（理论物理专业论文）用亥姆霍兹定理分析电磁场.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，对于研究矢量场的空问分布、矢量场 变化规律与场源的关系以及矢量场的性质等方面都有重要的意义，因此在电磁场理 论中也占有重要的地位。用亥姆霍兹定理直接研究电磁场的方法比较新颖，不同与 通常讨论电磁场的方法一归纳法与演绎法，避免了归纳法与物理学的重复及演绎 法起点过高的缺陷，它在直接研究电磁场特性和场与源之间的内在联系上有独到之 处，本文正是用这种方法系统地分析了电磁场。 一 论文在介绍了亥姆霍兹定理基本内容后，利用该定理对于真空中的静电场、电 介质的极化和电介质中的静电场的方程作了进一步的讨论，推导了电极化强度矢量 p ( r ) 的表达式，重点分析了电位移矢量d ( ，) ，得出了各向同性线性电介质中电位移 d ( ，) 的积分式。用亥姆霍兹定理讨论恒定磁场，得出了真空中恒定磁场方程，分析 了媒质的磁化得到了磁化强度肘，) 的表达式，重点讨论了磁场强度日r ) 和推导出 了磁场强度积分式。亥姆霍兹定理与时变电磁场之间的关系表明矢量场的散度和旋 度给出矢量场的全部信息，它是对矢量场与其源关系的全面总结。同时，文中简要 地讨论了亥姆霍兹定理在时变电磁中的应用。在论文的展望中，将亥姆霍兹定理进 行推广，得到了电磁场在矢量波空间的完全射影定理即推广的亥姆霍兹定理，由此 可以研究基于矢量偏微分算子的电磁场的本征问题。首先，这种矢量场在矢量函数 空间中的分解的思想在空间电磁波的传播问题中同样适用。其次，利用这一方法处 理电磁场本征问题，也可用于电磁场数值计算的专业软件开发。本文的主要创新点 在于以亥姆霍兹定理直接分析电位移矢量和磁场强度矢量。 关键词：亥姆霍兹定理；电位移；磁场强度；矢量偏微分算子 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t h e l m h o l t z st h e o r e ms u m m a r i z e st h ep r o p e r t i e so ft h ev e c t o rf i e l d sa n dh a s i m p o r t a n tm e a n i n gi ns t u d y i n gt h es p a c ed i s t r i b u t i o na n dt r a n s f o r m a t i o no ft h ev e c t o r f i e l d s ，a n dt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt l l ef i e l dc h a r a c t e ra n dt h eo r i 西n s s oi td r a w sa g r e a ts i g n i f i c a n c ei nt h et h e o r yo ft h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l d s n ew a yo fd i r e c t l y a n a l y z i n gt h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l d su s i n gh e l m h o l t z st h e o r e mi sp r e t t yo r i 百n a l ，w h i c h i sd i f f e r e n tf r o mt h eu s u a lm e t h o d s 一t h ei n d u c t i v em e t h o da n dd e d u c t i v em e t h o d t h i s w a ya v o i d st h ed e f e c t so fr e p e t i t i o n sb e t w e e nt h ei n d u c t i v em e t h o da n dt h ep h y s i c s ，a n d a v o i d st h em u c hh i g l is t a r t i n gp o i n tb yu s i n go fd e d u c t i v em e t h o d i tt a k e ss o m ev e r y s p e c i a la d v a n t a g e si nd i r e c td i s c u s s i n gt h eq u a l i t yo ft h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l d sa n dt h e i n n e rc o n t a c t sa m o n gt h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l d sa n dt h e i ro r i g i n s i ti st h eh e l m h o l t z s t h e o r e mt h a ti su s e dt oa n a l y z et h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l d ss y s t e m a t i c a l l yi nt h et h e s i s o nt h eb a s eo fh e l m h o l t z st h e o r e mw ed e d u c e dt h ce q u a t i o n so ft h ee l e c t r o s t a t i c 舶l di nv a c u u ma n di nt h ed i e l e c t r i c a n dm a k ef u r t h e rd i s c u s s i o na b o u tt h ep o l a r i z a t i o n o fd i e l e c t r i c w eg e tt h ef o r m u l ao ft h ei n t e n s i t yo fp o l a r i z a t i o np ( ，j ，m a k eg r e a tp o i n t s i nd i s c u s s i n gt h ee l e c t r i cd i s ；p l a c e m e n tv e c t o r d i r ) ，a n dd e d u c et h ef o r m u l ao fe l e c t r i c d i s p l a c e m e n tv e c t o rd ( r i nt l l ei s o t r o p i cl i n e a r i t ym e d i u m i nt h ec o u r s eo fd e a lw i t l l s t a b l em a g n e t i cf i e l d s ，t h ee q u a t i o n so fs t a b l em a g n e t i cf i e l d si nv a c u u ma r er e d u c e d ， w h i c hs h o wt h ec o n t a c t sb e t w e e nt h eh e l m h o l t z st h e o r e ma n dt h et i m ev a r y i n g e l e c t r o m a g n e t i cf i e l da n di n d i c a t et h ew h o l ei n f o r m a t i o no ft h ev e c t o rf i e l d st h r o u 曲t h e d i v e r g e n c ea n dt h ec u r l b e c a u s et h eh e l m h o l t z st h e o r e mi sas u m m a r ya b o u tt h e r e l a t i o n sb e t w e e nt h ev e c t o rf i e l d sa n di t ss o u r c e s ，s ow ea l s od i s c u s st h eu s a g eo ft h e t h e o r e mi nt h et i m ev a r y i n ge l e c t r o m a g n e t i cf i e l d s i nt h i so u t l o o ko ft h i sd i s s e r t a t i o n ， t h ep r i m a r yi d e ai st oe x t e n dt h eh e l m h o l t z st h e o r e mt og e tt h ec o m p l e t ep r o j e c t i o n t h e o r e mo fe l e c t r o m a g n e t i cf i e l d si nv e c t o rw a v es p a c e t h ee x t e n do ft h eh e l m h o l l 2 ：s t h e o r e mw h i c hc a l lb eu s e dt os t u d yt h ee i g e n v a l u ep r o b l e mo ft h ev e c t o rp a r t i a l d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r f i r s t l y , t h ei d e o l o g yt h a tt h ev e c t o rf i e l dd i s a s s e m b l ei nt h es p a c eo f v e c t o rf u n c t i o ni sa l s oa v a i l a b l et ot h ep r o b l e mo fe l e c t r o m a g n e t i cw a v ep r o p a g a t e s e c o n d l y , i t sp r o m i s i n ga n df e a s i b l et ou s et h i sm e t h o dt op r o c e s st h es p e c i f i cs o f t w a r e o ft h ee l e c t r o m a g n e t i ce i g e n v a l u ep r o b l e m si nt h ef u t u r e d i r e c t l yq u a l i t a t i v ea n a l y z i n g e l e c t r i cd h ；p l a c e m e n tv e c t o ra n dm a g n e t i cf i e l di n t e n s i t ya r et h ea c h i e v e m e n ta n d i u n o v a t i o no ft h i st h e s i s k e yw o r d s ：h e l m h o l t z st h e o r e m ；e l e c t r i cd i s p l a c e m e n tv e c t o r ；m a g n e t i cf i e l d i n t e n s i t y ；v e c t o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a lo p e r a t o r 第一章引言 对电磁场的讨论，从内容安排和体系上来看，大致分为两种类型f 1 】【2 1 【3 】f 4 】【5 l 【9 l 【1 0 】【1 1 】 【“。一种就是通常我们讨论电磁场的方法称之为归纳法。它是由库仑定律、毕奥一 萨伐尔定律及法拉第电磁感应定律出发，逐一介绍静电场、恒定磁场和时变电磁场， 它的推理是由特殊到一般。这种传统体系起点较低，比较容易接受，但与普通物理 学中电学部分重复太多。从这些基本定律出发，逐一推演静态场的特性，费时费力。 另一种方法是演绎法。它是从麦克斯韦方程出发，先论述时变电磁场，然后把静态 场归结为时变场的一种特殊情况加以演绎，最后再介绍静态场，它的推理是从一般 到特殊。这种体系虽然压缩了静态场，充实了时变场内容，但起点高，学生通常不 易接受，而从论述矢量场散度和旋度特性的亥姆霍兹定理出发，将电磁场的散度和 旋度作为电磁场的首要问题，逐一论述电磁场这种新颖体系既避免了归纳法与物理 学的重复又没有演绎法起点过高的缺陷i s 【1 3 】【1 4 1 。尤其是对于电磁场特性的分析以及 场与源之间的内在联系，能给予十分严格的阐述。 亥姆霍兹定理的表述如下，若矢量场f ( r ) 在无限区域中处处是单值的，且其导 数连续有界，源分布在有限区域i 中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场 f ( r ) 可以表示为 7 f ( ，) = 一v 妒( ，) + v a ( ，) ( 1 1 ) 舯刺= 石1 阱 ( 1 2 ) 排丢舻 s ， 上述关系称为亥姆霍兹定理。它表明，无限空间中矢量场被其散度及旋度唯一 地确定，而且它给出了场与其散度及旋度之间的定量关系，即给出了场与源之间的 定量关系。证明如下： 根据6 r r ) 函数的性质，可知当体积矿矿时，即r e v 时 f ( ，) = m 旷f ( ，b ( ，一r ) d 矿 ( 1 4 ) 埘l 士学位论文 m a s t e r st h e s i s 姻加2 ( 南) 一蜘m 则式4 ，变为 川去矿叫南p 考虑到微分算子v 只对，运算，而积分仅对，求积，故上式又可写为 州一去v 硎斟y c - s ， 利用矢量恒等式：v x v a = v v a v 2 a ，上式变为 f ( ，) = 一去v v 蟛甜n 去v x v 圳r r r l ，- f r r j | ) c - 6 ) 由此可见，若令 利；1 科y 7 江7 ， 制一去v 错y 鼬 则式( 1 6 ) 与式( 1 1 ) 完全相同。式( 1 8 ) 说明4 ( ，) 是一个旋度场，所以它 一定是无散的，即 v a ( r ) f f i o ( 1 。9 ) 下面再证明式( 1 7 ) 与式( 1 2 ) 、式( 1 8 ) 与式( 1 3 ) 在无限空间中是等同 的。为此，先将式( 1 7 ) 中的微分与积分次序对调，得 荆2 枷( 高p 利用矢量恒等式v ( 础) = 4 v 7 , + q ，v 4 ，且考虑到f ( ，) 仅为r 函数，而v x , l r 运算，因此，v f r 1 ：0 ，那么，式( 1 1 0 ) 中被积函数为 口高川，) v ( 南卜扣( 南) _ 错 2 将上面结果代入式( 1 1 0 ) 中，并运用高斯定理得 刖= 丢诉弁肛铡高卜 ， 考虑到源仅局限于y 中，因此，上式第一项体积分实际上仅需在矿中求积即 可这样，只要证明当体积y 扩展到无限空间，边界s 位于无限远处时，上式第二 项积分为零，则由式( 1 1 1 ) 就可求得式( 1 2 ) 。为此，必须要求矢量场f f r ) 的振 幅满足下列条件 i f ( r ) m 击，( s ，0 ) ( 1 1 2 ) 式中r i ，一r l ，那么对无限远处的表面s ，式( 1 1 1 ) 中的面积分为零。对于 电磁场来说，式( 1 1 2 ) 条件是可以满足的。下面再讨论式( 1 8 ) ，将其改写为 制；丢驴( 高_ ) d y 7 埘 利用矢量恒等式v 陋) 一v c , x a + 伊v x 4 ，同时考虑到f ( r ) 仅为r 函数，而v 对，l 运算，故v x f ( ，) ；0 ，则上式中被积函数为 弧( 高) i v ( 南卜卜v 岛卜，一背v ，x ( 高) 将上面的结果代入式( 1 1 3 ) 中并利用矢量斯托克斯定理得。 制。石1 料+ 去艄删 n 同理可知，对于无限空间，只要矢量场f ( r ) 满足式( 1 1 2 ) 条件，则上式中第 二项为零，而第一项的体积分实际上仅需在v 中求积。所以，对于无限空间，由式 ( 1 1 4 ) 即可推出式( 1 3 ) 。 应指出的是，计算妒( r ) 及a ( r ) 的公式仅适用于无限空间中的矢量场，对于有限 空间内的矢量场应根据式( 1 1 1 ) 及式( 1 1 4 ) 计算妒( ，) 及4 ( r ) 的值。式( 1 1 1 ) 及 式( 1 1 4 ) 中的面积分别代表了边界s 上场量的法向分量与切量分量， 兑明有限空 间中的矢量场被其散度、旋度及边界条件唯地确定，若该有限区域是无源的，则 硕士学住论支 m a s t e r s t h e s i s 场仅决定于边界条件。 根据梯度场是无旋场，旋度场是无散场，所以亥姆霍兹定理又表明，任一矢量 场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。同时说明如果已知矢量场的散度及旋 度后，即可求出该矢量场，因此，矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问 题。 在接下来的章节中，首先讨论的就是其散度及旋度特性。式( 1 1 ) 、式( 1 2 ) 及式( 1 3 ) 亦可见，对于无限空间，当矢量场的散度及旋度均为零时，妒r ) = 0 ， _ ( ，) 一0 ，则矢量场f ( ，) 也随之消失，因此无散且无旋的矢量场在无限空间是不存 在的它只能存在于局部的无源区域之中。 项士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二章用亥姆霍兹定理讨论静电场 本章先根据亥姆霍兹定理讨论描述静电场的基本物理量电场强度e ，得出电场 强度和电位表达式，然后根据其物理意义讨论电介质中的静电场，由亥姆霍兹定理 可知，无限空间的矢量场由其散度和旋度唯一地确定，所以首先要讨论的是电场强 度的散度及旋度特性。 2 1 真空中的电场强度的散度和旋度 物理实验表明，真空中静电场的电场强度e 满足下列两个积分形式的方程 俨岱5 昙 q 产d = 0 ( 2 2 ) 由式( 2 。1 ) 和式( 2 2 ) 可得其微分形式 v 冒。卫( 2 3 ) v e = 0( 2 4 ) 式( 2 3 ) 中p 为电荷体密度，它表明真空中静电场的电场强度在某点的散度等 于该点的电荷体密度与真空介电常数之比；而式( 2 4 ) 表明真空中静电场的电场强 度的旋度处处为零。所以真空中的静电场是有散无旋场。 2 2 真空中的静电场方程 根据亥姆霍兹定理，电场强度e 应为 e = 一v 妒+ v x a 其中 州= 去砗弁y ( 2 5 ) ( 2 6 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 制= 石1 阱矿 上面两式中r 及r 的意义如图2 1 所示，v 为 源所在的区域。考虑到式( 2 6 ) 及式( 2 7 ) 得 刖= 志艏y 眩s ， 4 ( ，) = 0 则电场强度e 为 e ；一v ( 2 9 ) 石 ( 2 7 ) 豳，l 静电场的求麓 杯量函数舻j 恿常称为电位，式( 2 9 ) 表明具至甲日q 静电场征呆点阴电场强发，寺 于该点电位梯度的负值。式( 2 8 ) 代入式( 2 9 ) 得 训一硒嚣备儿- f f f 掣。v 、( 南p 即刖a 蝌 当电荷分布成面状和线状时，真电荷面密度和线密度分别为n 和n 时，根据式 ( 2 8 ) 和式( 2 9 ) 可求得直牢中由荷乃绋电荷产年的电付7 量电场碣摩为 州= 鞘s 曲) = 去拶s 及 州= 去搿z 亿 刖= 去，掣净，眨 ( 2 1 1 ) 图2 2 电偶极子 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 上述电位和电场强度的计算公式可见，无论电荷为何种分布，电位及电场强度 均与电荷量的一次方成正比，所以上述积分公式实际上是蕴涵了叠加原理应用的， 这种推导所得结果与叠加原理并不相矛盾，是相辅相成的，那么，对于点电荷系的 电场，直接就可以用叠加原理求得，如求电偶极子的电场强度。如图2 2 的电偶极 子。 伊2 4 s r e or + + 古2 去( 昔) r - 一厂= ，c o s 0 ，+ ，- 一( r l c o s o c 2 ) ( r + l c o s o c 2 ) , , r 2 因此 妒q l c o s o 。兰p c o s o (215)-vr 伊。石矿。石7 。砑 幢 式( 2 1 5 ) 中，p = q l ，1 的方向是由负电荷向正电荷，p 是电偶极矩，由式 ( 2 9 ) ，求得电偶极子的电场强度度为 e 一卜鲁+ 吾署嵋志署) q 等+ e 一可p s i n o c 2 舶， 式( 2 1 6 ) 表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度大小与距离的 三次方成反比，无论电偶极子的电位或者电场强度与方位角0 有关。 2 3 电介质中的静电场 电介质中的大部分电子被原子核紧紧束缚于其周围，在电场作用下，电子只能 在原子和分子周围移动。如果外电场很强电介质中的电子也可能脱离原子核而运 动，形成自由电子，使电介质能够导电而被击穿，在低于击穿场强的作用下，电介 质是不会自由运动的，这些电荷即为束缚电荷。在电场作用下，电介质中的束缚电 荷发生位移即极化，无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极化。 无论哪一种极化现象，极化结果使电介质内部出现很多排列方向大致相同的电偶极 子，这些电偶极子也会产生电场的合成。衡量电介质极化程度的物理量是电极化强 度矢量p ，它是单位体积中电偶极矩的矢量和，即 ( 2 1 7 ) 式中见为体积a v 中第i 个电偶极子的电偶极矩，为a v 中电偶极子的数目。 实验结果表明，大多数介质在电场的作用下发生极化时，其电极化强度p 与介 质中的合成电场强度e 成正比，即 p 一8 0 厄e ( 2 1 8 f 面根据上节的内容导出束缚电荷的面 密度和体密度p 与电极化强度矢量p 之 间的关系：如图2 3 所示，令已极化的电介 质体积为y ，若其内的电极化强度分布函数 为p ( r ) ，则由式( 2 1 5 ) 可以推知d v 体积 内的电偶极矩e ( r 7 ) d v 在r 处产生的电位 x d 妒( r ) 为 岫，；等并拶 z 国2 3 柬缚电荷的求解 迭_ l l f f ：，体枞为y 。嗣已檄化j r 质坎征，处严生明舍厩电位为 州= 去= 一。f f f r ( r ，) v ，( 南p 利用矢量匣等式v ) = 卯- 4 + a v 妒，上式积分可能分为两项即 刖= 去矿7 ，( 高卜去骈并y n , n n n g n ，上式第一项又可变为沿介质块表面的面积分，即 州= 去群并一去浒等 将r 式与体帛荷的电付公式( 2 8 ) 殛而巾苻“f 衍公式( 2 1 1 ) 比箝可卵。t 式 ，p 万 i p 第一项代表面束缚电荷产生的电位，第二项代表体束缚电荷产生的电位，即和p 分别为 p ：( ，) = p ( r ) e ：，p ( ，) 。一v p ( r ) 若以，作为变量表示束缚电荷的分布函数，则束缚电荷的面密度和p7 与尸的 关系可表示为下列一般形式 p ：( r ) = p ( ，) p 。 ( 2 2 0 ) p ( ，) 。一v p ( ，) ( 2 2 1 ) 式( 2 2 1 ) 中p 。为介质表面的外法线方向上的单位矢量。 将式( 2 2 1 ) 写成积分形式有 q 。妒d s ( 2 2 2 ) 既然电介质在电场的作用下发生的极化现象归结为介质内部出现束缚电荷，则 电介质中的静电场可以归结为自由电荷与束缚电荷在真空中共同产生的静电场，在 电介质内部，穿过任一闭合面s 的电通量为 俨d s = 吉白叫) 上式中q 为闭合面s 中的自由电荷，q 为闭合面s 中的束缚电荷，将式( 2 2 2 ) 代入上式得 讲e + p ) d s ；q 令d e o e + p 则上式可写为 黛弘d s 。q 式( 2 2 3 ) 中d 为电通密度矢量， 电介质中静电场的微分形式 v d = p ( 2 2 4 ) 又称电位移矢量，式( 2 2 4 ) 又可以表示成 9 ( 2 2 5 ) 上式表明，电位移线起始予正的自由电荷，而终止于负的自由电荷，与束缚电 荷无关，有关详细讨论见下节。 已知各向同性介质的电极化强度矢量p ，根据式( 2 1 8 ) 和式( 2 2 3 ) ，得 d 喜c o 占+ o z 。e - s o ( 1 + j 巳弦= s o 占，e = e e ( 2 2 6 ) 式中称为介质的介电常数，以为电极化率，它是正实数，o 是介质的相对介 电常数，它们之间的关系为 f ，；- = 一= 1 + z 。 ( 2 2 7 ) 0 对于均匀介质，描述电场强度及电位与自由电荷的关系式( 2 8 ) ，式( 2 1 0 ) ， 式( 2 1 1 ) ，式( 2 1 2 ) ，式( 2 1 3 ) 及式( 2 1 4 ) 仍然成立，只需将其中的真空介 电常数换为介质的介电常数即可。 2 4 亥姆霍兹定理对电介质极化的进一步讨论【1 5 1 在电磁理论和电介质物理学中，电介质的唯象理论是很重要的，有关资料l 】在已 知自由电荷分布或电场分布的情况下，对电介质的响应作了详细的讨论。理论上， 介质中任何两点的极化强度矢量必有内在的联系，极化电荷反映着介质整体的极化 状态。通过亥姆霍兹定理对电极化强度矢量的讨论，展示出极化电荷是如何“激发” 极化强度的。 设p 为极化电荷体密度，根据式( 2 2 1 ) 则有v pp7 ，在各向同性均匀电 介质中，引起介质极化的外电场为e ，根据式( 2 2 6 ) 则有d = s ，e ，两边同时 取旋度有v x d t v ( s o g ，e ) = s 。，v x e = 0 ，再根据式( 2 2 3 ) 则有v p 一0 ，因 此得 v - p ；- p ( 2 2 8 ) v p = 0 ( 2 2 9 ) 由亥姆霍兹定理，即把式( 2 2 8 ) 和式( 2 2 9 ) 代入式( 1 1 ) 、式( 1 2 ) 及式( 1 3 ) 中，并令f ( ，) 为电介质中观察点的电极化强度p ( ，) ，则有 o p ( ，) 一去群矿 式( 2 3 0 ) 与负电荷激发的电场 强度公式相似，适用于各向同性均匀 电介质。它的应用与求电场强度十分 相似，将式( 2 2 8 ) 、( 2 2 9 ) 与式( 2 3 ) 及式( 2 4 ) 相比较，不难发现在有关 e 的求解中，只要将e p ， 旦一一p ，就可得到有关求解电极 芎o 化强度p 的表达式。如在均匀各向同一口 性介质中有一极化电偶极子，一 p = 口z ，f 的大小是从一窜到+ 霉， 方向是从一q 指向+ 留7 ，求电介质中 参o ) 口 ( + 手， 图2 4 电f 禺极子的极化强度 + g 0 ) 的极化强度矢量。 取坐标系的原点o 位于电偶极子的中心，l 沿x 轴正向，任取点m ，它在坐 标系中的位置矢量为r ，又设一q 和+ q 到m 点的位置矢量分别为r 2 和墨，如图 2 4 所示。则有 只陋) 一器，p 2 伍) = 慧故有 懈一岳隆砰r _ a z ) 上式就是电介质中任一点的极化强度表达式，将墨和r ：分别在f = 0 点展开为 泰勒级数，取前两项代入p 陋) 表达式得 p伍)p_r2-3r(pr) ( 2 3 1 ) 、7 4 z r r 一沭结果说明在各向同性均匀介质t p ，某处出现一极化电偶极子，电介质中 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 各处必有极化现象发生，电极化强度近似用式( 2 3 1 ) 计算。 2 5 用亥姆霍兹定理讨论电位移1 6 】 用亥姆崔兹定理苴援讨论电位移可严格喇述场与源之1 日j 明内在状糸，让我1 1 看 到电位移矢量不仅与自由电荷分布有关，而且还与电介质、极化电荷及边界条件有 关；由此，可以对电位移矢量仅与自由电荷分布有关的条件进行重点分析。 1 电位移矢量d ( ，) 表达式的推导 根据亥姆霍兹定理：若矢量场f ( 厂) 在有限区域中处处是单值的，且其导数连续 有界，源分布在有限区域矿7 中，则当矢量的散度和旋度给定后，根据式( 1 1 ) 该 矢量场f ( ，) 可表示为f ( ，) 一v c p ( r ) + v x a ( r ) ，其中妒( ，) 和4 ( ，) 分别为 刺= 擀肛土4 石趔s 1 r - r l 删 制一石1 群+ 却鬻删 上面两式中v f f i e , 喜+ 。，嘉+ e ：軎，为源点的位置矢量，r 为场点的位置 矢量，令卜- r = r 则 。( r ) = 一v 1 9 9 里；掣d y 一 r 望警 村垆掣+ 媸棚 m ， 考虑到v - d ( r ) = p 。( r ) ，p o 是自由电荷体密度，它在真空中的电势为，产 生的电场强度为e 。，e 。= 一v 舻。，有 d ( r ) 如v x 舻儿攒一麒s 4 石r 删s ， 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 根据矢量知识及等式v ( 丢) - v ( 去) ，雨r ，式( 2 3 3 ) 中第三项变为 注意，由于v 是对r 的微分算符，而上式中的【d ( ，) - 舔】只是r 的函数，故上式等 号后的第一项结果为零。 同样地，式( 2 3 3 ) 中第四项变为 v 媸删= 砝v ( 去) 枷) 刎+ 站v 撕，) 酬 同样须注惹的是，上式中的【d 【，j d s j 也只是，。的函数，通过v 作用后结果为 零。 这样式( 2 3 3 ) 化为 。r ) = s o e o + v x 措 一墨杂 d ( ，) ，心 一壤杀 d ( ，) x 心7 】 ( 2 3 4 ) 又因为 萨掣= 矿掣删一赡v 嘶，) v 斜y ；群删+ 赃v ，加x v = 铲掣删一妒 掣卜学 = 矿掣删一圹 掣p 1 3 碰士学位论文 m a s t e r st h e s i s 一措d j 一v 搿d y 所以式( 2 3 4 ) 中第二项可化为 v 搿y = - 嘎f 学y 7 一窜童! 毫掣x a s v ( 去) d 矿一：量。! ；尘x a s = 群x d s 一一v ( 去) d 矿一措d s - 群v ，( 护 这样式( 2 3 4 ) 变为 。( r ) = , e o - y f v f - 击v 。( r ) v ( 去) d y 一箩翥删 _ f 嘉删】 眩s s ， 式( 2 3 5 ) 即为电位移矢量的一般表达式。 2 对电位移矢量d ( ，) 的讨论 对于各向同性的线性电介质，有 v d ( r ) = v 陋( ，) 】一( v e ) e ( r7 ) + 押e ( ，) a ( v e ) x e ( r ) ( 2 3 6 ) 式( 2 3 6 ) 代入式( 2 3 5 ) 得 。( ，) = e o e o - 刀f f i ( v s ) x e ( r ，) x 纛 一瞎倒】_ 蛄删 汜3 ， 下面作进一步的讨论： 1 ) 、式( 2 3 7 ) 中e 。是自由电荷产生的，e f ，) 是所有电荷( 包括极化电荷) 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 产生的场强，所以电位移矢量不仅与自由电荷有关，而且还与电介质、极化电荷及 边界条件有关。所以不能说电位移矢量只与自由电荷有关，需要与通过任一闭合面 的电位移通量只与面内的自由电荷有关相区别。 2 ) 、在无限空间中充满一种均匀的电介质，自由电荷分布在有限区域内。这时 有v s ；。，笪：石等 d ( ，) 曲1 一。，盟：瓦等【d ( ，) 嘏】- 0 ，式( z 3 7 ) 变 为d ( r ) 一。e 。，电位移矢量只取决于自由电荷的分布。 3 ) 、在无限空间中充满不均匀介质，自由电荷分布在有限区域内。这时， 照石冬 d ( ，) 曲 = 。，照石鲁x d ( r ) x 晒】= 。，s * 常数，但v s 与e ( r ) 平 行，即不均匀介质的介电系数变化梯度方向与介质中场强方向平行时，式( 2 3 7 ) d ( r ) 一。e 。，电位移矢量仅与自由电荷有关。 4 ) 、如果均匀电介质分区充满无限空间时，在电介质中有v = 0 ，但在电介质 面上v 一0 ，当电介质界面法线方向与电介质中场强方向平行时，即电介质界面 为等位面时d ( r ) = e o e 。，d ( ，) 取决于自由电荷的分布1 。 5 ) 、在有限区域y 内，式( 2 0 7 ) 中各项一般均不为零。要使电位移矢量仅与 自由电荷的分布有关，需( v s ) e ( ，) = o ，辱_ 等【d ( r ) ，嘏】一o ，即介电系数的 空间变化率只沿着与电位移方向发生且区域的界面与电位移相正交。这时式( 2 3 7 ) 化为d ( ，) = s o e o - 孵_ 等 d ( ，) 心】。设区域y 内无电介质时的电位移为域， 它仅与自由电荷分布有关，则d o ( r ) f f if o e o - 辱_ 等 d o ( r ) 心】，当 d ( r ) 嘏l = d 。( ，) d s i 。时，有d ( ，) = d o ( r ) ，电位移仅与自由电荷分布有关【培 2 1 1 。 从以上讨论可知，电位移矢量由式( 2 3 7 ) 决定，它不仅与自由电荷的分布有 关，还与边界条件、极化电荷及电介质有关。只是在特殊情况下( 讨论中的2 、3 、 4 及5 点) ，4 。只与自m 电荷分布有关。 2 6 小结 本章在了解亥姆霍兹定理的基础上，介绍了讨论静电场的另一种体系，它是以 静电场的散度和旋度的特性作为主要出发点，应用亥姆霍兹定理，逐一对静电场加 以讨论，方法简捷明了。在电介质理论中，应用对静电场讨论的结果，根据电极化 强度矢量的定义，导出了束缚电荷与电极化强度的关系，进而得出了电介质中高斯 定理的表达式，引入了辅助矢量电位移矢量d ，着重用亥姆霍兹定理对电极化 强度、电位移进行了直接的讨论，得出了一些重要的表达式( 2 3 0 ) 式( 2 3 5 ) 、( 2 。3 7 ) ， 可以把它作为是对现行教材的一个补充，简捷明了，有助于对电位移矢量概念的理 解。 第三章用亥姆霍兹定理讨论恒定磁场 运动电荷或电流周围，除电场外还存在磁场。当电流恒定时，产生的磁场不随 时间变化，这种磁场称为恒定磁场，本章仅用亥姆霍兹定理讨论恒定磁场的基本特 性即恒定磁场方程式和恒定磁场与媒质之间的相互作用。 3 1 真空中的恒定磁场的散度和旋度 物理学实验表明，真空中恒定磁场的磁感应强度矗满足下列两个方程 产d = , u o i ( 3 1 ) l 俨d s = 0 ( 3 2 ) s 式( 3 1 ) 为安培环路定律，式中。为真空磁导率，它表明。真空中恒定磁场的 磁感应强度沿任一闭合曲线的环量等于曲线包围的电流与真空磁导率的乘积：式 ( 3 1 ) 表明，真空中恒定磁场通过任一闭合面的磁通为零。由此可见，磁场线是处 处闭合的，没有起点与终点，这种特性也称为磁通连续性原理。将式( 3 1 ) 和式( 3 2 ) 写微分形式有 v b = p j ( 3 3 ) v 。b = 0( 3 4 ) 式( 3 3 ) 中，为该点的电流密度，结果表明，真空中恒定磁场是有旋无散的。 当然，在电流不存在的无源区中，磁感应强度的旋度也为零。 驺2 真空中的恒定磁场方程 根据亥姆霍兹定理，磁感应强度b 应为 b = 一v + v a 式中 刺= 石1 砗弁矿 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s 制= 崭 ， 如上一章所述一样，式中r 为场点坐标，r 为源点坐标。 考虑到式( 3 3 ) 、式( 3 4 ) 则式( 3 6 ) 和式( 3 7 ) 求得 妒( ，) 一0 ( 3 8 ) 制。铷倦妒 ” 那么，由式( 3 5 ) 得 b v x a ( 3 1 0 ) 表明对于真空中恒定磁场，某点磁感应强度等于该点矢量函数4 的旋度，a 称 矢量磁位。已知电流分布，利用式( 3 9 ) 可以求出任一点的矢量磁位，再根据式( 3 1 0 ) 就可计算该点的磁感强度。 圳= 鲁妒( 尚p c s m ， 式( 3 1 1 ) 中 v ( 肖h 南卜，+ 同1 rv 坩， 由于，( ，) 为，的函数，而v 仅对，运算，n 此v j ( r ) 一0 ，又知 v x ( 南) 一簖 将这些结果代入式( 3 1 1 ) 中有 酬= 尝拶 限脚 即为毕奥一萨伐尔定律。已知电流分布以后，根据此式即可计算空间任一点的 磁感应强度。 电流可以分布在体积中，也可以分布在表面上或细导线中，面分布的电流称为 表面电流，用表面电流密度- ，。表示，分布在半径可以忽略的细导线中的电流称为线 电流，对i f 线f 臼流无密度可言，仅以由流i 表示。体电流、面申流及线巾流夕问关 月矿= 以d s j d ( 3 1 3 ) 式中d 的方向为线电流的方向。考虑到这些关系，再根据式( 3 9 ) 及式( 3 1 2 ) ， 可以导出面电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为 制一锄辫s m 酬= 铷瞥 线电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为 制2 锄尚 扑竿铲 氓m 至此，获得了真空中恒 定磁场方程的积分形式和微 分形式。在已知电流分布的 情况下，根据亥姆霍兹定理， 又推导出了矢量磁位的计算 公式式( 3 9 ) 、式一( 3 1 4 ) 及式( 3 1 6 ) 和磁感强度的计 算公式一一式( 3 1 2 ) 、式 ( 3 1 5 ) 及式( 3 1 8 ) 。利用 这些公式即可根据电流分布 计算恒定磁场。如计算半径 图3 1 小电流磁场的计算 为a ，电流为，的小电流环产生的磁感应强度。 取球坐标系，令坐标原点位于电流环的中心，且电流环的平面位于叫平面内， 如图3 1 所示。 由于结构对称，场量一定与庐无关。为了计算方便，令所求的场点位于x z 平面 b i j 西= 0 的半曲内。 根据式( 3 1 6 ) 得 4 ( r ) ；锄p o 卅f i ( r ) ，d l ，| ；等御 由图3 1 可知 ，一( r s 切口k ，+ r c o s 0 ： r 一( a s i n 口b x ：+ 0 5 胁妒k ， 所以 r - r t 一r 厅圹庐 考虑到r ， n ，再利用近似式( 1 一z ) 。1 门一1 + 要则有 同14 妒口训) 又 d l 一a d 西 p ，= 古jc o s 一p js 伽 将这些结果代入上式，得 制= 筹弘口驯眵州_ 州) d 一号产 上面计算中场点位于船平面。对于空间任一点，考虑到e = 一p 。j m 妒+ p ，c o s ( d ， 上式可以表示为如下的形式 a ( r ) ； i t o i ：s 丁s i n 0 = 百”o m 丁x r ( 3 1 8 ) 式中s = 石口2 为小电流环的面积，小电流环的磁矩m = e ：s 。再根据式( 3 1 0 ) 可得 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 丑( r ) ；磊# o l ，s ，0 ，2 伽0 + e es i n o ) ( 3 1 9 ) 结果表明，小电流环产生的矢量磁位a 与距离，的平方成反比，磁感应强度b 与 距离，的立方成反比，两者均与场点所处的方位有关。 3 a 媒质的磁化 原子中的电子在自己的轨道上围绕原子核不断旋转，从而形成一个闭合的环形 电流，这种环形电流相当于一个磁偶极子，它具有的磁矩称为轨道磁矩；另一方面， 电子及原子核本身还要自旋，因而也相当于形成磁偶极子，其磁矩称为自旋磁矩。 在通常情况下，由于热运动结果，这些磁偶极子的排列方向杂乱无章，使得宏观的 合成磁矩为零，对外不显示磁性。当外加磁场时，由于媒质中这些带电粒子的运动 方向发生变化，甚至产生新的电流，导致各个磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再 为零，这种现象称为磁化。但是，与极化现象不同的是，磁化结果使媒质中的合成 磁场可能减弱或增强，而介质极化总是导致合成电场减弱。 无论哪一种磁性媒质，磁化结果都是在媒质中产生了磁矩。为了衡量磁化程度， 把单位体积中磁矩的矢量和称为磁化强度，用m 表示，即 m ：翌32 0m = 上l( ) a v 式中m j 为矿中第f 个磁偶极子具有 的磁矩，y 为物理无限小体积。媒质磁化 后，出现的磁矩是由于媒质中形成新的电 流产生的，这种电流称为磁化电流，磁化 电流密度用j 表示。下面推导磁化电流密 度，与磁化强度m 的关系。 设已磁化的一块媒质的体积为y ，如 图3 1 所示，若磁化强度为材，则d v