（计算数学专业论文）带五次非线性项schroding方程的高精度守恒数值格式.pdf

带五次非线性项s c h r o “d i n g 方程的高精度守恒数值格式 摘要 首先，在第一章中，分析了带五次项非线性s c h r o d i n g 方程数值解法的研究 现状，回顾了前人的研究成果，给出了一些本文所用的主要引理。 其次，对带五次项非线性s c h r o d i n g 方程构造了两种高精度的差分格式。 第二章构造了一个非线性隐差分格式，在每一个时间层上需要迭代求解非线 性方程组，该格式可以保证离散电荷和离敖能守恒。对差分解进行了估计，并用 能量方法证明了查分格式的收敛性和稳定性，其收敛阶为o ( r 2 + h 4 ) 。通过数值 算例与已有的差分格式进行了比较，结果表明，本章提出的格式，相比以前的差 分格式，计算精度有了较大的提高。 最后，第三章对带五次项非线性s c h r0d i n g 方程提出了一个线性隐差分格 式，这样在每一个离散时间步长中只需要解线性代数方程组，从而第三章中的差 分格式的计算比第二章中的差分格式的计算快速和简单，同样可以证明该格式保 证离散电荷和离散能守恒，验证了差分格式的收敛性和稳定性，而且不会出现“数 值爆炸。其收敛阶也为o ( r 2 + h 4 ) 。通过数值试验获得如下结论，该格式在提高 计算精度的同时，极大的提高了计算速度。 关键词：差分格式，五次非线性，守恒，稳定性，收敛性，高精度 t h ehig ha c c u r t ea n dc o n s e r v a tiv en u m e ric ais c h e m e s f o rn o ni n e ars c h rod i n ge q u a tio nin v oivin go uin tic t e r m a b s t r a c t f i r s t l y , i nc h a p t e ro n e ，w ed i s c u s st w om a i nn u m e r i c a lm e t h o d sf o r t h e n o n l i n e a rs c h r0 d i n ge q u a t i o n ，r e v i e wt h ep r e v i o u sr e s u l t sa n dp r e s e n tt h e p r i m a r yl e m m a s s e c o n d l y , w ep r e s e n tt w oh i 曲a c c u r a t ea n dc o n s e r v a t i v e d i f f e r e n c e s c h e m e sf o rn o n l i n e a rs c h r0d i n g e q u a t i o ni n v o l v i n gq u i n t i ct e r m i nc h a p t e rt w o ，w ep r e s e n tag l o b a l l yn o n l i n e a ri m p l i c i td i f f e r e n c e s c h e m e ，i e ，an o n l i n e a ri t e r a t i v ea l g o r i t h m ah a st ob eu s e dt os o l v et h e s y s t e mo ft h en o n l i n e a ra te a c hd i s c r e t et i m es t e p t h es c h e m ec a nc o n s e r v e t h ee n e r g ya n dc h a r g eo fs y s t e m s ，a n di t sc o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t ya r ep r o v e d b yu s i n gt h ee n e r ym e t h o d ，t h ep r e c i s i o no ft h i ss c h e m ei so ( r 2 + 五4 ) b y m e a n so fn u m e r i c a lc o m p u t i n g ，w eg e tt h ec o n c l u s i o nt h a tt h es c h e m ei nt h i s c h a p t e rh a sh i g h e rp r e c i s i o n t h a nt h eo t h e rs c h e m e s f i n a l l y , i nc h a p t e rt h r e e ，w ep r o p o s eac o n s e r v a t i v es c h e m et h a t i s g l o b a l l yl i n e a r l ya l g e b r a i ce q u a t i o n s a sac o n s e q u e n c eo u rs c h e m ei sf a s t e r a n ds i m p l e rt h a nt h en o n l i n e a ri m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e s t h ec o n s e r v a t i o n o ft h ee n e r g ya n dc h a r g ec a na l s ob ep r o v e d w es h o wr i g o r o u s l yt h a t0 1 1 1 s c h e m ei ss t a b l ea n dc o n v e r g e n ta n dt h a ti tw i l ln o ty i e l d b l o w - u p ”，t h e p r e c i s i o no ft h i ss c h e m ei s a l s oo ( r 2 + 办4 ) t h en u m e r i c a lt e s t ss h o wt h a t t h en e ws c h e m ei sf a s t e ra n dm o r ea c c u r a t et h a n 也eo t h e rc o n s e r v a t i v e s c h e m e s k e yw o r d s ：d i f f e r e n c es c h e m e ，q u i n t i ct e r m ，c o n s e r v a t i o n ，c o n v e r g e n c e ， s t a b i l i t y ，h i g hp r e c i s i o n 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得或 其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息 研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公 众提供信息服务。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：导师签字： 带五次非线性项s c h r0 访，咨方程的高精度守恒数值格式 0 前言 众所周知，非线性s c h r o d i n g 方程( n l s ) 是现代科学中具有普遍意义的重 要方程之一，在非线性光学，量子力学，等离子物理，流体力学中有着广泛的应 用n 吲，文献 6 1 0 研究了下面的广义非线- 生s c h r o d i n g 方程( g n l s ) f 孚+ - - ( a ( x ) 罢) + 砌+ b ( 圳“p - iu = 0 ，f 2 = 一1 ，p l ( 0 1 ) o t o x 苏 其中u ( x ，f ) 是负值函数，u ( x ，0 ) = 矽( x ) ，1 ，为实常数，彳( x ) ，b ( x ) 均为实函数，且 a ( x ) 0 。当v = 0 时，方程( 0 1 ) 为一般的n l s 方程；当1 ， 0 时，方程( 0 1 ) 为带耗散项的n l s 方程。由于非线性s c h r o d i n g 方程是非线性偏微分方程，可 以用逆散射方法得到其精确解【1 1 1 2 1 。但是到目前为止，这些分析解还只能对少量 的有孤立子解的情形得出，对于大量具有实际意义的物理问题，数值计算的方法 越来越广泛地得到应用。 对非线。s c h r o d i n g 方程( n l s ) ： f 安鲁+ 州“= 0 ( o 2 ) z 士彳+ 口i “i “= l u z 夕 所苏2 川 u ( x ，0 ) = u o ( x ) ( o 3 ) 研究几十年来已发表众多的文章，如m d e l f o u r 等人提出了一个有限差分格式 n 3 l ，t r t a h a 等人总结和提出了五个有限差分格式和两种f o u r i e r 方法( 分裂 步法和拟谱方法) n 钔，j m s a n z s e r n a 提出了“蛙跳格式 和改进的 c r a n k n i c o l s o n 格式n 朝，他又于1 9 8 6 年用半离散的方法讨论了守恒和不守恒的 格式n 引，而 1 7 讨论了广义非线s c h r o d i n g 方程组的有限差分解法，z h a n gf e i 等人对方程( 0 2 ) 和( 0 3 ) 提出了一种三层七点守恒格式n 8 1 ，同时对方程( 0 2 ) 的推广或广义非线性s c h r o d i n g 方程也开展了许多研究，如 1 9 考虑了带耗散项 的非线性s c h r o d i n g 方程的数值解法， 2 0 讨论了具有如下三种形式非线性项 口( j )s c h r o d i n g 的差分解法：g ( s ) = j 2 ，一，1 1 1 ( 1 + s ) 总结或提出了六种差 l + s 带五次非线性项s c h r0 硪，喀方程的高精度守恒数值格式 分格式，而 2 1 则对带五次项的非线性s c h r o d i n g 方程： z 罢+ 器划甜h m 删 ( 0 4 ) 作了理论分析，指出在吼 0 ，q 。 0 u ( x ，0 ) = n o ( x ) ，而x ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 其中f ( x ，f ) 为已知的实函数。该问题的电荷和能量满足如下的关系： = e 于) r d x = q ( o ) ( 1 4 ) 阶时+ 抄吲1 计卜删一f 厂射出衍 5 ， 对带五次项的非线性s c h roc 矗n g 方程构造的差分格式中，无论是两层格式还 是三层格式，无论是非线性显格式还是非线性隐格式，其精度都不高，截断误差 的阶均为o ( r 2 + h 2 ) 。在第二章和第三章，本文基于不同的思想对方程( 1 1 ) ( 1 3 ) 构造了两个新的高精度差分格式。 在第二章中，为了进一步提高格式的精度，本文在c r a n k n i c o l s o n 格式的 基础上构造了一个两层四阶的高精度差分格式，证明了该格式保证离散电荷和离 散能量守恒，对差分解进行了估计，并用能量方法证明了差分格式的收敛性和稳 定性，其收敛阶为o ( r 2 + j j l 4 ) 。由于该守恒差分格式为非线性隐式格式，这就需 要在每一步时间步长内用迭代的方法来解一组非线性隐式方程组。通过数值实验 与已有的差分格式进行比较，结果表明，本章所提出的格式，相比以往的格式， 计算精度提高了一个数量级。 第三章中，在文献溯的基础上对非线- s c h r o d i n g 方程提出了一个线性隐差 分格式，这样在每一个离散时间步长中只需要解线性代数方程租，从而本章中的 3 带五次非线性项s c h roc 矗n g 方程的高精度守恒数值格式 差分格式就会比第二章中的差分格式计算快速和简单。而且同样可以证明该格式 保证离散电荷和离散能量守恒，其收敛阶也为o ( r 2 + h 4 ) 。通过数值实验获得如 下结论，该格式在提高计算精度的同时，极大地提高了计算速度。 1 2 本文所用的主要引理 引理1 1 1 ：方程( 1 2 ) ( 1 3 ) 的解- u ( x ，) 在0 f t 内是x 的有界连续函 数，并且存在正常数c 有： 有： k c ( 1 6 ) 引理1 2 瞰1 ：( s o b o l e v 不等式) 对任意的网格函数= ij = o 1 ， ， u 。g 帜忡c ( g ) 夥 ( 1 7 ) 引理1 3 馥鲥：( g r o n w a l l 不等式) 设力( 胛) ，p ( n ) 为非负网格函数，若函数c o ( n ) n - 1 满足如下不等式：c o ( n ) p ( ，z ) + c f c o ( k ) ，其中c 为正常数，p ( 胛) 单调递增，则 k = 0 有： 国( 胛) p ( n ) e 出 ( 1 8 ) 引理1 4 汹1 ：设 io j j ， 巧to _ j j 为q 上的网格函数，若满足 周期性边界条件，即砜= 乩，v o = 巧，则有下列式子成立： 3j h e ( u s ) ，；巧= 一办( ) ；( 巧) ， 军l= l ( 1 9 ) 办壹( 一。) ，；巧：一办壹( u 一。) ，( 历， ( 1 1 0 ) = l户1 4 l 一巧 “0 l ，一 厅一 = 一巧历 + ，l j 一 向 带五次非线性项& h rd 旃馏方程的高精度守恒数值格式 证明：下面证明( 1 9 ) 式，( 1 i 0 ) 和( 1 1 1 ) 式同理可证明。 嘻吼i 巧= 缸( ) ，一( 吼弘喜( 吼巧一否j - i ( 吼丽 即证。 j - i - e j = l j - i - e = l ( 巧+ - 一巧) + ( ) ，巧一( ) ，k ( 巧+ t 一巧) + ( u ) ，巧一( u ) ，巧+ - 5 q 带五次非线性项s c h rod i n g 方程的高精度守恒数值格式 2 带五次非线性项s c h r o d i n g 方程的一个两层四阶高精度守恒 格式 这一章考虑带五次项非线性s c h r o d i n g 方程( 1 2 ) ( 1 3 ) 的周期边界条件， 为：“( ，f ) = “( 而，f ) = 0 ，同时初值函数为u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，葺x x r 。本文在文献 2 6 的基础上构造了一个两层四阶高精度差分格式，该格式保证离散电荷和离散 能守恒，并用能量方法证明了差分格式的收敛性和稳定性，其收敛阶为 o ( r 2 + h 4 ) 。通过数值实验与已有的差分格式进行比较，结果表明，本章所提出 的格式，相比原有的格式，计算精度有了较大的提高。 2 1 差分格式的构造与守恒性 对平面区域q = 【x r ，而】 o ，t 】作网格剖分，取空间步长h = ( x r - x h j ，时间 方向步长为f = 丁，网格比名= r h 2 , _ = 为+ 乃，乙= 所。记g = 哆io j j ) ， g = 乙10 门) ，q ，= g q 。设 叼10 ，0 r l ) 为上的一个网格 函数。 引进如下记号： ( 叼) ，= ( t 一叼) h ，( 叼) ；= ( 叼一晖- ) h ( 叼) ，= ( 叼+ 1 一叼) i t ，( 叼) ：= ( 。一叼) ( 2 f ) 离散内积与范数定义如下： ( u nv ”) = 办叼彤，( 磁，曙) - h ( 叼) ，( 彤) ， 0 u ”1 1 2 = ( u ”，u ”) ，u ”旺= ( w ，q ) 矧i 。= s u p i 叼u ”j | 4 = 办喜i 叼1 4 ，i i u ”哐= 办芸l 叼1 6 考虑方程( 1 2 ) ( 1 3 ) 的周期边界条件，提出如下差分格式： 7 带五次非线性项s c h r0 旃，咨方程的高精度守恒数值格式 i ( 叼) ，+ 詈【( 叼+ 1 ) 善；+ ( 叼) ，； + - 半【( 嗡) 。；+ ( 啄。) ，；+ ( 吲) ，；+ ( ，) ，； 一丢( f 叼+ 11 2 + l 叼1 2 ) ( 叼+ l + 叼) 一否1 ( i 叼+ 1j 4 + l 叼“1 2 l 叼1 2 + i 叼1 4 ) ( 叼+ l + 叼) = 圭万 ( 叼+ 1 + 叼) 耵= l ，2 ，z 五= 0 ，1 ，2 ，) u ；= 了= 0 ，( 珂= 0 ，l ，2 ，) u ? = u o ( x ) ，( = 1 ，2 ，) 为了保证截断误差，这里我们取0 = ，从而格式变为： o i ( 叼) ，+ 去h 唰) ，；+ 1 4 ( u ? x x - - 、。t t 川n + i 惦 、 + 去 - ( u 川n ) ，；+ 1 4 ( 叼) ，；一( 啄j ) ，；】 一丢( 1 叼+ 11 2 + l 叼1 2 ) ( 叼+ 1 + 叼) 一丢( i 叼+ 11 4 + i 叼+ 11 2 l 叼1 2 + l 叼1 4 ) ( 叼+ l + 叼) = 妻+ i ( 叼“+ 叼) ( = 1 ，2 ，j 一1 ；以= o ，1 ，) ( 2 1 ) w = u ? = o ，( 胛= o ，1 ，2 ，) ( 2 2 ) 叼= ( _ ) ，( = 1 ，2 ，) ( 2 3 ) 关于上述差分格式有如下性质： 定理2 1 ：差分格式( 2 1 ) ( 2 3 ) 关于离散电荷和离散能是守恒的，即： q ”= o ”1 = = o o ( 2 4 ) = e 川+ 鱼2 壹j = o ( 万弓一万一；) l 叼1 2 = = e 。+ 芝h 菩n 刍d ( 乃i _ 1 2 一一；) i 彰1 2 ( 2 5 ) 其中： o ”= i lu ”1 1 2 ( 2 6 ) 肚如憔+ 扣1 1 4 + 扣1 1 2 + 曹耙心黜芝j = l ( 艘- - - - - a g ， 在这里在这里r e 和i m 分别表示实部和虚部，q “和e ”分别称为离散电荷和离散 能。 8 带五次非线性项s c h rod i n g 方程的高精度守恒数值格式 5 可以发现( 2 4 ) 式，( 2 5 ) 式为( 1 4 ) 式，( 1 ) 式嗣禺散化肜武a 证明：将式( 2 1 ) 与u 州+ u ”做内积，然后取虚部，左端各项推导如下： 第一项：i l 否j - 1 ( ( 叼) f ，叼+ 1 + 叼) = 1 ( 1 1 u 州1 1 2 一忖“1 1 2 ) 第二i 贝： 弓h 。i m j - i 卜( 吲) ，；+ 1 4 ( u ；“x x - - 、v it n + l 坛】( 叼“+ 叼) 二。r i = l 。2 刍h 荟j - i ( 吲从莉- 1 4 ( u ；+ 1 ) 。( 酽n 、v t t n + l h ( 动， + 面h 姗荟j - i ( 吲) ，( 西，- 1 4 ( 叼+ 1 ) ；西；郴t t 川n + l ，h z 而) ：】 ：= h 。j - 1 ，r + ，1 ) 。而) ，一1 4 ( ui 1 4 ( u ；+ 1 ) ，( 一u p ，+ 、v tt n + m l 叼) ，】 = j 一。( 叼) ，一 “) ，+ 、v ( u 在这里利用了引理( 1 4 ) ； 同理，第三项： 缶i m j - t 卜( u j l 。) ，；+ 1 4 ( 叼) ，i 一( 啄- ) ，；】( 叼“+ 叼) 二叶t = l = 刍x m 驴j - i v tt n + l 吼州( 叭( 吼一吲) ，鳓 第四项：i m ( 一i h ，乙j l l lu n + 11 2 + 1 叼1 2 ) ( 叼+ 1 + 叼) ( 叼+ 1 + 叼) = o 同理： 第五项的虚部为0 。 右端项虚部也为0 。 很显然第二项和第三项的和为0 。 从而得到： i iu ”+ 11 1 2 - 1 1u ”1 1 ：= 0 令：q 一= i | u 万n + 有q 蒯= 。递推之，有( 2 4 ) 式成立。 将式( 2 1 ) 与u 州一u ”做内积，然后取实部，左端各项推导如下： 第一项：i k i ( w ，u 肿1 一u ”) ) = 0 9 第二项： 刍r e 鬈 _ ( 吲k + 1 4 ( 叼“k 一( 吲k ( 谚( 可) = 面hr e 荟j - i ( 吲) ，( 可4 ( 叼+ 1 ) ，( 妒州吲) ，( 矛) x 】 一刍r e 鬈 ( 吲以谚) ，一1 4 ( 叼“) ，( 刃) ，+ r t t 川n + i ，、：( 虿u 第三项： 缶r e 驴j - 1 吼；+ 1 4 ( 哦一( 吼小巧巧) = 面hr e 荟j - 1 ( 啄。) 。( 历。一1 4 ( 叼) 。( 矛n + 1 ) ，+ ( 啄。) ：谚) ，】 ，一刍r e 墨 ( 啄止( 万) ，一1 4 ( 叼从西，+ ( 吩执( 西，】 第四项：一鲁r e 喜 ( i 叼“1 2 + iu ；1 2 ) ( 叼+ 1 + 叼) ( 谚矿可) 】= 一丢( 1 l u 肿1 | i ：_ | | 扩1 1 4 ) 第五项： 一i h k e 荟j ( 1 叼+ 1 4 + i 叮11 2 i 叼1 2 + l 叼1 4 ) ( 叼+ l + 叼) ( 巧矿可) = 一丢( 1 l u 州i l ：一l i u ”l l ：) 右端项：兰r e 丢j + j 1 ( 叼+ l + 叼) ( 巧正巧) = j h 台j - ，n + l ( i 叼+ 11 2 一i 叼f 2 ) 由于， r e j - 1 ( 吲) ，( 妒) ，- r e j - 1 ( 叼+ ，) ，t 、, 雨u n + l 胪、r e 乏j - 1 ( 吲) 。( 妒) ，( 2 8 ) r e j - 1 ( 昭) 。( 可) ，：r e j - i ( 叼) ，( 砑) ，：r e j - i ( 啄。) ，( 萨) ； ( 2 9 ) ，一1 j - 1 r e ( 叼“) 。( 叼) ，= r e ( u ；) ，( u ；“) ， ( 2 l o ) ；l，= 1 西h 嘉州) x 开卜( 唰嘲寺2 刈刚2 1 ( 2 一扣lu 剃1 1 4 一l l 扩i b 卜扣 扩+ 1 l ：一i lu ”i i ：】= i h 丢j 厂( _ ，乞+ 到叼“1 2 一i 叼| 2 ) l o 带五次非线性项5 励。od i n g 方程的高精度守恒数值格式 令：g = 。7 - 1 1u 1 1 2 + 扣扩眩+ 扣u 刈：+ 姜一；i 叼1 2 一告r e 萎j ( 从可) ， 则：f ：e n - i 1 - 办j ( 万一j 1 一万一i 3 ) l 叼1 2 ，将此式的两端对n 求和得： j = o ：e 。+ 号h 乞n 艺j ( 乃l 1 一一；) l 叫1 2 z ，= l ，= 0 由( 2 1 1 ) 式通过递推知( 2 5 ) 式成立。即证。 2 2 差分解的先验估计 根据差分格式的离散电荷和离散能守恒式，对差分解有如下估计： 定理2 2 ：设定解问题( 1 2 ) 一( 1 3 ) 的解满足甜( x ，f ) c 6 ”，1 2 0 ( x ) c 2 ， 且i ( x ，f ) j c ，i z ( x ，f ) j c 则存在正常数c ，使得差分格式( 2 1 ) ( 2 3 ) 的解 有估计式：i u ”i i - 0 ，由( 2 2 2 ) 式可得： 1 忙如。1 1 删川1 2 ) + 百c t 渺n + l ”1 1 2 由引理1 3 即g r o n w a l i 不等式，立即得： ”1 雌如。肛势”l | 2 ) e 印c 半， ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 由于p 。= 0 ，f 窆护j 1 2 = o ( r 2 + h 4 ) 2 ，所以耖+ 1 i l = o ( t 2 + 办4 ) 。即证。 下面证明差分格式( 2 1 ) ( 2 3 ) 的稳定性。 定理2 5 ：在定理2 2 的条件下，守恒差分格式( 2 1 ) ( 2 。3 ) 的解对初值 依平方模稳定。 证明：设叼是差分格式( 2 1 ) ( 2 3 ) 的解，哆= v ( j h ，z f ) 满足差分格式 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 但有初始扰动 哆= ( 办) + ( 2 2 3 ) 令g ；= 吁一叼，则彰满足： f ( 彰) ，+ 去 一( g 爿) ，；+ 1 4 ( 彰+ 1 ) 磊一、6 川n + l x 】+ 去 一( 醇。) ；+ 1 4 ( g ；) ，；一( g 知) ：；】 一言 ( 1 弩+ 11 2 + l | 2 ) ( + 1 + 巧) 一( 1 叼+ 11 2 + i 叼| 2 ) ( 叼+ 1 + 叼) 】 一6 1 ( iv ；+ 1j 4 + l 彤+ 11 2 l 形1 2 + i 彤1 4 ) ( 吁+ 1 + ) 一( i 叼“1 4 + i 叼“1 2 i 叼1 2 + j 叼| 4 ) ( 叼+ 1 + 叼) 】 一丢+ ； ( 吁+ t + 彤) 一( 叼+ - + 叼) 】：o ( 2 2 4 ) 将( 2 2 4 ) 式与g 舯1 + g ”做内积，如同定理2 3 的证明，取虚部得： 1 6 带五次非线性项s c h r0c l i n g 方程的禹精度守恒数值格瓦 ( 炒“0 2 一炒1 1 2 ) = 鲁i i l l 喜【( i “l + i 叼“| ) ( i _ “i - i 叼+ 1 i ) + ( i i + i 叼i ) ( | i - l 叼i ) 】( 叼+ 1 + 叼) 虿两 + 售h n 喜 ( 1 彤“| - i 叼“| ) ( 1 哆“i + j 叼“i ) ( i v z + 11 2 + i 叼“1 2 ) + ( 1 哆+ 1i i 叼+ 1 侧吁“i + l 叼“i ) l 吁1 2 + ( 1 吁i _ i 叼阗叼1 ) i 叼+ 11 2 ( 1 吁| - i 叼阗哆i + i 叼1 ) ( 1 彤1 2 + l 叼1 2 ) ( 叼“+ 叼) ( 彰“+ g ；) ( 2 2 5 ) 由于杪”忆c 以及定理2 2 可知： i 哆i - i 叼1 5i 彰i ，l 彤l + i 叼i 0 ，由( 2 2 8 ) 式可得： i i g + l 2 _ 0 ，则由( 2 3 5 ) 式可得： 妙1 嵯畛；l j 2 + i c t 驴n + l 1 1 2 由引理1 3 ，即g r o n w a l l 不等式得： o 矿1 嵯c p ；| | 2 ) 吲半， 即有：i l g ”- l t l 2 c ( 1 | 万毛1 1 2 ) 。即证守恒差分格式c 2 ，c 2 3 ，的解对右端项依 2 4 数值实验分析 考虑如下算例：取t = - - x l = 1 5 ，得： i 詈+ 丽0 2 u 一( 1 u1 2 小1 4 胪m 力“，- 1 5 x 1 5 , 0 t l ( 2 - 3 6 ) 材( 一1 5 ，f ) = u 0 5 ，f ) ，0 s 1 u ( x ，o ) = u o ( x ) = e x p ( - x 2 + 妫，- 1 5 z 1 5 ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) f ( x ， ) = 4 ( x - 2 t ) 2 一e x p 一2 ( x 一2 t ) 2 卜e x p _ 4 ( x 一2 t ) 2 】，0 - - t 1 ，一1 5 x 1 5 上述问题的孤波解为： 1 9 带五次非线性项s c h r0 旃，咨方程的高精度守恒数值格式 u ( x ，t ) = e x p ( o 2 f ) 2 + i ( x 3 t ) ) 对( 2 3 6 ) ( 2 3 8 ) 进行差分，由于周期边界条件，采用迭代法逐层求解，可以 得五对角迭代方程组为： 其中： 在这里， a 肿1 ( ) = b 肿1 ( 5 ) ： a 肿1 ( 5 ) u 斛1 ( 。+ 1 ) = b 肿1 ( 。) u ” 彳+ 1 3 b b 口 卵+ 1 5 一6 一口 霹“3 b 口 b + 1 。 一口 ba b c n + 1 ( 5 ) b ab 引 一b 露+ 1 。 r 叼1 儿h l 叼j 一口 力“5 一6一口 。，n 一+ l l ( 5 ) - b 一6 刃+ 1 3 ( 2 3 9 ) 口：一三2 4 ，n + l ( s ) = i - - 等一三( 1 叼呱j ，1 2 + l 叼1 2 ) 一吾( 1 叼州j ，| 4 + i 叼州5 ，1 2l 叼1 2 + i 叼1 4 ) 一三+ j 1 6 = 等，彬州5 ，= ，+ 等+ ；( 叼州，1 2 + i 叼1 2 ) + 吾( 1 叼嘶，1 4 + l 叼呱s ，1 2 l 叼1 2 + l 叼1 4 ) + 三万+ 三1 ，= 1 ，2 ，j ，s 表示迭代次数，取迭代初值u = u ? 。当桫斛1 ( 胂1 ) 一u 肘l ( o0 s ，j l i ( 本文取s = 1 0 巧) 时，迭代结束。 分别取h = 0 2 ，f = 0 0 4 和h = 0 1 ，r = 0 0 2 计算他们在f = 1 时的误差，图2 1 给 2 0 而矿7 带五次非线性项s c h rod i n g 方程的高精度守恒数值格式 出了取以上三种不同步长所得数值解的误差曲线图，可以看出，当剖分的步长缩 小时，误差也有明显的缩小。按范数瓦( 办，f ) = m a xl 叼- u ，乙) l 度量误差， l & 1 g j ，l n n 。 并与t h i a br t a h a 等人提出的c r a n k - n i c o l s o n 格式口7 3 ( 称之为c n 格式) ；张 鲁明提出的守恒差分格式l 砼筋；张鲁明提出的守恒差分格式2 啪1 的计算结果进行 比较，结果列为表2 1 ，从表2 1 可以发现，本文与已有的格式相比较，在精度 上有了很大的提高。表2 2 给出了取不同步长时所得数值解的最大误差，从表 2 。2 中可以看到，当空间步长缩小到原来的1 2 ，时间步长缩小到原来的1 4 时， 最大误差约缩小到原来的1 1 6 ，从而验证了本文差分格式具有o ( r 2 + h 4 ) 的精度 啪1 。由上述计算结果我们得出结论：本文所提出的有限差分的数值守恒格式在解 带五次项的非线性s c h r o d i n g 方程中是可行的，并且具有很好的数值近似。 o 0 图2 1t = 1 时不同步长数值解的误差离散曲线 2 1 带五次非线性项s c h rod i n g 方程的高精度守恒数值格式 表2 1 四种差分格式的精度比较 h = 0 1 ，f = 0 0 1 时的误差计算结果 第二章中格式 c n 格式 i o 中格式 1 4 中格式 i i p ” f 。j | p ”i l 。j p “i i 。l l p ”i l 表2 2 取不同步长时数值解的最大误差 带五次非线性项s c h rod i n g 方程的高精度守恒数值格式 3 带五次非线性项& 加二讲馏方程的一个三层四阶高精度守恒 格式 在上一章中，为了进一步提高格式的精度，对具有周期性边界条件的带五次 非线性项的s c h r o c 办n g 方程构造了一个非线性隐式差分格式，在每一个离散时间 步长中，都需要用迭代法解非线性方程组，这就需要计较多的计算时间。而在本 章中，对满足周期性边界条件的带五次项非线性s c h r o d i n g 方程提出了一个线性 隐式格式，这样在每一个离散时间步长中只需要解线性代数方程组，从而本章中 的差分格式的计算量也会大大的减少，而且同样可以证明该格式保证电荷和离散 能守恒，其收敛阶也为o ( r 2 + h 4 ) 。最后给出了数值算例，验证了该格式在提高 计算精度的同时，极大地提高了计算速度。 3 1 差分格式的构造与守恒性 对平面区域2 = i x , ，而】 o ，丁 作网格剖分，取空间步长h = ( 一x t ) j ，时间 方向步长为f = t n ，网l - l sa = r h 2 ，_ = 西+ j h ，乙= 盯。记q = 一io ) ， q = 乙1 0 疗n ) ，= g xn , ，设 叼10 ，0 ，z ) 为上的一个网 格函数。 针对方程( 1 1 ) 一( 1 3 ) 提出如下差分格式： i ( 叼) ? + 去【_ ( t u n + l 、惦+ 1 4 ( 叼+ l x xm ( 吲) ，；】+ 去 一( 叼n 一- ，1 ) ，；+ 1 4 ( u 7 一lx xb ( 叼n + - 。i ) ，； 一五ii 叼1 2 ( 叼+ l + 叼一1 ) 一互1l 叼1 4 ( 叼+ 1 + 叼一1 ) = 互1 乃t u n + l + 叼一1 ) ( ，= 1 ，2 ，一1 ； = 0 ，1 ，) w = 叼= o ，= 0 ，1 ，2 ，) ( 3 1 ) ( 3 2 ) 带五次非线性项s c h r0 旃，咨方程的高精度守恒数值格式 e ”= 矿1 + 互h 萎j ( 刀一万一1 ) ( i 叼1 2 + i 叼- 1 1 2 1 ) = = 矿+ 宝蔷n 荟j ( 一一1 ) ( | 奶1 2 + i 嘭一1 j 2 ) = 杀( 1 i 昵+ 11 1 2 + 1 1 昵1 1 2 ) + 了h j - 1 万( 1 叼+ 1 1 2 + 1 叼1 2 ) + 号圭l 叼1 2l 叼+ 1 1 2 一鲁r e j - i ( 吲) 。( 酽) 州唧n - 1 名( 萨n - i ) ，】 “ 2 1二，1 1 ( 3 7 ) 第一项：h i l 7 荟j - 1 ( ( 叼) ? ，叼+ l + 叼一1 ) = 去( 忖州l j 2 一l i u 州| | 2 ) i 第三项： 5 i m 2 t 一( u 簧) ，；+ 1 4 ( u 了“) 。i 一、( 。t t p n + l l ，； ( u 了“+ u 了- 1 一 ，= l ，j - 1 一一一 = 告i i l l ( 吲) ，( 叼+ 1 ) ，- 1 4 ( u ；+ 1 ) ，( 叼“) ，+ ( q n + + 。1 ) ，( 叼“) ，】 1 j = t ，- ，一1 一 + 告i m ( 吲) 。( 彬n - 1 ) ，- 1 4 ( u ；“) ，( 叼。1 ) ，+ ( 吲) ，( 叼。1 ) 。】 。 j = t ，一1一 一 = 击i m 【( 吲) ，( 叼。1 ) 工- 1 4 ( u 7 + 1 ) ，( 叼。1 ) ，+ ( 吲) ，( 叼q ) ， 带五次非线性项s c h rod i n g 方程的高精度守恒数值格式 石hl m d - i 一( n 一- 。i ) ，；+ 14 ( u ；一1 ) ，；一( u n + - 。1 ) 。；】( 可可) 二叶 i = 1 = 刍i m 荟j - i - ( 吲从- 历歹n - i 一”1 4 ( 叼+ 1 ) ，( 一c r ；- 1 ) 毒一( 吲九( 萨u 从而第二项和第三项的和为0 。 第四项： i m ( 一i h ) f 叼f ：、u 一，n + l + 叼一1 ) ( 巧矿历两】：o 同珲，第石项拍，为0 。 而右端项为：i m 万( 叼“+ 叼。1 ) ( 叼+ 1 + 叼一) 】= o j = o 从而得到：u 州i | 2 - - l i 矿怖= o 。令q ”= ( 1 1u ”1 1 2 + i iv 州n ，则有q ”= q 州a 递推之有( 3 4 ) 式成立。 下面证明( 3 5 ) 式成立，将式( 3 。1 ) 与u 肘1 一u ”1 做内积，然后取实部，由引理 1 4 ，左端各项推导如下： 第一项：r e i ( u ；，u 肿1 一u ”) = r e7 蔷( 叼州一叼。1 ) ( 叼“一叼q ) = o - - 二- k 叶r e 艺矧 一( 吲w4 ( ；一u n + l ( 可可) = 刍r e 荟j - 1 ( 吲从矽n + l 卜1 4 ( 叼+ 1 ) ，万”、v n + l ( 妒n + l u 一页hr e 善j - i ( 吲) ，开) 。- 1 4 ( ，一) ，郴t n + l ，l ，开n - 1 ) ；】 同理，第三项： 刍r e 荟d - i - ( 吲) ，；+ 1 4 ( 叼一1 ) ，；一( q n 书- i ，；】( 巧研) = 刍r e 荟j - i ，n - 1 从而n + l 。一1 4 ( 叼一1 从而，+ ( 彬n 渤- 1 ，( 萨n + l 刈 一面h 趾荟d - i ( 吲) ，( 酽) ，一1 4 ( 叼一1 ) ，( 而；+ ( 蟛n + - 。1 ) ；( 萨n - i 妇 带五次非线性项s c h r0 硪馏方程的高精度守恒数值格式 一h r e 2 第五项： h 。 一一k e 2 叼1 2 ( 叼“+ 叼。) ( 叼“一叼。1 ) 叼1 4 ( 叼“+ 叼。) ( 叼“一叼。) 而右端项为：i hr e j 二 = 0 由于， h 2l 叼 j - o 1 2 ( | 刚2 一阿1 2 ) = 一兰壹j = o i 叼1 4 ( 1 叼+ 1 1 2 一i 叼一1 | 2 ) 刀( 叼“+ 叼。1 ) ( 叼“一叼_ ) h 2万( 1 叼“1 2 一l 叼q1 2 ) j = o j - 1 一 r e 、。t 一n + l ，( 叼“) 茗= r e ( 叼“) ，( 唰) ，= r e 、。t t 川n + i ， 、，( 叼“) ，( 3 8 ) j = l j - 1 一 r e ( 够n 一+ 。1 ) 。( 叼q j = l j - 1 ) ，= r e j = l j - i 一 ( 叼1 ) ，( 吲 j = l j - i ，一 ) ，= r e r e ( 叼“) ，( 叼。) 。= r e ( 叼。) ，( 叼“) ， = 1= 1 由( 3 8 ) ( 3 1 0 ) 式，各项相加得： 旦r e 1 2 h 2 j 一 ( 唰) 工( 叼“) x j = o - 1 ，一1 一 ( 吲) ，( 叼“) ；( 3 9 ) 一( 吲从而，卜云川昵“1 1 2 刈吣一| | 2 】 叼| 2 ( | 叼+ 1 1 2 一i 叼一1 1 2 ) = 尝 肚扣 1 二 f ( x j ，t o ) c f u ；“1 2 _ | 叼。1 1 2 ) + 兰却2 俐2 毫 由( 3 1 1 ) 式可得： j = of ( x j ，铡叼+ 1 1 2 + | 叼1 2 ) e ”= e ”1 + 办y j _ j = o 通过递推知( 3 5 ) 式成立。即证。 ( 刀一一z n 八n2 + l 叼一1 | 2 ) 2 6 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 户 ，触 芦 一 声 带五次非线性项s c h rd 旃，曙方程的高精度守恒数值格式 3 2 差分解的先验估计 下面由定理3 1 对差分解进行估计。 定建3 2 ：设带五次非线性项的s c h r o d i n g 方程( 1 1 ) - - ( t 3 ) 的解满足： u ( x ，f ) c6 3 ，矽( x ) c 2 ，且i 厂( x ，f ) i c ，l z ( x ，f ) i c 则差分格式( 3 1 ) ( 3 3 ) 嗣 解有估计式：8 u ”l i c 。 证明：由式( 3 4 ) 式易得i l u ”i i - c ，y d a ( 3 5 ) 式得： j 7 ，( 1 1u z + ti i ：+ 1 1w | 1 ：) 一：h ，一j u n + 1 ) 。( 矛) ，+ ( u 川n ) 。( 一u p ，】+ 冬笔1 叼1 2l 叼“1 2 l z1 么 ，：oj = o + 兰妻厂(