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2.6Hermite插值,不少实际问题不但要求插值函数在节点上与原来的函数相等（满足插值条件），而且还要求在节点上的各阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式，称为Hermite插值多项式记为H(x)，本节主要讨论已知节点的函数值和一阶导数的情形。,设已知函数y=f(x)在n+1个互异节点x0,x1,xn上的函数值yi=f(xi)(i=0,1,2,n)和导数值yi=f(xi)(i=0,1,2,n)，要求一个不超过2n+1次的多项式H(x)，使其满足：,这样的H(x)称为Hermite插值多项式。,与Lagrange分析完全类似,误差估计：,与Lagrange分析完全类似,为确定(x)，作辅助函数：,当t=x时，使(x)=0t=x,x0,x2为(t)的一重零点，t=x1为二重零点。因此(t)共五重零点，反复使用罗尔中值定理（对重零点也适合）可得到：存在x，使(4)(x)=0，即：,由于H(t)是t的三次多项式，H(4)(x)=0,注意到x1是的二次零点，x0,x2为其一次零点，所以：,对hi(x)：x=xj(ji)为其二重零点，故应含有因式(xxj)2(ji)，因此可以设为,这样来确定a,b较麻烦，引入li(x),对:由于x=xj(ji)为其二重零点，xi为一重零点，故可设:,特别地，当n=1时，有:,和引例类似，可导出Hermite插值的误差估计。,定理,设x0,x1,xn为区间a,b上的互异节点，为f(x)的过这组节点的2n+1次Hermite插值多项式。若f(x)在a,b上2n+2连续可导，则对xa,b插值余项为：,特别地，n=1的三次Hermite插值余项为：,于是上式0这表明Hermite插值多项式是唯一的。,推论1：不超过2n+1次的多项式在任意n+1个互异节点上的Hermite插值多项式就是其自身。,对于推论2，事实上，可令f(x)=1，f(xi)=0，(i=0,1,n)，显然,满足这组插值条件，即得结论。,设x0,x1,xn为区间a,b上互异节点，f(x)在(a,b)上2n+2阶导数存在，则上述Hermite插值多项式是唯一的。,定理5.3,斜率=1,求Hermite多项式的基本步骤：,根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式；,根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数；,最后完整写出H(x)。,例,按下表求Hermite插值多项式：,解法一：这里有5个条件，所以插值多项式不超过4次，用构造插值基函数hi(x)(i=0,1,2)和(i=0,1)的方法，它们分别应满足：,解法2:x=0为二阶
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