（应用数学专业论文）二粒子boltzmann方程组的奇异扰动解法（边界层解）.pdf

原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得囟墓直态堂及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：捣掏垄 日 期：2 衄星，主：苎曼防 指导教师签名：j 2 4 嘲 日 期：3 趁茬：垒：盔 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将 学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘，允 许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。 为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学。作者今后 使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意；若用 于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表。 学位论文作者签名：叠掐蓥 日 期：2 生垒醒。主：圣巨切 指导教师签名：2 参髦丛幻 日 期：w 哆霉毒缶 内蒙古大学硕士学位论文 二粒子b o l t z m a n n 方程组的奇异扰动解法 ( 边界层解) 摘要 在本文中，讨论了二粒子b o l t z m a n n 方程组的边界层解。为得到此解我们 先对未知变量进行了f o u r i e r 变换。然后对变换后的函数主要运用了文章 2 】 的方法，对未知变量做了一些特殊的函数展开，得到了二粒子b o l t z m a n n 方程 组的边界层解。 关键词：b o l t z m a n n 方程组，正规解，边界层解 a b s t r a c t o n t h es i n g u l a rp e r t u r b a t i o n s o l u t i o no ft w o p o i n tb o l t z m a n n e q u a t i o ns y s t e m a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l e ，t h eb o u n d a r yl a y e rs o l u t i o no ft w o - p o i n tb o l t z m a n ne q u a t i o nb 黟s t e m a r ed i s c u 龉e d i no r d e rt oo b t a i nt h es o l u t i o n s ，t h ef o u r i e rt r a n s f o r m a t i o no ft h eu n k n o w n v a r i a b l e si sm a d e t h e nw em a i n l yu s et h em e t h o do fa r t i c l ef 2 t ，i n t r o d u c ea ns p e c i a l f u n c t i o ne x p a n s i o nt ot h eu n k n o w nv a r i a b l e sa n dt h eb o u n d a r yl a y e rs o l u t i o no ft w o - p o i n tb o l t z m a n ne q u a t i o ns y s t e mi sc o n d u c t e d k e y w o r d s ：b o l t z m a n ne q u a t i o ns y s t e m ，n o r m a ls o l u t i o n ，b o u n d a r yl a y e r s o l u t i o n 2 内蒙古大学硕士学位论文 第一章引言 近几十年来，s t s u g d ，m b l e w i s ，陈天权和其他一些人对气体的湍流运动用新的 方法进行了一系列研究。h g r a d 在c o r r e l a t i o n ，f l u c t u a t i o n ，a n dt u r b u l e n c ei nr a r e f i e d g 嬲中讨论了b o l t z m a n n 方程系与湍流之间可能的关系，认为稀薄气体，对非线性非稳 定流和湍流必须用b o l t z m a n n 方程系描述，而b o l t z m a n n 方程和n a v i e r - s t o k e s 方程都 不再适用。s t s u g d ，m b l e w i s 利用g r a d - 1 3 矩法从b o l t z m a n n 方程系得到了相关气 体的宏观运动方程组。陈天权应用推广的e n s k o g - c h a p m a n 和j k e n b e r r y - t r u e s d e l l 的m a x w e l l 迭代法【3 】也从b o l t z m a n n 方程系得到了相关气体的宏观运动方程组。 陈建宁在文章【3 】中，对b o l t z m a n n 方程组在三点混乱水平上讨论问题，即只考虑 两点相关，并假定两点相关函数可以变量分离。在这种情况下，由b o l t z m a n n 方程的两 个解b o l t z m a n n 方程组构造出了二粒子b o l t z m a n n 方程组的一类解，并利用此结果求 出了二粒子b o l t z m a n n 方程组的局部平衡解，并以局部平衡解作为分布函数的零级近 似得到了相关气体宏观运动的方程。 b o l t z m a n n 方程是稀薄气体气体动力学基本方程。m a x w e l l 提出了这个方程的思 想，b o l t z m a n n 于1 8 7 6 年把它加以公式化。这一百多年来，人们一直在探讨这个方程 的导出，解法和应用。求解b o l t z m a n n 方程是极其困难的。但人们发现在小k n u d s o n 数的情况下讨论是比较简单的。丁鄂江和黄祖洽在文章 2 】中在小k n u d s a n 数的情况下 用奇异扰动法求解了m a x w e l l 分子的b o l t z m a n n 方程的正规解，初始层解，边界层解 的几级近似，并把它推广到了非m a x w e l l 分子和球对称空间，表明了对m a x w e l l 分子 所建立的方法及所得到的主要结论仍然适用。这里所说的正规解，是指除去初始层，边界 层和激波层之外的时间和空间的解。 f f l 红晓在她的毕业论文中用b o l t z m a n n 方程的正规解构造出了b o l t z m a n n 方程组 的的正规解。从正规解出发主要应用了文章f 2 】的方法得到了b o l t z m a n n 方程组的初始 层解。本文中。也是从正规解出发用文章【2 】的方法得到了方程组的边界层解的初级近似 和高级近似，并构造出了边界层解。他是陈天权在湍流运动论中所做工作的个补充。用 奇异扰动法探讨边界层解时，所得到的初级近似方程组是很复杂的，因此依赖一些数值 3 引言 计算。其次，边界条件应反映气体与容器壁的相互作用，因此一般的不是给定分布函数 在边界上的值，而只是给出了分布函数在边界上应当满足的某些特定关系式。最后，边 界层解是在全部边界上对正规解的修正，而边界上不同点的法线可能相交，因此沿这些 法线方向对正规解做的修正有可能互相影响，以至于无法把求高阶近似解的过程无限制 地继续下去。 4 内蒙古大学硕士学位论文 2 1 预备知识 第二章正规解 设 ( 名，t ) ，2 ( z ，乏，t ) ，矗( z ，2 ，三，t ) ，分别为一个粒子，二个粒子，三个粒子，的 分布函数，且关于相空间是对称的。定义累积分布函数六g ，h ，如下i i 】， f ( z ，j ) = ( 毛t ) g ( z ，2 ，t ) = a ( z ，老，t ) 一，( z ) ，( 2 ) h ( z ，2 ，乏，t ) = f 3 ( z ，2 ，乏，t ) 一，( z ) ，( 三) ，( 牙) 一，( z ) 9 ，三) 一，( 2 ) 9 ( z ，三) 一，( 乏) 夕( z ，2 ) 则，g ，h ，是相关函数，是分子偏离分子混乱的度量对于稳定的层流，这些项可以忽 略。但对于非稳定的流层，这些项将十分重要。相关气体运动的b o l t z m a n n 方程系为【1 ( 岳+ 豫否o “f ( 印) = - ，f ) 形) 一化) f c 三) 】+ s o c 删) 一9 ( 撕) 】 ( 晏+ 蛾去+ 识去) 出_ 归g f g ：+ g 1 9 专m 一叫撕国k 童 + ，限( 7 ，毛岁) 一 ( z ，2 ，三) 】晕：霉 ( 晏+ 伙去+ 识壶+ 戗壶) m 囊孙) = g o g 霸+ 9 蚓幻+ g g g 。；+ 鲋 4 - g ( ，州勰+ g 【，翻幻+ s k ( z ，三，多) 一七( z ，2 ，乏，牙) 】i ：雪 4 - ，陆( z ，毛岁) 一七( 毛三，之，孑) 1 孟；量 + 歹f 后( 7 ，名，磊多) 一七( 孑，三，乏，三) 】孟：茹 这里z = ( 置回表示六维相空间的点，其中最秽分别是粒子的位置和速度带撇的量表 示分子碰撞后的值，表示碰撞积分算子： j b ( 7 ，岁) 一9 ( z ，乏) 】= f l q ( e ，) 一9 ( 乙孑) l g u ( r 毳神砌 5 正规解 其中童：磊面= 秽一谠口= 秽一伊，而，元分别为万和口的单位向量 算子g 定义如下： 9 【，夕】：= 了 ，( 三7 ) 9 ( z ，z ) 一，( 三) 9 ( z ，三) 】i ：壬+ ，【，( 三7 ) 夕( z ，多) 一，( 未) 夕( z ，2 ) 】孑；毒 夕【，9 】 可以如下定义： g g g 】砭= j b ( 影，z ) 9 ( 乞7 ，2 ) 一夕( 牙，z 油( 乏，2 ) 】童：毒4 - j g ( e ，z ) g ( e ，2 ) 一夕( 三，z ) 夕( 乏，乏) 】孟：毒 由于b o l t z m a n n 方程组的每一个方程都依赖于更高阶的相关函数，所以任何有限个方 程都不能独立求解，为了简化问题，本文中我们将在三点混乱水平线上讨论问题，即假定 h = 0 因此b o l t z m a n n 方程系的前两个方程可以独立求解。在这种假定下前两个方程 变为如下： ( 岳+ 仇杀) 化= 彤( 掰( 动+ g ( z 多) 一他) 朋) 一出，别 ( 2 1 ) ( 妄+ 协去+ 证鑫m z 囊归彤) 比棚圳铂卅朋) 出国 一，( 乏) 夕( z ，2 ) 】i ：量+ 以，( 2 ，b ( 2 ，) 十，( 多) 夕( 乏，7 ) 一，( z ) 9 ( 乏，三) 一，( 2 ) 夕( 2 ，z ) 】孟：( 2 2 ) 在这里改写了方程的右端这样便于以后的计算。如果两点相关函数夕( z ，2 ，t ) = 0 ，则方程 ( 2 1 ) 即为通常的b o l t z m a n n 方程。 2 2正规解的构造 假定两点相关函数9 ( z ，2 ，t ) 可以变量分离【3 】，令 夕( z ，2 ，t ) = g l ( z ，t ) 现( 2 ，t )( 2 3 ) 由于二粒子的分布函数五( z ，2 ，t ) 关于z ，2 是对称的，所以相关函数g ( z ，2 ，t ) 也关于z ，2 对称，这样( 2 3 ) 式中的夕( z ，2 ，t ) 的两个分解函数仇，9 2 是相同的。将( 2 3 ) 代入( 2 1 ) 和( 2 2 ) 式经过简化得， ( 妄+ 仇o - - 去) f ( 印) = 彤( 硝( 岁) 怕( 加( 别一彤( 彬( 三) + “加- ( 别 ( 2 4 ) ( 岳+ 佻去) 如牡耵( 咖- ( 动+ ，( 粕( 硼叫厂( z ) 9 l ( 卅他) “z ) 】 ( 2 5 ) 6 内蒙古大学硕士学位论文 把( 2 4 ) 和( 2 5 ) 式相加藏得 ( 晏+ 仇杀) 叭引) 怕( z 】_ 川刑) + 9 l ( 删作，) + “扪】 一【，( z ) + 夕l ( z ) 】【，( 互) + 夕1 ( 三) 1 )( 2 6 ) ( 妄+ 仇去) 叭引) _ 9 1 ( z 】- 川形) - 9 l ( 硼叭岁) _ 夕l ( 别 一【，( z ) 一9 1 ( z ) 】【，( 孑) 一夕1 ( 乏) 】)( 2 7 ) 由( 1 ) 一( 7 ) 式可得如下结论： 1 若，( z ，t ) 和g l ( z ，t ) 是方程( 2 4 ) 和( 2 5 ) 的解，那么f ( z ，t ) + 9 1 ( z ，t ) 和f ( z ，t ) 一9 1 ( z ，t ) 是b o l t z m a n n 方程的解。 2 若 ( z ，t ) 和，2 ( 名，t ) 分别是式( 2 6 ) 和( 2 7 ) 的解，则 f ( z ，t ) = ；忧( z ，t ) + 五( 毛t ) 】和g l ( z ，t ) = ；忻( z ，t ) 一五( z ，) 】是方程( 2 4 ) 和( 2 5 ) 的解。 这样在g ( z ，2 ，t ) 可以变量分离的假设下，相关函数f ( z ，t ) 和g ( z ，皇，t ) 可由b o l t z m a n n 方程的解构造出来，即 他，) = 如( 引) 一，2 ( 印) 】 ( 2 8 ) g ( z ，乏，) = 主 ( z ，t ) 一 ( z ，t ) 】魄( 2 ，t ) 一五( 毛t ) 】 ( 2 - 9 ) 令 p = m ，d 访兄c o ，= m 夕- d 秽 ( 2 - 。) 那么由第二个结论可知，对应的密度函数满足： p = 三( j 口+ 纯) ，删= 扣一刚 ( 2 ，1 1 ) 其中p l , 仇分别为 ，厶的密度函数 下面对工 ，厶，g ，g l 实行f o u r i e r 交换： 妒( 置毛t ) = e - i i , r ，( t 访t ) 碱 协( 最冠t ) = e 一岳瓢( 曩访t ) 酊 i = 1 ，2 妒。( 磊云，句厂：一磊勺。( 磊试力d 秽 q - 2 妒( 娟镛t ) 之f e - 届强( 五玩袁裁t ) 拓 7 则 妒( 磊毛t ) = 丢( 妒- ( 五i ，t ) + 妒z ( i 石，亡) ) 妒“磊苎一) 。季“妒“磊乏d 一忱( 磊吞幻) ( 2 1 3 ) 仍( 云稿钿= 扣。( z ，确一妒z ( e 确( 孤t ) 一妒：( 孤t ) 】 = 妒。( 最后t ) 妒。( 袁t t ) 用e 一让可乘以方程( 2 4 ) ，( 2 5 ) 两边，关于秽在整个空间上积分，那么( 2 4 ) 式左j z z 为： r ( 晏+ 秽嘉列) e _ 痴吃秽= 筹e i 切+ f 秽丽o f e - i j i 啊 = 晏芦菇哳+ t 警o t 鬈酊 口，一；f 矗。 e 。j 【，- ，p + = 一 li e( 州j 十 t = 一= 。= u u j - ，一 ，二】= 仉jd k u 出 = 釉i 去l f e - i i - i - 扁蕊 o 叮1 嚣1 = 一1 ! ，一，“r l ， n 一 一- ， 阢 d 缸d 亩， ：警+ t 袅 妒o 妒 = 一t = 一 。 一一一 d z 爿正 一市 ( 2 4 ) 式石边为 d 钇元魄桶闻叭掰( 护北) 彤) + 9 1 ( 加( 分9 1 ( z ) 9 1 】e - 痢 ：厂堍m ( 譬) 俐罢( 喜+ 跏【互k 【i z 卅h ( 锨。) + 妒。【鲁( 妻+ 莉】妒。f 妻( 冬一元) 】一妒( 两妒。( 。) ) ：- ，( 妒，妒) + j ( 妒。，妒。) 即方程( 2 4 ) 变为下列形式 害+ t 袅训鲋m ( 帅) 其中 ，( 妒，妒 j ( 妒，妒 = l = l 同样( 2 5 ) 式变为 ( 2 1 4 ) 撕( 妒【鲁( 砷麟二卅翩啪( 2 1 5 ) 魄肘( 华) 似【鲁( 冬悯慨f 鲁( 鲁卅卜州跏( 0 ) ) 警+ i 善；- ，( 妒，仍) + j ( 妒) 亩+ 。而面5 【妒仍j 制妒7 8 ( 2 1 6 ) 内蒙古大学硕士学位论文 其中 3 3 妒，妒 妒，妒 蜥【帮“警酬叫两纵0 ) ( 2 1 7 ) 蛳( 竿) 【鲁( 冬+ 洲喜( 妻一回】( 咖) 一 我们在小k n u d s e n 数( e = i , i 0 时，风= 砧，由上式得 由此可得 钆 q - n = 奇数 ( 3 1 9 ) + n = 俩t l e l 裂a t t 主岛+ 互1 嘉巩h z 磊p 磁= n j 7 b n , t ，t l l 砖l ， v z 0 砧= 1 1 , s f ，1 7 7 l ” b n t n l ，b n ，1 ，耐砖p 由( 3 1 9 ) 式，和n 同为奇数或偶数，因此 鼠州陬b ，f ，耐= b 如 n q 1 3 ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 边界层解 b = 0 溉2 4 ， b 2 = ，i 为单位矩阵。其中矩阵元玖，i ，川排列的顺序是：为偶数的在上，奇数的在 下；n 为偶数的在左，奇数的在右。 由( 3 1 3 ) 和( 3 2 0 ) 可得 萎a 麓，l ，e 叫，= = e 一譬u ( u ) e 一不亏( 三岛+ 互1 既，l ，川晶) 罚 竹7 1 7 。 一n f 7 = 三州+ 主嘉咖， ( 3 2 5 ) = 三2 嘉l e n l - t - 互1 嘉钢， 有 a 赫= 砉m + 壹巩 ( 3 2 6 ) 又由( 3 1 8 ) 有 a 二n ，l ，= 吉i n 盈l ，一言b l ，啊 写成矩阵形式就是 a + = 妻二。；6 i ) ，a 一= 芝6 一= 主6 i ，)【扩1 ，j【一扩1 ，j 可以证明 ( a + ) 2 = a + ，( a 一) 2 = a a + a 一= a a + = 0 ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) ( 3 2 9 ) 说明a + 和a 一的特征值都是0 或1 ，而( 3 3 0 ) 说明a 一的每一列都是a + 的属 于0 特征值的特征向量。实际计算中常常要把矩阵截断。假定n 为奇数偶数的矩个 保留n 个，那么 伽澄鼢舻 一努) 3 1 ， 这时( 3 a 6 ) ，( 3 2 9 ) ，( 3 3 0 ) 式依然成立。因此a + 的特征值为0 和1 ，a 刍v 的迹为n ，故 它有n 个0 特征值和n 个1 特征值。显然a 虱中任意n 列都可作为a 知的属于0 特征值的相互独立的特征向量 内蒙古大学硕士学位论文 3 2 边界条件 在三维空间中分布函数，( 回通常满足边界条件i s 秽甜( o - 3 = 一 兄( 矿一回矿甜( 矿) 彬 方元 0 ( 3 3 2 ) j 矿帚( o 根据文献 5 】5 冗( 一回只( 矛一句( 回( 旁元) 夕( ，旁) 彬疗 j 矿疗 o 矿再 o = 冗( 矿一司冗( 矛一句( 铲元) ( 分元) 【厶( 矿，秒) 一，( 矿) ，( 分) 】耐d 旁 j 矿疗 0 护6 0 ( 3 3 3 ) - ，矿元 0 上积分 秽硝( 回酊= 一矿( 矿) 彬兄( 矿一回酊= 一3 甜( 回耐 ，矿矗 oj f r o j 萨r 。秽a f ( v - - ) d 3 + z 元 0 ( 3 3 7 ) j 守r o 边界层解 由于冗与，无关，因此边界条件( 3 3 2 ) 是线性的。在平面对称问题中，用到式f ( v - - ) = 。) ( 讲口1 m ( z ，t ) 玩l + n za 2 n ( x ，t ) e n ) ，总可以把( 3 3 2 ) 式写成 n n q 晶，f ，州e 毛( a 1 + a 2 耐) = 0( 3 3 8 ) 其中a i n ( t = 1 ，2 ) 是g i n 在边界上的值。矩阵s 由r 的具体形式决定。在一般情况下， 先展开( 若可以展开的话) 磐冗( 矿 t ，亿 则( 3 3 2 ) 式可以改写成 一回= n n q 7 ( a 川+ a z 川) = 一 n l n j ， ( t ，) 磁e 泛w j ，( 3 3 9 ) ( a 1 讲+ a 2 试) 嘭l ，r n ，f ，n ”p 月z ，n w ，( 3 4 0 ) 用u ( t ，) e 一譬e t 后_ f 乘( 3 4 0 ) 的两边后，再对秽在整个空间上积分 ( + 训) e - 譬e 蕊可硝酊+ 由( 3 6 ) 式，把( 3 4 1 ) 式改写为 ( a l m + 奶t i f ) ( 矗n ，而，+ r g n 1 7 所以，( 3 3 8 ) 中的品，l ，川取为 一n 7 l n l ， ( a l 耐+ 云2 讲) 冗f ，n ”l ，a 孑i ，n ”z ， m e - f f f 砧酊= 。 冗n ，l ，n ”，a 孑f ，n ，f ，) e 主= 0 跏耐= 矗n ，如+ 心，j ，n 岬，锄竹叩 n r 则( 3 3 2 ) 式就写成了( 3 3 8 ) 式的形式。注意到( 3 ，1 3 ) ，又可得， m 竹1 7 t 1 7 又是完备的独立基底，故 ( a l n ，j ，+ 五2 n ) 5 0 i ，州a 妄q - n e n ，i ”= 0 ( a 1 村+ 奶耐) 跏耐a 如，i l = 0 n l n f ， 1 6 ( 3 4 1 ) ( 3 4 2 ) ( 3 4 3 ) ( 3 4 4 ) ( 3 4 5 ) 内蒙古大学硕士学位论文 对于9 1 同理可得 将和相加减可得 ( 一a z 州) 跏讲磅川= 0 n l n q i 3 3边界层解的基本方程 在一维情况f ，妒，妒。应当涌足 j 警+ t 磋纂+ 掣盎= 豇，( 妒，妒) + j ( 似) 】 【鲁+ i 肛蒹凳+ 盟等止磊赛= 【，( 妒，妒。) + j ( 妒。，妒) 】 其正规解妒n 妒。n 应满足方程组( 3 4 8 ) f 鲁+ z # 舶a k o x + 掣筹赛= 鄯 m ( 妒n ，妒n ) + ，( 妒。n ，妒，n ) 】 i 等+ i p 篙器+ 地篙舞= f j ( ，妒。嚣) + j ( 妒，n ，) 】 一般，妒。不满足边界条件( 3 4 7 ) 所以下面我们假定 妒= 妒n + 妒，= 妒n + 妒6 ( 3 4 6 ) ( 3 4 7 ) ( 3 4 8 ) ( 3 4 9 ) ( 3 5 0 ) 满足( 3 4 8 ) 和边界条件( 3 4 7 ) ，那么将( 3 5 0 ) 代入( 3 4 8 ) 与( 3 4 9 ) 比较后可得到下面的 方程组 l 警+ i p 鬟赘+ 盟专业魏= 卦j ( 妒n ，妒6 ) + j ( 妒6 ，妒6 ) + j ( c f l b ，妒n ) j + j ( 妒n ，妒曲) 专j ( 妒袖，妒6 ) + j ( 妒6 ，妒机) 1 ( 3 5 1 ) l 等+ i p 篙游+ 掣篙辫= 豇，( 妒n ，妒。6 ) + j ( 妒b ，妒6 ) + - ，( 妒拍，) 7 l + ，( 妒。n ，妒6 ) + ，( 妒拈，妒6 ) + j ( 1 i o b ，妒。n ) 】 对于，妒6 还应要求 仍( z 远离边界) 一0b ( x 远离边界) 一0 ( 3 5 2 ) 我们称仍，妒6 为边界层解。由于，妒6 满足式( 2 2 4 ) ，故我们再假定 ( 3 5 3 ) o 0 = = 耐 m 中 + + m a a 耐 讲 靠晶 m m l 2 _ 口 n n w m m ，-，、【 嘲 脚 慨 铂善 m 帕 一 审善 心 以p 扎一1 2 = = 仍 似 令 那么由( 2 1 3 ) ，( 3 5 0 ) ，( 3 5 3 ) 可知 若假定 边界层解 妒1 6 ：p l e v 0 1 一i 研圮1 t 7 1 妒2 6 ：以e 一了k 2 口2 一t 七即2 7 7 2 ( 3 5 4 ) ( 3 5 5 ) ( 3 5 6 ) 妒1 6 ( z 远离边界) 呻0 妒2 b ( x 远离边界) 一0( 3 5 7 ) 则显然也满足式( 3 5 2 ) 将( 3 5 3 ) 代入( 3 5 1 ) 可得 掣+ 弛警摭掣+ 掣掣 = 【j ( 妒1 n ，妒1 6 ) + j ( 妒2 n ，妒2 6 ) + j ( 妒l b ，妒1 n ) + f f ( 妒2 b ，妒2 n ) + j ( 妒1 6 ，妒1 6 ) + ，( 妒2 6 ，妒2 6 ) 】 业觜幽+ 弛a t o p = 【j ( 妒l n ，妒1 6) + j ( 妒l b ，妒1 n ) + j ( 妒l b ，妒1 6 ) 一了( 妒2 n ，妒2 6 ) 一j ( 妒劝，妒2 n ) 一j ( 妒2 b ，5 1 0 2 b ) 】 ( 3 5 8 ) 将( 3 5 8 ) 中两个式子相加减得 ! 节“p 箩o k o z + 訾爹叫，) “( 槲- 舢如1 6 ，圳( 3 5 9 ) 【警+ i 肛弘o k o $ + 掣g 笔罄= 【j ( 妒2 n ，妒2 6 ) + ，( 妒2 6 ，妒2 n ) + j ( 妒2 6 ，妒2 6 ) 1 p 由于( 3 5 9 ) 中两个方程都相同，所以下面我们只考虑方程 等忡象+ 掣瓮= 1 m h ) 刈川圳川】( 3 6 0 ) 将式( 3 5 4 ) 带入到方程( 3 6 0 ) ，则经过计算方程( 3 6 0 ) 的左边变为 却1 b 。：伊p 1 6 。 百+ 2 p 丽+ 其中 华丽0 2 妒1 b = p i e - 尝+ d o z h + d v h + 驯( 3 6 1 ) d 2 _ ( 去鲁一百k 2 瓦( 9 0 1 一却跏p 晏+ 华品】 i k # ) ) + 3 口篑( 和( 3 6 2 ) ” 勖 妒 妒 + + n 几 l 2 妒 妒 l i = l 2 妒 妒 ，ij、 一 、引， 卅 舡 掣每 l o 一 1一以溉如弘一m咭辔去 堕如4 乜盟 q o 0 。二后怕肛_卜一七 坠况卅疆 q k z + a | c d 乒一a ) p 射骖等争扣挡辔专 + + 缸 鼽瓦坝瓦也 1一p _ l 氕 0 ，+ 0 l 仉 仇 求正规解时已经得到1 2 】 瓮+ 鬟巷害嚣o o c l ) 二嚣荤，3 ，瓮+ c 。篑+ 吾秽- 碧一器叩2 一志杀c 以鬻卜。 这里a ( p ) 是l 阶l e g e n d r e 多项式。 妇地咖删1 + 籼一( 半鳓( ) 】 ( 3 6 4 ) 这个结果首先是由王承书和u m e 曲e c 免得到的，但当时表示为速度空间的函数。且值得 注意的是：h l = 入2 。= 0 对于m 。删口e 1 1 分子也可以规定a 4 0 2d d o = d o o + e d o l ,d o o ：罢口l 鲁e 2 2 删l 鬻， 风：去瓣篡鬻葛竺5 瓣0m 撕陋6 5 ， 风= 击跏弩：i1 蠡莩毫+ 而杪2 0 c s 6 5 ，a (一p 。) d 、 晚：( 去磐+ 面o o i e + 玺e 1 1 ) ( t p 嘉+ 坠笋杀) - 方程( 3 s g ) 的右边变为 兰( 妒l n ，妒1 6 ) + 了( 】| 9 b ，妒1 n ) + j ( 妒1 6 ，妒1 6 1 其中 ：区e 一譬”咖，i t ( 7 7 1 ) + 了( 卵1 ，7 7 1 ) + j 0 7 1 ，f 1 ) + 了1 ，7 7 1 ) 】 ，( 田1 ) = j ( 1 ，m ) + j ( r h ，1 ) 那么可以得到 7 1 所满足的方程 瓮+ d o l l + d f f h + d z r i = 叭神州仉伽点咖1 先讨论z ：0 附近的边界层解假定 z = x ( 3 6 6 ) ( 3 6 7 ) ( 3 6 8 ) ( 3 6 9 ) 边界层解 那么由( 3 6 5 ) 式可得 d 1 = ；1 ( c l 一口i e i i 肛嘉+ 假定p 1 ，c l ，伊1 可以满足 p l21 ，c 1 = 0 ，0 1 = 1 并且假定在z = 0 处p l ，c 1 ，0 l 的梯度也不大 ( 1 一矿)a 、a 瓦j 砑 当z = o n ， 梁，要，娑d ( 1 ) 当z ：o n 8 z 1 a 8 z 一、。 一。 把p 1 ，c l , 8 l 都在z = 0 附近展开【4 】 p l 。f p l e x x ，c l5p l 。l p l e ，c l5 i = 0 由( 3 7 1 ) 式和( 3 7 3 ) 式知 0 0 c l i c s x ，0 1 = i = 0 p l o = 8 1 0 = i c l o = 0 利用( 3 6 3 ) 中的第一式和( 3 7 3 ) ，( 3 7 4 ) 得到 c l l = 0 把( 3 7 3 ) ，( 3 7 4 ) ，( 3 7 5 ) 式代人( 3 6 s ) ，( 3 7 0 ) 式得到 d o = f j = o 如= 兰 d 如= 3 e l l e 3 1 i = o 秽1 x d ：l = 兰c 1 2 x e 2 2 + ( 3 曰；l + 6 0 1 2 ) x t = 3 1 一i + 1 ) e l i c i j i + l e t 2 + 3 x + 8 x j 一j - 1 k ( 忌+ 1 ) ( 后 + 铲1 6 釜壹謇( t + 互5 ，、j 一1 ( 七+ 1 ) ( 七 耻；1d 丽0 + 壹。z ( j i + 1 ) 0 1 i o l j 一+ l e 3 1 一f + 2 ) 0 1 ：1 七一i + 2 p l j k 1 e l l + i ) u z i ) o l k c l j + l c l d l 一i p l 1 一捌 一：+ 2 ) 0 1 i 0 1 ，七一件2 p 1 眵一k 一1 】) e 2 0 胸。忡晏+ 华 d o = ( o l j + l e l l c i , j + i ) 去x ( 3 7 0 ) ( 3 7 1 ) ( 3 7 2 ) ( 3 7 3 ) ( 3 7 4 ) ( 3 7 5 ) ( 3 7 6 ) ( 3 7 7 ) 湖 内蒙古大学硕士学位论文 = ( ( ，l l e 2 0 + p l l m p 蠢+ 华杀) c 让嘉+ 华杀， 其中已取a s i = 1 ，a 2 2 = 3 2 。并引用了记号 捌= 二( - 1 ) “器衍加 川可 1 “2 。 ( 3 7 8 ) ( 3 7 9 ) 我们已知1 可以展开成1 ：曼一毒p ，把它在z ：0 处重新展开 j = o p ，：p ，( z ：。) + e x 掣+ + 三一x t 掣( 3 8 。) 那么 其中 令 r 1 = 一刁? j = o 伽= 叼 5 ) 其中叼1 0 的下标中的0 表示m 在z = 0 附近的边界层解。 ，7籍：-i订18iriol矿-o(x=o)xt i = o “ 。 ( 3 8 1 ) ( 3 8 2 ) ( 3 8 3 ) ( 3 8 4 ) ( 3 8 5 ) 利用( 3 7 6 ) ，( 3 7 7 ) ，( 3 7 8 ) 式，及( 3 8 0 ) 一( 3 s s ) 式，司以写出( 3 6 5 ) 式的各阶近似方程 妻卅警+ 壹( 町岔订+ d i ；叩岔。+ 叼护】+ 妻一一- 。尝= 兰 妻一【鬻+ ( 町岔订；叩岔。+ d ：；7 7 护旬) 】+ 一_ 1 d 鬻= 兰 一【 i = 0 。 i = 01 = 0 。j = o ，( 7 7 捃) + 歹( 7 7 籀，7 7 9 一) 】+ 一f ，( 7 7 岔，舀2 ) + 了( g 曹，7 7 扩) h f 3 8 6 ) 矿 ，巧 d ! 豆 i i d 02 e + 口1 + e + c1 + +七一p 七 p l+七一 了 ，脚 一一 ，虿 d mf 傅 = 6 警1 一钮 瑚 i i 搿 边界层解 它的- 1 级万程为 d o a r x i 。 - 一2 砌掣) = 2 j ( ? 7 罂，酬( o h ( 3 8 7 ) 由( 3 7 1 ) 知正规解妒1 n 的初级近似妒婴= p l e 一譬p - 一i 七螂- 满足边界条件( 3 4 7 ) 式，所以 由7 7 粤= 0 ，又知譬= 0 ，于是( 3 6 8 ) 式的o 以及u 1 ) 级方程为 d 鬻一2 z ( ? 7 譬) = o ( 3 8 8 ) 警+ 弘舸帆帆舯+ 。喾删+ 把( 3 8 9 ) 式写成 其中 设 jj 了( 刁捃，采矿件1 ) + - - p - j 、- 1 j 。- + 1 ) ，9 2 ) + 了( g 碧，刁护计1 ) 】) i = 0i = 1 。喾划( 村1 ) ) ：兄 ( 3 8 9 ) ( 3 9 0 ) 妒1 ) _ 一爹0 t 一；j - 1 脯i 饯热扣揣删，叫 + 一z - j - ( j 。- i + i ) ，酬) + j 1 ( 酿，7 扩m ) 】 7 7 i ) = 5 鼢( x ，t ) e m ，搿= a 鼢( x ，t ) e n l nz，“ 把( 3 9 2 ) 代入( 3 5 6 ) 中得到 妒l 扛= o ) = i p t e 一譬9 l 一让m 1 【1 + 一( a l 神r d + 5 铭) e 以】 i = 1 耐 那么( 3 9 2 ) 式应该改写为 晶甲讲a 嘉陋鼢+ 5 铭】= 0 m f ， 对于妒2 也可得到相同的结论 跏m 鹞一面端+ 弛】- 0 n l n f 从而边界条件( 3 4 7 ) 应该改写成 跏越a 删 a “。n 、i + a 2 “n 、d + 醴+ 貔】- 0 n l n l ( 3 9 2 ) ( 3 9 3 ) ( 3 9 4 ) ( 3 9 5 ) ( 3 9 6 ) 内蒙古大学硕士学位论文 - _ _ _ _ _ _ - - _ _ l _ _ _ i _ _ _ 一 3 4 初级近似 ( 3 8 8 ) 式是关于7 7 譬的齐次线性方程，令萌= k e 州，并定义内积( 百n i ，舌州，) = ，m ，那么以 钿) 为基底时，d 是实对称算子。可以证明在日中d 没有0 特征值。 因此d 有唯一的逆d 一1 。用d - 1 左乘( 3 8 8 ) 式，得到 尝一2 d - i f ( 叼札。 ( 3 9 7 ) 由于d 一1 与歹不对易，所以d 一1 j 不是h e r m i t e 算子。定义算子l 满足 l 靠j = 、入n z b( 3 9 8 ) 那己是半正定的h e r m i t e 算子，而且i = - l 2 。用左乘( 3 9 7 ) 得到 去( l 7 7 君) + 2 ( l d 一1 l ) ( l 叼譬) = o ( 3 9 9 ) 那么显然l d 一1 三是h e r m i t e 算子，因此特征值是实数，设- # 1 n 为其特征值，c x s , s ( 是，弘) 为所对应的特征向量，即 三d 一1 l 矽l ，= 一p 1 ，。妒一。 ( 3 i 0 0 ) 这里s 表示| h 。的符号，s 7 只取0 ，1 ，2 ，p l o ，= 0 ，i l l 。 0 ，得到对应p l o 。= 0 的特征向量是 妒1 0 l = 舌，妒l 眈= 弓2 d ，饥= 弓1 l ，妒1 0 4 = 百3 1 ( 3 1 0 1 ) 记皿为由，喜1 1 ，锄生成的空间，并记日中与- 1 正交的子空间为- 2 则l ，7 譬日2 。 容易证明( 矽l ，l d 一1 l 每硝) = ( l d 一1 l 妒l ，妇) = 0 ，用风表示与l ( 妒1 0 ，) 正交的子空 间，那么咖1 l ，风，妒1 2 。日3 。当s = 1 ，2 时，把妒l 九中p 用一p 代替，得到 l d 一1 l 妒l ，。( 七，一肛) = p l ，。加。( 七，一p ) ( 3 1 0 2 ) 这说明特征值的反号也是特征值。不妨约定p l b = - b t l 知，c u , ( k ，一p ) = 矽1 2 。( 七，一p ) 。 现在把( 3 9 9 ) 式的解写成 耐分= 西，。，呶幽 j ，摹 ( 3 1 0 3 ) 边界层解 其中否1 0 l = 乏1 0 2 = 乏1 0 3 = 0 ，其余芒1 5 ，。为任意常数。但由于l 无逆，所以还不能从( 3 1 0 3 ) 式求出叼霉。( 3 1 0 2 ) 中7 7 譬的一般形式为 7 7 黜= c l s 8 e 附 占，5 其中c l o l ，c 1 0 2 ，c 1 6 3 可以是x 的函数，而 l ( c l o m o l + c 1 0 2 r 1 0 2 + c 1 0 3 t 1 0 3 1 = 0 c 1 n = 乏1 n ，l r l j ，= r 1 “( 8 7 ，s ) ( 0 ，1 ) ，( 0 ，2 ) ，( 0 ，3 ) ( 3 i 0 4 ) ( 3 1 0 5 ) ( 3 1 0 6 ) ( 3 1 0 6 ) 中的r l 幽在h 1 中的分量可以与x 有关。由于c 1 0 1 ，c 1 0 2 ，c 1 0 3 的任意性，由( 3 1 0 5 ) 得到l r l 0 1 = l r l 0 2 = l r l 0 3 = 0 ，不妨取 - - 7 1 0 12e ， 7 1 0 22e 2 0 ，t 1 0 32e 1 1 把7 7 譬= c 1 0 1 _ r 1 0 1 c 1 0 2 r l ，c 1 0 3 t 1 0 3 ，依次代入( 3 9 r ) 中，得到 纽=纽=袈=nudxd x一= 一= 一= d x ( 3 1 0 7 ) ( 3 1 0 8 ) 即c l o l ，c 1 0 2 , c 1 0 3 与x 无关，按( a 1 0 6 ) 的要求，设7 1 0 4 = 哦弓0 0 + q 0 1 4 1 c - 1 l 十q 器百2 0 + e 3 1 。 将7 7 譬= c 1 0 4 7 1 0 4 代入( 3 9 7 ) 中可得到 警：儋，警一o ，警= 一儋 由于( 3 1 0 7 ) 为基本解，可取 氓+ ( 佑一层) x ( 3 1 0 9 ) ( 3 ，i i 0 ) 对于s ，0 的情况，可以类似地确定r - 幽的所有分量( 只差一个共同的长因子) ，这些分 量都是常数，而且e l l 和e 3 1 分量是0 注意到锄与e 川的差别只是常因子，经过适当调整系数及记号，可把( 3 9 7 ) 式的解 写成 同理对于7 7 2 也有 叩密= c 当。栌，附一= 5 ，摹 c 要5 e 勉, x r 2 幽， 8 t 8 e ，i l = 醋e m ( 3 i i i ) ( 3 1 1 2 ) n | i d o以 其中 内蒙古大学硕士学位论文 ， l2 肌0 22p i 0 32 胁0 420 ，r i 0 12c o o ，r 0 22 e 2 0 ，t i 0 3 = 6 1 1 ， r i 0 4 = e 3