数学建模：汽车刹车距离.doc

数学建模一周论文论文题目：汽车刹车距离 姓名1： 李志健 学号： 09014262 姓名2： 程鑫瑜 学号： 09014261 姓名3： 武彦胜 学号： 09014263 专 业：地理信息系统班 级：090142指导教师：严兰兰 2012年 6月 21日论文摘要汽车刹车距离有两方面：反应距离和制动距离。本文从这两方面入手来研究汽车刹车距离，进而得出距离的函数模型，提车驾车建议。在模型的建立过程中，本文主要从影响汽车刹车距离的两个主要因素：司机的反应时间、汽车的车速入手。对于影响刹车距离的其他因素如：路面类型和状况、天气状况、驾驶员的操作技巧和身体状况等都视为相同的状态。在对于刹车过程的具体分析，主要分成两个阶段：第一阶段称为“反应阶段”即匀速直线运动阶段，利用公式d1=t1v求得；第二阶段称为“制动阶段”即匀减速直线运动阶段,利用功能原理及牛顿第二定律得出：fd2=mv2/2；进而得出刹车的距离公式d2=+kv2。再者从所收集得来的数据中运用最小二乘法拟合数据，得出k值，代入公式d=t1v+kv2得出刹车的速度与距离关系式。进而得出刹车距离的函数模型并给驾驶者提出安全驾驶建议。1. 问题提出与分析1.1 背景与问题美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。又云，实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” ：后车司机从前车经过某一标志开始默数，即后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。试判断“2秒规则”与上述规则是一样的吗？这个规则的合理性如何？是否有更好的规则？建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。1.2 问题分析1.2.1 两秒规则的合理性根据常识我们知道，10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶的距离为29英尺(9米)，此距离远远大于车身的平均长度15英尺(4.6米)。这说明了“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同。“2秒规则”和“车身规则”不同也就意味着司机处在两个选择中，而两个选择的对错也未知，这就给驾驶员带来了疑惑。所以两个规则的合理性有待验证。1.2.2 数学模型的分析此模型问题的要求是建立刹车距离与车速之间的数量关系。一方面，车速是刹车距离的主要影响因素，车速越快，刹车距离越长；另一方面，还有其它很多因素会影响刹车距离，包括车型、车重、刹车系统的机械状况、轮胎类型和状况、路面类型和状况、天气状况、驾驶员的操作技术和身体状况等。为了建立刹车距离与车速之间的函数关系可以从以下分析入手：经过仔细分析刹车的过程可以发现，刹车要经历两个阶段：第一阶段，司机意识到危险，做出刹车决定，并踩下刹车踏板使刹车系统开始起作用，汽车在反应时间段行驶的距离为“反应距离”；第二阶段，从刹车踏板被踩下、刹车系统开始起作用，到汽车完全停住，汽车在制动过程“行驶”（轮胎滑动摩擦地面），此距离为“制动距离”。进而可得出：刹车距离=反应距离+制动距离 下面对各阶段具体分析：反应距离阶段：根据常识，可以假设汽车在反应时间内车速没有改变，也就是说在此瞬间汽车做匀速直线运动，反应时间取决于驾驶员状况（包括反应、警觉性、视力等）和汽车制动系统的灵敏性,而正常情况下，汽车制动系统的灵敏性都非常好，与驾驶员状况相比，可以忽略。可以假设反应距离的数学模型为d1 =t1v 。制动距离阶段：在制动过程，汽车的轮胎产生滚动摩擦，车速从v迅速减慢，直到车速变为0，汽车完全停止。用物理的语言来陈述，那就是：汽车制动力使汽车做减速运动，汽车制动力做功导致汽车动能的损失。fd2=mv2/2；进而得出刹车的距离公式d2=+kv2。换言之，需要测试汽车在不同车速下的刹车距离（当然要尽量保持道路、天气、驾驶员、载重等条件一样），然后利用测试数据拟合出模型 d=t1v+kv中的系数k 值，那么就能所得到刹车距离与车速之间的二次函数经验公式。此数学模型对于所有在相同的道路、天气和驾驶员等条件下，既没有超载，也没有故障的汽车都是有参考作用的。2. 假设与建模2.1 模型的假设表2-1 符号说明符号单位名称说明m/s车速刹车过程的速度变化值m刹车距离从司机决定刹车到车完全停住汽车行驶距离d1m反应距离从司机决定刹车到踩下踏板汽车行驶距离d2m制动距离从司机踩下刹车踏板到车完全停住汽车行驶距离t1s反应时间从司机决定刹车到踩下刹车踏板的时间fn制动力汽车制动过程的制动力mkg汽车质量汽车的净重ks/m比例系数k=1/(2a)（1）、假设道路、天气和驾驶员等条件相同，汽车没有超载，也没有故障；（2）、假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车踏板踩到底，汽车在刹车过程没有转方向；（3）、假设汽车在反应阶段做匀速直线运动；（4）、假设汽车在制动过程做匀减速直线运动，加速度a只与车型有关，同车型时为常数，制动力所做的功只等于汽车动能的损失；（5）、假设刹车距离等于反应距离加上制动距离。2.2 模型的建立与求解2.2.1 模型的建立由前面的分析和假设可知：刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和，即d=d1+d2 （公式2-1）；反应距离 d1与车速 v成正比d1=t1v （公式2-2）（式中的t1为反应时间）;刹车时使用最大制动力f，f作功等于汽车动能的改变;fd2=mv2/2（公式2-3）(式中的fm,即f与车的质量m成正比)。因此由（公式2-3）推出下面距离的关系式：,再根据（公式2-1）和（公式2-2）可以得到d=t1v+kv2 （公式2-4）因此模型可以定为：d=t1v+kv2 2.2.2 模型的求解参数估计： 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒，利用交通部门提供的一组实际数据拟合k。表2-2 交通部门车速和刹车距离数据车速(英里/小时) (英尺/秒)实际刹车距离（英尺）计算刹车距离（英尺）刹车时间（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3公式为：则刹车距离与速度的关系为： 计算刹车距离、刹车时间模 型为 （公式2-5）图2-1 车速与刹车距离的拟合图求出各个车速下的刹车时间，如下表：表2-3 车速与刹车时间关系表车速(英里/小时)刹车时间（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3根据实际的要求和表2-3，得出“2秒准则”应修正为 “t 秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始默数t秒钟后到达同一标志。表2-4 不同车速下对时间t的要求车速（英里/小时）010104040606080t（秒）123453. 模型的评价和改进通过模型的建立让我们对“2秒准则”有了新的认识，是与车速有关的，不是任何车辆默数2秒后直至停车都是安全的，根据不同的车速，时间不同。模型通过很理论的假设，对实际情况、人为因素等都为考虑，得出的应该是一个理论的一般性结果，对于驾驶人本身，我们还应考虑自身的情况。0参考文献1.姜启源、谢金星、叶俊数学模型（第三版）,北京:高等教育出版社.2.任善强 雷宁 数学模型 高等教育出版社 2003年 附录mathematica程序代码plot0.75v+0.0255v2 , v, 20, 120,frame-true,ticks-20,40,60,80,100,120,0,50,100,150,200,250,300,3