高中生函数学习的障碍分析及其对策研究优秀毕业论文 可复制黏贴.pdf

扬州大学 硕士学位论文 高中生函数学习的障碍分析及其对策研究 姓名：张锡平 申请学位级别：硕士 专业：学科教学（数学） 指导教师：季素月 20090901 张锡平高中生函数学习的障碍分析及其对策研究 中文摘要 函数是我国中学教学的核心内容，它贯彻于中学教学的始终，是整个中学数 学的骨架，其思想和方法辐射到数列、三角、复数、几何等数学领域，它是培养 学生逻辑思维和辨证唯物主义观的好材料。同时，函数又以其自身概念的高度概 括性，函数符号的抽象性及表达形式的多样性成为中学教学的重点和难点。对学 生来说，刚刚接触、学习非常量的变量、函数概念，特别是在其概念形成水平较 低时，他们在认知、理解上可能会出现一定困难。 本文通过问卷调查和访谈、个案研究等方法，研究以下几个问题： ( 1 ) 函数概念理解的障碍的类型和表现有哪些? ( 2 ) 产生障碍的原因有哪些? ( 3 ) 新课程理念下的教学对策。 本研究的结论如下： 1 函数学习的障碍表现有： ( 1 ) 学生的函数概念表象有些是不全面的，甚至是错误的； ( 2 ) 数与形是割裂的，不能相互运用； ( 3 ) 不能正确理解数学语言和进行有效的语言转换； ( 4 ) 不能运用函数知识解决实际问题。 2 造成学生函数学习障碍的原因有： ( 1 ) 函数概念本身的复杂性和抽象性。具体包括：函数概念表示的多样性、 函数图像运用的困难、函数符号抽象性的困难、对数学语言的理解的困难 等； ( 2 ) 学生的认知结构和认知能力上存在的问题影响了函数的学习； ( 3 ) 教师教学的方法上存在的问题影响了函数的学习。 3 函数教学的对策的研究 ( 1 ) 函数知识教学的策略 充分掌握学情是组织函数教学的前提： 运用不同的方式引入函数概念； 函数教学过程中强调层次性。 ( 2 ) 函数技能训练的策略 在函数教学中培养和提高学生数学语言与自然语言相互转化的能力； 函数教学过程中重视数形结合能力的培养。 ( 3 ) 函数问题解决的策略 在理解题意阶段，帮助学生掌握捕捉解题信息的策略； 2 扬州大学教育硕士学位论文 在探求途径阶段，帮助学生掌握变换问题的策略； 在解题的结束阶段，帮助学生养成反思与评价的习惯。 关键词：函数学习障碍高中生策略 张锡平高中生函数学习的障碍分析及其对策研究 a b st r a c t 3 f u n c t i o ni sa ni m p o r t a n tf o u n d a t i o nf o rm o d e r nm a t h e m a t i c s f u n c t i o no ft h ec o n c e p to fs e c o n d a r ys c h o o is t u d e n t sa r o u n dt h e w o r i dh a sa l w a y sb e e na ni m p o r t a n te l e m e n tr e q u i r e d f u n c t i o n i st h ecoreo fo u rc o u n t r ys c h o o lt e a c h i n gc o n t e n t ，w h i c hc a r r y o u tt e a c h i n gi nsc h o o ih a sa l w a y sb e e n ，t h ew h o l esk e l e t o no f t h em i d d l es c h o o lm a t h ，t h ei d e a sa n dm e t h o d so fr a d i a t i o nt o t h es e r i e s ， t r i a n g u l a r ，c o m p l e x ，g e o m e t r ya n do t h e ra r e a so f m a t h ， i ti st ot r a i ns t u d e n t si n l o g i c a lt h i n k i n g a n d d i a l e c t i c a lm a t e r i a l i s mm a t e r i a l sa n db e t t e rc o n c e p t a tt h e s a m et i m e ，t h ec o n c e p to ff u n c t i o nh a si t so w nh i g hl e v e lo f g e n e r a l i t y ，t h ea b s t r a c tf u n c t i o ns y m b o l sa n de x p r e s s i o n so f d i v e r s i t yt ob e c o m et h ef o c u s o ft e a c h i n ga n ds c h o o l d i f f i c u l t i e s o fs t u d e n t s ，ju s tc o n t a c tt h ea m o u n to fs t u d yi s v e r yv a r i a b l e ，f u n c t i o no ft h ec o n c e p t ，e s p e c i a l l yi ni t sl o w e r l e v e lc o n c e p t s ，t h e ya r ek n o w l e d g e ，u n d e r s t a n d i n go n c e r t a i nd i f f i c u l t i e sm a ya r i s e i nt h i sp a p e r ，aq u e s t i o n n a i r es u r v e ya n di n t e r v i e w s ，c a s e s t u d i e sa n do t h e rm e t h o d st os t u d yt h ef o l l o w i n gq u e s t i o n s ： ( 1 ) h o wm a n yt y p e sa n df o r m so fb a r r i e rf u n c t i o n sd ot h e s t u d e n t sh a v e ? ( 2 ) w h a tb a r r i e rf u n c t i o n sd ot h es t u d e n t sh a v e ? ( 3 ) t h es t r a t e g i e st os o l v et h e s ep r o b l e m s t h ec o n c l u s i o n so ft h i ss t u d yarea sf o l l o w s ： 1 t h eo b s t a c l e st os t u d e n t ss t u d y i n gt h ep e r f o r m a n c eo f f u n c t i o n si n c l u d e ： ( 1 ) t h ec o n c e p to fa p p e a r a n c eo fs o m eo ft h ef u n c t i o n si s w r o n ga n ds o m ea r ei n c o m p l e t e ( 2 ) t h en u m b e ra n ds h a p ea r es e p a r a t e da n dc a nn o tu s ee a c h o t h e r ( 3 ) s t u d e n t sc a nn o tu n d e r s t a n dt h em a t hl a n g u a g er i g h ta n d t h el a n g u a g eo fe f f e c t i r ec o n v e r s i o n ( 4 ) t h eu s eo ff u n c t i o no fk n o w l e d g et os o l v ep r a c t i c a l p r o b l e m s 2 r e s u l t i n gi ns t u d e n t sw i t hl e a r n i n gd i s a b i l i t i e sf u n c t i o n o ff a c t o r s ： ( 1 ) f u n c t i o no ft h ec o m p l e x i t yo ft h ec o n c e p ti t s e l fa n d t h ea b s t r a c t i n c l u d i n g f u n c t i o ni s t oe x p r e s st h ec o n c e p to fd i v e r s i t y t h eu s eo ff u n c t i o nd i f f i c u l ti m a g e s f u n c t i o no fd i f f i c u l ta b s t r a c ts y m b o l s u n d e r s t a n d i n go fm a t h e m a t i c a ll a n g u a g ed i f f i c u l t i e s ( 2 ) t h es t u d e n t sc o g n i t i v e s t r u c t u r ea n dc o g n i t i v e f u n c t i o no ft h el i m i t e di m p a c to nt h es t u d y ( 3 ) t e a c h i n gp h i l o s o p h ya n dt e a c h i n gm e t h o d so fs t u d y i n g t h ei m p a c to ft h ef u n c t i o n 3 f u n c t i o nt e a c h i n gc o u n t e r m e a s u r er e s e a r c h ( 1 ) f u n c t i o nk n o w l e d g ei n s t r u c t i o n t h ef u l lg r a s p i n gs t u d ys e n t i m e n ti so r g a n i z e st h e f u n c t i o nt e a c h i n gt h ep r e m i s e u t i l i z e st h ed i f f e r e n tw a yi n t r o d u c t i o nf u n c t i o n c o n c e p t t h ef u n c t i o no ft e a c h i n gp r o c e s se m p h a s i z e st h e h i e r a r c h i c a l ( 2 ) f u n c t i o ns k i l lt r a i n i n g r a i s ea n ds h a r p e na b i l i t yi nt h ef u n c t i o nt e a c h i n g w h i c ht h es t u d e n tm a t h e m a t i c a ll i n g u i s t i c sa n dt h e n a t u r a ll a n g u a g et r a n s f o r mm u t u a l l y t h ef u n c t i o no ft e a c h i n gp r o c e s st a k e st h en u m b e r s h a p ec o m b i n i n gc a p a c i t yt h er a i s e ( 3 ) f u n c t i o nq u e s t i o na p p l i c a t i o na n ds o l u t i o n s t a g ei nu n d e r s t a n d i n gt h em e a n i n go ft h eq u e s ti o n s t oh e l ps t u d e n t sm a s t e rt h ei n f o r m a t i o np r o b l e m 。s o l v i n g s t r a t e g i e st oc a p t u r e s t a g ei nt h es e a r c hf o rw a y st oh e l ps t u d e n t sg r a s p t h et r a n s f o r m a t i o no ft h es t r a t e g i e s i nt h ee n ds t a g eo fp r o b l e ms o l v i n gt oh e l ps t u d e n t s d e v e l o pt h eh a b i to f r e f l e c t i o na n de v a l u a t i o n k e y w o r d s ：f u n c t i o nl e a r n i n gd i s a b i l i t i e sh i g h s c h o o l s t u d e n t st h ec o n c e p to ff u n c t i o ns t r a t e g y 扬州大学教育硕士学位论文 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研 究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表 的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 签字日期： 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向 国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅。 本人授权扬州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学 技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 导师签名： 毒毫 签字日期：年月 日 ( 本页为学位论文末页。如论文为密件可不授权，但论文原创必须声明。) 、了日 够 0 ， 卜 f 月 7 】i ， ? 、日 眵 场 名 月月 7 ， 扩 ； 年 名7 铭1 者 7 作 ： 文 期 论 日 位 字 学 签 张锡平高中生函数学习的障碍分析及其对策研究 5 1 引言 1 1 背景 加里宁曾说：“数学是锻炼思维的体操 。在学习数学知识及运用数学知识、 思维和方法解决问题的过程中，不仅能培养辩证唯物主义世界观，还能培养实事 求是、严谨认真和勇于创新等良好的个性品质。而随着时代的发展社会的进步， 对数学有了更宽泛的要求，数学不仅仅作为一种工具，数学素养成为了新时代公 民的一种必备的基本素养。 2 0 世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下， 函数进入了中学数学。克莱因提出了一个重要的思想以函数概念和思想统一 数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念 为中心，将全部数学教材集中在他周围，进行充分地综合。” 为适应时代的发展和社会进步的要求，普通高中课程标准指出，必须将函 数的思想方法贯穿在了整个高中数学的学习中，不断加深对函数概念本质的认识 和理解。 1 1 1 函数的作用 函数是刻画现实世界量与量制约关系的数学模型。 函数概念是高中数学的核心概念之一，运用函数的思想方法可以构造描述客 观世界的重要的数学模型。函数的基础知识在现实生活、科学、经济和许多学科 中都有着广泛的应用。 ( 1 ) 有利于发展学生掌握数学语言和运用数学语言进行学习、交流的能力。 通过函数的学习，可以使学生学习一种有特定含义的形式化语言，并且用这种形 式化语言去表述、解释、解决各种问题。提高学生运用数学解决问题的能力。 例如，利用集合的并集、交集去表示不等式的解集显得十分简洁、明确。还有 可以用集合语言方便地表示平面上以原点为圆心的单位圆周 c = ( x ，y l x 2 + 少2 = 1 细单位圆面d = 缸，y ) | x 2 + 少2 l ，等等。 ( 2 ) 有利于发展学生对变量数学的认识。通过函数的学习，使学生认识到： 我们生活在充满变化的现实世界中，其中有一类具有重要的运动变化的关系，例 如：火车票的票价随里程数而变化，卫星离地面的距离随时间而变化，家庭的电 费随该家庭的用电量而变化，在改革开放的国策下，我国居民的平均收入随时间 o 数学辞海编辑委员会编数学辞海第六卷北京：中国科学技术出版社，2 0 0 2 6 扬州大学教育硕士学位论文 在不断增加，我国国土的绿化面积随时间在不断增加这一类反映运动变化的 关系有一个共同点，这就是：变量之间有一种相互依赖的关系，可以从某一事物 的变化信息推知另一事物的变化信息，这种认识事物的思想方法在我们周围、在 各学科中随处可见。数学上就用函数来描述这种运动变化中的数量关系。 ( 3 ) 通过函数的应用，培养学生阅读、提炼和处理信息的能力。解决函数相 关的实际问题，首先要过阅读关。函数应用题阅读量比较大。解决问题时，首先 要求学生了解实际问题产生的背景，明确各个量所表示的实际意义，然后根据各 个量之间的关系建立目标函数，从而把实际问题转化为数学问题。 ( 4 ) 有助于培养跨学科综合能力。由于函数应用题源于生活、生产实际，题 材广泛，所以具有较强的开放性和实践性；而函数思想方法已广泛渗透许多学科 的各个领域。 函数还具有丰富的文化价值。 函数思想随着人们从研究静止的事物转向研究变化的事物的出现而出现。数 学由常量数学迈进变量数学是人类认识上的飞跃，同时也是学生转变认识对象的 巨大鸿沟。变化是函数产生的原因和源头，也是掌握函数概念的重要突破口。例 如，在面对j = l o t 时，不能把这一行的式子只当作孤立的算式，运用数学法则进 行运算，而是要体会到在这个过程中由于变量r 的变化则变量s 随之变化的函数思 想。所以正确地引导学生转变思想，把静止地表达式看作动态地过程，让学生从 原来地常量、代数式、方程和算式地静态关系中过渡到变量、函数这样地表示量 与量之间地动态关系的思维方式上，从而使他们的认识达到飞跃。 函数的学习促使数学思维方式发生了重大的转折：思维从静止走向了运动、 从离散转向了连续、从运算转向了关系、从单一的数( 式) 转向了数与形的相得 益彰，进一步增加了数学的抽象性程度和形式化程度，使思维超越了形式逻辑， 进入了辨证逻辑思维。 1 1 2 函数内容在中学课程中的地位 函数是贯穿整个高中数学课程始终的基本思想，它象一张无形的网，链接起 了整个高中课程。 高一时进一步抽象概括出函数的严格数学定义。知道了函数的定义之后，再 去研究它的性质。先认识一些具体的函数模型，例如，分段函数，简单的幂函数、 指数函数与对数函数、三角函数。结合这些函数，引入了刻画函数变化的单调性、 周期性、奇偶性等基本的性质。在高二的数学中，函数主要是当作一种工具，在 张锡平高中生函数学习的障碍分析婴基对签鲤窄一一一一 z 其他部分的数学内容学习中发挥着重要作用。在高三的课程中，函数与数列、函 数与导数及其应用、函数与算法、函数与概率中的随机变量、函数与选修3 、4 中 的大部分专题内容都有着密切的联系。用函数的思想去理解这些内容，是非常重 要的一个出发点。反过来，通过这些内容的学习，也加深了对高中函数的整体认 识。 函数又是高考的重点内容，每年在高考试卷中占很大的比例。如下表： 2 0 0 5 年- 2 0 0 9 年江苏高考数学试卷中函数内容所占比例 年份2 0 0 5 年2 0 0 6 年2 0 0 7 年2 0 0 8 年2 0 0 9 仨 试卷分值1 5 0 ( 2 3 题) 1 5 0 ( 2 1 题) 1 5 0 ( 2 1 题) 1 6 0 ( 2 0 题) 1 6 0 ( 2 0 题) 1 、4 、1 1 、 3 、4 、1 0 、 l 、2 、1 5 、1 、4 、7 、1 8 、2 、5 、6 、8 、 相关题号 1 3 、1 4 、1 5 、1 1 、1 4 、1 5 、 1 6 、1 7 、2 22 09 、1 3 、2 1 1 7 、l8 、2 01 9 、2 0 3 6 分4 5 分4 6 分7 4 分7 1 分 分值及比例 占2 4 占3 0 占3 0 7 占4 6 2 占4 4 3 8 可见，函数不仅是高中数学的核心内容，贯穿高中数学学习的始终，又是高 等数学的基础。函数内容在高中数学中占有很大比例，函数与方程、不等式、数 列等内容有紧密的联系，函数的学习对这些内容的学习有很大的影响，因此要切 实加强函数的教学研究。 1 1 3 高中生学习函数的困难 函数概念是非常抽象的概念。函数概念本身就不好理解，又是学生在数学学习 过程中第一次遇到的一般意义的抽象概念，学生对其理解有困难是不言而喻的。 国外关于函数教学的研究也表明了这一点。这样，函数确实是中学数学中最难教、 最难学的概念之一。例如：函数符号y = 厂g ) 就是学生难以理解的抽象符号之一。 据研究表明：高中生已经具有了抽象思维的生理基础，比如，脑的重量与成 人相等，脑神经细胞已经发育完全，但脑的机能尚在继续发育中；他们的记忆已 有机械记忆逐步转为意义记忆；理解能力已经有了进步发展与提高，逻辑推理 逐步由经验型向理论型转变。这些年龄特征，使高中生的学习具有以下特点： 8 扬州大学教育硕士学位论文 ( 1 ) 由于高中学生自我意识的高度发展，他们的学习有了较强的选择性、独 立思维能力不断增强。喜欢独立思考去弄懂问题，希望别人尊重他们的意见，对 别人的意见不再盲从，对老师上课中的问题，也敢大胆提出自己的看法。 ( 2 ) 高中生面临较多方面的价值取向，价值观尚缺乏稳定性。学习上体现出 较强的主观性甚至片面性。他们毕竟还是发展中的人，各个方面的发展还尚未成 熟。知识量不够，接触社会实际少，生活经历简单，还没有形成科学的思维规律。 高中生在学习函数时，函数内容中理论成分所占的比重与初中数学相比空前 增加。这就要求学生从初中的经验型思维上升到高中的理论型思维 ，无论是概念 的抽象性，论证的逻辑性，方法的灵活性，还是应用的广泛性与初中数学相比， 对思维水平的要求可以说是“爬上了一个陡坡 。高中生主要是以理论型为主的 抽象逻辑思维。也就是说，高中生的抽象逻辑思维，可以摆脱具体事物形象，具 有更高的抽象概括性，并且开始形成辩证逻辑思维 。例如，掌握函数、极限等概 念和性质，需要按照运动变化、对立统一等辩证法的规律去进行思维。这时，同 学们遇事开始有了“个人的见解，自主意识和独立解决问题的能力显著增强， 感觉自己“真正长大了”。从高- n 高二年级，学生的抽象逻辑思维趋向成熟。 主要表现在三个方面： ( 1 ) 各种思维成分基本趋于稳定状态，基本达到了理论型抽象逻辑思维的水 平； ( 2 ) 个体的思维差异，包括在思维品质和思维类型上的差异已基本趋于定型； ( 3 ) 从整体来讲，思维的可塑性已大大减少，与成人期的思维水平基本保持 一致，甚至在某些方面的思维能力还高于成人。回 高中学生虽然具有了上述一些心理特征，但对于高一学生来说，函数是学习 的一个难点。例如，高一( 1 2 ) 班的女生吴木同学，中考的数学成绩是1 0 2 分( 满 分1 2 0 分) ，入学时数学的班级均分为9 4 分，她的分数在班级中属于中等偏上的成 绩，因为当年中考数学卷较难，该班数学成绩在1 1 0 分以上的仅有2 人而且恰好是1 1 0 分。进入高一从学习函数开始，她明显感到吃力，尽管平时比较用功，但几次测 验成绩大部分在班级均分以下，几次考试成绩分别为：6 7 ( 班均分7 9 ) 、8 6 ( 班均 。林祟德发胜心理学北京：人民教育版社1 9 9 5 ：3 8 7 o 林崇德发展心理学北京：人民教育出版社，1 9 9 5 ：3 9 2 o 马忠林主编郑君文张恩牛著数学学习论广两教育f 版辛t ，1 9 9 6 ：9 3 o 剃坤高中学生的心理特征与数学学习方法中学数学2 0 0 7 ：2 西林崇德发展心理学北京：人民教育出版杜1 9 9 5 ：3 9 2 o 林崇德发燧心理学北京：人民教育i i i 版社1 9 9 5 ：3 8 3 张锡平高中生函数学习的障碍分析及其对策研究 9 分7 8 ) 、6 6 ( 班均分7 1 ) 、5 8 ( 班均分8 0 ) 。很多与吴某有类似境遇的学生都有这样 的感受，在初中时数学学习是不错，一旦升入高一，遇到数学学习上的第一个障 碍就是函数。 1 2 本研究的主要内容 本文想通过调查、个案研究，了解不同学生在学习函数时遇到的障碍有哪些， 对不同学生在学习函数时遇到的障碍进行比较、分析，结合学生的认知特点、教 法因素等几个方面去剖析学生产生函数学习障碍的原因，帮助教师更深入地了解 学生在学习函数时的情况，以便更好地组织函数的教学。并且结合教学实践，探 讨解决这些问题的方法。 本文研究的具体内容是： ( 1 ) 函数概念理解的障碍的类型和表现有哪些? ( 2 ) 产生障碍的原因有哪些? ( 3 ) 新课程理念下的教学对策。 张锡平高中生函数学习的障碍分析及其对策研究 旦 2 已有研究综述 2 1 学习障碍的已有研究 国内外有关学习障碍的研究已有二百多年的历史，“学习障碍( 困难) 这 一概念由美国特殊教育专家考尔克( s r k ) 首次提出，他用学习困难一词来描 述智力正常而在课程学习上有困难的学生。学习困难的有关研究可追溯到1 9 世 纪，其整个发展历史可分为奠基( 1 8 0 0 - - 1 9 3 0 ) 、过渡( 1 9 3 0 - - 1 9 6 0 ) 、和整合 ( 1 9 6 0 年以后) 三个阶段。自上个世纪6 0 年代以来，学习困难便成为基础教育 界、教育学和心理学界研究的重要课题，各国学者对此都作了大量的理论探索和 实验研究，取得了丰富的理论和研究成果。专家学者则从医学角度对学习障碍加 以分析研究，后来研究重点主要转向教育及心理学角度。 相比较而言，我国有关学习障碍方面的研究是从1 9 8 6 年中华人民共和国义 务教育法颁布以后，学生的学习障碍问题逐渐得到重视，社会、学校、家庭各 方面对研究这一问题的要求也日益迫切。国内专家对( 数学) 学习障碍的类型、 产生的原因、病理机制及诊断矫正等方面进行了研究并取得了成果。其中，北京 教科院基础教育科学研究所的“初中生数学学习障碍研究”课题组从神经学、心 理学、语言学等角度，对初中生数学学习障碍进行了深入研究，并采用可操作性 手段矫正学生的数学学习障碍，取得了较好的突破。曹才翰、蔡金法两位先生从 数学教学应注意的问题入手，对中学生数学学习障碍在教学中如何预防与矫正提 出了行之有效的办法国。 2 2 对函数概念的认知研究 美国的杜宾斯基等人在数学教育研究实践中发展起来一种a p o s 理论 ，a p o s 理 论集中于对数学概念学习过程的研究，对数学概念所特有的思维形式“过程和对象 的双重性 做出了切实分析。对数学概念的学习有所启示。杜宾斯基认为，学生学 习数学概念是要进行心理建构的，这一建构过程要经历以下的4 个阶段( 以函数概念 为例) ： 第一阶段一操作( a c t i o n ) 阶段。理解函数需要进行活动或操作。例如，在有现 实背景的问题中建立函数关系y = 工2 ，需要用具体的数字构造对应：2 4 ；3 9 ；4 。梁喊郭洁陈萍珊郑静龟李纯，“初中生数学学习障碍研究谍题组教育科学研究，1 9 9 8 ：0 6 o 曲j 翰蔡会法数学教育学概论江苏教育f 版池1 9 8 9 ：8 7 曲张奥霸李二镝李俊数学教育学导论高等教育j n 版社， 2 0 0 3 ：4 1 1 2 扬州大学教育硕士学位论文 一1 6 ；5 2 5 通过操作，理解函数的意义。 第二阶段过程( p r o c e s s ) 阶段。把上述操作活动综合成函数过程。一般地有 z 专x 2 ；其它各种函数也可以概括为一般的对应过程：x - - ) f ( x ) 。 第三阶段对象( o b j e c t ) 阶段。然后可以把函数过程上升为一个独立的对象来 处理；比如，函数的加减乘除、复合运算等。在表示式，g ) g ( x ) 中，函数厂b ) 和 g ( x ) 均作为整体对象出现。 第四阶段概型( s c h e m e ) 阶段。此时的函数概念，以一种综合的心理图式而 存在于脑海中，在数学知识体系中占有特定的地位。这一心理图式含有具体的函数 实例、抽象的过程、完整的定义，乃至和其它概念的区别和联系( 方程、曲线、图 像等等) 。取这4 个阶段英文单词的首字母，定名为a p o s 理论。 a p o s 理论是一种建构主义的学习理论，它指出学生数学概念学习过程是建构 的，并表明建构的层次。强调在学习数学概念中首先处理的数学问题要具有社会现 实背景，并要求学生开展各种各样的数学活动，活动中学生在已有的知识和经验基 础上通过思维运算和反省抽象，对概念所具有的直观背景和形式定义进行必要的综 合，从而达到建构数学概念的目的。a p o s 理论也可以作为一种评价工具，对学生学 习结果进行评价。根据a p o s 理论对学习现象进行的层次性分类，观察学生在建构概 念中的表现，确定学生学习概念的水平到哪一个层面上，教师可根据学生在学习中 表现出来的学习现象及时调整教学策略及教学方法。 曾国光老师圆在中学生函数概念认知发展研究一文中指出，学生函数概念的 认知发展有三个阶段：作为“算式”的函数；作为“变化过程 的函数；作为“对 应关系的函数。贾丕珠教授在函数学习中的六个认知层次一文中认为先有算 式的函数，再有变化过程的次序不太合理，并根据函数概念的特点和学生的认知结 构，将函数知识建构可分为6 个层次，即经历认识变量：突出关系；区别函数与算式； 掌握“对应”；把握形式化描述；形成函数对象等主要环节。这些都说明了学生对 函数概念的学习理解，必然要贯穿于整个中学数学课程的学习活动之中，经历循环 渐进的过程才可以。 张玲艳，熊昌雄固在高中函数概念学习的理论基础中在奥苏伯尔有意义言语 学习理论指导下，谈函数概念的学习。认为中学数学中的函数概念的形成和发展分 。拿葡，学生学习数学概念昭层次分析数学教育学报，2 0 0 2 ：1 1 。曾阉光中学生函数概念认知笈醚研究数学教育学报2 0 0 2 ：0 2 。贸不珠函数学习中的六个认知层次数学教育学报2 0 0 4 ：0 3 。张玲艳熊蜀雄高中函数概念学习的理论荣础宜宾学院学报，2 0 0 7 ：1 2 张锡平高中生函数学习的障碍梦谚及基鼬筵啦一一 一旦 四个阶段，第一阶段是引人概念之前的预备阶段，以积累形成函数概念所必须的素 材和初步渗透其思想为主要任务：第二阶段是初步形成函数概念阶段。第三阶段时函 数概念的认识深化阶段。第四阶段是用极限微积分方法进一步深人研究函数性质的 阶段。高中函数概念虽有“集合 新概念的引人，但还是属于第三阶段。通俗点即 是，高中教材中函数概念是初中所学概念的深化。所以高中函数概念的学习应该是 上位学习模式。 汤服成在图式理论与函数概念学习一文中，基于图式理论，分别从函数概 念图式特征、函数概念图式习得过程、函数概念图式的功能分析以及函数概念学习 困难分析几个方面揭示了函数学习的本质。他还指出图式理论在函数学习中具有很 重要的作用，有利于函数概念知识结构化，有利于学生形成良好的认知结构 2 3 对函数教学的有关研究 徐玉蓉张维忠 在基于a p o s 理论的“函数单调性概念教学设计一文中 引用美国的杜宾斯基等人在数学教育研究实践中提出的a p o s 理论，以函数单调性 概念为主线贯穿整个教学过程，不仅要让学生理解形式化的概念，而且要让学生 理解为什么要形式化和为什么要这样形式化。“活动 阶段是学生建构概念的起 步，同时又为“过程阶段提供了感性素材和可供反省的对象，为学生“过程 中的观察、联想、归纳、概括抽象提供了机会；而“过程 向“对象 的转移则 为更高层次的研究开拓了现实的可能；“图式 阶段是对前面3 个阶段的一个总体 把握，同时又可以作为建构结果作为新知识建构的材料。 侯晓娟 在新课程理念下高中数学教学设计初探一对“指数函数及其性质 的教学反思“中，以指数函数及其性质的教学为载体，得出高中数学教学设计 的几点认识：正确认识高中数学新课程与原课程的区别与联系，把握新课程理 念；数学教学设计应坚持必要的原则，渗透新课程理念；数学教学设计应 注重教与学方式的转变，践行新课程理念； 尤小平在函数概念教学的思考与实践中，从函数概念的形成，分三步谈 函数概念的教学设计。指出函数概念教学的三处难点：一是函数的概念，从十七 世纪开始曾多次扩张，越来越抽象；二是函数概念的定义叙述，语言严谨、深刻、 学生较难于理解概念的内涵和外延；三是学生不习惯于用集合、对应的观点去解 。汤徽成嘲式理论与函数概念学习辽宁师范火学学报2 0 0 1 ：0 9 口徐f ：裤张维忠攮j 二a p o s 理论的“函数啦洞性概念”教学设计中学教研，2 0 0 8 ：l l ( 1 7 ) 。饮晓娟新课程理念f 岛巾数学教学设汁初探延边教育学院学报，2 0 0 7 ：0 6 o 尤小 e 函数概念教学的思芬j 实践中学数学月f u ，2 0 0 0 ：0 7 ( 1 3 ) 1 4 扬州大学教育硕士学位论文 释函数关系。他没有考虑学生的认知结构和认知特点。 刘建中在对函数中几个易混淆问题的辨析一文中谈到：在函数学习中， 我们经常会遇到一些形似而质异的易混问题，如不认真审题，仔细辨析，就难免 使解题出现方法上的错误。定义域与有意义：给定的函数在某区间上有意义， 则函数的定义域应包含所给有意义的区间，一般转化为恒成立问题加以解决；若 给定函数的定义域，则常将问题转化为解不等式来处理，也可以借助不等式解集 端点值恰好是该不等式所对应方程的根来求解。审题时要注意区别二者的不同。 值域与函数值的范围：“值域为r + ”指的是y 能且只能取遍所有正实数；而“值 恒为正数”则对一定范围内的x ，y 的每一个值都要为正数，至于y 能否取遍所有正 数，则不作要求。有解与恒成立：a 【厂g k ，a 1 厂( x ) i f - l 。主元与次元：解答多元1 口- j 题时，要善于克服思维定势( 即通常以x 为主元) 的影响，灵活机智地选择恰当的“主元，有利于拓宽解题思路，化繁为 简，提高解题效率，使同题快速而准确地得以解决。 o 刘建中对函数中几个易混淆问题的辨析中学数学教学，2 0 0 6 ：0 6 ( 1 3 ) 张锡平高中生函数学习的障碍分析及其对策研究 3 研究的理论基础 3 1 高中数学课程标准对函数教学的要求 3 1 i 高中函数的知识结构 函数是贯穿整个高中数学课程始终的基本思想，它象一张无形的网，链接起 了整个高中课程。高中函数的知识结构如下： 所有课程的基础 普通高中数学课程标准指出：函数是描述客观世界变化规律的重要数学 模型。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语 言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。学生将学习指数函数、 对数函数等具体的基本初等函数，集合实际问题，感受运用函数概念建立模型的 过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和 处理现实生活和社会中的简单问题。学生还将学习利用函数的性质求方程的近似 解，体会函数与方程的有机联系。 3 1 2 高中函数的教学要求 高中课程标准中对高中函数教与学提出下述基本要求： ( 1 ) 加强对函数本质的理解。 一一种特殊的对应关系 一刻画现实世界中变化规律的数学模型 ( 2 ) 关注函数的背景、应用。 1 6 扬州大学教育硕士学位论文 ( 3 ) 函数内容的安排在螺旋上升中不断深入。如：结合二次函数的图像，判 断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系； 根据具体函数的图像，借助计算机用二分法求相应方程的近似解，为后面的算法 学习作一些准备。 ( 4 ) 削弱与淡化过分细枝末节、过分技巧性的内容，避免人为地编制一些 繁难的偏题。如对集合中的“三性”( 确定性、无序性、互异性) 的讲解和训练， 对函数概念中求定义域、判断是否同一函数的训练，对分数指数幂运算的训练等， 都要注意避免这一倾向。 ( 5 ) 合理地使用信息技术，帮助学生更好地绘制函数图象、认识和理解函数 性质。但是，信息技术只是作为达到目的一种手段、一种威力强大的工具，并不 能替代艰苦的学习和人脑精密的思考，因此要引导学生合理而非盲目地使用信息 技术。 ( 6 ) 关注函数思想的体验和运用。让学生通过收集现实生活中普遍使用的函 数模型实例，去了解函数模型的广泛应用，使学生在亲自经历上述过程中，更好 地认识数学，认识数学的价值。 普通高中数学课程标准纲领性地指出函数概念的教学要从实际背景和定 义两个方面帮助学生理解函数的本质。函数概念的引入一般有两种方法，一种方 法是先学习映射，再学习函数；另一种方法是通过具体实例，体会数集之间的一 种对应关系，即函数。组织教学时应根据高中学生的认知特点，为有助于学生对 函数概念本质的理解，建议采用后一种方式，从学生已掌握的具体函数和函数的 描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样 的函数，构建函数的一般概念。再通过对具体函数( 如指数函数、对数函数) 的 研究，加深学生对函数概念的理解。象函数这样的核心概念需要多次接触、反复 体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活运用。 3 2 建构主义的学习观 建构主义认为，学习是学生建构自己的知识的过程，学习者不是被动的信息 吸收者，相反，他要主动地建构信息的意义，这种建构不可由其他人代替。学习 是个体建构自己的知识的过程，这意味着学习是主动的，学习者不是被动的刺激 接收者，他要对外部信息做主动的选择和加工，而且，知识或意义也不是简单由 。数学课程标准( 实验) 人民教育 版礼，2 0 0 3 ：1 6 张锡平高中生函数学习的障碍分析及其对策研究 1 7 外部信息决定的，外部信息本身没有意义，意义是学习者在新旧知识经验间反复 的、双向的相互作用过程而建构的。其中，每个学习者都以自己原有的经验系统 为基础对新的信息进行编码，建构自己的理解，原有知识又因为新经验的进入而 发生调整和改变。所以学习并不是简单的信息的积累，它同时包含有新、旧经验 的冲突而引发的观念转变和结构重组；学习过程并不是简单的信息输入、存储和 提取，而是新旧经验之间的双向的相互作用过程。初中的学习习惯、思维习惯及 方式，特别是初中从变量说的角度初步学习函数知识，对高中函数的学习带来较 大的影响。 3 3 青少年的认知发展理论 瑞士心里学家皮亚杰( j p i a g e t ) 认为，儿童从出生到成人的认知发展不是一 个数量不断增加的简单积累过程，而是伴随同性化的认知结构的不断再构，使认 知发展形成几个按不变顺序相继出现的时期或阶段。根据认知结构质的不同，他 把个体的认知发展划分为感知运动、前运算、具体运算和形式运算四个阶段。其 中，形式运算阶段的个体形成了解决各类问题的逻辑推理，由大小前提得出结论， 不管有无具体事物，都可以了解形式中的相互关系与内涵的意义。个体的思维从 具体运算过渡到形式运算，智慧便发展到了一个较为成熟的阶段，在此之后的发 展仅是经验和知识的增加，思维方式不再有质的变化。 青少年正处于形式运算阶段。在这一阶段，他们能够对变量进行演绎性假设 和检验，能够监控和内省自己的思维活动，进行更为抽象的思维。认知的发展阶 段制约着教学的内容和方法。在皮亚杰看来，学习从属于发展，从属于主体的一 般认知水平。因为任何知识的获得都必须通过学生主动的同化才能，而主动的同 化则须以适当的运算结构的存在为前提。所以，各门具体学科的教学都应研究如 何对不同发展阶段的学生提出既不超出当时的认知结构的同化能力，又能促使他 们向更高阶段发展的富有启迪作用的适当内容。但据美国的研究，在美国学校中， 只有1 3 2 的初中生，1 5 的高中生和2 2 的大学生达到了形式运算阶段圆。这说 明皮亚杰高估了青少年的认知思维能力。因此，中学生在学习某些纯粹以命题形 式呈现的抽象概念和规则，仍需要具体经验的支持，在组织高一的函数教学时就 更应该适当地建立在感性认识的基础上。 夺索月钱林火学中学数学学习衔接问题的研究们数学教育学报，2 0 0 0 ：4 5 。应连生学。j 敦的心理学【m 】1 ：海华东师范大学版社，1 9 9 7 ：4 6 扬州大学教育硕士学位论文 4 研究方法设计与实施 4 1 测验调查方法 4 1 1 调查目的 进入高一，学生开始比较系统地学习函数。虽然初中涉及到了函数概念( 对应 说) ，但由于思维层次的发展不够，对函数的理解很大程度上仍然需要依赖具体形 象的材料来帮助理解抽象的逻辑关系。而对高中生来说，对函数概念的理解较初 中要求跟高、更深、更全面，应用更广泛。到了高三，学生的知识结构相对更完 善，思维更成熟，对函数概念的理解也更深入些。