（应用数学专业论文）有关非线性发展方程求解方法及其精确解的研究.pdf

学位论文独创性声明 l l rfr ll l lr l li l l fllll ly 18 9 013 2 i i i l l ， 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注 和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本 人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名： 学位论文版权的使用授权书 渗和 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名： 鉴监 指导教师签名： 签名日期：m f 年，月) ；日 九 一戮龟蛩1 ， 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了以下三方面的问题：首先介绍了非线性演化方程的孤立子解，给出 了新j a c o b i 椭圆函数法，形变映射法和改进的截断展开法及它们在非线性方程中的应用 第二方面，介绍了达布变换( d a r b o u x ) 基本思想及其在非线性发展方程族中的应用最 后研究了孤子方程m k d v - b u r g u r s 鞍点与结点 本文由四章组成：第一章介绍了非线性发展方程的一般形式，孤立子产生的历史背 景，孤立子理论对非线性发展方程求解方法的影响，同时介绍了李群理论对非线性发展 方程显示解求法的影响第二章介绍了非线性发展方程的几种求解方法及其应用其中， 首先介绍了新j a c o b i 椭圆函数法，并以z a k h a r o v 方程为例说明了新j a c o b i 椭圆函数法 的应用，同时求得了z a k h a r o v 方程的1 2 种椭圆方程解其次，应用形变映射法给出了 一类m k d v 方程精确解其中，分别介绍了一类m k d v 方程的孤波解，周期波解，幂函 数解和j a c o b i 椭圆函数解再次，介绍了形变映射法在求解变系数m k d v 方程新的精确 解中的应用同时也简单介绍了变系数m k d v 方程的孤波解，周期波解，幂函数解和 j a c o b i 椭圆函数解最后介绍了改进的截断展开法，并应用其求出了变系数m k d v 方程 的精确解第三章，介绍了达布变换( d a r b o u x ) ，并求解了j m 方程族的自贝克隆变换， 同时得到了j m 方程的新解第四章通过对孤子方程m k d v b u r g u r s 的行波变换，求得了 m k d v b u r g u r s 方程的鞍点与结点 关键词：孤立子；新j a c o b i 椭圆函数法；形变映射法；改进的截断展开法；达布变换 警萋 辽宁师范大学硕士学位论文 m e t h o df o rs o l v i n gn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s a n dr e s e a r c h i n go nt h ee x a c ts o l u t i o n s a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fm o d e r ns c i e n c ea n dt e c h n o l o g y t h e r ea r em a n yn o n l i n e a r p r o b l e m si ns o c i a la n dn a t u r a la r e a s ，w h i c ha r o u s e sm u c hc o n c e r n m a n yn o n l i n e a rp r o b l e m s a r eu s u a l l yc h a r a c t e r i z e db yn o n l i n e a re v o l u t i o np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s oh o wt o c o n s t r u c te x a c ts o l u t i o n so ft h ea s s o c i a t e dn o n l i n e a re q u a t i o n sp l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei n u n d e r s t a n d i n gt h en o n l i n e a rp r o b l e m s 1 1 1 i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h ef o l l o w i n gt h r e ea s p e c t s ：f i r s t l y ，t h en o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n so fs o l i t o ns o l u t i o n sa r ei n t r o d u c t e d ，t h en e wj a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o nm e t h o d ， d e f o r m a t i o nm a p p i n gm e t h o da n dt h ei m p r o v e dt r u n c a t e de x p a n s i o nm e t h o da r eg i v e n ，a n d t h e i r a p p l i c a t i o n i nn o n l i n e a re q u a t i o n s s e c o n d l y ，t h ei n t r o d u c t i o no ft h ed a r b o u x t r a n s f o r m a t i o n ( d a r b o u x ) i si n t r o d u c e d ，a n di t sa p p l i c a t i o n si nn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s f i n a l l y w es t u d yt h es o l i t o ne q u a t i o no fm k d v b u r g u r ss a d d l e n o d e t l l i sp a p e rc o n s i s t so ff o u rc h a p t e rc o m p o s i t i o n ：t h ef i r s tc h a p t e rd e s c r i b e st h eg e n e r a l f o r mo fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，t h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n do ft h es o l i t o n s o l i t o nt h e o r y o fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ss o l v i n gm e t h o di n f l u e n c e 。a n di ta l s oi n t r o d u c e sl i eg r o u p t oi m p a c tt h ed i s p l a ys o l u t i o no f n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s n es e c o n dc h a p t e rd e s c r i b e s s e v e r a ln o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ss o l v i n gm e t h o da n di t sa p p l i c a t i o n a m o n gt h e m ，f i r s t l y i n t r o d u c e st h en e wj a e o b ie l l i p t i cf u n c t i o nm e t h o d ，a n dw i t hz a k h a r o ve q u a t i o n sf o re x a m p l e i su s e dt oi l l u s t r a t ei t sa p p l i c a t i o n ，a l s oo b t a i n st h e12e l l i p t i ce q u a t i o n ss o l u t i o no fz a k h a r o v e q u a t i o n s s e c o n d ，t h ea p p l i c a t i o no fd e f o r m a t i o nm a p p i n gm e t h o dg i v e se x a c ts o l u t i o n so fa c l a s so fm k d v e q u a t i o n w h i c hi si n t r o d u c e dac l a s so fm k d ve q u a t i o n ss o l i t a r yw a v e s o l u t i o n s ，p e r i o d i cw a v es o l u t i o n s ，j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ns o l u t i o n sa n dt h ep o w e rf u n c t i o n s o l u t i o n s a g a i n ，i n t r o d u c e st h ed e f o r m a t i o nm a p p i n gm e t h o di ns o l v i n gv a r i a b l ec o e f f i c i e n t m k d vn e we x a c ts o l u t i o n s a l s os i m p l yi n t r o d u c e st h ev a r i a b l ec o e m c i e n te q u a t i o nm k d v s o l i t a r yw a v es o l u t i o n s ，p e r i o d i cw a v es o l u t i o n s ，t h ep o w e rf u n c t i o na n dt h ej a c o b ie l l i p t i c f u n c t i o ns o l u t i o n s f i n a l l y ，t oi m p r o v et h et r t m c a t e de x p a n s i o nm e t h o d ，a n da p p l yt h eo b t a i n e d e q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sm k d ve x a c t s o l u t i o n s t h et h i r dc h a p t e rd e s c r i b e st h e d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ( d a r b o u x ) a n ds o l v e st h ea u t o b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o no fj m e q u a t i o n s i ta l s oo b t a i n sn e ws o l u t i o n so fe q u a t i o nj m t h ef o u r t hc h a p t e r ，t h r o u g ht h e t r a v e l i n gw a v et r a n s f o r m a t i o no fm k d v b u r g u r s ，a n do b t a i n e dt h es a d d l e n o d a lp o i n to f m k d v b u r g u r se q u a t i o n ，麓弘节，a心； 蠡雾矿 有关线性发展方程求解方法及其精确解的研究 k e yw o r d s ：s o l i t o mn e w j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o nm e t h o d ；d e f o r m a t i o nm a p p i n g m e t h o d ；i m p r o v e dt r u n c a t e de x p a n s i o nm e t h o d ；d a r b o u x t r a n s f o r m a t i o n i v 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i i 1j 子l 言1 1 1 孤立子产生的历史背景1 1 2 孤立子理论对非线性发展方程显示解求法的影响1 1 3 李群理论对非线性发展方程显示解求法的影响2 1 3 1 计算机在求解非线性方程中的作用3 1 4 本文研究的主要内容3 2 非线性发展方程的几种求解方法及其应用4 2 1 新j a c o b i 椭圆函数法在求非线性偏微分方程的孤子解中的应用4 2 1 1 新j a c o b i 椭圆函数法4 2 1 2 新j a c o b i 椭圆函数法在z a k h a r o v 方程中应用5 2 1 3z a k h a r o v 方程的椭圆方程解1 0 2 2 形变映射法在求解非线性偏微分方程孤立子解中的应用13 2 2 1 形变映射法13 2 2 2 形变映射法在一类m k d v 方程中的应用1 3 2 2 3 变系数m k d v 方程的精确类孤子解1 8 2 3改进的截断展开法及其应用2 2 2 3 1 改进的截断展开法2 2 2 3 2 改进的截断展开法在变系数m k d v 方程中的应用2 2 3j m 方程族的d a r b o u x 变换2 6 4 孤立子方程m k d v b u r g e r s 的鞍点与结点一3 3 l 砉 论3 5 参考文献3 6 攻读硕士学位期间发表学术论文情况。4 1 致谢4 3 骞 叁 。! 莲 掣 巍 ：知 0 辽宁师范大学硕士学位论文 篝 i 鏊 葛i 。 ：器 1 引言 在物理研究中，经常会遇到各类非线性发展方程( n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ) ，它 们包含非线性常微分方程、非线性偏微分方程、非线性差分方程( 非线性映射或非线性 迭代) 和函数方程( 一个函数自身或多个函数之间满足的一个函数关系式) 等 非线性发展方程的一般形式为 e ( x ，f ，u ，u x ，u t ，u x x ，z k ，) = 0 ，k = 1 ，2 ，m ( 1 1 ) 其中x = ( x l ，x 2 ，) 是空间变量，t 是时间变量，u = ( u 1 ，u 2 ，u 。) ，“f = u j ( x ，f ) 是 未知函数，e 是给定的函数关系，u x ，u t 分别是u 对x ，f 的导数，m ，珂，s 是自然数 1 1 孤立子产生的历史背景 1 8 3 4 年，英国科学家r u s s e l l 偶然观察到一种奇妙的水波1 8 4 4 年，他在英国科学 促进协会第1 4 届会议中作了题目为波动论1 1 1 在报告中，他记述自己既沿着河道骑 马追踪一种奇特的水波现象时，并通过水槽实验观察得到“孤立波( s o l i t a r yw a t e rw a v e s ) 他认为这种孤立波是流体运动的一个稳定解，但一直未能给出孤立波的解析形式满意的 解释 1 8 9 5 年，荷兰著名数学家k o r t e w e g 和他的学生d e v r i e s 研究浅水波运动，找到了 一种流体中单向波传播的数学模型，即著名的k d v 方程【2 1 ，并从方程中求出了与r u s s e l l 描述一致的同时具有形状不变的脉冲状的孤立波解，从而在理论上证实了孤立波的存 在1 9 6 0 年，g a r d n e r 和m o r i k a w a 在研究无碰撞磁流波时，又重新发现k d v 方程【6 1 1 9 6 2 年，p e r r i n g h e 和s k y m e 研究基本粒子模型时，对s i n e g o r d o n 方程作了数值模拟【4 】， 结果表明：碰撞后二个孤立波也仍保持着原有的形状和速度1 9 6 5 年，k r u s k a l 和 z a b u s k y t 5 】证实了孤立波相互作用后不改变波形的结果从此，孤立子作为应用数学中的 新概念诞生了 近年来，孤立子理论的研究不断的前进和发展，孤立子理论已经初步形成国内外 学者在孤立子方面已经出版了许多专著 6 - 1 1 j 孤立子理论既包括数学理论和物理理论， 数学的严密性与物理的实用性相互结合，使孤立子理论显示出强大的生命力 1 2 孤立子理论对非线性发展方程显示解求法的影晌 有关线性发展方程求解方法及其精确解的研究 孤立子理论的产生与发展对非线性发展方程的求解方法探索起着重要的作用在 1 9 6 7 年，g r d d n e 、m i u r a 、k r u s k a l 和g a r d n e r 创立了反散射方法p 2 - 1 s j ，成功地求解出 k d v 方程的孤子解后来，l a x 、s h a b a t 、z a k h a r o v 等人又将这种解扩展之后，解出了一 般的非线性发展方程的解，而这就形成了l a x 理论【1 4 _ 15 1 a b l o w i t z 、k a u p 、n e w e l l 和 s e g u r 更加一般化了这一方法，统称a k n s 方法l m - 1 引我国的李翊神教授、谷超豪教授、 屠规彰教授、田畴教授同样为发展这一方法的研究也作了突出的贡献1 1 9 - 2 5 j 1 9 7 1 年，h i r o t a 利用函数变换求出特解的h k o t a 方法【2 “2 引，也就是双线性方法而 同时，古老的数学方法b a c k l u n d 变换可以用于一般的非线性发展方程求解，由b 西c m u n d 变换引出的非线性迭加原理将非线性方程的求解问题归结为纯代数运算，从而获得方程 的特解【2 9 而且，利用b 石c k l u n d 变换可以作出d a r b o u x 阵，于是形成了d a r b o u x 方法 谷超豪教授、胡和生与周子翔教授教授等在这方面也作了很多工作 s l - s 4 j 1 9 7 8 年，张鸿庆教授提出了“a b = c d ”法1 3 5 1 ，目的是通过代数方法给出微分方程 统一的算法，并由此解决了许多力学中的方程( 组) 1 9 9 4 年王明亮教授，李志斌教授根 据非齐次项与高阶导数项平衡的原则，提出了齐次平衡法，将非线性发展方程齐次化、 代数化，从而成功地求解了许多非线性方程【3 6 。3 引1 9 9 8 年乔志军教授等人 3 9 1 利用变量分 离法和代数几何工具，从r - 矩阵，l a x 对及“非线性理论”出发，提出了构造代数几何 解或有限带势解的途径范恩贵教授等发现了许多非线性发展方程新的具有物理背景的 孤立子解f 4 0 蜥】，同样在探究非线性演化方程新的求解方法方向做了大量的研究工作 总之，非线性方程求解方法目前仍无一本专著能够精确的论述所有的求解方法，因 非线性方程不同，新的求解方法不断涌现，孤立子的研究不断推动着非线性方程求解技 巧与方法的发展 1 3 李群理论对非线性发展方程显示解求法的影响 反散射方法等在进一步讨论非线性发展方程的孤立子解时是成功的，但是它也有其 使用范围的局限性所以人们在寻找通过其它的不同的途径来获得孤子方程的显示解 李群方法就是在解决非线性发展方程的孤立波解与相似解中一种非常有效的解决方法 从十九世纪七十年代起，s l i e 就试图通过对常微分方程中构造一般的积分理 论1 9 0 5 年，p o i n c a r e 发现l o r e n t z 变换构成的m a x w e l l 方程的对称群后，李群理论逐步 受到科学家的重视1 9 7 4 年，b l u m a n h ec o l e 的微分方程的相似法【4 7 j 成为利用李群 理论研究非线性微分方程的入门著作三十多年来，经过许多为数学家和物理学家的不 辽宁师范大学硕士学位论文 断努力，李群理论研究与应用已经达到了更高的水平，其中较为完整的结果在o l v e r 所 著的李群在微分方程的应用【4 s 】中有详细的论述 近几年，李群理论对非线性演化方程约化分类研究已经有了许多的成果 4 9 , 5 0 这种 分类导出了许多新类型的方程，而且从求显示解的角度需要出发，是未来孤子方程发展 求解的一个的新动向 1 3 1 计算机在求解非线性方程中的作用 在孤立子理论的研究过程中，通过计算机代数的应用，提高了运算的速度，而且保 证了运算的准确度。m a p l e 、m a t l a b 、m a t h e m a t i c a 、o r i g i n 、l i n d o 、a n s y s 等符号运算 已经成为数学研究中一项强有力的工作，为科学计算提供了新的发展方向 我国数学家吴文俊院士创建了多元多项式方程组求解的吴消元法1 5 1 - 5 3 ，为近代非线 性科学的发展研究提供了强有力的工具 朱思铭教授通过符号计算和吴方法对孤立子偏微分方程的p a i n l e v e 性质的奇点分 析，从而证明了许多偏微分方程是p 型的 5 4 , s s 】近年来，张鸿庆教授和范恩贵教授在微 分方程求解问题代数化、吴方法和机械化在微分方程应用方面做了许多重要工作 5 6 - - 6 0 ， 求解了力学和物理中如b e r n o u l l i 方程、b u r g e r s 方程、l i o u v i l l e 方程、d u f f m g 方程、b e n n e y 方程、高阶k d v 、l a m b e r t 方程等许多方程或其组合形式 李志斌教授利用吴方法和计算机代数，在构造和寻找非线性方程的行波解方面做了 许多新工作他引入了t a n h 函数法 6 1 , 6 2 】，从而解决了许多非线性演化方程的求解工作 1 4 本文研究的主要内容 本文主要依据现有的孤立子的理论与方法，在已有的工作的基础之上，做了一些新 的工作，寻找到它们新的孤子解与精确解 主要研究内容： 1 利用新j a c o b i 椭圆函数法求解z a k h a r o v 方程的孤立波解，同时求出相的j a c o b i 椭圆函数解 2 利用形变映射法构造一类m k d v 方程的精确解 3 利用形变映射法构造变系数m k d v 方程的精确解 4 利用改进的阶段展开法求解了变系数m k d v 方程的精确类孤子解 5 利用达布变换( d a r b o u x ) 及自贝克隆( a u t o b a c k l u n d ) 变换构造了j m 方程族 的新解 6 讨论了孤子方程m k d v b u r g u r s 的鞍点与结点 蕊。 有关线性发展方程求解方法及其精确解的研究 2 非线性发展方程的几种求解方法及其应用 2 1 新j a c o bi 椭圆函数法在求非线性偏微分方程的孤子解中的应用 在本节中，我门将详细讨论新j a c o b i 椭圆函数法【6 3 1 在z a k h a r o v 方程中的应用 2 1 1 新j a c o bi 椭圆函数法 步骤( 舢：对一个给定的非线性发展方程( 组) f ( u ，蚝，u t ，u x x ，- ) = 0 ( 2 1 1 ) 首先作行波变换 u ( x ，f ) = 甜( 号) ，亏= x 一九f ，( 2 1 2 ) 其中九为波速，则得到常微分方程( 组) g ( u ，u7 ( 写) ，u 。( 号) ，) = 0( 2 1 3 ) 这里表示导 步骤( b ) ：设( a ) 中得到的常微分方程( 组) ( 2 1 3 ) 的解为： 甜( 号) = a 卜1 ( 亏) ( b 彳( 亏) + g ，b ( 亏) ) + p 。 ( 2 1 4 ) 其中n 是一个待定常数，它可以通过平衡最高阶导数项和非线性项得到哗1 而彳( 亏) ，召( 号) 是下述双投影r i c c a t i 方程的非零解， 彳( 号) = r a ( 亏) b ( 亏) ( 2 1 5 ) b ( 号) = 6 + 檀2 代) 一鲥( 亏) ( 2 1 6 ) 其中：b 2 心) ：一! 6 2 s a ( g ) + # 彳2 】，6 ：l ；b , r , s 是常数参数，岛，局，吼是 待定常数基于上述关系和文献 6 3 ，6 5 】，我们给出方程( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) 如下形式的解 当6 2 2 = 6 2 2 2 + 6 且打 0 时，方程( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 有如下三角函数解： 4 辑) ： 型业l = 一 ( 2 1 9 ) 丢s e c h ( j f f 亏) + k ot a n h ( 4 硪) + t 弩一孚。；箫 叫。， 步骤( c ) ：将式( 2 1 4 ) 连同方程组( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) 代入方程( 2 1 3 ) ，并寻找 a 7 ( 毛) b 7 ( 亏) ( k o ，1 ，n ；j = 0 ，1 ) 的各项系数，然后令这些系数为0 ，就得到了一个关于 变量仇，p i ，q i ，九( f = l ，n ) 的超定代数方程组 步骤( d ) ：利用w u 方法【6 7 1 和符号计算语言m a p l e 求解上超定方程组，得到 p o ，p i ，级，x ( i = 1 ，忍) 的若干解 步骤( e ) ：把步骤( d ) 中得到的各组解连同解组( 2 1 7 ) 、( 2 1 8 ) 、( 2 1 ，9 ) 和( 2 1 0 ) 代( 2 1 4 ) 式和( 2 1 2 ) 式就得到了原方程n ( 2 1 1 ) 的精确解 2 1 2 新j a c o b i 椭圆函数法在z a k h a r o v 方程中应用 z a k h a r o v 方程旧1 【6 8 具有非常丰富的物理背景和内涵，在研究等离【子】体高频运动 或非线性光波的研究中都涉及z a k h a r o v 方程 方程形式如下： 雾一窘= p 警萨一萨2p 带 f 堡+ 仅筹一6 删= o 他，p o ) (2111)ot缸2 。”。 7 考虑v 是电场强度的变慢振幅，我们设它为包络波解，而离子数密度偏差u 取为一 般行波解即令 “= z f ( 亏) ，1 ，= 巾( 号) p “。h 删，亏= x - - c g t ( 2 1 1 2 ) 将( 2 1 1 2 ) 代入方程( 2 1 11 ) 得到 ( 瑚可0 2 u = p 等 仪等+ 恤后一龟) 蹇+ ( m - a k 2 ) 砷= o ( 2 1 1 3 ) 将( 2 1 1 3 ) 式的第一个方程直接积分，取积分常数为零，得 毯鬟羹_v蟹鼍i。； 有关线性发展方程求解方法及其精确解的研究 ( c a - c ；) u = p 巾2 ( 2 1 1 4 ) 由此可见，对于实函数巾上式成立要求一与“有同样的符号即c g c s ( 超声速) 时，材取正号 将( 2 1 1 4 ) 式代入( 2 1 3 ) 的第二个方程有 a 等+ r ( 一) 老+ ( m - a k 2 ) 巾一螽卜。 ( 2 5 ) 将( 2 1 1 2 ) 式代入( 2 1 1 5 ) 式有 州+ f ( 枷咚) ”( m - 仪k 2 ) 巾一萎辟。( 2 1 1 6 ) 令 2 x x k 一铭= o ， 即 k = 导 ( 2 1 1 7 ) 2 a 、 贝l j ( 2 1 1 6 ) 式化为 州+ ( c o - o 。k 2 ) 巾一螽小。 由( 2 1 1 7 ) 式和( 2 1 1 8 ) 式可知： 、 叫+ ( 二甜一墨水。 即 c 。2 小车巾+ 南巾3 设 巾( 亏) = p o + a 么( 号) + g l b ( 亏) 由文献【6 3 】知，当彳( 号) ，b ( 号) 满足约束条件 b 2 ( 亏) = 一昙+ 了2 s 彳( 号) 时，方程( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 有如下椭圆函数解： ( 2 1 1 8 ) ( 2 1 1 9 ) ( 2 1 2 0 ) ( 2 1 2 1 ) ( 2 1 2 2 ) 辽宁师范大学硕士学位论文 彳( 亏) = 丢+ 却2 ( 亏) ，召( 亏) = 丢端 其中、i ，( 号) 满足第一种椭圆方程 、l ，2 ( 亏) = 蔷+ 争2 ( 亏) + 了r s l 4 r 弓2 ) 当么( 亏) ，b ( 亏) 满足约束条件 b 2 ( 毛) = 一昙+ 了2 5 彳( 亏) 一万s 2 么2 代) 时，方程( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 有如下椭圆函数解： 么( 亏) = 丢+ 却( 号) ，b ( 芎) = 焉 其中v ( 亏) 满足椭圆方程 、l ，吨( 亏) = 一志+ 了b r v2 ( 亏) + 争4 ( 亏) ( 2 1 2 3 ) ( 2 1 2 4 ) ( 2 1 2 5 ) ( 2 1 2 6 ) ( 2 1 2 7 ) 将( 2 1 2 1 ) 式代入( 2 1 1 9 ) 式并利用( 2 1 5 ) 、( 2 1 6 ) 和( 2 1 2 2 ) 式，再令彳( 亏) 和b ( 号) 的各次 幂的系数为零，得： 以一孕玲争五一丧( 露一i 3 r 翮= 。 从伐( , 2 p i t 3 ) 肛勘 一再1 3 8 ( 3 露a + 孚胁g ；一詈翮= 。 a 2 ：3 p i s 一晷( 3 胁彳+ 等耐) = o 以一晷触 b ：_ 2 9 l 9 一等h + 萎( 3 小t 一q ；r = 。 彻一梆一螽c 6 + 等瑚 一7 ( 2 1 2 8 a ) ( 2 1 2 8 b ) ( 2 1 2 8 c ) ( 2 1 2 8 d ) ( 2 1 2 8 e ) ( 2 1 2 8 f ) 蕊器簧馐侈谚蠡甏。j 有关线性发展方程求解方法及其精确解的研究 趴一丧3 幽- o c ：一 用m a p l e 解上面的超定方程组，可得： 局= 0 ，q l = = - 0 ( 2 1 2 8 g ) p o _ + 警据 ( 2 1 3 0 ) 吐百、百 u 川 其中，。= 管2 2 。，仅 。，咚= 2 施，= 后龟一2 厂缸一+ 詈仅 于是： 巾( 亏) = p o + a 彳( 亏) + 9 1 b ( 芎) 赶警倍= _ r 一f t 9 e f0 4 s 却( 亏) v7 ( 号) b r + 2 s r l v2 ( 亏) 将( 2 1 3 1 ) 式代入( 2 1 1 2 ) 式和( 2 1 1 4 ) 式，可得z a k h a r o v 方程的一个孤立波解 材= 韪：g - - c s = 古巾2 ( 廿d ：扣簪居 v = 巾( 亏) p “缸刮 谁誓后 ( 2 1 3 1 ) ( 2 1 3 2 ) ( 2 1 3 3 ) 对，- ，b ，s ，的不同取值，v ( 号) 对应于不同的椭圆函数 将( 2 1 2 1 ) 式代入( 2 1 1 9 ) 式并利用( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ，( 2 1 2 5 ) 式，再令彳( 号) 和b ( 号) 的各次幂 的系数为零，得： 以一孕协争风一萎c 露一等耐瑚 “。a 卜，一孚咱寸旷勘 一是( 3 露a + 尘r 风g ；一孚b 翮) _ o c ：一c ； 一8 一 ( 2 1 3 4 a ) ( 2 1 3 4 b ) 辽宁师范大学硕十学位论文 “a4 p ：r _ p l r b 2 q l r 3 ，) 萎c 3 彳风+ 等耐一百3 s 2 圳2 = 。( 2 4 q 以一丝b 一参( 薪一型b r ) _ 0c ：一”1 曰：- 2 9 1 细一等地+ 孺f 5 8 ( 3 小。一争= 。 胁也螽c 6 + 争= 。 么：b ：兽( 3 幽一丝) ：o c ；一 一 r 用m a p l e 解上面的超定方程组，可得： 球三居， 风：掣掂瓜 ( 2 1 3 4 d ) ( 2 1 3 4 e ) ( 2 1 3 4 f ) ( 2 1 3 4 g ) ( 2 1 3 5 ) 舯，e 二譬 o ，b r , t x 0 咚- 2 妣 = 鲁j 0p ( 。+ 手王4 鱼0 b 卜钇 i2 ，l 于是：巾( 号) = p o + a 彳( 亏) + g 。b ( 亏) = 瓜( 。+ 躬ss y 帅fr i 训亏) ) 居老 亿6 ， 将( 2 1 3 6 ) 式代入( 2 1 12 ) 式和( 2 1 14 ) 式，可得z a k h a r o v 方程的又一个孤立波解 舻差2 2 2 击巾2 = 古c 厕( 。+ 驻居( 扣) + 悟 v = q b ( g ) e 7 h 刊 一9 ( 2 1 3 7 ) 囊掣强罨甏器拶嵇嚣甏毒 鱼的 螽 c ：薹i 4 衍 一 一一 有关线性发展方程求解方法及其精确解的研究 二- 二二- 二二二二= 二二二_ 二二二二一 = c 而三层( 扣) 辱燕暂 8 ， 对，一，b ，s ，z 的不同取值，、l ，( 亏) 对应于不同的椭圆函数 2 1 3z a k h a r o v 方程的椭圆方程解 f 、回从弟甲种椭圆方程角度考虑z a k h a r o v 方程 由( 2 1 2 0 ) 式可得： 弘l 若一十南巾3 亿 9 ， 而( 2 1 3 9 ) 是第一种椭圆方程根据椭圆函数的性质，可以求出( 2 3 9 ) 式各种椭圆方程的 j a c o b i 椭圆函数解 情况1 若豆4 x 2 一夏- - - l a 2 ( 1 + m 2 ) 叫鼬3 9 ) 懈 巾( 号) = d s ，z ( 此，m ) ( 2 1 4 0 ) 其中o 聊1 是模数，p 是波数，d 为振幅，m 2 + 聊“：1 z a l ( 1 1 躺v 方程的解： 归崧2 去群川 1 ，= 巾( 号) 口h 唰= d s 刀( 此，m ) e 。( h 叫( 2 1 4 1 ) 情况2 若善一夏c o = l a = ( 2 m 2 - 1 ) , 南一簪州铲胁川2 ) z a k h a r o v 方程的解： 牡螽。去d 2 群呲川 v = p 僻刊= 砌( 蜘) 口怛 ( 2 1 - 4 3 ) 情况3 若善一詈叫( 2 矾南= 一d 2 川伊砌呲川( 2 1 4 4 ) z a k h a r o v 方程的解： 牡器兰去彬他州 情况4 若 辽宁师范大学硕士学位论文 1 ，= 巾( 号) p h 州= 砌( 此，m ) e h 叫 乓一竺= - i t 2 ( 1 枷m 一2 )l 一一 + 。l 4 a 2a z a k h a r o v 方程的解： 情况5 p 6 2 0 l ( 一e ) ( 2 1 4 5 ) = 导，巾( 亏) = 伽( 心肌) ( 2 1 4 6 ) 舻崧, 22 = 南d 2 群川)c g sc 三一c ： 1 ，= 巾( 亏) p 疆h 刊) = 撕( 此，m ) e 恤唰 若立4 a2 一詈乖( 2 m 2 - 1 ) z a _ k h a r o v 方程的解： 情况6 p 6 2 0 l ( 一蠢) 牡器= 去川 v = 巾( 号) p h = d n c ( b t 亏，m ) e 。h 刊 若嘉2 一詈乖( 2 彳) z a k h a r o v 方程的解： 情况7 若 p 6 缸( 一e ) ( 2 1 4 7 ) ，巾( 亏) = d n c ( p , 亏，m ) ( 2 1 4 8 ) ( 2 1 4 9 ) = 一可p 2 m f 2 ，巾( 亏) = 锄d ( 此，所) ( 2 1 5 0 ) 材= 器= 去川 v = 巾( 亏) p = d n d ( b t 亏，m ) e 似刊 1 善一竺：1 a 2 ( 2 - m 2 ) 1 ! o 一= ： 缸20 【 z a k h a r o v 方程的解： 归差 c ：一c ： p 6 缸( 一) d 2 s c 2 ( 此，m ) v = 巾( 亏) p 怛刊= 胁c ( 此，m ) e h 训 情况8 若善一竺：p 2 ( 2 m 2 1 ) 4 a 仪 。 缸( 一) 一1 1 ( 2 1 5 1 ) ，巾( 号) = d s c ( p g ，m ) ( 2 1 5 2 ) l a 2 m 2 m 7 2 = 一一 d 2 ( 2 1 5 3 ) ，巾( 亏) = d s d ( i t 亏，m ) ( 2 1 5 4 ) 惫耄蒸孽分甏， 笙 p 一 = 笙矿 p 一 = p 孺 = 1 情况9 若 有关线性发展方程求解方法及其精确解的研究 u2 一 d 2 s d 2 ( 此，m ) v = 巾( 号) p h 叫= 删( 此，m ) e 恤唰 砉一詈- p 2 ( 2 - m 2 ) , 丽1 3 8 z a k h a r o v 方程的解： 情况1 0 若 , = 一e c 2 一 ( 2 1 5 5 ) = 萨i l l , 2 ，巾( 亏) = 抛( 此，聊) ( 2 1 5 6 ) d 2 c s 2 ( 此，m ) 1 ，= 巾( 亏) p 恤刮= d e s ( 1 t ，m ) e 恤唰 善2 一夏t o = _ l a 2 ( 1 + m 2 ) , 丽1 3 8 z a k h a r o v 方程的解： 情况1 1 若 z a k h a r o v 方程的解。 甜2 一一2d 2 c d 2 ( 此，m ) ，= 巾( 号) p 似训) = d c d ( 1 t 亏，m ) p ( h 唰) u2 ( 2 1 5 7 ) 咖( 号) = d 耐( 此，肌) ( 2 1 5 8 ) ( 2 1 5 9 ) = p 2 ( 2 m 2 - 1 ) ，丽1 3 8 = 萨1 1 2 ，= 腑( p 训( 2 1 6 0 ) 一 d 2 d