（应用数学专业论文）向量细分格式的收敛阶和高维riesz小波基.pdf

摘要 本文主要研究如下三个问题： 1 形如 妒( z ) = 口( o ) q o ( m x q ) ， z r 3 ， o z 。 的齐次向量细分方程和形如 妒( z ) = o ( q ) 妒( m z q ) + 9 ( z ) ， z r 8 ， 的非齐次向量细分方程的收敛阶问题，其中向量函数妒= ( 妒1 ，协) 丁属于( l 1 ( r 8 ) ) r ， a ：= ( n ( q ) ) 。即是一个有限支集的7 r 矩阵序列，称为细分面具，m 是一个s s 整数 矩阵，并且满足l i mm n = 0 ，g = ( g l ，鳙) t 是一个给定的有限支集向量函数。 2 由一对给定的紧支集双正交向量细分函数妒，9 出发，令m = l d e t m i 。如果小波 面具b 1 ，k 一1 和b 1 ，6 m l 满足如下的条件： 对于任意的r 8 ，= 1 ，m 一1 ， 和 m 一1 配( m 刁荨+ 2 r m 。 y t ) a ( m 坷+ 2 7 r m 刁饥) + = o ； = o d e tb ( ) 0 ， 则由 矿( z ) = b 。, ( a ) c p ( m x - 口) ，z r 5 ，| ，= 1 ，m 1 口z o 和 移p ( z ) = 砧( 口) p ( m z a ) ，z r s , = 1 ，m 1 q z 8 可以得到三2 ( r s ) 的两组r i e s z 基。 3 给出两个实例说明上述理论。 关键词：细分方程，收敛阶，双正交细分函数，r i e s z l j 、波基 i o = 广 讹 r m 丌 2 + r m k讹 r m丌2+ 一 丁 一 m：0 一枷 a bs t r a c t i nt h i sp a p e rw ei n v e s t i g a t et h ef o l l o w i n gt h r e es u b j e c t s ： 1 t h ec o n v e r g e n c er a t eo fh o m o g e n e o u sa n dn o n h o m o g e n e o u sm u l t i p l ev e c t o r r e f i n e m e n te q u a t i o n so ft h ef o r m a n d 妒( z ) = n ( 口) 妒( 讹一q ) ，z 科， q z s 妒( z ) = a ( o o q a ( m x q ) + 9 ( z ) ， z r 8 ， q z s w h e r et h ev e c t o ro ff u n c t i o n s 妒= ( 妒1 ，协) tb e l o n g st o ( l i ( r 8 ) ) 7 ，a ：= ( o ( q ) ) 口z 。i s af i n i t e l ys u p p o r t e ds e q u e n c eo frxrm a t r i c e sc a l l e dr e f i n e m e n tm a s ka n dmi sa n8 s i n t e g e rm a t r i xs u c ht h a t l i mm 咖= 0 ，g = ( g l ，肼) ri sag i v e nf i n i t e l ys u p p o r t e d f u n c t i o no nr 8 2 s t a r t i n gf r o map a i ro fb i o r t h o g o n a lr e f i n a b l ef u n c t i o n s 仍驴，l e tm = i d e t m i ， d e f i n e 矿( z ) = 乩( 口) 妒( m z q ) ，z i r , = 1 ，m 一1 ， 口z s 移p ( z ) = 配( 口) 9 ( m z q ) ， z r 8 ，= 1 ，m 一1 n z 。 t h e n 矽a n d 妒g e n e r a t e t w or i e s zb a s e sf o rl 2 ( r 3 ) ，i ff o ra n y r 8 ，z ，= 1 ，m 一1 ， t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r es a t i s f i e d ： m 一1 a ( m 刁+ 2 7 r m 习饥) 6 p ( m 习+ 2 1 r m 坷饥) = o ； m - - 1 配( m 一丁+ 2 7 r m t 饥) a ( m t + 2 丌m r 饥) + = o ； t = o d e tb ( ) 0 3 p r o v i d i n gt w oe x a m p l e s t os h o wt h e o r e mg i v e ni np a r t2 k e y w o r d s ：r e f i n e m e n te q u a t i o n s ，c o n v e r g e n c er a t e , b i o r t h o g o n a lr e f i n a b l ef u n c - t i o n ，r i e s zw a v e l e tb a s e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得浙江大学或 其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 签字日期： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解浙江大学有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权 浙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 学位论文作者毕业后去向：高校任教 工作单位：浙江海洋学院 电话：0 5 8 0 - 2 9 1 8 0 5 8 通讯地址：浙江大学玉泉校区数学系邮编：3 1 0 0 2 7 e m a i l ：l z s 2 1 6 h o t m a i l c o m 第1 章引言 小波分析是在应用数学基础上发展起来的- f l 新兴学科，近二十年来得到了飞速的 发展。小波分析的渊源，可以追溯到1 9 1 0 年h a r r 函数的发现及其在工程界的应用； 八十年代初，法国地质物理学家，m o r l e t 和理论物理学家a g r o s s m a n 在探测地层结 构时，第一次提出了小波分析这一概念；1 9 8 5 年，ym e y e r 证明了维小波基的存在 性，并显式构造小波函数；1 9 8 8 年，s m a l l a t 与ym e y e r 合作提出了多尺度分析的理 论；1 9 8 8 年，i d a u b e c h i e s 构造了具有紧支集的光滑小波函数，这是目前全世界应用 最广泛的小波函数；1 9 9 0 年，崔锦泰和王建中构造了基于样条函数的小波函数；1 9 9 0 年，ym e y e r 出版第一部小波分析系统性专著小波与算子；1 9 9 2 年，崔锦泰出版了 小波导论；1 9 9 2 年，i d a u b e c h i e s 出版了t e nl e c t u r e so nw a v e l e t s ，该著作 被多次印刷，发行总量超过百万册创学术著作历史新高。之所以众多的科学家在小波分 析这一领域取得了如此令人瞩目的成就，一方面，小波分析作为从工程，物理及纯数学 发展起来的综合学科，吸引着越来越多来自不同行业的科技工作者；另一方面，小波分 析是一种精确而简单的数学工具，在许多纯数学方向和应用领域有着广泛的应用。凭借 其广泛的应用，小波分析引起了越来越多科学家的兴趣。 讲到小波分析，首先就要提到f o u r i e r 分析。自1 8 0 7 年j f o u r i e r 提出用函数的 f o u r i e r 级数展开研究热传导方程，近两百年来f o u r i e r 分析成为刻划函数空间，求解 微分方程，进行数值计算与处理信号数据等的主要工具之一。f o u r i e r 分析之所以能有 如此作为，究其原因，从理论角度看主要在于许多常见运算在f o u r i e r 变换下性质变的 很好；从实际应用角度看是因为f o u r i e r 级数展开是每个周期振动都具有简单频率的简 谐振动的叠加这一物理现象的数学描述。简单说，设f ( x ) 是一个能量有限的2 7 r 周期函 数，其f o u r i e r 级数是指在某种收敛意义下，有 o oo o ，( z ) = o n e m = 塑9 + ( o n c o s n x + b s i n n x ) ， = 。 to o1 其中c r i 定义为 1厂 r = 去f ( x ) e 一眦如，扎z 厶儿，一霄 系数c ，l 称为f ( x ) 的f o u r i e r 系数，表示f ( x ) 含有简谐振动e i 眦的分量多少。f o u r i e r 分析也因之被称之为频谱分析。这一分析能清楚揭示出信号的频率结构，因而频谱 分析在信号分析中长期占据突出地位。f o u r i e r 分析虽然有很多优点，然而也有不 可忽视的缺点，这就是指数函数e 在整个时间域上是非零的，因而f o u r i e r 系数 1 第1 章引言 2 是i ( x ) 在整个时间域上的加权平均。是不可能反映出( x ) 的局部性质。而一个函 数的局部性质无论在理论意义上，还是在实际应用中都是非常重要的。后来的加窗 f o u r i e r 变换虽然对于f o u r i e r 分析的时域局部性有所帮助，但是由于窗口尺度的单 一，在分析同时包含有高频和低频的信号函数时，仍然不能获得满意的效果。f o u r i e r 分析在时域局部性的缺陷大大限制了它的应用。长期以来，数学家们与工程师梦想 对函数空间l 2 ( r ) 能有一种基函数族，它能保持指数函数基的优点，又能弥补它的 缺憾。想象中的基函数族，应该是由一个函数妒( z ) 经过伸缩和平移，生成的函数族 咖，七( z ) ) = 2 丕 b ( 2 j x 一七) ) 歹，k z ，其中妒( z ) 具有如下好的性质：矽扛) 是光滑的( 高 次可微) ，局部的( 紧支集的或者在无穷远处具有足够的衰减性) ，同时具有充分多次 的消失矩( 即| ：三矽( z ) 如= 0 ，p z + ) 。这样的基便称为小波基，而对它的存在 性，构造与性质的研究便是小波分析理论。 在近二十年之中，小波分析及其应用得到了蓬勃的发展，它的涉及面之广，影响之 深远，发展之迅速都是空前的。无论在纯数学领域，还是在工程中，它所取得的成就也 令人瞩目。比如小波在数学领域被应用于s o b o l e v 空间，h a r d y 空问和h 6 1 d 空间的刻 画及某些函数性质的研究，小波分析在数值分析方向被用来求解微分方程和积分方程。 在工程领域，小波分析更是大展身手。在图形图像方向被用于数据的压缩，处理和边缘 检测，最具有代表性的例子就是基于小波算法的j p e g 图像标准和美国联邦调查局将小 波分析应用于指纹数据压缩，取得了二十倍原有效益的成果。后者单单因为节省存储光 盘而节省的成本就有三千万美元之巨，而由于指纹传输时间缩短为原来的二十分之一所 创造的价值更是无法估量的。另外，小波分析在量子力学，理论物理，军事电子对抗， 计算机分类，语音识别，音乐合成，医学成像与诊断，地震勘探数据处理，大型机械故 障诊断，航空航天，遥感与控制等很多方面都得到了非常出色的应用。 为小波分析的发展做出了原创性贡献的五位重量级科学家及其主要贡献包括：j m o r l e t ，提出了小波分析的基本概念；a g r o s s m a n n ，建立了伸缩和平移公式，并 从物理上解释了小波概念；ym e y e r ，从数学上建立了小波分析的基本理论体系， 著有小波与算子；s m a l l a t ，提出了多尺度分析和快速小波算法，著有信号处 理的小波导引，该书较适于应用方向教材使用；i d a u b e c h i e s ，建立了f i r 共轭滤 波器，给出了第一个应用效果非常好的小波基，著有小波十讲，该书是小波分 析方面非常受欢迎的一本教材。另外，在小波分析方面做出突出贡献的国内外学者 还有a c o h e n ，w ：l a w t o n ，c a m i c c h e u i ，r r c o i f m a n ，k g r 6 c h e n i g ，l f v i l l e m o e s ，a r o n ，r d e v o r e 和c k c h u i ( 著有小波导引) ，r q j i a ，j z w a n g ，x l s h i ，yw a n g ，b h a n ，d x z h o u ，z w ：s h e n ，m i l a i ，龙瑞麟 浙江大学博士学位论文 3 ( 著有高维小波分析) ，黄达人，刘和平，彭立中，陈迪荣，李松等。他们的优秀 工作体现在大量高水平的学术论文之中，本文主要参考了i d a u b e c h i e s ，a c o h e n ， f e a u v e a u ，r q j i a ，b h a n 和龙瑞麟，陈迪荣等学者的工作。 回顾一下前人已有的工作，我们知道，小波基的构造大都按照一个通用的程序，也 就是所谓的多尺度分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s 简记作m r a ) 。它是1 9 8 6 年前后 由s m a l l a t 和ym e y e r 共同创造的，现给出其定义 定义1 1 ：l 2 ( r ) 的一个多尺度分析是指其中满足如下性质的闭子空间族 巧b z ： ( a ) cv - 1cv ockc ； ( b ) n k = o ) ，u 巧= l 2 ； ( c ) f ( x ) v j f ( 2 x ) v j + 1 ， z ； ( d ) 存在妒( z ) v o ，使得 妒( z a ) h z 构成的一组标准正交基。 我们称定义1 1 中的函数妒是与该多尺度分析相关的尺度函数，或者称妒生成一个多尺 度分析。 关于多尺度分析，有如下结论 命题1 2 ：设 b z 是一个由尺度函数妒生成的多尺度分析，则对任意歹z ， 函数集 伤，口( z ) = 2 墨妒( 2 j x q ) ) 口z 是空间y j 的标准正交基。 在很多情况下，我们发现小波基的正交性并不是特别重要，一个应用上更普遍，甚 至在某些场合更为方便有效的性质是所谓双正交性质。为了得到双正交小波基，需要把 m r a 定义中的条件( d ) 放松为存在 妒( z 一七) ) 七z 构成的一组r i e s z 基。如下面命题 所示 命题1 3 ：设 b z 是一个m r a ，已知g ( z ) v 0 使 夕0 一k ) h z 构成的 r i e s z 基。则存在妒0 ) y o 使 妒( z 一忌) ) 七z 构成的标准正交基 由本命题可知，由一组r i e s z 基，在必要的情况下我们可以通过变换得到一组正交基。 下面我们研究一下尺度函数的一些性质，设函数妒l 2 ( r ) 生成一个多尺度分析 k b z ，则v ( z ) 满足如下的所谓细分方程 妒( z ) = n ( q ) 妒( 2 z q ) ， n z 或其f o u r i e r 形式 9 ( 2 ) = m o ( ) 9 ( 毒) ， 其中m o ( ) = 口zn ( q ) e 一甜e ，而q 表示a 和的欧氏内积。序列n ( q ) 如( z ) 称 为细分面具。 第1 章引言 4 我们研究多尺度分析，最终目的是要寻找好的小波基。现在通行的用l v i r a 构造小波的程序是先给出适当光滑，至少连续，的2 丌一周期函数砜( ) ，它满足 l m o ( ) 1 2 + i m o ( + 7 r ) 1 2 = 1 ，。然后在9 ( o ) = 1 的规范下，用无穷乘积定义 9 ( ) = n 蛳( 2 一j ) j = 1 假设m o 满足的条件保证这个无穷乘积是收敛的，则显然p ( 2 ) = m o ( ) 9 ( ) 。这说明如 果妒( z ) l 2 ( r 8 ) ，则妒( z ) 便满足细分方程 妒( z ) = n ( q ) 妒( z 一口) ， o z 其中m o ( 荨) = 互1 a e zn ( q ) e k 下面我们讨论一下，在尺度函数妒( z ) 满足何种条件的时候，使得 妒( z q ) ) a z 是 的标准正交基。首先我们假设已有一个2 7 r 一周期函数咖( ) = 互1 a e zn ( q ) e 一。满足 i m 0 ( ) 1 2q - i 仇。嬉+ 7 r ) 1 2 = 1 ，m o o ) = 1 ， 并且在点态定义下可以定义出连续函数 驴( z ) = m o ( 2 - 誓) ，比r 8 j = l 下面我们给出使得 妒( z q ) ) 口z 。标准正交的充要条件 命题1 4 ：令妒是规范化的细分函数，m o 如前所定义。则 妒( z q ) ) 是其张成空 间的一组标准正交基，当且仅当下列条件满足： ( 1 ) i 伽任) 1 2 + i m o 恁+ 7 r ) 1 2 = 1 ，比r ； ( 2 ) 与a 相关的c a s c a d e 算法在l 2 范数意义下收敛 在这些条件下，定义v o = s p a n c p ( x - k ) ：k z 8 ) ，k = ，( z ) ：，v o ) ，j z ， 便得到一个正交的m r a 巧) 。然后由这个多尺度分析出发，对己2 ( r s ) 进行如下直和分 解。对每个歹z ，记为在k + 1 的正交补，则有如下直和分解 k =一1o 巧一1 一1o 一2ok 一2 嵋一1o 嵋一2o 嵋一3o 再由m r a 的性质，可知l 2 ( r ) = 岛z 。最后一步是通过矩阵扩充的方法找到 w o 中的函数 妒) ，使 砂( z q ) ) 。z 构成w o 的一组标准正交基。我们有下述结果 浙江大学博士学位论文 5 命题1 5 ：设 k ) j z 是l 2 ( r ) 的一个m r a ， 妒( z 一尼) ) 七构成慨的标准正交 基。则 矽f ，_ i c ) j ，七z 构成了l 2 ( r ) 的标准正交基，其中歹，七的意义同命题1 2 所示。 由上面的讨论我们知道，在小波分析中，如何求解细分函数以及研究其相关良好性 质和如何由已给细分函数出发构造小波函数是小波分析理论的基本核心内容。在本文下 面两个章节中，我们会依次对两个方向中的一些问题进行研究。 本文主要研究了在紧支集前提下，对于一般的伸缩矩阵，高维向量形式的细分格式 收敛阶和l 2 ( r s ) 中r i e s z 基的构造刻画。在实际应用中，我们需要离散形式的小波分析 工具，它们包括框架和正交小波基及包括r i e s z 基在内的其他小波基。框架是有冗余的 离散系统，但是这种冗余是可以被利用以提高应用效果的。因此对于框架的构造，性质 及其应用吸引了大批优秀的工作者，并且做了细致而卓有成效的成果，特别提出的是沈 佐伟在这个方面做了非常出色的工作。见参考文献f 1 1 【1 3 】。正交或者双正交小波基， 因其在小波分解和重构中无以伦比的优点，得到包括五位重量级科学家在内的几乎所有 的理论和应用工作者青睐，因而这一领域已经已经构建了几近完美的理论体系，见参考 文献【2 】，【5 】，【1 4 - 【3 6 】。正交小波在应用中的优点很明显，但是我们发现想要构造它们， 常常是很困难的，而且在实际应用中，正交小波有很多不足之处。为此我们把条件放松 一点，转而寻求r i e s z 基的构造，因为这相对容易并且进而我们可以得到对偶基特别的 可以构造双正交小波基。r i e s z 基在很多领域都具有广泛的应用，而且在得到r i e s z 基 之后，如果需要的话，我们可以构造得到正交小波基。韩斌在r i e s z 基方面的研究是非 常突出的，关于r i e s z 基的构造及刻画，可以参考文献【1 2 ，【3 7 一【5 0 】。i d a u b e c h i e s 在 小波十讲中提出，除了极个别的病态小波，每一种特定意义下的正交小波基均可由 一个多尺度分析生成。事实上到目前为止，大部分有用的正交小波基都是通过一个多尺 度分析生成。因此，求解多尺度分析对应的细分函数就具有非常重要的意义。而细分格 式正是用来求解细分函数的非常行之有效的方法，为此，在国内外有非常多的数学同行 对于细分函数和细分格式的收敛性，光滑性，消失矩等方面做了大量的研究工作。贾荣 庆在这个方面的工作非常出色。见参考文献【2 8 ，【2 9 ，阻】，【4 8 ，【3 3 ，【3 6 ，【5 1 一 1 0 2 。 第2 章向量细分格式的收敛阶 2 1 简介 在本章之中我们主要研究了非齐次向量细分格式在s o b o l e v 空间( 孵( 酞5 ) ) r ，k n 中的收敛阶和齐次向量细分格式在s o b o l e v 空间( w ( r 8 ) ) r ，后n ，1 p 茎0 0 中的收敛 阶问题。 非齐次的细分方程形式为 妒( z ) = a ( a ) c p ( m x - q ) + 夕( z ) ，z r 8 ( 2 1 ) a z 5 当非齐次项g ( x ) 三0 时，则称为齐次细分方程 妒( z ) = a ( a ) c p ( m x q ) ，z 1 1 更5 ， ( 2 2 ) q z 5 其中妒= ( 饥，协) t 是一个定义在础上的r l 的未知函数向量，即通常所说的细分 函数；o ( q ) 是一个定义在刀上的有限支集的r r 阶的( 复数) 矩阵序列，即通常所说 的细分面具；m 是一个8 s 整数扩张矩阵，满足h i 如。m 邗= 0 ，称为伸缩矩阵； 式( 2 1 ) 中的g ( x ) 是一给定的定义在r 8 上的紧支集向量函数，称为非齐次项。 下面先介绍一些基本的记号和工具。对n8 ，d z ，1 p o 。，令( 厶( r 8 ) ) 表示所有定义于瞅上并且满足l i f l l p o o 的所有，维的( 复值) 可测向量函数 f = ( f 1 ，厂) 所构成的b a n a c h 空间，其中 i i f l f p ：= ( 若上。i f ( 刮p 如) m ，1 p 。o ， 定义i i f l l 。o 是m a x l 9 9i f j l 在r 8 上的本质上确界。 类似的定义( 易( z s ) ) r d 为定义域在z 。上并且满足1 1 6 l i p o o 的所有r d 维的( 复 值) 矩阵序列b = ( 咄缸) ) l j r ，l 一 一 d 所构成的b a n a c h 空间，其中 rd i | 6 i l p ：= ( m 口) l p ) 1 加，1 p 1 写作 = l + r l ，其中z 是个正整数，0 叩1 。l i p s c h i t z 空间l i p ( u ，岛( r 8 ) ) 由所有在岛( 麟) 中，并且满足d p ，l i p ( , ，l p ( r 8 ) ) ，v 川= z 的函数构成。我们用( l i p ( v ，l p ( 础) ) ) r 表示 所有由f = ( ， ) 构成的函数空间，其中的 ， l i p ( t y ，岛( 时) ) 。 对于c ( e o ( z 8 ) ) r r ，b ( e o ( z 3 ) ) 似d ，它们的离散卷积c 木b 如通常所定义 c 宰6 ( q ) = c ( q 一助( 卢) ，q 刀 口z 。 设，( z ) 是l 1 ( 劈) 中的函数，其f o u r i e r 变换定义为 ，( ) ：= ，( z ) e - - i x f d x ，毒r 8 ，r 。 其中z 表示r s 中两个向量z 和的欧氏内积。 令= nu o ) ，对于k 5 1 0 ，( 孵( r 8 ) ) r ，1 p 0 0 表示由所有满足o y ( 易( r s ) ) r ，川k 的向量函数，= ( ，1 ，厂) 构成的s o b o l e v 空间。其中的范数定义为 i i l l ( w 多( r 。) ) r = o d p 州p ， l u l k 其中伊表示微分算子d f l ，础。，p = ( p 1 ，陆) 娣。我们用c 詹( r s ) 表示由所 有定义在时上，并且具有阶连续偏导的函数所构成的泛函空间。其中的范数定义为 c t ( r ) = i i d p 州o o i t , l k 下面介绍一个在本章中非常重要的工具，联合谱半径。令么是定义在一个有限维向 量空间y 上的线性算子的集合。如果y 的一个子空间是4 中所有算子的不变子空间， 第2 章向量细分格式的收敛阶 8 则称这个子空间是么一不变子空间。对钉v ，我们称包含秽的所有a 一不交子空间的 交集是由口生成的最小a 一不变子空间，记作v ( v ) 。设n 为正整数，我们用力表示4 的笛卡尔积， a n = ( a 1 ，a n ) ：a 1 ，a n 4 ) 当佗= 0 ，我们定义a o 为集合 j ) ，其中j 是v 上的恒等映射。 令 i i a l v ( ) ：= m a x l l a l l v ( 移) ，如i v ( v ) i i ：( a 1 ，a n ) ) 则么i y ( 静) 的致联合谱半径定义为 风( 4 h ) ) ：2 恕i i 州y ( t ，) 盼 当1 p 时，a i r ( ) 的p 一范数联合谱半径定义为 p a a i v ( ”) ) ：2 恕1 1 , 4 l 帅) 妙， 其中 脚) l i p ：= ( y ，a n i i p ) 1 屈 ( a 1 ，a n ) e a 7 一个经典的结论是 p , ( a l m ) ) = ，熙i l h 形n2 瓣i i a l 脚) 妙 显然，纬( 4 i y ( 们) 与y 中的向量范数选择无关。谱半径的概念在小波分析的研究中具有 非常重要的作用。 当1 p o o 时，记 毗= ( “v i i p ) m ， ( a 1 ，a n ) e a ” 当p = 时，记 i i a v l l ：= m a x l l a l a n | l ：( a a ，厶) 4 n ) 定义e 表示商群z 8 m z 8 不同陪集空间代表元的完全集。对g e 和a ( e o ( z 8 ) ) 似r ，我们定义( t o ( z 8 ) ) r 上的线性算子a 为 a 。钆( q ) ：= o ( e + m a p ) u ( p ) ，q z 8 ，u ( 岛( z 8 ) ) r ( 2 3 ) 口z 。 令4 = a ：e ) ，我们有如下结论 浙江大学博士学位论文 9 命题2 1 ： 令”是( e o ( z 3 ) ) r 中的一个向量，v ( v ) 是由 生成的最小4 一不变子空 间。则v ( v ) 是有限维的，并且对于0 p 0 0 存在两个正常数g ，c 2 使得 a i i 印i ，扣) 1 1 p i i a v l l p c 2 1 1 , 4 l v ( ) 1 1 p ，佗n 因此 熙8 u 妙= 伟( 4 h ) ) 详细证明见【5 5 】和【8 8 。 对于n = 1 ，2 ，令口1 = a 而n n 通过下述递归得到 o n ( q ) = 一1 ( 卢) 。( a m p ) ，q z 8 口z 5 则有下面的引理成立。 命题2 2 ：4 和口定义如前，我们有 i i 么 v l l p = 0 掌v i i p ，0 p 。 详细证明见【5 5 1 ，【7 0 】和【8 8 1 。 2 2 非齐次细分格式的收敛阶 非齐次的细分方程被g s t r a n g 和t n g u y e n 用来研究边界尺度函数和区间小波。 为了求解非齐次细分方程( 2 1 ) ，我们通常使用如下被称为细分格式的函数迭代方法 ( z ) = a ( o o c p n 一1 ( m x - q ) + 9 ( z ) ，z r s , 佗n ( 2 4 ) q z 。 其中咖是s o b o l e v 空间( 孵( r 8 ) ) r ，七n 中一个给定的初始向量函数。 定义2 3 ： 我们称如上所定义的非齐次细分格式收敛，如果存在( 孵( 时) ) r 中的一 个函数妒= ( 妒l ，q o r ) t ，使得 0 i mli一训(噼(r)r=0-400 n 、一， 如果上式成立，则函数向量妒是非齐次细分方程( 2 1 ) 在s o b o l e v 空间( w 2 ( r 3 ) ) r 中的 一个解。为了便于研究细分格式，再引入( l p ( 瞅) ) ri - - 1 约c a s c a d e 算子q 口 仉妒= n ( c 0 c p ( m 一q ) ，妒= ( 妒。，协) r ( 厶( r 8 ) ) r a z l 第2 章向量细分格式的收敛阶 1 0 容易验证 = g + q n g + + q ：伽 进而有 + 1 一= q ：厂 其中，( z ) = q 。妒o ( z ) 一咖( z ) + g ( x ) 。 对于一个紧支集的矩阵序列c ( 岛( 刃) ) r d ，c 的符号否是如下所定义的l a u r e n t 多项式 6 = c ( q ) z q ， a e z s 其中z = ( z 1 ，荪) ( c 【o ) ) 8 ，( q l ，) 乃，而严= z 1 ，。 从上面符号定义，可知序列c 可以从它的符号石通过逆变换公式恢复 c ( q ) = ( e 记开) e 一让开必， q l 望 j 【o ，1 p 容易验证 函( z ) = 否( z ) 5 ( z ) ，z = ( z 。，z s ) ( c o ) ) 8 在研究细分方程的解和细分格式的收敛性及其收敛阶的时候，平移不变空间是一个 非常重要的概念。令圣= 妒1 ，协) 是岛( r s ) ( o p o o ) 中的有限个紧支集函数集 合。用s ( 圣) 表示由垂生成的平移不变空间 u l ，u r ( z s ) ) 由于仇，协是紧支集的，所以s ( 圣) 限制在方体【0 ，1 ) 8 内是有限维的。因此我们能够 找到支集在【0 ，1 ) s 内的函数九，c d l p ( r 8 ) ( 0 p o 。) 使得1 1 1 0 ，1 ) | 钆| i o 1 ) l 构 成s ( m ) i s ( 垂) 的一组基。这样就存在一组序列6 1 6 弧如( z 8 ) 和两个正常数a ，c 2 使得妒1 ，协, - - 7p a 在这组基下进行分解 和 d 侬= ( q ) 咖( - q ) ，k = 1 r j - - 1 口z 。 c l l l 酞l l p l i 妒七i l p 岛l l b k l l p ，1 p 茎0 0 ， g 慨峪i i 妒k l l p q 慨峨0 p 1 ， q 一 妒 qu 一 r 脚 = 圣s 浙江大学博士学位论文 1 1 其中b k = ( b l 南，b d 七) t ( e ( z 3 ) ) d 。相关研究可以参考 9 6 1 和【1 0 3 1 。因此，对于已给 的一个( 乓( r 8 ) ) r 中的紧支集函数向量f = ( ，r ) r ，存在支集在方体 0 ，1 ) 8 内的函 数1 ，九l p ( r s ) ns ( ，) 和两个正常数a ，岛使得 f = 6 ( q ) ( 一q ) ， ( 2 5 ) 口z a i l b l l p l i ：1 1 p q i l b l l p ，1 p o o ， 和 g | | 6 i l ；l f f l l p q | | 6 i | ；，0 p 1 ， 其中b = ( 6 ，( a ) ) l 七r ，1 白d ( e o ( 9 8 ) ) r x d ，= ( 痧1 ，加) t 。 下面我们回顾一下关于非齐次细分格式的收敛性和收敛阶的一些重要结论 命题2 4 ： 令么，m ，m ，n ，g ( x ) 定义如( 2 1 ) 中。假设初始函数妒o ( l p ( r s ) ) r ( 0 p o o ) 是紧支集的。那么细分格式( 2 4 ) 在( l p ( r 8 ) ) 7 中收敛当且仅当 m a x p p ( a v ( 6 e j ) ) ：1 歹d ) m a x p p ( , 4 l v ( 6 e j ) ) ：1 j d 的正数p ，我们有 | | 妒n 一妒f i p = o ( m - 1 肋p ) n ， 1 p 0 0 ， 0 一妒i l p = o ( m 1 p ) n ，0 p 1 而对于任意p 满足0 p m a x p p ( a l v ( t 唧) ) ：1 歹d ，我们有 0 一妒i i p o ( m 一1 p p ) n ，1 p 。， l i 妒n 一妒| l p o ( m 一1 p ) n ，0 p f ，i i 露1 w p ) i i 芝n 同样由【5 5 】中，我们知道 p ( f a l w ( u ) ) = l i m0 露u l i 芝n 则关于转移算子我们有如下结论 命题2 7 ：假设a 和m ，m 如定义2 6 中所示，令a n 为如( 2 6 ) 所递归定义的矩阵 序列，咒是定义2 6 中的转移算子。则我们有 艺m ) = 两m - nz 2 丌) | 矾叫) 球1 令q ( 胪心埏 d z 、卜p m q口 8 艘 = 口 为 。 义定 而o = 口 令 浙江大学博士学位论文 1 3 对于所有的u ( e o ( z 8 ) ) r r 和q z 都成立。 详细证明见【8 7 】。 下面我们利用转移算子r 限制在某个合适的有限维不变子空间上的谱半径，来刻 划非齐次细分格式的收敛性和收敛阶。 命题2 8 ：令k n o ，g ，q o o 是s o b o l e v 空间( 孵( 础) ) r 中的紧支集函数向量。设 m 为8 8 的整数扩张矩阵并且令m = i d e tm i ，那么细分格式( 2 1 ) 在s o b o l e v 空间 ( 孵( 时) ) r 中收敛，当且仅当 l i mm 加七8 l i 曰u 1i i 。= 0 ， 和 l i mi i 露忱k = 0 ， 其中u 1 ，忱( i o ( z 8 ) ) 似r 分别由 和 锄( e 一越) = 如( + 2 7 r q ) 如( + 2 7 r q ) 口z 。 给出。或者等价的 p ( 咒i ) m 一2 七肛 和 p ( 只w 2 ) 1 ， 其中的肌和w 2 是分别由u 1 和忱生成r 的最小不变子空间，而= ( ，已) ，q = ( q 1 ，q 。) 详细证明见【8 7 】。 下面我们给出本节的主要结论，关于非齐次细分格式在s o b o l e v 空间( 孵( 瞅) ) r ，k n 中的收敛阶，我们有如下定理 定理2 1 ：令a ，m ，g ，伽，p ( r i ) ，p ( f 口1 w , ) 如命题2 8 中所定义设咖是紧支集 的，使得如( 2 4 ) 中所定义的序列 妒竹) n n 在( 嘴( 群) ) 7 ，k n 中收敛到妒那么对于 任意的正数p 满足m a x p ( f 口1 w , ) ，p ( 兄l ) ) p m 一2 肌，我们有 l 一妒| l ( 吩( r 。) ) r = p ( m 知7 8 p ) n ( 2 7 ) 广 口丌2 + 卯 q丌2 + 卯 弘 丌2 + 白 翘 。皿 = 一 白 第2 章向量细分格式的收敛阶 1 4 而对于任意的正数满足0 p m i n p ( 兄i 毗) ，p ( f o l w ：) ，& - f n 有 i i 一跳雌( r 。) ) r o ( m k p ) n ( 2 8 ) 其中a n = p ( 玩) 如命题2 5 中所示。 证明： 假设正数p 满足m a x p ( 咒i m ) ，j 9 ( r l 胍) ) p m 一2 肌，由于在( 孵( r s ) ) r 中一妒，由命题2 8 的证明过程我们有 i l + 1 一i l ( ) r = a l i 露i 吃+ g m 2 n k s i i 露i m 吧， 其中c i ，q 为两个正常数。由此可以得到 q o n + 1 一妒i i ( 崂( ) ，慨+ 1 一讯l i ( 时( 泖 k = n ( g0 露1 慨+ 岛m 2 n k s i l n l 2 ) ( g 矿n + 岛m 2 n k s p 2 n ) 1 7 2 k = n c 3 m 础7 8 矿 k = n c m 础3 矿= c ( m 枷力n ， 由此可以推出l i + 1 一训( 孵( r 。) ) r = o ( m l p ) n 另一方面，如果我们假设p 满足0 p m i n j d ( 兄i 肌) ，p ( 冗i ) ) ，则推出存在一 个常数c 使得 i i 妒竹+ l 一妒0 ( 噼( r 。) ) f c ( m 七7 8 p ) n 我们注意到 慨+ 1 一i f ( 叫) ，4 c 2 ( m 坼p ) 2 佗 但是从命题2 5 的证明过程我们知道 i l 妒n + - 一| | ( r 。) ) r = g0 露i 奶慨+ 岛m 2 诚知i i 露1 w , l l l ， l a 此我们得到 p ( r i ) p 或者 p ( r l ) p 浙江大学博士学位论文 1 5 至少有一个成立，进而有 m i n p ( f 口i ) ，p ( r l ) ) p 这与假设 0 p r a i n p ( 兄l 眄) ，p ( 兄l ) ) 产生矛盾，因此我们证明了( 2 8 ) 。 口 2 3 齐次细分格式的收敛阶 与齐次细分方程( 2 2 ) 相关的齐次细分格式定义为 妒n ( z ) = a ( q ) 一1 ( m x q ) ( 2 9 ) q z 。 引入( 孵( r 8 ) ) r ，k n ，1 p o o 上的细分算子q 口