（运筹学与控制论专业论文）带行动次序的博弈模型及其在经济学中的应用.pdf

摘要 、r j 博弈论，英文为g a m et h e o r y ，是对智能的理性决策者之间冲突与合作的 研究：博弈论为分析那些涉及两个或更多个参与者且其决策会影响相互间利 益的局势提供了一般的数学方法在二十世纪后半叶，博弈论已经被广泛应 用到政治、经济、军事等各个方面 一般认为，近代博弈论始于1 9 4 4 年v o nn e u m a n n 与m r o g e n s t e r n 的 t h et h e o r yo fg a m e sa n de c o n o m i cb e h a v i o u r 的出版在1 9 5 1 年n a s h 发 表了n o n c o o p e r a t i v eg a m e s ，t u c k e r 在普林斯顿大学1 9 5 0 年的一次研讨会 上首先定义“囚徒困境”，这两个人的著作基本上奠定了现代非合作博弈论的 基础在此之后s e l t e n 、h a r s a n y i 、k r e p s 、w i l s o n 等人的工作对博弈论 的发展也起到了重要的推动作用 由于对任何一个博弈或冲突局势的分析都必须从描述该博弈或局势的 一个模型出发，因此本文细致地考察了博弈的各种模型参考前人的文献， 我们发现扩展型和正规型是使用最为广泛的博弈模型其中扩展型博弈源自 k u h n ，主要应用于动态博弈研究；正规型博弈形式比较简单，主要应用于静 态博弈的研究但无论是扩展型博弈还是正规型博弈其中涉及到的信息与信 息结构的概念多是建立在一些没有定义的陈述上另外，无论哪种博弈模型 都使用了另一假设，即：假定博弈的结构是参与人的共同知识这也意味着 各参与人的行动次序是事先给定的，但是在现实生活中存在着大量的现象说 明，参与人的行动次序往往也是可以自由掌握的，仅仅使用原有的模型不能 很好地解释很多参与人的行为，尤其是竞争性行为 为解决上述问题j ) 本文首先给出了信息与信息结构的数学表述，并结合 它的现实意义进行了扩展，同时利用所给出的信息与信息结构的概念将动态 过程引入正规型的表述中，并考虑了在每个行动时刻可以行动的参与人不止 一个的情况，建立了较完善的博弈的正规型表述，使其不仅可用于静态博弈 的研究也可以方便地用于动态博弈的研究，而且我们的新模型可以很容易推 广到连续时间的情况 最后文章考虑了带行动次序的博弈模型在经济学中的一点应用，考察了 企业间相互竞争与合作的问题 a b s t r a c t i n1 9 4 4 ，y o nn e u m a n na n dm r o g e n s t e r np u b l i s h e dt h et h e o r yo fg a m e s a n de c o n o m i cb e h a v i o u rw h i c hs t a r t e dt h es t u d yo fg a m et h e o r y i nt h es e e o n dh a l fo ft h et w e n t i e t hc e n t u r y ，g a m et h e o r yh a dg o tag r e a td e v e l o p m e n t a n db e c o m eaf u n d a m e n t a lt o o lf o re c o n o m i ca n ds o c i a lt h e o r y i n1 9 5 0 s ，k u h nb u i l d e de x t e n s i v ef o r mf o rg a m et h e o r yw h i c hh a db e e n w i d e l yu s e dn o w b u ti ti sh a r dt oe x p l a i ns o m es i t u a t i o ni nw h i c hn o to n l y o n ep l a y e rc a nc h o o s et h e i rd e c i s i o n i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e ran e wg a m et h e o r ym o d e lw h i c hc o n t a i n st h e o r d e ro ft h em o v e s u s et h i sm o d e l i ti se a s yt os o l v et h ep r o b l e ma b o v e a n de x t e n dt h i sm o d e lw i t hc o n t i n u o u st i m e a f t e rc o n s i d e r i n gr a n d o m i z e d s t r a t e g y ，w eg e tat h e o r e mt h a ta n yf i n i tg a m ec o n t a i n s an a s he q u i l i b r i u m i nt h i sn e wm o d e la n dw ef i n dt h a ti ti sc o n s i s t e n tw i t hn a s h st h e o r e mi n 1 9 5 0 si nt h el a s tp a r to ft h i sp a p e r ，w eu s et h i sm o d e lt os o l v es o m ep r o b l e m j ne c o n o m i c s k e y w o r d s ：i n f o r m a t i o n ，t h eo r d e ro ft h em o v e s ，n a s he q u i l i b r i u m 1 引言 博弈论，英文为g a m et h e o r y ，是对智能的理性决策者之间冲突与合作的 研究博弈论为分析那些涉及两个或更多个参与者且其决策会影响相互间利 益的局势提供了一般的数学方法在二十世纪后半叶，博弈论已经被广泛应 用到政治、经济、军事等各个方面 一般认为，近代博弈论始于1 9 4 4 年v o nn e u m a n n 与m r o g e n s t e r n 的 t h et h e o r yo fg a m e sa n de c o n o m i cb e h a v i o u r f l j 的出版在1 9 5 1 年n a s h 发表了n o n c o o p e r a t i v ea a m e s 2 ，t u c k e r 在普林斯顿大学1 9 5 0 年的一次研 讨会上首先定义“囚徒困境”( p r i s o n e r s d i l e m m a ) ，这两个人的工作基本上奠 定了现代非合作博弈论的基础在1 9 6 0 年代s e l t e n 研究了动态博弈中n a s h 均衡的概念 3 j - h a r s a n y i 则把不完全信息引入了博弈论的研究 4 i _ 1 9 8 0 年 代k r e p s 和w i l s o n 合作发表了关于动态不完全信息博弈的重要文章 5 ，6 _ 所有这些人的工作对博弈论的发展起到了重要的推动作用 由于对任何一个博弈或冲突局势的分析都必须从描述该博弈或局势的 一个模型出发，因此本文细致的考察了博弈的各种模型为以后讨论方便， 下面先对博弈的模型做一个直观的介绍 一般说来任何的博弈模型都包含以下几个方面的要素： 1 参与人( p l a y e r ) ：指博弈中决策的主体个人，家庭及厂商等主体都可以 是某个博弈的参与人本文考虑的是参与人有限的情况，此时，我们用 i = 1 ，2 ，礼给参与人标号，用n = f 1 ，2 ，n 表示所有参与人构成 的集合 2 行动( a c t i o n ) ：指轮到参与人行动时他所可能做出的各种选择对参与人 i 我们一般用a 表示参与人i 的所有行动构成的集合，用a 。a 。表示 参与人i 可以具体选择的一个行动 3 行动次序( t h eo r d e ro ft h em o v e s ) ：它规定了每个参与人在什么时候行 动 4 策略( s t r a t e g y ) ：指参与人在各种情况发生时该如何应对的一个计划 5 收益( p a y o f f ) ：博弈结束后每个参与者获得的支付 上面几个要素都是每种博弈模型中必须包含的要素，其中还不明确的概 念如策略、收益等我们将在下面的章节中具体介绍 参考前人的文献f 8 9 1 我们发现扩展型和正规型是使用最为广泛的博弈 模型其中扩展型博弈源自k u h n 7 ，主要应用于动态博弈研究，我们将在下 一节做个简单的介绍；正规型博弈形式比较简单，读者可以参考f 8 、9 1 中的 介绍，正规型主要应用于静态博弈的研究但无论是扩展型博弈还是正规型 博弈，其中涉及到的信息与信息结构的概念多是建立在一些没有定义的陈述 上 8 ，9 1 另外，无论那种博弈模型都使用了另一假设，即：假定博弈的结构是参 与人的共同知识这也意味着各参与人的行动次序是事先给定的但是在现 实生活中存在着大量的现象说明，参与人的行动次序往往也是可以自由掌握 的，仅仅使用原有的模型不能很好地解释很多参与人的行为，尤其是竞争性 行为这就意味着使用这些模型不能很好的刻划在一个时刻同时有多个参与 人行动的博弈 为解决上述问题，本文首先给出了信息与信息结构的数学表述，并结合 它的现实意义进行了扩展，同时利用所给出的信息与信息结构的概念将动态 过程引入正规型的表述中，并考虑了在每个行动时刻可以行动的参与人不止 一个的情况，建立了较完善的博弈的正规型表述，使其不仅可用于静态博弈 的研究也可以方便地用于动态博弈的研究同时，我们的新模型还可以很容 易地扩展到连续时间的情况 本文余下的部分是这样安排的，第二节介绍了博弈的扩展型模型，为下 一节建立自己的模型做一些理论上的准备第三节首先给出了博弈中信息、 策略、均衡等要素的定义，建立了带行动次序的博弈模型，随后考察了随机 策略的概念，给出了均衡的存在性定理，最后考虑了后续博弈和子博弈中的 一些问题第四节主要讨论了该模型在经济学中的一点具体应用，即：企业 间相互竞争与合作的模型 2 扩展型博弈模型 本节的内容主要取自 9 传统的扩展型博弈模型使用博弈树来表示一 个具体的博弈图1 就是一个具体的博弈树它表示： 1 参与人l 首先行动，从它的行动集a l 兰 l t ，r 1 ) 中选择自己的行动； 2 参与人2 在观察到参与人l 的行动之后在他的行动集a 2 三 l 2 ，r 。 中 选择自己的行动； 2 图1 3 参与人3 在观察到参与人2 的行动之后在他的行动集a 3i l 3 ，r 3 ) 中 选择自己的行动； 4 博弈结束，每个参与人按照自己和他人的选择得到图中与之相对应的收 益 图1 中每个实心的结点( 即结点a ，b ，c ，d ，e ，f ) g ) 我们称为一个决策 结，在每个决策结旁边表明的数字代表在该结点决策的参与人图中最下方 的八个结点我们称之为终点结，博弈进行至任何一个终点结便宣告博弈结 束。终点结下方的八个向量分别表示当博弈到达该终点结时三个参与人的收 益。 博弈树中所有的决策结依照博弈的结构被分割成不同的信息集( i n f o r m a t i o n s e t s ) ，每个信息集都是所有决策结所构成的集合的一个子集，它满足： 1 该子集中每个结点都属于同一个参与人； 3 2 该参与人不能区分该子集中任何一个结点 在图1 中用虚线连接的两个结点d 和e 组成的集合就是一个信息集， 这意味着：首先这两个结点都属于参与人3 ：其次，参与人3 不能区分这两 个结点具体而言，参与人3 知道参与人l 在此前选择了行动l l ，而参与人 2 究竞选择了如还是r 。他不知道如果博弈树如图2 所示，则意味着除非 参与人l ，2 分别选择了r l 和r 2 否则参与人3 对参与人l ，2 选择的行动无 任何了解而无论图1 还是图2 参与人2 的两个结点始终未用虚线连接， 这说明参与人2 可以区分参与人1 究竞选择了l l 还是rl 图2 4 3 带行动次序的博弈模型 3 1 基本模型 假定博弈共有n 个参与人( p l a y e r ) ，我们用i = 1 ，2 ，n 给参与人标 号，用n = l ，2 ，n ) 表示所有参与人构成的集合假定博弈共有m 个行动 时刻t o ，t l ，t 。一1 r 及一个清算时刻t f r ，t o t 1 t 。一l t f ， 记t = t o ，t h 一，t 。一1 ，t f 对任何f ，t t ，f t 定义e t ) = ( r t 悟曼 r t ) 对任何参与人i ，我们用a 。表示参与人j 的行动集( a c t i o ns e t ) ，每个 a a ：表示参与人i 可能选择的一个行动我们假定a ：中含有一个特殊 的行动一观望，参与人i 在行动时选择观望意味着他什么也不做我们用 n u l l 表示观望这样，我们就可以进一步假定，在任何一个时刻t ，每个参 与人i 都必须选择自己的行动( 可以是观望) ，从而对每个行动时刻t 我们都 可以认为在t 时刻行动的参与人的集合就是如果对每个时刻t 博弈都有 且只有一个参与人选择了非观望的行动，这时的博弈就是上一节中提到的扩 展型博弈 在上节图1 中所示的博弈中，n = 1 ，2 ，3 ) ，t = t o ，t l ，t 2 ，t f ，其中参 与人1 在t o 选择非观望的行动，在t l ，t 2 选择观望，参与人2 在t l 选择非 观望的行动，在t o ，t 2 选择观望，参与人3 在t 2 选择非观望的行动，在t o ，t 1 选择观望，而在时刻t f 博弈到达博弈树的一个终点结参与人1 的行动集 a 1 三 l l ，rl ，n u l l ，参与人2 的行动集a 2 ；( 工2 ，r 2 ，n u l l ，参与人3 的 行动集a 3 三 3 ，r 3 ，n u l l 考虑如下函数 o ：txn 叫u a ；，满足a a ( t ，i ) a i ，g t t ，i n ， ( 3 1 ) t _ v 。( ，) 的全体构成的集合记做4 对每一个具体给定的n ( ，) ，a ( t ，i ) 表示参 与人i 在t 时刻选择的行动，所以n ( 。) 完整地反映了所有参与人在整个博 弈过程中的一切行为 5 定义3 1 对i ，t t ，f t ，定义o e t ) 为a 在 t t ) 上的限制，即 n 旺t ) ：i t ) n ua i ，且满足n 匠t ) ( - i ) a 。，计 i ，) ，i n i e f 3 2 1 特别地，f = t 。时，称a ir o ，t ) 为博弈在时刻的一条信息 对上节图l 中所示的博弈，如下定义的a t o ，t 2 ) 给出了时刻t 2 的一条 具体信息： a l t o ，t 2 ) ( t o ，1 ) = l l ，a t o ，t 2 ) ( t l ，1 ) = n u l l ， a l t o ，t 2 ) ( t o ，2 ) = n u l l ，a t o ，t 2 ) ( t l ，2 ) = r 2 ( 3 3 ) 它对应于图1 中的结点e 其他时刻的信息读者可自行写出可以看出， 我们如上定义的信息在博弈树中恰好与博弈树的决策结一一对应在博弈树 中，为简单记，我们用 l 。，r 2 ) 表示上面提到的信息a l t o ，t 2 ) ( 即结点e ) 所有n 阿t ) 全体构成的集合记做4 匮t ) 对每一个具体给定的o tt ) 而 言，。臣t ) ( r ，i ) 表示参与人z 在r 时刻选择的行动，所以n f ，t ) 完整地反映 了所有参与人在时刻f 之后且在时刻t 之前的一切行为特别地，a t o ，t ) 完 整地反映了所有参与人在时刻t 之前的一切行为在。匠t ) 中，若t = f ，我 们规定。臣t - ) = 0 ，4 暇d = 0 对t ，t t ，f f 0 满足 盯。) ， ( 3 2 9 ) f 3 2 7 1 仇( 一z “d 一川，一，口n ) 2 躐”t ( ，睢l ，叭。，。n j ( 3 ，3 0 j 即 d ：a r g i 呀”l ( 盯l ，一，口卜1 ，8 i ，o i + i ，巧n ) ( 3 3 1 ) 所以r 实际上是a r g i n f i x v 。( 口一，吼“s ：，吼“，一，盯n ) 中元素的凸组合 从而r ( 盯) = a r g 。m 。a 。x 。仇( 盯h 一，吼山n ，吼+ l ，j n ) 是凸的 又对任何ze ，s 是有限集，所以”g m a ，x ：”t ( 。1 ，。i - l ：s i ，o - z + l i ，。n ) 不空，又对任何d t a r g m a 。x 。u t ( 口。，吼一1 ，s t ，吼+ 一，) ，由( 3 2 7 ) 知 d 。a r gr 噤u 。( 盯1 ，o i 山n ，以十l ，) ， ( 33 2 ) 所以r ，( 盯) 不空所以尉：a ) 是非空凸集 下面说明r ( ) 是上半连续的假设一e ，一r ( 扩) ，= 1 ，2 ，及 厅：1 i m 扩，f = l i mt k 由r ( o ) 的定义，对v ien ，p ie ，成立 k 叶。r _ + o 。 让( 盯：，一，a 墨。，世，略。，一，盯：) 2 地( 盯：，a 墨t ，p 。，盯冬- ，一，砖) ，k = 1 ，2 ， ( 3 、3 3 ) 由于v i ( a ) 关于a 是线性的从而是连续的，所以在上式中令一o o ，即有： u 。( 才l ，玩一l ，矗，厅：+ 1 ，厅。) 陇( 厅1 ，一，于：一1 ，p i ，西+ l ，。，厅n ) ( 3 3 4 ) 因此对每个i n ，五r 。( 厅) ，故亍r ( 亏) 从而r ( ) 是上半连续的由 k a k u t a n i 不动点定理知存在o - 使得盯r ( 口) ，因此o - 就是博弈g 的一 个n a s h 均衡证毕口 下面针对上一小节中提到的例子说明随机策略及其n a s h 均衡的概念 我们把那个例子再写一遍 1 2 p l a y e r l p i a y e r 2 a b a1 一l1 】 b1 ，1 1 ，一l 对参与人1 而言口l ( a ) = o5 ，口l ( b ) = o5 无疑是他的一个随机策略 它表示参与人1 以5 0 的概率选择a ，5 0 的概率选择b 固定参与人1 选 择这个随机策略，此时参与人2 选择a 的期望收益为： 同理，此时选择b 的期望收益也是0 因此参与人2 无论此时选择何种随机 策略其期望收益均为o 也就是说固定参与人l 的策略不变，参与人2 的最优 策略从纯策略中选择和从混合策略中选择其期望收益相同而这就是( 32 7 ) 但是这并不意味着参与人1 选择随机策略o - - ，参与人2 选择a 就构成了整个 博弈的n a s h 均衡，很显然，参与人2 选择以时参与人1 的最优选择是口而 不是随机策略叽而只有当参与人1 和2 都使用随机策略时，均衡才可能达 到，具体而言，o - l 如上所述，口2 与口t 类似，满足口2 ( a ) = o 5 ，口2 ( b ) = o 5 很容易验证他们满足定义3 1 0 3 3 后续博弈与子博弈 下面我f f i j i 入后续博弈的概念 在博弈g = 中，对h t ，参与人i 确定了a t o ，h ) 上的划分a t o ， ) 对任何的a i r o ，h ) a t o ， ) ，我们定义由 a t o ，h ) 开始的后续博弈a ( i ，a i r o ， ) ) 如下： a ( i ，a i r o ， ) ) 的行动时刻全体t “= i t t i t 芝 ) 与前面类似，对任何 的i n ，我们用a 表示参与人i 的行动集对任何t t “，a ( i ，可i i 可) 中 时刻t 的所有信息全体将不再是4 t ) ，而是j t t o ，t ) 的一个子集 定义3 1 3 类似( 3 2 ) ，记a t o ，t ) ) 为a i r o ，t ) 在 t o ，h ) 上的限制，若 a t o ，t ) ， ) a t o ，h ) 我们称a i r o ，t ) 为c ( i ，a l t o ， ) ) 的一条信息 对后续博弈a ( i ，a i r o ， ) ) 而言，上述定义意味着只有源自a i r o ，h ) 的信 息才是我们关心的例如在图l 所表示的博弈中，结点f 就不是由日开始的 后续博弈中的信息，显然它不满足定义3 1 3 ；而结点d ，e 都是由b 开始的 后续博弈中的信息a ( i ，a i r o ， ) ) 的所有信息构成的集合我们记为a i r o ，t ) “ 1 3 在a t o ，t ) “上对参与人z 我们仍然采用a t o ，t ) 上参与人i 的等价关系。，所 以这时自然满足“完美回忆”的要求值得注意的是，虽然c ( i ，可i i 而) 开 始于时刻h ，但它的信息仍然包含f t o ，h ) 中的信息，所以c ( i ，可i i i 两) 不是 一个独立的博弈，因此我们称之为后续博弈 定义3 1 4 在c ( i ，a t o ， ) ) 中，我们定义如下的函数为参与人i 在时 刻t 的一个策略 s 。t 1 6 ：a l t o , t ? 以：， 并定义 满足s 可磊可) = s ：( 可磊_ 万) ，v a t o , t ) j 厩河( 33 6 ) s ? = s t e 丁 f 3 3 7 ) 为参与人i 在p 上的一个纯策略 参与人i 在t “上的所有纯策略构成的集合记作鲫我们称s h 三 ( s ? ，s 2 ，s 。h ) 为博弈g ( j ，可i 两) 的一个纯策略组合，其中s ? 融，i n 所有纯策略组合构成的集合记为铲= n 霹 定义3 1 5 对g 中的任何一个结果a l t o ，如) ，若口 f 0 ，t f ) ， ) 可；i 可， 我们称a l t o ，t f ) 为g ( i ，可i 可) 的一个结果g ( i ，可磊_ 可) 中所有的结果构 成的集合记作a t o ，t f ) “ 我们用函数 让、h ：a t o ，f ) 6 _ r 表示参与人i 在博弈a ( i ，可丽) 中的收益，且要求 ( 3 3 8 ) u ? ( a t o ，f ) ) = u ：( o t o ，t f ) ) ，v a t o ，t r ) a t o ，t f ) “( 3 3 9 ) 定义3 1 6 我们称五元组 为博弈g 开始于口【t o ，h ) 的后续博弈g ( i ，o 【t o ， ) ) 值得注意的是，在博弈v ( i ，n ) ) 中，一个纯策略组合驴- - ( s ，s e ， 并不能唯地确定a i r o ，扣) “中的一个结果，除非币i i 可是一个单点集而 此时的后续博弈与扩展型中的子博弈的概念非常类似我们可以看图3 所表 示的例子，容易验证参与人1 选l 1 ，参与人2 选兄2 是博弈的n a s h 均衡， 从而到达结果 三一，r 2 ) 但是在由( e ，d ) 开始的后续博弈中，参与人2 选 1 4 r 2 是不是能达到唯一的结果依赖于博弈究竟到达g 还是d ，这说明，在这 个后续博弈中策略组合( 其实就只有参与人2 一个人行动) 未必能导致唯一 的结果出现 图3 ( 2 , 8 ) 定义3 1 7 对a t o ，t ) a f t o ，) “，我们用五耳i 巧表示a t o ，t ) 在g 中所 在的划分，可i i 可表示a i r o ，t ) 在c ( i ，可；i 可) 中所在的划分如果可i 丽 是一个单点集，且对t t “，任何o t ) , a f t o ，t ) “，0 ， o ，t ) 云丽满足 a i t o ，t ) ie 札 ) = a t o ，h ) ， ( 34 0 ) 这时我们称后续博弈g ( i ，a t o ， ) ) 为g 的子博弈 ( 3 4 0 ) 意味着g 的子博弈不能切割g 中的信息集合对g 中的信息集 合a t o ，t ) ，若a l t o ，t ) 是子博弈中的信息，则任何一条a l t o ，t ) 中的信息都是 子博弈中的信息在图2 代表的博弈中，由b 开始的后续博弈就不是原来 博弈的子博弈，因为f 不满足( 3 4 0 ) 与命题3 5 类似，在子博弈中一个纯策略组合s 三( s ，s 2 ，s ：) 可以 唯一地确定a t f ) 6 中的一个结果，因此我们可以用函数 q “：s “斗a l t o ，t f ) “ ( 3 4 1 ) 表示如上的对应关系这样我们就可以用v i ( s “) 三u ? ( 矿( s “) ) 表示参与人i 选择策略s ? 时的收益了 1 5 定义3 1 8 在博弈g 中，若纯策略组合s 是g 的n a s h 均衡，且在 g 的每个子博弈g ( z ，可i 可) 中纯策略组合s “是g ( i ，可i 两) 的n a s h 均 衡，我们就称s 关于博弈g 是子博弈完美的( s u b g a m ep e r f e c t ) 与前面类似，我们同样可以把随机策略组合概念引入到a ( i ，可i 两) 中 来 4 带行动次序的博弈模型在经济学中的应用 4 1 一些简单的模型 4 1 1 垄断的情形 对在市场上处于垄断地位的企业，它所面i 临的问题是选择企业的产量， 使得企业的利润最大我们用q 【0 ，+ 。o ) 来表示企业的产量，c ( q ) 代表 成本函数，它表示产量为q 时企业的总成本，q ( p ) 表示需求函数，它表示 价格为尸时市场对该产品的需求量我们假定q ( p ) 关于尸是严格单调上 升的，然后用p = p ( q ) 表示逆需求函数，即表示产量为q 时该产品的市 场价格从而企业的利润函数为”( q ) = q p ( q ) 一e ( q ) 这样，垄断企业的 最优化问题就是： 。昂) q p ( q ) 一c ( 钳 ( 41 ) 假定上述问题存在最优解，我们将其记为q “，并记 7 t m 兰q p ( 扩) 一e ( g m ) = 踹) q p ( q ) 一c ( 饼 ( 4 2 ) 我们称q ”为垄断产量，丌“为垄断利润，而p ( q “) 为垄断价格 如果边际成本为常数c ，需求函数是线性的，即： c ( q ) = c q ，q = a p ，( a c ) ，( 4 3 ) 此时企业的垄断产量为 矿= 掣 1 6 ( 44 ) 从而企业的垄断利润为 一m 一( o c ) 2 d 4 1 2 c o u r n o t 寡头垄断模型 ( 45 ) 我们假定有n 家企业，记为l ，2 ，一，t t ，他们垄断了某种商品的生产 而每个企业都选择自己的产量以最大化自己的利润这样一个博弈的过程我 们称之为c o u r n o t 寡头垄断模型 与上一节类似，我们用啦 0 ，+ 。o ) 来表示企业i 的产量，所以p = q l + q 2 + + q 。是总产量我们用g ( 吼) 代表相应的企业的成本函数， 用q ( p ) 表示市场的需求函数，我们仍然假定q ( p ) 关于p 严格单调上升 的，从而用p = p ( q ) 表示逆需求函数，即总产量为q 时市场上该产品的 价格此时，企业i 的利润函数为 仉【q t ，q 2 ，一，) = q i p ( q l ，q 2 ，一，) 一g ( q d ，i = l ，2 ，n ( 4 6 ) 企业i 的最优化问题是 眯m a x 。) r q ( q l ，蚧一，) 一“昂焉) i v , 尸( q l ，蚍 如果c o u r n o t 模型存在均衡，我们将之记为( q e 一，虻 西8 。gq , m n a + x 。o ) h p ( g c ，一，q 1 1 ，q t ，略l ) 一g ) ( 4 7 ) ，q a ) 显然 簖) 一g ( q 。) ，i = 1 ，2 ，- ，n ， f 4 8 1 我们称q ；为企业i 的c o u r n o t 产量，称 丌c = 西p ( q ：，醛，酩) 一g ( 西)( 4 9 ) 为企业i 的c o u r n o t 利润，称p ( 酊，略，鲒) 为该产品的c o u r n o t 价格 特别地，当c j ( 吼) = q i c ，p = a q ( a c ) 时， r q ( q , ，q 2 ，一，) = q i ( a c q i 一q j ) ( 4 1 0 ) j 却 1 7 其一阶必要条件为 a 仉( q l ，q 2 =0f 4 1 1 1 上式对i 求和即可解得 q = 等半 ( 删 n + l 代入( 4 1 1 ) 即知企业i 的c o u r n o t 产量为 西= 籍，i 乩2 ，n ( 41 3 ) 此时企业z 的c o u r n o t 利润为 而a - 可c ) ，江1 ，2 、，n ( 4 1 4 ) 为保证下面的讨论有意义，我们假定n 2 ，此时可保证若有一家企业 退出竞争，仍能形成c o u r n o t 寡头垄断模型，而不是前一节所述的垄断模 型如果在n 家企业中有一家退出竞争，此时企业的总数变为n 一1 ，每家 企业的c o u r n o t 产量为a 。- c ，利润为止- p 坐