（概率论与数理统计专业论文）基于分散型和扩散型随机序对几种寿命分布类的刻画.pdf

摘要 本文引入了分散型序和扩散型序的概念，用剩余寿命给出寿命分布类i l r ，i f r ， d m r l 和i f r ( 2 ) 及其对偶类d l r ，d f r ，i m r l 和d f r ( 2 ) 在分散型和( 或) 扩散型随机序意义下的刻画同时，也讨论了分散型序和扩散型序的一些基本性 质作为主要结果的一个应用。本文也得到在分散型序和( 或) 扩散型序的意义下， 用k n ，系统的剩余寿命对i f r 和d m r l s 及其对偶类d f r 和i m r l s 的刻 画这些结果拓宽和加强了文献中已有的结果，有利于人们更深入地理解和研究这 些寿命分布类的性质 关键词 一般随机序 失效率序 似然率序 下均剩余寿命序 申增凹毛厮 右伸展序 寿命分布类 a b s t r a c t t h ed e f i n i t i o n sf o rd i s p e r s i o n - t y p ea n dd i l a t i o n t y p ev a r i a b i l i t yo r d e r sa r ei n - t r o d u c e da n ds o m ea g i n gn o t i o n s ( i l r ，i f r ，d m r l ，i f r ( 2 ) a n dt h e i rd u a l s ) a r ec h a r a c t e r i z e di nt e r m so ft h e s et w ok i n d so fs t a c h a s t i co r d e r s ，u s i n gt h e r e s i d u a ll i f e t i m eo ft h eu n d e r l y i n gr a n d o mv a r i a b l e m e a n w h i l e ，s o m ep r o p e r t i e so ft h e s et w ok i n d so fs t o c h a s t i co r d e r sa r ed i s c u s s e d a so n ea p p l i c a t i o n o ft h em a i nr e s u l t s ，t h ea g i n gn o t i o n si f ra n dd m r l sa n dt h e i rd u a l sa r e a l s oc h a r a c t e r i z e db yu s i n gt h er e s i d u a ll i f e t i m e so fk - o u t - o f - ns y s t e m st h e s e r e s u l t se x t e n da n ds t r e n g t h e ns o m ek n o w nc h a r a c t e r i z a t i o n si nt h ei i t e r a t u r e k e y w o r d s ： u s u a ls t o c h a s t i co r d e r h a z a r dr a t eo r d e r l i k e l i h o o dr a t i oo r d e r m e a nr e s i d u a li i r eo r d e r i n c r e a s i n gc o n c a v e ( c o n v e x ) o r d e r r i g h ts p r e a do r d e r 致谢 擎乏3 s 1 7 1 我的硕士毕业论文终于完成了，我的三年研究生学习也将要随之结束。在即 将离丌母校的f 予罩，这个我已经生活了七年的地方让我感到深深的留念。在此， 我向在这七年中所有给过我谆淳教导的老师们致以最诚挚的谢意。 天于这篇论义我首先要感谢的是我的导师，胡太忠教授。文章中的每个细 节胡老师都亲自过日，每个错误的地方他都给了我细心地指导，就连排版，胡老 师也倾注了一d 血。胡老师是一位真正的学者，无论是他的学问还是人品都是值得 我引以为榜样的。在他的潜移默化下，我对科研也产生了浓厚的兴趣。在以后的 学习t 作中，不论在哪个领域，但愿我能有所小成，也不辜负了胡老师的期望。 文章得以成型，还得感谢吴之强老师，没有他提供一个上机的环境，可能我 还得奔波于尔区与南区之间了。关于文章排版方面的技巧，也得到了王立春，胡 治水和谢慧良同学的指点，在此一并致谢。 第一章引言 概率论与数理统计中经常会遇到对两个随机变量进行比较的问题，最常见的足比较二者的 均值和方差但是在某些情况下，随机变量的均值和方差是不存在的，而且这种仅建立在两个 数字基础上的大小比较带给我们的信息实在太少在实际应用中，我们常常拥有足够多的信息 量而希望能对两个随机变量的大小程度和变动程度进行更精细的比较，由此导致了一系列随机 序的产生这些随机序可以分为两大类，一类足用以比较随机变最的大小程度，如一般随机序 ( 。t ) ，失效率序( s h ，) ，似然率序( l ，) 和期望剩余寿命序( m ，1 ) 等这些随机序在文献中已 得到深入而细致的研究另一类序是用以比较两个随机变量的变动程度，如凸序( d ，单调增 凸序( h ) ，单调增凹序( i 。) ，分散序( s n 。) 和扩散序( d 。1 ) 等有关随机序的基本理论及 其应用，可以参见s h a k e d & s h a n t h i k u a m r ( 1 9 9 4 ) 和m u l l e r s t o y a n ( 2 0 0 ” 随机序在概率论、数理统计、经济、运筹及可靠性理论中都有许多的应用在本文中。我 们讨论的是可靠性理论中的问题，用随机序对有关寿命分布类进行刻画关于本文中出现的有 关随机序和寿命分布类的定义将统一在第二章中给出 对任意随机变量| y ，记 l x = i n f x ：取( z ) o ) ，p x 2 s u p x ：取( z ) t j 为剩余寿命变量，它的分布与在给定x t 的条件下x t 的条件分布相同若x 代表某个 元件或系统的寿命，那么假设该元件或系统能够存活到时刻t ，则托即被认为是该元件或系统 在t 时刻的剩余寿命 寿命分布类可以用随机序来定义或刻画，剩余寿命变量足常用的一种刻画工具在文献 中，我们可以找到许多相关的结果这种刻画是很有意义的，因为它可以让我们从一个新的角 度来理解各种寿命分布类的特性，同时，就本文而言，这些刻画可使我们进一步加深对分散序 和扩散序的理懈，而且这些结果也存在一些潜在的应用：比如，它们可以用于获得一些有趣的 概率不等式 i 用剩余寿命变量对寿命分布类进行刻画通常有如下的形式： x a 【_ 车= = x 。+ + x t ， s - l 。 l ，】x t ，n s t 甘x i ， l ，】x t ， v t a 0 ( 2 ) ( s h a e d s h a n t h i k u m a r ，1 9 9 4 ，定理1 a 1 3 ( a ) 和定理ib 1 9 ) x i f r f d fr 营x 。s t 【s s t x t ， a s t 车= x 5 h r h r x t ，n - h ， a 0 ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 17 ) ( 3 ) ( s h a k e d s h a n t h i k u m a r ，1 9 9 4 ，定理1 d8 和定理3 a1 8 ；c a o w a n g ，1 9 9 1 ) x d m r l i m r l 甘x 。m ：l m ，1 x t ， 。 s t( 1 8 ) 车= 亭x 。j c 。f s i c 。 x t ，o 。0 ( 1 1 0 ) ( 4 ) ( d e s h p a n d e e ta 1 ，1 9 8 6 ；f r a n c oe ta 1 ，2 0 0 1 ) x i f r ( 2 ) f d f r ( 2 ) 】车= x 。 。】x t ， a s t ( 1 1 1 ) 2 近年来，用剩余寿命变量在分散序( - d l 。p ) ，扩散序( - - d i i ) 及右伸展序( ! 。) 意义下对寿 命分布类进行刻面的研究开始活跃起来下面我们将列出用这几种序对几种寿命分布类进行刻 画的已有结果，其中 - - d 8 p ，- - d l l 和r s 已经被相应等价的序- - d i s p s t ，- - d l l i c x 和d 岫一j c x 进 行了替换关于- - d i s p 一，和- - o o ( 5 ) ( m a i l h o t ，1 9 8 7 ；b e l z u n c ee ta l ，1 9 9 6 ；p e l l e r e y s h a k e d ，1 9 9 7 ) x i f r d f r 错瓦p q 【 。 ( 6 ) ( b e l z u n c e ，1 9 9 9 ；b e l z u n c ee ta 1 ，1 9 9 6 ) x d m r l i m r l = 亭x 5 幽p i c x - - o = 号x s - - d i l i c x d i l i c x 】x ，a - - - d i s p 1 r - - d i s p l r 】孔，o s t x d i s p l r a 五d i s p “r d i l i c v - - d i l i c v 】x t ，a d i l - m r l - - - - d i l - m r l 五，o - d i s p 删i【- 0 时，约定 a o = o 。，而o o 没有意义所有出现的期望与方差均被默认为是存在有限的对任意具有分 布函数f 的随机变量x ，记f ( z ) = l f ( z ) 为x 的生存函数，f ( 9 3 ) 的逆函数f - 1 ( $ ) 定 义为有连续的版本，即 f 一1 m ) = s u p x ：f ( 9 3 ) i t ，u 【0 ，1 】 4 第二章定义及记号 本章中，我们给出一些常见的随机序及分散型与扩散型随机序的定义，最后给出一些常见 寿命分布类的定义，这些随机序及寿命分布类在后面的章节中要多次用到 定义2 1r c ，s h a k e dds h a n t h i k u m a r , 1 9 到，第一章，设x ，y 为两个随机变量，分别具 有分布函数f g f 叫如果f 扛) 百( z ) ，v x 瓣，或者对任意递增的实函数妒都有e 渺( x ) e 渺( y ) ，则 称x 在一般随机序的意义下小于y ，记为x 。ty r w 如果虿扛) f 扣) 关于z ( 一。，p x ) 单调递增，则称x 在失效率序意义下小于y ，记 南x 0 ) 单调递增，则称x 在似然率序意义下小于y ，记为x l r y r 卅如果i e x t e y c 】对所有使得e 凰】和e 瞰】都存在的t 成立，则称x 在期望剩余 寿命序意义下小于y ，记为x 一1 y 定义2l 中的四个随机序一般足用来比较两个随机变量大小的程度，它们之问的关系如 下： x l r y x - - h r y = = 争x m r l y u x s t y 定义2 2 设x 和y 为两个随机变量，分别具有分布函数f ( x ) 和g ( x ) 陋，如果对任意凸函数妒，有琚渺( x ) 】e 眇( y ) 成立，则称x 在凸序意义下小于y ，记为 x 曼c xy ( j ls h a k e d 园s h a n t h i k u m a r 1 9 9 4 ，s e c t 2 a ) ( b ) 如果畸任意单增凸陋i 函数t b ，甫 e 眇( x ) e 眇( y ) ， 则称爿在单增凸凹，序的意义下小于y ，记为xs - c x - i c 。 yr 见s h a k e d 日s h a n t h i k u m a r , 1 9 9 4 ，s e c t3 a ) 化) 如果 x e x s “y e y ( 2 1 ) 则称x 在扩散序的意义下小于y ，为x - - d i lyr 见h i c k y ，1 9 8 纠 5 f d ) 如果 f 一1 ( “) 一f 一1 ( u ) sg 一1 ( “) 一g 一1 扣) ， v 0 ” 1 ， ( 2 2 ) 则称x 在分散序意义下小于y ，记为xs d i s dy 阻s h a k e d 日s h a n t h i k u m a r , 1 9 铋， s e c tg b 1 n j 如果 e ( x 只i 1 ) ) + e 【( y j 节1 ( p ) ) + 】， v p ( o ，1 ) ，( 2 3 ) 其中。+ = m a x x ，o ) ，则称x 在右伸展序或过剩财富序的意义下小于y ，记为x r sy 或x 兰e wyr 见f e r n a n d e z p o n c ee ta 1 ，9 9 8 ) 定义2 2 中的儿个随机序是用来比较两个随机变量波动程度，。序是最基本的，但是 它有个缺点： 若x 。y ，则皿x = b y 因此，如果要比较均值不同的两个随机变量的波动程度，就不能用c x 序人们已有两种办法 来克服s 。的这一缺点第一种办法是肖x 和y 皆是非负随机变量且1 e , x 和e y 存在有 限，定义一种新序x l 。y ，若 xy 面is c x 面矿 另一种办法就是引进定义2 2 中的- d i l 序注意到x i e x 和y 一 e y 的均值为0 ，利用下 面命题2 1 得 x - - y - i c v x x d i l y # = x d i s d y = 号y sr s x 现在，我们给出分散型序( - - d i s p 一+ ) 和扩散型序( d 订一+ ) 的定义 定义2 3 设x 和y 为两个随机变量，分别具有分布函数f ( x ) 和g ) 倒称x 在分散型 一序意义下小于y ，记为x - - d i s p 一+ y ，如果 ( x f 一1 ) ) + 。( y g - 1 ( p ) ) + ，v p ( o ，1 ) ， ( 2 1 1 ) 这里 = s t ，h r ，m r l ，i c x 或i c v 佃j 称x 在分散型l r 一序意义下小于y ，记为x d i s p - i ry ，如果 ( x f 。1 ( p ) ) + - 1 r ( y g - 1 ( p ) ) + ，v p ( o ，1 ) ， ( 2 1 2 ) 俐称x 在扩散型 序意义下小于y ，记为x - - d i l 一y ，如果 x 一旧x 。y 一皿y( 2 1 3 ) 这里 = m r l ，i c x 或i e v 为什么我们没有把定义23 ( c ) 中的+ 替换为l ，h r 或s t 来类似地定义- - d i l l n d i l “，和- d f l s t 呢? 下面的命题2 5 说明，如果两个随机变量具有 d i l l r 【或- - d i l h r ，- d i l s t 】 的序关系，当且仅当这两个随机变量同分布或者相差一个位置参数因此。这种定义是没有必 要的 命题2 5x ! d i l + y 事x 墼y + c 对某个常数c 成立，其中 芝l r ，h r 或s t 7 。证明：假设x d i l 一+ y ，这里 = l r ，b r 或s t ，则有 x e x 乱y e v 注意到x i e x 和y 一皿y 具有相同的均值0 ，由s h a k e d & s h a n t h i k u m a r ( 1 9 9 4 ) 的定理 1 a 7 可得x e x 些y m y 所以，对某个c 乳，有x 坠y + c 成立- 通过前面的定义，显然可知 x - - d i l y 甘x - - ：d l l i y x d j s d m r l y = = = x r s f x - - d i s p - i c v l ，号盖r s f 其中( 2 1 5 ) 利用了性质：对任意非负随机变量u 和y ，u m 。lv = ju i “v ( 1 9 9 0 ) 观察到了 x - - d i s p y 乍亭x - - d i s p “y i b e l z u n c e ( 1 9 9 9 ) 证明出 x r s y 错x - - d i s p - i c x f 定义2 3 中的两类序都是对位移变换不变的，即具有性质： x _ y 骨x y + c v c 孵 hue ta 1 ( 2 0 0 2 ) 对 0 关于t 单调递增腿 减_ 其中t 的取值使比值有定义，则称x i l r d l r j 隧增犀z 刚的似然率j 如果1 e x t 关于 s u p s 递减恩增z 则称x d m r l f f m r l 】r 递减，递j 削的期望 剩余寿命j 例如果墨i c v 【i c v x t 对所有s t ，s ，t 5 ，成立，则称x i f r ( 2 ) 【d f r ( 2 ) 】隧增 递减= 阶失效率 8 如果一个随机变量x 概率密度函数，( z ) 存在，则可以大意其失效率 冲) = 器，v t s u p s 于是x i f r d fr j 当且仅当a ( ) 关于t s u p s 单调增【单调减 记8 = ( i x ，”x ) ，若 x d l r ，d f r ，d m r l 或d f r ( 2 ) ，则必有u x = + 。 以上各种寿命分布类有如下关系： i l r = = i f r = 辛i f r ( 2 1 = = d m r l ( 参见d e s h p a n d ee ta 1 ，1 9 8 6 ；b a r l o w p r o s c h a n ，1 9 8 1 ) 9 第三章分散型序对寿命分布类的刻画 在本章中，我们先给出四个定理，用剩余寿命变量分别在分散型失效率序( - d i s p - h ，) ，分 散型似然率序( - - d i s p - i ，) ，分散型平均剩余寿命序( - - d i 。一1 ) 和分散型单增凹序( - - - - d i s p - i c v ) 的 意义下对寿命分布类i f r 【d fr ，i l r 【d lr ，d m r l i m r l 】和i f r ( 2 ) d f r ( 2 ) 】进行刻 画在本文下面的证明中，我们用f ) ，( x ) 和f 扛) 分别表示随机变量x 的分布函数，密 度函数( 如果存在) 和生存函数；对任意随机变量w ，用f ( z ) 来表示它的分布函数，w ( z ) 来表示它的密度函数( 如果存在) ；特别约定取。( z ) f 托( z ) 即为皿( 。) f f ( 。) 】 b e l z u n c ee ta l ( 1 9 9 6 ) 用- - d i 。p 一。t 对非负的i f r 【d f r 随机变量进行了刻画，p e l l e r e y s h a k e d ( 1 9 9 7 ) 用不同的方法证明了非负的条件是不必要的下面第一个结果是用_ 一。】，则下列三条件等价： 俐x i f r d f r 】i 例凰d j h ，( d i s p - hr x t ，a 。+ 日一1 ( p ) ) f ( ) f 扛+ 。+ 野1 ( p ) ) 一一f ( s ) f ( z + t + f c _ 1 ( p ) ) f ( ) f 扛+ f 叫( q f ( s ) ) ) r ，1 1 5 雨瓦i 尹丽 p “ 关于z 0 单调递增，其中q = 1 一p ，p ( 0 ，1 ) ，最后一个等号成立是因为 玎1 0 ) = f 。( g f 0 ) ) 一s 特别，x m d - h r 五，v t 7 a ，当且仅当 = 里( 兰兰雾：! ! 盟!关于。0 单调递增( 32 ) f ( x + f1 ( q - f ( t ，) ) ) ( a ) = = ( b ) 或( c ) ：因为f 叫( g f ( s ) ) ! f - 1 ( g f ( t ) ) ，且f “( 口) f - i ( g f ( t ) ) 对 a 一 ，则t 歹, j s - 条件等价： x i l r 【d l r 】i 例x s d i s p - t r - - d l s p _ l r l 五，a a 证明：我们仅证x i l r 的情形，x d l r 情形类似可证 首先，注意到x s2 d i s 。_ i rx t ，a 0 ，总存在p ( 0 ，1 ) ，z 0 和a 。单调递增 ，b + d ) ( 3 4 ) 设( 3 3 ) 满 其中y a ， 若已知( 3 4 ) 成立，同理可证x i l r 定理3 2 证毕 _ 定理3 3 设x 为一个具有连续分布函数的随机变量，其支撑形式s = ( a ，o o ) ，其中a 一o 。 k 一】，则下列三条件等价 f g lx d m r l i m r l ； 俐x s m p l 【- - d i s p _ m r l x t ，a 8 x 】= f o o f f 矿( u ) d u ， 由定义可知x s d i s d m r l x t ，o a ，等价于 m ( z 十f - 1 ( g ) ) m ( x + f “( q y ( t ) ) ) ，v q ( 0 ，1 ) ，z 0 ( 3 6 ) ( a ) ：= 事( b ) ：若x d m r l ，即m 扛) 关于。乳单调递减，而f _ 1 ( q 声( s ) ) 关于s 单 调递增，所以( 3 5 ) 成立 ( b ) = 辛( c ) ：因为f - 1 ( q f ( s ) ) = f 一1 ( 1 一q f ( s ) ) 关于s 右连续，所以当s _ o + 时， ( c ) 显然成立 ( c ) = 辛( a ) ：要证x d m r l ，只需证到m ( s ) 对这样的s 单调递减即可，其中s 满足： f 于s 点严格递增因为如果f 扛) 在( c ，d ) 上为常数，那么对v t t ，且t ，t ( c l d ) ，显然 1 2 有 m ( f ) = 譬竽1 f , t y 矿( z ) d z 刮) 陪x i m r l ，则类似可证f 千s 上严格单调卜设a 5 t 且f ( z ) 在5 ，t 7 严格递增 在( 3 6 ) 中令 ，瑚= y - 1 ( 器) 得m ( s ) m ( t ，) 所以，x d m r l 成立 _ 注3 1 ：b e l z u n c e ( j 9 9 9 ) 对右伸展序r 一o o ，则下面三条件等价： 倒x i f a ( 2 ) d f r ( 2 ) i 俐x 8 曲p i ：v 【 - - d i 8 p i c v 】x t ，a s a 证明：首先，x i f r ( 2 ) d f r ( 2 ) 】等价于 r o f o f 。( u ) d u 瓦( u ) d u ， n s t ，z 0 ， j 0j 0 或 厂鬻蚓 厂鬻妣“刚 慨， 所以，要证一个连续的随机变量属于i f r ( 2 ) ，我t 1 j t 需证对任意s t ，( 3 7 ) 成立即可，其中 且s ，t 。：f 于。严格递增) 因为如果f ( x ) 在( c ，d ) 区间上为常数，则对任意s t 且 s ，t ( c ，d ) ，( 3 7 ) 显然成立这同时也证明了如果x d f r ( 2 ) ，则f ( $ ) 应该在s 上严格递 增 下面我们仅证x i f r ( 2 ) 的情形，x d f r ( 2 ) 情形类似可证 ( a ) = 争( b ) ：如果x i f r ( 2 ) ，则我们只需证 z 。列u + 耳1 d u z 。矾+ f 1 ( p ) ) 如，。 s a ，有 ( i ) 巧1 ( p ) = f 。1 ( 扩( s ) ) 一s ，q = 1 一p ； ( i i ) f ( s + f 1 ( p ) ) = q f ( s ) 所以对a s t ，x 0 ，可得 ，0 一列“w 舭= ! = 幕如 瓦( “十巧1 ( p ) ) d “= ，。裂如 ， j s + 盯1 ( p )，1 3j r 蚪f “( q f ( s 2 9 厶1 汛) ) f ( f “( g - ( s ) ) ) x + f - 1 ( q ，f ，。”赢砒。， = f t ( u + f f _ 1 ( p ) ) 如， 其中的不等式是由( 37 ) 及f “( q f ( s ) ) 兰f “( q t ( t ) ) 推得的所以，当n s - - d i s p i c yj ，t 成立 ( b ) = 辛( c ) ：在( 3 9 ) 中令s _ a + 即可 ( c ) = 号( a ) ：设a 曩 由s h a k e d & s h a n t h i k u m a r ( 1 9 9 4 ) 的定理1 a 1 1 ，我们可以知道e ( t ) 关于t 单调递增 引理4 1 设x 为一个随机变量，具有连续的分布函数，0 ) 对每一个固定的t ，用日( ，t ) 表示x 一掘 五 的期望剩余寿命，则 阳j 日( z ，t ) = m ( x + e 0 ) ) 一z ，v z 一r e ( o ； 和jh ( x ，) 一。，v x 一m ( t ) ，如果f ( x ) 在t 处严格递增； r c j h ( x ，t ) = - x ，v x 一m ( t ) 证明：注意到日( 。，：f 1 p 可( 夏x _ t - - _ 研e 叉 x 丁t 歹 i u 厂) d u ，v 。 ( 41 ) 当z 一m ( t ) 时，可得。+ e ( t ) t ，所以e 0 + e ( t ) ) e ( t ) ，化筒即为m 扛十e ( ) ) 一。 咐) ：丽：葡f 算e t f ( u ) d u j f t ( u + m ( t ) ) d u 叫删 ( 4 2 ) h ( z ，t ) = i i j j j i 矿= j i ；而= m 扛+ e 0 ) ) ( 4 2 ) 所以( a ) 成立由( 4 , 2 ) 显然有 h ( x ，t ) 瓦( u + m ( t ) ) d u ， ( 4 3 ) 其中当- f 如+ m ( t ) ) m ( o 时， h ( x ，t ) 2 瓦+ m ( t ) ) d u ， = ，。- r e ( t ) 列“+ m ( 啪仁( f ) 砝u + m ( 啪砒 p + m o ) 】+ 瓦( u ) d “ 即( b ) 成立当z 一m ( t ) 时， 日( z ，t ) = f t ( u + m ( t ) ) d u ，一m ( t ) f o o 2 上 瓦( u + m ( 2 ) ) 咖+ 上m “) 瓦+ m ( 。) ) 砒 = 一m ( ) 一z + - f t ( u ) d u 即( c ) 成立引理4 l 证毕 - 定理4 1 设x 是一个随机变量，具有连续的分布函数f 忙) 和支撑s = ( a ，o o ) ，其中a2 一o o 【a 一0 0 1 ，则 x d m r l i m r l = 辛x s d i l - m r l d i l - m r l 】x t ，a s t 证明：我们仅证x d m r l 的情况，x i m r l 情形类似可证 必要性：若x d m r l ，则m ( 。) 关于z 精单调递减随里，如果x i m r l ，则必 须要考虑到m 0 ) 单调递增的区域 令a s 一m 0 ) ； ( i i ) ( z ，8 ) 2 - - x = 日( z ，z ) ，一m ( s ) zs m ( z ) ； ( i i i ) h ( z ，s ) = - - x = 日扛，) ，vz 一m ( s ) 所以，h ( x ，s ) h ( x ，) ，vz ，即必要性成立 充分性：若对。 s a 单调递减 反证，假设x 掣d m r l ，则必存在a 8 t 使得m ( s ) m ( t ) 且f ( x ) 在t 处严格递增 令一m ( t ) - - x = h ( x ，s ) ， 矛盾所以x d m r l 定理4 1 证毕 _ 注4 1 b e l z u n c ee ta t ( 1 9 9 卅对于非自随机变量在扩散序r 一o o 】，则 x d m r l i m r l 】 = 争x s d i l i c v d i l 圳i 】x t ， a s d i l j 。1 扎，d o ， ( 5 1 ) 对任意1 茎七 a ( 5 2 ) 车= 工乳h ， h ， r l & ，v t o ( 5 3 ) 牟= 净 r l 文，n ，t d i 8 p s 【d5 印一日t 】a l & ，n ，v t t n ( 5 4 ) 车= 亭 l 乳d l s p s c d j s p s t r l s k ，n ，v t o ( 5 5 ) 定理5 1 设x ，x 1 ，x n 如上述定义，则对任意1 k t o ( 5 6 ) 协 l 瓯- - d i s 口一h r 【d i s p - h ， r l & t ，v d ( 5 7 ) 证明：首先注意到南r l 艮“的定义知 r l s k t 坠m i n x t ，1 ，x t ，2 ，x t ，k ) 1 8 其中x t 1 x ，2 ，五，相互独立，同分布于睡一t x 味且 r l & ，。，t ，坠( r l s k ，n ，) ，一，v t t 其中( r l s k n t ) 。= 【r l s k n t u l r l s k u 】余下的证明由定理3 1 的结果易证- - 在给出下一个定理之前，我们先给出寿命分布类d m r l s 和i m r l s 的定义一个随机 变量x 属于d m r l s i m r l s ，如果对任意1 k n ，i e r l s k 关于t n 单调递减 【单调递增】d m r l s 口m r l s ，i f r d f r 和d m r l i m r l 】分布类之间的关系如下： i f r d f r ；d m r l s 【i m r l s 】碲d m r l i m r l b e i z u n c ee ta 1 ( 1 9 9 9 ) 也给出了对d m r l s 【i m r l s 的刻画：对任意1 k o ( 5 8 ) r l s k 儿t d n i c 。【 t o ( 5 9 ) r l s ，n ，- m r l 【- t o ( 5 1 0 ) l 瓯m 。lf m 。l 】r l & ，。，t ，v t a ( 51 1 ) 定理5 2 设x ，x l ，x n 如上述定义，则对任意1 k d l l m d 【- 茎 t o 甘凡l 瓯，n ，d i s p ic x d j 8 p i c x r l s ，n ，t ，v 一 t n 惜l 吼- - d i s p - i c x d i s p - i c x i n n 鼠 t ，v t a 车= r l 乳 t d i s p m r l d i s p m r l 】r 五甄 t ，v t 。 t a 省l 瓯k d i s p m 。l a 证明：以上结果的证明可由本文( 11 3 ) ，( 1 1 4