u si n f i n i t e s e r i e s i d e n t i t i e s i n v o l v i n gt h eh a r m o n i cn u m b e r sf o rt h ep r e s e n c eo ff l e ep a r a m e t e r s ，t h eh y p e r g e o m e t r i cf o r m u l a e t h a tw ea p p l yp o s s e s ss t r o n gf l e x i b i l i t y - t h i sa l l o w su s ，s u c c e s s f u l l ya n ds y s t e m a t i c a l l y ，t ot r e a t ac l a s so fi n f i n i t es e r i e si d e n t i t i e si np a r t i c u l a r ，b yt h eg a u s sh y p e r g e o m e t r i cs e r i e sw eo b t a i n as e r i e so fc l o s e df o r m so fi n f i n i t es e r i e sw i t hc e n t r a lb i n o m i a lc o e m c i e n t si nd e n o m i n a t o r w h i c h e x t e n d se s s e n t i a l l yt h er e l a t e dr e s u l t sd u et oe i s n e r ( 2 0 0 5 ) 2i n1 9 9 7 c h ud i s c o v e r e dt h eh y p e r g e o m e t r i cs e r i e sm e t h o df o rr i e m a n n - z e t af u n c t i o n a s c o n t i n u a t i o na n de x t e n s i o no ft h i sa p p r o a c h ，w ea p p l yt h es u m m a t i o nt h e o r e m sd u et og a u s s ， k u m m e ra n dd i x o nt od e r i v eal a r g es e r i e so fs u m m a t i o nf o r m u a er e l a t e dt or i e m a n n - z e t af u n c - t i o n ；7 5 ) a n df f 6 ) t h es i m p l ef o r ma n dt h ev a r i e t yo ft h er e s u l t so b t a i n e ds h o wa g a i nt h a tt h e h y p e r g e o m e t r i cs e r i e sm e t h o di si n d e e dp o w e r f u lf o rs t u d y i n gr i e m a n n z e t af u n c t i o n 3 u n d e rt h ea p p r o p r i a t ep a r a m e t e rr e p l a c e m e n t si nt h eh y p e r g e o m e t r i es u m m a t i o nf o r m u l a e n a m e da f t e rg a u s s ，w h i p p l ea n dw a t s o n ，t h eh y p e r g e o m e t r i cm e t h o de n a b l e su st od e a lw i t h a n o t h e rc l a s so fi n f i n i t es e r i e ss u r e ! m a t i o nf o r m u l a c t h es u m l n k n d so ft h i se l a s eo fi n f i n i t es e r i e s a r es i m p l e1 i n e a rf u n c t i o n so fc e n t r a lb i n o m i a lc o o 布c i e n t sa n dh i g h e rh a r m o n i cn u m b e r st h e i r c h a r a c t e r i s t i cl i e si nt h ec l o s er e l a t i o nt or i e m a n n z e t af u n c t i o n t h i sd i f f e r ss u b s t a n t i a l l yf r o m t h ei n f i n i t es e r i e sm e n t i o n e db e f o r e 4 t h eq - a n a l o g u e so ft h ep a s c a lm a t r i xa n dt h es y m m e t r i cp a s c a lm a t r i xa r es t u d i e d i t i ss h o w nt h a tt h eq - p a s c a lm a t r i xc a nb ef a c t o r i z e db ys p e c i a lm a t r i c e sa n dt h es y m m e t r i cq - p a s c a lm a t r i xh a st h ec h o l e s k yf a c t o r i z a t i o n w eg e tac l o s er e l a t i o nb e t w e e nq - p a s c a lm a t r i xa n d s y m m e t r i cq - p a s c a lm a t r i x t h ed e t e r m i n a n t so ft h e s em a t r i c e sa r ea l s oc o m p u t e d f u r t h e r m o r e t h ee x p r e s s i o n sf o rp o w e r sa n de x p o n e n t i a lf u n c t i o n so ft h e s em a t r i c e sa r eo b t a i n e d k e y w o r d s ：h y p e r g e m n e t r i cs e r i e s ，r i e m a n n z e t af u n c t i o n ，h a r m o n i cn u m b e r ，a p e r y - l i k e s e r i e s ，q p a s c a lm a t r i x jc o m b i n a t o r i a li d e n t i t i e s i i 0 前言 计数与枚举( e n u m e r a t i o n ) 是组合数学的中心课题在计数过程中，组合恒等式起了至关重 要的作用，因此发现和证明组合恒等式一直是组合学家感兴趣的问题近些年来g o s p e r ，w i l l ， z e i l b e r g e r 以及p e t k o v s e t 的工作使组合恒等式的证明发生革命性的变化，但经典分析方法在发 现新的组合恒等式方面依然起着不可替代的作用 本文研究的主要内容是以超几何级数为主要工具，发现一些新的涉及r i e m a n n z e t a 函 数、h a r m o n i c 数以及中心二项式系数的恒等式由于超几何级数包括较多的自由变量，因此 具有高度的概括性，使得大多数的组合恒等式可以表示成超几何级数的形式我们从几个著名 的具有封闭和式的级数出发，综合使用经典分析中的计算技巧，成批量地得到关于r i e m a n n - z e t a 函数、h a r m o n i c 鼓以及中心二项式系数的恒等式，这些恒等式包括历史上一些著名的恒等 式作为极特殊的例子 我们来回顾一下超几何级数及其发展历史关于变量= 的幂级数 帅卵7 札：扑 = = 薹紫等 ( 0 叭， 称为超几何级数，其中a o ，a l ，唧和b l ，b 2 ，6 。分别为分子和分母参数，( o ) 。：= a ( a + 1 )( a + n 一1 ) 称为a 的n 次升阶乘1 6 5 5 年，j o h nw a l l i s 在他的著作a r i t h m e t i c a i n f i n i t o r u m ) ) 中第一次使用了。超几何的( h y p e r g e o m e t r i c ) ”级数术语，他研究了如下的级数 在接下来的一百年和五十年里，很多数学家研究了超几何级数的最简单情形 ：子丛 鲁州( 啪。 稚为g a u s s 超几何级数e u l e r 曾经给出了这类级数的很多结果例如，著名的关系 1 7 7 0 年，v a n d e r m o n d e 给出了如下的二项式定理推广形式： z f i - n , b ；c ；1 】= 型笨筹错掣 1 8 1 2 年，g a u s s 在他的著名博士论文“d i s q u i s i t i o n e sg e n e r a l e sc i r c as e r i e mi n f i n i t a m ”中，给出 大连理工大学博士学位论文：r i e m a n n - z e t a 函数的超几何级数方法和组合恒等式 了含有三个参数的超几何级数的定义并引入了记号f a ，b ；c = z 1 他证明了著名的求和定理，现 称为“g a u s s 求和定理”( 见【1 0 ，1 2 】和 8 l ，l7 】) ： 。n 吼州= 裂等高， ( 0 眦) 也给出了很多这类级数间的相互关系1 8 3 6 年，k u m m e r 证明了二阶微分方程 = ( 1 一。) 筹+ ( c 一( 1 + n + 6 ) z ) 笔一n b y = o 的解是g a u s s 函数2 f l 【o ，6 ；c ；z 】，同时还指出一共有二十四个这种类型的解( 称为k u m m e r2 4 解) 使用积分表示g a u s s 函数应当追索到e u l e r e u l e r 给出了g a u s s 函数的第一个积分表示： ：f 1p ! i x = 丽可鼍石刁1 t - n - 1 ( 1 - t ) “”1 ( 1 _ 缸) - b d t 使用r 函数的围线积分表示超几何级数的思想来自p i n c h e r l e 和r i e m a n n ，后来rm e l l i n 和 ew b a r n e s 发展完善了这一思想在1 9 1 0 年，b a r n e s 给出了k u m m e r 二十四个函数的积分 表示再后来，他证明了g a u s s 定理的积分模拟： 甄1 仁m 删叩刊r ( c _ 8 ) r ( d 叫如= 业哿嵩器茅幽 在这期间一些数学家想到了推广g a u s s 级数，当然g a u s s 级数有很多推广方法c l a u s e n ( 1 8 2 8 ) 首 先用增加参数个数的方法扩展g a u s s 函数概念，并研究了三个分子参数两个分母参数的一类级 数在接下来的百十年中，一般形式的超几何级数的很多著名求和定理逐渐地由s a a h c h f i t z ( 1 8 9 0 ) d i x o n ( 1 9 0 3 ) 和d o u g a i l ( 1 9 0 7 ) 等给出推广超几何级数的另一个方法是让级数在左右两个方向 上求和，这就产生了双边超几何级数( d o u g a b ，1 9 0 7 ) 1 9 2 6 年，a p p e l l 研究了含有两个变量的 二重级数，称为a p p e l l 级数，而b a i l e y 在1 9 2 0 年到1 9 5 0 年之间的一系列论文完成了碴个超几 何级数理论的彻底分析和完善，也发现了重要的b a i l e y 变换就在这个时候，ljr o g e r s 声称 超几何级数领域没有什么可研究的了，超几何级数的研究陷入低潮时期但仍有一些数学家坚 持超几何级数的研究如，w h i p p l e 完成了一般超几何函数 聆( = ) 的整个理论；b a i l e y 在1 9 3 5 年出版了他的专著h y p e r g e o m e t r i cs e r i e s ) ) ；作为对b a i l e y 著作的补充和完善，s l a t e r 于1 9 6 6 年出版了( e g e n e r a l i z e dh y p e r g e o m e t r i cs e r i e s ) ) 推广g a u s s 函数除了上面提到的几种方法之外，另一种不同的观点是由eh e i n e 提出的 它定义了一个基数。：= ( 1 一g o ) ( 1 一g ) 这里，q 和a 都是实数或复数显然，当q 一1 时， 一a 使用这个概念，h e i n e 定义g a u s s 函数的铲模拟为 衲刊：= 妻勰矿n = 0 其中，( 口；q ) o ：= 1 ，( 口；g ) 。：= ( 1 一口) ( 1 一a q ) ( 1 一a q ”1 ) ，= 1 ，2 ，) 这种类型的级数我们 称为基本超几何级数或口一级数它在代数、数论、统计、组合学和物理学等方面都有广泛的应 用3 ，4 1 2 第0 章前言 伴随着超几何级数的发展，基本超几何级数也有了快速的进展1 8 4 6 年，h e i n e 系统地研究 了基本超几何级数2 l ，接着j a c k s o n 发展了于微分、4 一积分理论并且推导出了一些于模拟公 式后来v v r a t , s o l l 和s i a t e r 扶围遵积分的观点发展了基本超几何缀数理论在这个理论逐步完善 的同时，双边基本超几何级数理论也逐步形成再后来，g a n d r e w s 的研究工作让人们看到基 本超几何级数在分拆理论上的应用在7 0 年代中期，他同r a s k e y 在基本超几何级数这一领 域取得了丰硕的成果正是由于他们的研究工作才有今天基本超几何级数的蓬勃发展 许多普通的组合恒等式都有其鼋形式或铲模拟，丽基本超几何级数应滚是研究这种窖- 模 拟的主要工具然而，迄今尚未发现本文中研究盼包含r i e m a n n - z e t a 函数和h a r m o n i c 数的恒 等式的铲模拟作为于形式的组合恒等式，我们研究了q - p a s c a l 矩阵的相关问题，从而部分地 弥补这个缺憾 本文共分四章，其主要内容如摘要中所述 3 1 两类无穷级数求和 1 9 8 5 年，l e h m e rf g r l 研究了下面两类级数的求和问题 - n 妻= 0 。n ( 翟) 和薹南 其中，。是n 的简单函数他从熟知的公式 尹n = 0 f 2 n l k n 儿击 o 1 、1 ，p = 毗f l ( 1 + 司2 “1 - 3 x 2 ) 胆h 这就证明了公式( 11 1 ) 等式( i - i 1 ) 两边同乘y ，再对y 求导，得到下面推论： 推论1 1 ( 含有两个自由变量的g a u s s 超几何级数求和公式) ： 。，l ( 1 + 叫胆“1 谢脾h = 百c o s ( z a r c s i n i t ) 川小1 ) 分别重新改写公式( i1 1 ) 和( i17 ) 得到下面推论： 推论l2 ：两类级数的封闭和公式： - + 薹譬筹立( 一南) = _ s i n ( x a 广r c s i n y ) ，- + 薹( 等) ( 圹童( - 一研m 2 ) = 百c o s ( z a r c s i n ) 利用对稀函数，骺够得到f 面的有限乘积展开式( c f 【r o ) ： h ( 1 + ；) = 1 + z 风+ z 2 2 ( h 2 一磁) + z 6 3 ( h 3 3 巩联+ 2 磺) + 褂x n n 4 6 焉+ 8 巩础+ 3 联2 6 础) + n1 - ；) = l + 。峨+ 譬( 磁+ 蛾) + 芸( 砩+ 3 巩联+ 。雄，) +笔。+6研峨+8以砖】+32+6hi4)x-4) + + 耐皿n + 6 研峨+ 8 以砖+ 3 2 + ) + - 旦( ，+ 兰) = t + v 仉+ 萼( 碟一瓯) + 萼( 0 3 3 0 。嚷十。o 妒) + 2 y 4 a ( m 0 4 6 0 ：瓯+ 8 0 。o 乎+ 3 0 ：2 6 0 紫) + fl熹)一二1+o。+萼(o：+o：)+百(。：+3叩：+2钾，)k= l 1 - + 2 4 、。+ 6 0 ：d ： 。o 窘) y + 3 y 4 + 8 0 3 0 ：2 + 6 0 乎) + 其中，( 高阶) h a r m o n i c 数为 7 ( 1 1 5 j ( 1 16 ) ( 1 _ 1 7 ) ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) ( 1 1 l o a ) ( 1 1 1 0 b ) ( i _ 1 1 0 c ) ( 1 1 1 0 d ) 大连理工大学博士学位论文：r i e m a n n z e t a 函数的超几何级数方法和组合恒等式 非器刚= 耋南，z ，s 为了表达和叙述的简单，我们也用联和瓯分别表示h , i 2 1 和。紫，日。：= 威”，c k o 甜 对于特定的值，公式( 1 l8 ) 和( 1 19 ) 是关于z 的恒等式，等式的左端使用有限乘积展 开公式( 1 11 0 ) 展为z 的幂级数，而右端是正弦和余弦函数，容易展开为x 的幂级数，比较等 式两边同次幂项系数，能够得到一系列的级数封闭和公式为了叙述简单，我们使用自解释符 号江】表示提取形式幂级数中扩的系数 例1 3 ：( 1 ) 取y = 1 2 ，则a r c s i t l y = 6 ，公式( 1 18 ) 和( 1 i 9 ) 变为。的恒等式，丽等式的右 边分别变为： 等和历2c o s 等 通过比较等式两边同次幂项系数可以得到含有h a r m o n i c 数的两大类无穷级数求和公式，其结 果见下表 密，导( 哿) a ( n ) 瓤l 揣 n = l 、 口和妻梁蛳m a ( n ) bc 扛o 】 1 j 一1毳一1 f 2 】o ： ”3 6 4 8 【。4 】o ? 一。擎 4 妒】o ? 一3 0 0 o + 2 0 ( 2 ) 6 ( 2 ) 取y = 1 互，则a r c s i n y = ”4 ，公式( 1 1 8 ) 和( 1 19 ) 变为z 的恒等式，而等式的右边 分别变为： 譬s t n 等和以c 。s 1 4 通过比较等式两边同次幂项系数可以得到含有h a r m o n i c 数的两大类无穷级数求和公式，其结 果见下表 8 第1 章两类无穷级数求和 表_ 2 子( 2 n + 型1 ) 2 a 。= 日和子盟2 3 n a ( n ) 一c a ( n ) bc o 】 l 焘一1 以一1 f 。2 】o ： 1 6 2 陋4 jo ? 一0 0 一 西i 面i 【z 6 】o ? 一3 0 ( 2 o ：+ 2 0 乎 6 ( 3 ) 取y = 行2 ，则a r c s i n y = 3 ，公式( 11 8 ) 和( 1l9 ) 变为z 的恒等式，而等式的右边 分别变为： 通过比较等式两边同次幂项系数可以得到含有h a r m o n i c 数的两大类无穷级数求和公式，其结 果见下表 表- s v o 3 导n2 n 撕)表_ 3 剿a ( n ) b 和烈2 州n 而3 ) “砌) = g a ( n ) bc l 【o 】 l i 乃一1 妒】o ： f 8”2 8 1 以 可 酽】o ? 一。紫 口4 4 8 6 【z 6 】o ? 一3 d o ：+ 2 d 乎 4 3 7 4 0 ( 4 ) 取= i 2 ，则由公式( 1 13 ) ，容易得到 a r c s i n g = 一i l n ( 匆+ v v 一- w ) a r c s i n ( i v ) = 一洫( 一”+ 、f 万i ) ( 1 1 i 1 ) ( 1 1 1 2 ) 于是a r c s i n ( i 2 ) = i i n p ，( p = ( 1 + 帕) 2 ) 公式( 1 1 8 ) 和( 1 1 9 ) 变为。的恒等式，而等式的 右边分别变为： ；( 产一一) 和孺ip 何2 ) 通过比较等式两边同次幂项系数可以得到含有h a r m o n i c 数的两大类无穷级数求和公式，其结 果见下表 9 大连理工大学博士学位论文：r i e m a n n z c t a 函数的超几何级数方法和组合恒等式 ：塞业( 2 n + 盟t ) 2 4 a ( n )卿薹譬( 孙啦g a ( n ) bc 【z o 】 一1 1 2 l n p 1 一：7 9 【z 2 】0 。 【z 4 】一( d ? 一。擘) ) n 5n 【z 6 】o i 3 3 0 # ) o ：+ 2 0 ( 2 i n 6 口 6 0 5 ( 5 ) 取y = z v 压，则a r c s i n 可= i i n a ，( a = ( 1 十5 ) j ) ，公式( 1 18 ) 和( 1 1 9 ) 变为z 的 恒等式，而等式的右边分别变为 去( 肛) 和去( 肌) ， 通过比较等式两边同次幂项系数可以得到含有h a r m o n i c 数的两大类无穷级数求和公式，其结 果见下表 ：薹鬻帮撕m 和薹譬( 珈小g a ( n ) bc 妒 一11 一2 1 1 1 1 一击 k 2 j o 二 i n a i n 4 【z 4 】一( o ? d ) 3 0 j 陋6 】o ? 一3 d 紫o ：+ 2 0 i n 6 ( 6 ) 取y = 撕i 2 , 则a r c s i n g = i i n p ，( p = ( 撕+ v 2 ) ，公式( 118 ) 和( 119 ) 变为z 的 恒等式，而等式的右边分别变为： 而1 ( 卢“) 和去( nv “) 通过比较等式两边同次幂项系数可以得到含有h a r m o n i c 数的两大类无穷级数求和公式，其结 果见下表 1 0 第i 章两类无穷级数求和 籼：薹筹( 翟) ( 未) “撕郴和塾妒。( 2 。n 肺3 ) “蛳 a f n lbc 妒】 一l 1 一等1 一而 妒】o ： l 矿p l 一( 残2 一。擎1 ) 1 n 5v l n 4p 3 0 v 百6 、厅 】n 6 ” f z 6 】o ? 一3 0 擘o ：+ 2 0 5 6 ) 西i 滴 ( 7 ) 取y = v 侄 4 ，则a x c s i n y = i i n 2 ，公式( 1l8 ) 和( 119 ) 变为的恒等式，而等式的右 边分别变为： 乎( 。沁一；) 和乎( 。m 一；) 通过比较等式两边同次幂项系数可以得到含有h a r m o n i c 数的两大类无穷级数求和公式，其结 果见下表 ”：薹锘器蛳，帅薹掣( m 俨c a ( n ) bc 陋o 】 一1 1 一2 】n21 一半 【z 2 】o 二 i n a2 1 n 22 b 4 1一( o ? 一。紫) l n 。2【n 42 , s o v 互 l 02 【z 6 】o ? 一3 甜碥+ 2 0 c o 2 6 8 8 0 ，2丽i i 花 ( 8 ) 取y = i 、石，则a r c s i n y = i j n3 ，公式( 】18 ) 和( 1 19 ) 变为z 的恒等式，而等式的右 边分别变为： 鬈( 。一；) 和雩( s m 一；) 通过比较等式两边同次幂项系数可以得到含有h a r m o n i c 数的两大类无穷级数求和公式，其结 果见下表 大连理工大学博士学位论文：r i e m a n n z e t a 函数的超几何级数方法和组合恒等式 籼：n 妻= l 舞器蛳，b 和薹譬( 孙啦e a ( n ) bc 陋o 】 一11 一婆k 3 l 一乎 妒】o i i n 33 案i n 2 3 酽】一( o ? 一0 0 ) l 53】n 43 1 2 8 、3 z 6 o ? 一3 0 紫o ：+ 2 d 乎) i n 63 ( 9 ) 取y = i v 臣4 ，则a r c s i n y = i i n ；，公式( 1 1 - 8 ) 和( 119 ) 变为z 的恒等式，而等式的 右边分别变为： 譬( ( 严( 扩) 和丛5k 九k 2 3 + ( 扩) 通过比较等式两边同次幂项系数可以得到含有h a r m o n i c 数的两大类无穷级数求和公式，其结 果见下表 籼：薹器器撕，口和薹譬( 批咖c a ) b c 陋o j 一】 卜怕i n 1 一半 缸2 j0 二岳i n 32籍i n 22 陋4 】一( o ? 一。擎)舔i n 5 ；箍i n 4 【z 6 】o ? 一3 0 擘d ：+ 2 0 乎 巫5 3 7 6 0 i n 7 盎i n 6 ； ( 1 0 ) 取= i v i s ，则a r c s i n y = i i n ，公式( 1 l8 ) 和( 1 19 ) 变为。的恒等式。而等式的 右边分别变为； 学( ( 铲( 扩) 和学( ( ；) 5 + ( 扩) 通过比较等式两边同次幂项系数可以得到含有h a r m o n i c 数的两大类无穷级数求和公式，其结 果见下表 1 2 第1 章两类无穷级数求和 - 1 0 ：薹并器撕，b 和n 妻= l 筹( 翟) 撕m a ( n ) bc 陋o 】 一1 i 一2 瓶i n 1 一攀 【x 2 】 o ：弩i n 3 普i n 2 z 4 一( d ? 一。擎)盎i n 5 要i n 4 ； z 6 】o ? 一3 硝o ：十2 0 ( 0 羔l n 7 ；篇i n 6 1 2 第1 i 类无穷级数求和公式 定埋12 ( 莒硐嗍个目由受重明g a u s s 趟儿1 q 辙敢累和公甄j ： 。n p 茄旧= c o s ( 2 x a r c s i n 9 ) ，( 1 y l 0 、1 hj = 轰( 2 x 、p ，9 ( ) 俨_ x - k = 。( - 1 ) p y 2 p 塞( 姒 z 埘 而 砉( 眦二：) = 塞蒜蒜产 禹( ；) k 妻= o ( 。i 。) ( ；二i ) 粤盘( 欺+ 9 p一( 1 2 ) ，p 八 ( z ) p ( z p + 1 ) ” p ! ( 1 2 ) p 1 3 ( 12 3 ) 、 大连理工大学博士学位论文：r i c m a n n - z e t a 函数的超几何级数方法和组台恒等式 其中等号【+ ) 便用tf 面的v a n d c r m o n d c 卷积公式： k _ + o ( k2 ) g 二i ) = c + ；1 ) 将( 1 23 ) 的结果代入( 122 ) 中，即得公式( 1 2 1 ) _ 重新改写公式( 1 2 1 ) 得下面的推论，其中第二个等式( 1 24 ) 是第一个等式对y 的导数 推论i4 ：两类级数的封闭和公式： ( i ) h 2 。( 2 y 、) 。2 n y 鼠k = l ( ，一暮) a 咖) ， ( 1 。_ 4 ) 薹籍墓( 一著) = 等 。s ， 类似于前面的处理，取特定的y 值，公式( 1 2 4 ) 和( 1 25 ) 变为z 的恒等式，通过比较等式 两边同次幂项系数能够得到一系列的a p e r y 型级数的求和公式 例l5 ：( 1 ) 取y = i 2 ，则a r c s i n y = ”6 ，公式( 1 2 4 ) 和( 1 25 ) 变为z 的恒等式，而等式的右 边分别变为： c o s 等和击s i n ( 等) 通过比较等式两边同次幂项系数可以得到含有h a r m o n i c 数的两大类无穷级数求和公式，其结 果见下表 轧z ：耋器= b 和薹器= g a ( n ) b c _ 2 【z 2 】 1 丽 五万 【z 4 】 域一。 【z 6 】磁：。一础， ”b i x 8 】 磁：l 一3 h 一( 4 ) l 磁一1 + 2 日艘1 f 8 ( 2 ) 取= 1 以，则a r c s i n y = 4 ，公式( 1 24 ) 和( 1 25 ) 变为z 的恒等式，而等式的右边 分别变为： c o s 等和zs i n 等 通过比较等式两边同次幂项系数可以得到含有h a r m o n i c 数的两大类无穷级数求和公式，其结 果见下表 1 4 第1 章两类无穷级数求和 z ：耋1 鬻 n 2、n ，日和薹搿= g a ( n ) b 【z 2 】 1 一 百 矿j联一。 4 3 8 44 8 【。6 】日曼1 一日竺， o 5 【z 8 】：，一3 础，磁一，+ 2 础， 一7 1 0 7 5 2 0 ( 3 ) 取y = v 5 2 ，则a r c s i n y = 3 ，公式( 124 ) 和( 1 2 5 ) 变为。的恒等式，而等式的右边 分别变为： c o s 等和屈s t n 孚 通过比较等式两边同次幂项系数可以得到含有h a r m o n i c 数的两大类无穷级数求和公式，其结 果见下表 s ：薹鬻n 2 ib 和薹鬻= g a ( n ) bc 2 22 ” z 2 】 1 而 9 【4 j磁一， 2 4 4 一 2 4 3 b 6 】珥：。一掣。 8 6 陋8 】联：l 一3 日竺。联一1 + 2 日罂1 4 81 6 w 7 6 8 8 9 0 5 7 6 5 4 5 3 ( 4 ) 取y ；i 2 ，则a r c s i n y = i i n p ，( p = ( 1 + 怕) 2 ) 公式( 124 ) 和( 125 ) 变为z 的恒 等式，而等式的右边分别变为： ；p 2 z + p - 2 2 ) 和焘p2 x _ p 2 。) 通过l z 较等式两边同次幂项系数可以得到含有h a r m o n i c 数的两大类无穷级数求和公式，其结 果见下表 太连理工大学博士学位论文：r i e m a n n z e t a 函数的超几何级数方法和组合恒等式 礼a ：妻n = l 焉撕和耋焉曲缸“：器州川却和三黹曲) 却 a ( n ) bc 酽i 1 2 i n 2 p 扛4 j 一磁一。 4 i n a 口 陋6 】联! ，一础。 8 t n 6o 8 i n 。p 扛8 】 一( 且：。一3 磁竺：目：一，+ 2 e 竺，) 4 i n so ( 5 ) 取g = i 以，则a r c s i n y = i n a ，( = ( 1 + 怕) 以) ，公式( 1 2 4 ) 和( 1 25 ) 变为x 的 恒等式。而等式的右边分别变为： 黔。”2 。) 和焘( a - 2 z _ a 2 。) 通过比较等式两边同次幂项系数可以得到含有h a r m o n i c 数的两大类无穷级数求和公式，其结 果见下表， 引s ：耋觜撕郴和n 妻1 等胁m a 加) bc 扛2 j 12 l n 2a 百 】一磁一l 2 l n 4 1 n 8 丐了r 妒1或：。一碟。 8 i n o 8 l n 5 陋8 】 一( 月：l 一3 h 一( 4 ) 1 磁一1 + 2 h l o ) _ 1 ) 4 l n 日1 6 l n 7 1 0 5 1 0 5 v 百 ( 6 ) 取9 = ，5 2 ，则a r c s i n y = i i n v ，( = ( 怕+ v 仍2 ) ，公式( 1 24 ) 和( 12 5 ) 变为z 的 恒等式，而等式的右边分别变为： ；2 x + v - 2 x ) 和譬( 一一z ) 通过比较等式两边同次幂项系数可以得到含有h a r m o n i c 数的两大类无穷级数求和公式，其结 果见下表 1 6 第l 章两类无穷级数求和 引e ：薹错茅撕和薹错茅蛳 a ( n ) bc 陋2 】 l2 1 n 2 ” 陋4 j玩一， 4 】一” 妒】联：。一础。 8 1 n b ”8 i n 5p 卅 ( 磁：，3 日竺。一：+ 2 日裂。) 4 l n 8p 焉了盯 ( 7 ) 取y = v 互z 4 ，则a r c s i n y = i i n2 ，公式( 1 2 4 ) 和( 125 ) 变为x 的恒等式，而等式的右 边分别变为： 扣+ z 1 ) 和；( z 廿) 通过比较等式两边同次幂项系数可以得到含有h e x m o n i c 数的两大类无穷级数求和公式，其结 果见下表 ，：耋甓群柏和薹静；e a ( n ) bc 】n 22 扛刁 1 【x 4 l一取一。 i n 42i n a2 。6 】联：。一破! 。 【n 62l n 52 陋8 j一( 磁：，一3 或! l 珥一l 十2 h ( 6 2 。) 抽8 2 】d 7 2 ( 8 ) 取y = 2 石，则a x c s i n y = l n 3 ，公式( 1 24 ) 和( 125 ) 变为z 的恒等式，而等式的右 边分别变为： ；( s 。盯) 和；( s 一甜) 通过比较等式两边同次幂项系数可以得到含有 - a r m o n i c 数的两大类无穷级数求和公式其结 果见下表 1 7 大连理工大学博士学位论文r i c m a n n z e t a 函数的超几何级数方法和组合恒等式 缸揭薹等蛳)n = l日和薹等撕m a ( n ) bc 陋2 】 1 【矿3 下 扛4 】 一联一。 i n 43【n 33 p 6 磁：。一掣。 i n e3 l n o3 陋8 一( 日：l 一3 。h 艘，日i 一。+ 2 h 婴1 ) i n a3 商 ( 9 ) 取y = i x 甄，则a r c s i n y = 订n ，公式( 124 ) 和( 125 ) 变为z 的恒等式，而等式的 右边分别变为： ；( ( ；) 。+ ( ；) 一。)和；( ( ；) 一。( ；) 。) 通过比较等式两边同次幂项系数可以得到含有h a r m o n i c 数的两大类无穷级数求和公式，其结 果见下表 礼。：薹甓群= 日和薹嘴群= e a ( n ) bc 【z 2 】 1 ；i n 22 l i l ； 妒】 一磁一l击i n 42击i n 3 【z 6 】域：。一日艘，击i n 6 ； 上3 f 1 0 i n 5 i 妒j一( 日：1 3 掣。日：一l + 2 雅。)南1 1 1 8 ；志i n 7 l ( 1 0 ) 取”= v ，磊，则a r c s i n v ： i n ，公式( 124 ) 和( 12 5 ) 变为z 的恒等式，而等式的 右边分别变为： ；( ( ；) 。+ ( ；) 一。)和i i ( ( ；) 2 一( ；) ) 通过比较等式两边同次幂项系数可以得到含有h a r m o n i c 数的两大类无穷级数求和公式，其结 果见下表 1 8 第1 章两类无穷级效求和 $ 。n 虽( 1 ) n - 1 a ( n ) 缸2 0 圣1 铺n = ”、n ，b 和薹譬者却 a ( n ) bc z 2 】 1 i n 2 i n ； 【z 4 】一或一。 去i n 4 击i n 3 如6 j联：。一皑。盎i n 6 ； 击i n 5 ； p 】一( 磁：。一3 h 艘，联一，+ 2 雌。)志l u 8 击l u 7 ； 1 3再论第1 i 类无穷级数求和 公式( 1 21 ) 两边同时对y 求导经化简后得到下面的推论 推论1 , 6 ( 舍有两个自由变量的g a u s s 超几何级数求和公式) ： 。f 1 1 + “1i 。i ”2 - s i ：n 。( 2 ，x 卿a r c s i n y ) “小1 ) 上等式( 1 3 1 ) 两边同乘以y 再对y 求导，得到 推论1 7 ( 舍有两个自由变量的g a u s s 超几何级数求和公式) 和 2 r i + x ( 13 1 ) c