（计算数学专业论文）不可再生资源最优利用的数学模型.pdf

b ym ip e n g s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f e s s o rh a nt i e m i n n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i 够 j a n u a i y2 0 0 8 j i i 独创柱声明 f 嬲嶝科嶝必 所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的论文中取得 以标注和致谢的地方外，不包含其他人已发表或撰写过的 包括本人为获得其他学位而使用过的材料与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 ：也 恧 学位论宰作者签名：朱鸦 b 期：如鐾、 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文 的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和借阅本人同意东北大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索、交流 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 不可再生资源最优利用的数学模型 摘要 在实际生产中，资源的开发和利用受到诸多因素的影响和制约，十分复杂目前主 要的问题是，资源开发和资源利用时的效率都很低，这必然大大加速资源的枯竭2 0 0 2 年，肖成河给出了不可再生资源最优开发的控制模型，并增加了对资源的有效利用率及 资源的有效开发率的思考 本文在以上模型的基础上完成了如下工作： ( 1 ) 通过对不可再生资源开发率模型及利用率模型的分析，在资源的有效开发率、 有效利用率约束下，对最优利用模型进行改进，并利用极大值原理进行求解 ( 2 ) 考虑到实际可以将不可再生资源与可再生资源配合在一起开发利用，在上述问 题的基础上，本文建立了在有效开发率制约条件下，可再生资源与不可再生资源配合开 采的最优利用的数学模型由于模型较为复杂，在求解中对问题进行了一定的简化，将 该模型化为非线性规划问题的标准形式，然后利用求解非线性规划问题的基本方法，并 结合智能控制与模式识别的相关知识，给出了求解该数学模型的一般算法 关键字：不可再生资源；可再生资源；有效开发率；最优利用；数学模型 东北大学硕士学位论文a b s l r a c t m a t h e m a t i c a lm o d e lo ft h eo p t i m a lu t i l i z a t i o no f n o n - r e n e w a b l er e s o u r c e s a b s t r a c t ht h c 即c t 删p 阳d u c t i 蚰，t h ed e v e l o p m e n t 卸d 懿p l o i t a t i 彻o ff c s o u 哟si s 衄d e rt h c i n f l u e n c c 觚dc h e c k0 fm 柚yf h c t 0 璐，i ti sv e r y m p l i c a t e d t h el o we 骶c t i v ed c v e l o p m c n t 豫t i o 觚de 西巴c t i v eu t i l i z a t i o nr a t i oi st h em a i l ip r o b l e mn o w ，w h i c hc o u l da o k n - c dt oc a u 髓t 础o p 坞嗽e x h a 咖o n 1 n2 0 0 2 ，x i 的c l l e n 曲ci i i 仃0 d u c e dad e v e l o p m e n t a ls t r a t e g i c n t r o lm o d e l0 f 的n - r e n e w a b l c 陀u r c 豁，w i t hn o n - r e n e w a b l ee 疏c t i v cd e ：v c l o p m e n tr a l i o a n dn o n f e n e w a l b l ce f ! f e c t i v cu t i l i z a t i o nm t i 0 b 硒e d t l l e a _ b 0 v c ，t h ct h e s i sc 0 m p r i s e s m ep i c c 璐o fw o r k sj u s t 弱f o l l o w s ： ( 1 ) b y 柚a l y z i n gt h em o d e l0 fn o n r e n e w a b l ee f f 锨i wd e v e l o p l 豫n t 删【i o 柚dt h em o d e lo f 咖- r e n 哪a b l ee 疵c t i v eu t i l i z a 硒nr a t i 0 ，an e wm o d e li si m p r o v e d 蚰d 盯t h e 髑t 幽t0 fe 侬娥i v c d e v e l o p m e n tr a t i oo re a - c c t i v eu t i l i z a t i o nr a t i o ，i nt h em e a n t i m e ，t h eo p t i m a ic o n t m lp r o j e c t s a r e 百v e nb ym e 觚so fm a x i m u mp r i n c i p l c c ) c o 璐i d e f i n gt om a k cn 伽- f e n e w a b l c 聆s o u 溅s 锄dr c n 删阳b l cf e s 0 u r c 瞄u s i i l g t o g c t h c r 纽db 勰e d 仰t h cm o d e l s 吞b o v c ，加en e wm a t l l e m a t i c a lm o d c li sg i v 明u n d e rt l l e c o n s 仃a i n t0 fe 黝i v ed e v e l o p m e n tr a t i o i n0 r d e rt 0 l v ep r o b l e mo ft h em a t h e m a t i 岱m o d c l ， t l l i sp a p c rt u m st h cm a t l l e m a t i 璐m o d e lt ot l l cs t 柚d a r df 0 册0 fn o n l i n e a rp m 莎姗i n 舀t h 锄 m a l 【e s 啦e0 fa l u t i 册0 b 伽tt h eb 勰i cw a yo f n l i n e 缸p r 0 黟锄m i n g 柚da l t h ea 1 9 0 r i t h m o fi n t e l l i g c n c cc o n 仃o l 柚dp a t t e mr c c 0 印i t i k e yw o r d s ： n o n - r c n e w a b l cr c u r 。c ；托n e w a b l e他s o u r c c ； m i n i n ge f f i c i e n c y ；o p t i m a l u t i l i 盟t i o n ；m a t l l e m a t i c a lm o d c 1 1 1 r 目录 独创性声明1 摘要1 l 第1 章引言1 1 1 研究背景1 1 2 不可再生资源与可再生资源的定义3 1 3 本文主要工作3 第2 章资源的枯竭5 2 1 不可再生资源枯竭及解决构想5 2 1 1 不可再生资源的枯竭。5 2 1 2 不可再生资源的开发利用的构想9 2 2 可再生资源的枯竭9 2 3 资源枯竭的应对办法1 0 第3 章不可再生资源最优利用的数学模型。1 3 3 1 不可再生资源开发的思考1 3 3 2 模型的假设与构建。1 3 3 2 1 考虑有效利用率的数学模型1 4 3 2 2 考虑有效开发率的数学模型1 7 3 2 3 考虑有效利用率及有效开发率的数学模型1 9 3 3 小结。2 1 第4 章不可再生资源与可再生资源配合开采的数学模型。2 3 4 1 模型的建立2 3 4 1 1 目标函数。2 3 4 1 2 资源的有效开采率2 5 4 1 3 不可再生资源开发的约束条件2 6 一旦丞 盔j 垦苤堂塑鲎垡迨盘 4 1 4 可再生资源开发的约束条件。2 7 4 1 5 建立数学模型2 9 4 2 模型的求解3 0 4 2 1 模型重建。3 0 4 2 2 模型求解3 2 4 3 小结。3 6 第5 章结论3 7 参考文献3 9 1 致谢q l 】【 1 1 研究背景 第1 章引言 1 9 7 2 年，在米都斯( m e a d o w s ) 等人组成的罗马俱乐部向联合国提交的报告中1 1 1 ，全 球性问题被归结为包括不可再生资源在内的5 大方面特别需要指出的是，在讨论不可 再生资源时，作者是极其忧虑的，表1 1 就是罗马俱乐部对几种主要矿产资源使用年限 的估计作者认为如果按照目前的发展模式持续下去，许多不可再生资源将不足以支撑 全球的经济增长，并最终将迫使人类经济活动达到某种极限 表1 1 矿产资源使用年限的估计 t a b l e1 11 k l 溉e x p c c t a l i c ) r0 fm i n e f a l 陀u 嗽s 现在，我国正处于社会经济高速发展时期，要完成2 1 世纪中叶人均国民生产总值 达到中等发达国家水平的第三步战略目标，首先就要看发展的物质基础一各种资源的供 应能否跟得上，资源的供应能否持续 地球上的自然资源数量总是有一个极限，在一定时间和地区有可能会出现资源枯 竭、短缺就一个国家或区域范围的资源短缺问题来说，出现资源的短缺并非是因为自 然资源的开发和使用已达到了极限，在很大程度上应归咎于经济秩序的不合理，内部经 济发展与社会体制不适应、经济发展水平差异、分配不公以及其他的政治、军事文化等 人为的原因特别是像中国这样一个人口众多的国家，由于历史的原因及社会生产力水 平的原因，已经出现了非常严峻的资源短缺、甚至枯竭的问题 复! 主至! 童二一一二一一 塞北大芏硕士鲎位论文 改革开放以来，我国能源发展取得令世人瞩目的成绩，资源产业在国民经济中的重 要作用越来越显现出来但快速发展的同时，多年积累的矛盾和问题进一步凸显我国 虽说是一个资源大国，资源总量居世界第三位，不过这是从总量上来看，因为我国人均 资源占有量仅为世界人均占有量的一半，只居世界第五十三位由于我国处于工业化的 中期，经济发展不可避免地增加对资源的使用，而粗放型的增长方式又加大了资源在使 用过程中的浪费，进一步刺激资源需求的增加，特别是近几年来，资源需求急剧增大， 各种资源供不应求，直接导致价格持续攀升从资源供给的角度看，我国资源总量多， 人均占有量和优质矿藏少，往往资源开采企业在资源开采阶段都存在巨大的资源浪费， 使我国的资源更显匮乏 未来3 0 年是工业化迅速发展时期，对能源矿产资源的需求将相应地大幅度增长， 随着人口增加、工业化和城镇化进程的加快能源需求将大幅度上升，这对能源的可供量、 承载能力以及国家能源安全提出了严峻的挑战据预测【2 1 ，2 0 1 0 年石油消费量为2 6 亿 吨，国内生产预计1 6 5 亿吨，天然气资源预计达7 2 0 亿立方米，缺口3 0 0 亿立方米，油 气资源总共缺口1 7 4 亿吨油当量，缺口1 7 4 亿吨油当量，2 0 2 0 年缺口增加到3 2 6 亿吨， 钢铁缺口总量为3 0 亿吨，铜超过5 0 0 0 万吨，精炼铝1 亿吨，根据地矿部材料，2 0 1 0 年在4 5 种重要矿产中，可保证的只有2 3 种，不能保证需长期进口补缺的有石油、天然 气、铁、锰、铜、镍、金、银、硼、硫铁矿等1 0 种2 0 2 0 年，形势更加严峻，可保证 需求的仅有6 种矿产，对2 0 5 0 年发展目标则完全没有保证，相当部分矿产资源对经济 建设保证程度偏低，关键矿产资源与石油能源缺口状态走向全面严峻，供需矛盾进一步 尖锐，结论是重要矿产资源的供应将是不可持续的 可以认为，2 1 世纪是多种资源紧缺，资源供给形势将比2 0 世纪严峻得多，特别指 出的是水、耕地资源水土资源是难以增加也无法从国外进口的，它们已成为我国的短 缺资源我国耕地资源的短缺，不仅人均数量少，而且后备资源也不足与人口大国印 度相比，印度不仅耕地总面积和人均占有量皆大于我国，而且还有丰富的后备耕地资源 可以利用在这些方面，我国是无法与印度比拟的水资源供需矛盾突出，污染严重我 国人均水资源为世界平均水平的1 4 ，而且分布很不均衡，水污染进一步加剧了水资源 的短缺水利部报告预测2 0 1 0 年后1 3 1 ，我国将进入严重缺水期美国兰德公司预测，中 国国内生产总值因缺水每年将下降1 5 到1 9 个百分点我国主要自然资源的人均占有 水平低，并将继续降低，这一难以改变的事实表明我国人口对资源的压力过大如果不 能尽快采取相应有效的措施，中国2 1 世纪经济繁荣的自然资源物质基础将出现全面性 2 ， 7 ：f ：l il 1 壅i 垦盘堂塑鲎焦迨圭 ：笠羔童i ! 主 的危机 咖。孝_ 一+ 侮 ：q 1 2 不可再生资源与可再生资源的定义 通常将自然界中的资源划分为两种：不可再生资源与不可再生资源 不可再生资源可定义为：在任何对人类有意义的时间范围内，其质量保持不变，蕴 藏量不再增加的资源，这些资源是经过亿万年逐渐演变而来的，具有有限性和不可再生 性在自然界中很多资源均是不可再生的资源，例如石油、煤炭、天然气、金属等矿产 资源 可再生资源也称可更新资源，它是一个动态的概念，其具体的含义可以理解为：在 自然环境中或辅之以人工整治，可以重新生长形成的资源以及自然循环更新的资源，其 更新、或者说是再生的速度大于或等于其被开发利用的速度可再生资源般包括：水、 耕地、动物、森林、草原等资源 有时也把通常所说的废弃物资源也归为可再生资源，此时可以理解为可以回收利用 的不可再生资源，其基本定义是：在社会的生产、流通、消费过程中产生的不再具有原 的使用价值，并以各种形态赋存，但可以通过某些回收加工途径使其重新获得使用价值 的各种废弃物，一般包括废水、废气、废渣、粉尘等这里的再生，实际上是指废弃物 资源的再生废弃物资源在物质性能上的可再生性，是其可再生利用的根本前提值得 强调的是，废弃物资源与使用价值和效用性已完全丧失了的垃圾不是一个概念，与“一 般资源理论中的可更新资源也不相同 不可再生资源( 矿产资源) 与其他自然资源( 如耕地、森林等) 相比，在开发利用时 具有明显的不可再生性它不像耕地资源那样作为劳动手段，在农业生产过程中不被消 耗，它也不像森林资源那样，在被采伐以后还能重新栽培迅速生成矿产资源在采掘工 业中是被当作劳动对象而加以使用的人们只有消耗了矿产资源以后，才能获得所需的 矿产品开采以后，这些矿产资源也就不复存在了 1 3 本文主要工作 本文分析了世界各个国家的能源现状，尤其是中国，自然资源面临严重枯竭的危机， 并讨论了出现这种危机的实质原因，以及应对的办法然后在“有效开发率一及“有效 利用率一约束条件下，构建了不可再生资源最优利用的数学模型，并利用极大值原理求 出问题的解在此基础之上，进行改进，建立了带有“有效开发率 制约的不可再生资 3 蔓兰主i ! 主壅皇垦盘鲎塑鲎焦迨耋 源与可再生资源的合理配合利用的数学模型，并利用非线性规划问题、智能控制与模式 识别的相关知识，给出了求解该数学模型的一般算法 本文为更好的开发利用资源，进一步延缓资源的枯竭提供了一定的思路和方法 第2 章资源的枯竭 上世纪6 0 年代以来，随着人类社会的发展，在社会生产力和科学技术的快速推动 下，人类改造自然的规模空前扩大2 1 世纪，在世界经济剧烈竞争的格局下，以及在当 代人急功近利的索取欲的驱使下，人类对资源的需求更是不断成倍的增长，从大自然索 取的资源也越来越多，使得能源消耗急剧增长，不管是不可再生资源还是可再生资源都 被过度开发，大量资源面临着短缺的危机，最终将导致枯竭因而自然资源的稀缺、不 断耗竭与经济的可持续发展问题已逐渐成为全球性的社会焦点问题 资源的枯竭也可以说是资源的耗竭从经济学角度分析1 4 l ，耗竭是一种状态，也是 一种过程某种不可再生资源的存量逐渐减少为零的过程称为耗竭，而资源存量为零的 状态也称为耗竭状态，这是指不可再生资源全部被人类开采出来，绝对数量为零但耗 竭不应仅仅是指资源的完全开采，而是在人类有意义的年代内现存资源的完全使用由 于相对人类的发展历史来说，不可再生资源的形成是相当漫长的，因此当使用完现存的 这些资源后，一般就称其耗竭了但应注意到，完全开采并不等于完全使用，开采只是 将不可再生资源从地下转移到地上，将不可再生资源开采出来，并不意味着就是耗竭了， 只要这些资源还在为人类服务，为人类所利用，则仍可认为它们没有耗竭 2 1 不可再生资源枯竭及解决构想 2 1 1 不可再生资源的枯竭 不可再生资源的耗竭从质量上说是绝对的，多数矿产资源一旦被开采以后，也就不 复存在了，这样的特点决定了它在服务于社会时必然存在可利用价值的损失而不可再 生资源是社会经济赖以生存和发展的物质基础之一，是人们生产和生活的必需品，所以 随着社会快速发展，资源的需求量会成倍的增加，不可再生资源会越用越少，因而人类 的行为活动对资源的枯竭有着决定性影响 英国经济学家杰文斯( j e v o n s ) 认为不可再生资源( 特别是煤) 被耗竭的可能性是制约 工业化国家( 如英国) 经济增长的最大威胁，他甚至认为不可再生资源( 如煤) 的存量是英 国经济增长的绝对界限1 4 j 我国正处于工业化的快速发展时期，人们对资源的需求更是有增无减到2 0 5 0 年， 笙2 主炎鎏鲍蕉塑 盔a 垦盘茎塑主茔焦逢塞 能源年消耗量将达到标煤3 8 亿吨，未来我国经济的发展将受到资源枯竭、能源短缺的 严重影响，这势必会阻碍我国经济的增长 我国是一个人均资源相对不足的国家，人均能源消费量都是很低的，人均矿产资源 占有量仅为世界平均水平的5 8 ，某些重要资源长期依赖进口，对国民经济和社会发展 的保障程度不断下降以煤炭资源为例【5 1 ，我国人均拥有煤炭的可采储量为1 0 1 吨，为 世界平均值的4 0 ，在现已勘探的世界煤炭储量中，美国占世界煤炭储量的2 3 2 ，中 国占1 1 0 0 ，澳大利亚占8 8 ，德国占7 7 ，其他国家共占2 6 2 ，而石油、天然气 的平均可采量则更低但是，与此同时我国能源资源利用的浪费和破坏却又十分严重， 单位产值的能耗与明显高于世界上其它发达国家，如表2 1 所示 表2 1 各国单位产值的能耗比 t a b l e2 11 n h ee n e r g yc o n s u m e0 fu n i tp r o d u c t i 彻v a l u c 由于各种不可再生资源的贮量相对有限，如何解决资源的有效开发、有效利用和可 持续发展，是未来几十年内人类面临的一个严峻的难题 1 9 9 3 年，现代经济学家汪丁丁曾将不可再生资源的开采设想为一个初始量给定的、 只能流出不能流进的水池【6 j 流出的水相当于被开采的资源，这就产生了怎样放水才能 使总的利益最大化的“放水问题 因而面对总量不但不会增加而且会随着时间的推移 而减少的不可再生资源，以什么样的速率进行开采利用是一个关键问题 的确，不可再生资源( 如矿产资源) 的耗竭是由资源本身的客观条件所决定的，并 且不可再生资源的耗竭程度还受多种因素的影响，但人类的不科学不合理的开采、利用 资源的方式大大加速了不可再生资源的枯竭不可否认，目前由于科学技术和经营管理 水平的限制，造成了矿产资源利用率低于理想标准的损失，资源的有效开发率低，有效 利用率低，是资源枯竭的一个很重要的客观原因，但是资源的枯竭更主要的是由于资源 管理体制、管理政策及法规等的不健全，市场机制的不完善等人为原因造成究其根本， 是人类的经济行为还缺乏可持续发展的意识，人们受眼前利益的驱使，过度过早地大量 开采有限的不可再生的矿产资源，以及不科学的利用，加快了资源的耗竭速度，现在甚 。 f j l 壅i 堡盘茔亟生焦迨塞笠2 主炎鎏丝蕉塑 至把应留给后代人使用的财富资源提前支用，给未来后代子孙留下无法挽回的损失 不可再生资源的开发和和用受诸多因素的影响和制约，是物流运动的上游闸门，极 其复杂从不同视角，不同层次、不同的资源环境和不同的技术条件出发，制定各种资 源的最优开发战略，将影响和作用于经济发展与可持续发展的历程，甚至国家民族的生 j 死存亡 由于科学技术和经营管理水平的限制，造成了矿产资源利用率往往低于理想值，而 资源消耗量往往大于理想值人类开发利用矿产资源的历史表明，由于生产技术的限制 和利益杠杆的驱动，人们总是首先开发利用的是埋藏浅、赋存条件好、品位高的易采易 选( 冶) 的矿产资源，剩下埋藏深、采选( 冶) 条件复杂的部分由此导致了可利用矿产资 源丰度降低，勘探、开发条件劣化，造成矿产资源总体质量下降矿产资源耗竭的这些 特点，决定了它在服务于社会时必然存在可利用价值的损失，也就是说未经利用就已经 产生了大量的资源浪费 以煤炭行业为例1 7 l ，在我国西北地区，不少煤矿煤层都很厚，平均厚度达5 m 6 0 米但 企业为了降低开采成本，往往“挑肥拣瘦一地开采，不论煤层是1 0 多米还是几米，都 只是开采中间最“肥 的煤层，而。瘦一的煤层则少开采或者不开采了，于是大量资源 就这样被浪费了这种现象导致矿井回采率低，据统计，我国煤炭资源回采率平均还不 一 到3 5 ，一些乡镇煤矿回采率仅为1 5 ，有些甚至低至1 0 据统计自建国以来，我国 累计产煤约4 0 0 亿吨，煤炭资源消耗量超过1 0 0 0 亿吨而开采过程中，至少扔掉了6 0 0 亿吨的煤炭资源按2 0 0 6 年的煤炭消费计算，这些煤够用近4 0 年除煤炭行业外，石 油开采中的浪费现象同样惊人一些油井的采收率连2 0 都难以达到! 这意味着，埋藏 于地下的原油每吨仅能开采出1 0 0 多千克，而其余8 0 0 多千克的原油都被白自浪费了之 所以造成如此之大的资源费，完全是由于一些石油开采企业仅仅从开采成本考虑，而没 有采用提高采收率技术 根据对产量和矿山数各占全国5 0 的矿山调查，按各类矿山产量所占比例，经加权 平均计算，我国石油采收率平均只有3 1 ( 国外一般波动在3 3 左右) ，海域的石油采收 率更低，仅为1 8 ；我国的煤炭矿井平均回采率为3 4 ( 前苏联的煤矿平均回采率为 5 0 6 0 ，美国为5 0 ，日本为7 0 7 5 ) ，比发达国家低1 5 2 0 ；我国9 种主要有 色金属的平均矿井回采率为5 3 ，低于发达国家1 7 2 7 ，选矿回收率加权平均为 6 2 5 ，较国外水平相差2 3 ；其他黑色金属及辅料、菱镁矿等冶金、化上辅助原料回 采率与国际先进水平均存在不同程度的差距回采率的差距，意味着采矿中存在着极大 复2 童壹逐盟挂塑： 壅a 垦苤鲎塑鲎焦迨塞 的资源浪费可以用简单的数学分析清楚地说明这一点【8 】- 设资源的回采率为日，资源的开采量为c ，资源损失量为s ，资源耗损总量为r ， 则资源开采量c 一尺h ，资源损失量s - 尺( 1 一日) 资源开采与损失量之间存在下 述关系： c日 - 一j - - - - - - - 一 s1 一日 很显然，当资源开采量c 为定值时，回采率日越低，损失量s 越高，为开采量的 ( 1 一日) 日倍；当回采率日 0 ，挈卸，即随开采量的增力， 开采费用递增，且开采费用的增加速度也单调非减它还可以看成是价格p 的函数记为 c g o ) q ( f ) 表示自然资源在f 时刻的储存量，当f o 时，q ( o ) - q o 当市场需求量为，( p ) 时，总储存量q ( 稍下降，单位时间内下降的数量为厂( p ) ，即掣。一，p ) 口f r 表示决策的终端时刻 p 表示社会贴现率 资源开发者所获得的利润应为收入总量减去开采成本，有时也称为生产者剩余，所 1 3 - 蔓三童丕互墨垒煲煎垂垡型旦盟煞堂搓型 壅i 垦叁鲎塑堂焦逢塞 以利润函数可以表示为：石( p ) - ( p ) 一c 【，0 ) 】 m ( p ) 。且，o ) 出为消费者剩余函数，可以理解为消费者获得的收益 3 2 1 考虑有效利用率的数学模型 在考虑资源的时间价值的前提下，战略开发是以资源效用的最大化为目标，即在新 资源替代作用和经济竞争的压力下，以及在资源索取欲的驱使下，使生产者利润和消费 者剩余的总和最大因此在此战略目标下，不可再生资源最优开发模型可构建如下【1 2 】 删。j ：【西( p ) + 石( p ) 1 e 一出 f q p ) 。一，( p ) ( 3 1 ) s j i q ( o ) - 或，q ( 丁) 2 0 其中掣一一，( p ) ，表明自然资源的总储存量q o ) 的变化率的绝对值恰为开采量厂。) 目标函数的经济意义是同时考虑生产者剩余与消费者剩余，使其总和为最大 在模型( 3 1 ) 中没有考虑到已开发资源的“有效利用率对决策的影响【1 9 1 事实上， 已开发的资源在使用过程中往往得不到充分利用而造成浪费，并且还会对环境造成一定 的污染因此在模型( 3 1 ) 的基础上应增加资源有效利用率对决策的影响 设，= | ( f ) 表示，时刻自然资源的有效利用率，显然可知对v f r + ，有_ o ) ( o ，1 ) ， 掣 。，生掣 。) 但是，考虑到这 种形式在后面的模型求解时不利于计算，所以假设乏茜。1 + 口，一瞄，其中口1 口2 仉又 设f 一0 时，( o ) 为已知量；设f 一时为做出决策的时刻( o sr ) ，则( ) 为预期资 源有效利用率，也是已知的于是口。，口：可由_ ( 0 ) 及_ ( ) 所唯一确定： - 一去 1 枷- p 叫虬赤 口，- 二一一1 僵1 墨刚吲0 ) 】 ( 3 2 ) 口。三l n 垒丛地二刍剑 、7 么( 0 ) 【1 一( ) 】 易知，资源有效利用量= 资源的总效用资源有效利用率，于是得到f 时刻资源的有效 利用量为 瞅p ) 埘缈哦) 巾( p ) 栅( p ) 卜南 ) ： v i + - 在此基础上可以构建有效利用率( f ) 作用下的资源最优开发的数学模型 二螋南? ：。 s 堰蒿二：2 。 一 吣) 一f 6 一p 冲一；西刊一华 将( 3 5 ) - ( 3 8 ) 式代入( 3 4 ) 式，可得 姥j 一加6 一p ) 一竿州；一p ) 一西一p ) 2 】 s j j q v ) 一一( p p ) i q ( o ) 一q 0 ，q ( r ) o 现在采用极大值原理求解以上模型作哈密顿函数 日。【；( ；一p ) 旦三+ p 6 一p ) 一( 石一p ) ：】( 1 一口。p q 弦 【毒一西训z 1 ( 1 一叩叫弦一+ a 一石) 根据极大值原理有如下必要条件成立： 1 、采取的价格策略p 应使得哈密顿函数值取极大。 1 5 ( 3 8 ) 静毛 2 、拉格朗日算子a 满足：置。一塑；o ： a q 3 、系统状态方程q p ) - 一西一p ) ，q ( o ) 为给定值，q 仃) o 由必要条件2 可知a 为常数，即a c 一般地说，最优价格p 必在。与石之间， 因此根据必要条件1 ，可令哈密顿函数h 关于p 求导，并令其为0 ，求出最优价格应满 足的条件： 警卟p 叫醐高鬲小。 d pl + 口e l 、7 并将a c 代入上式，可得 p 一挈+ ( 1 w ( 3 1 2 ) 再把上式代入状态方程q p ) 一伍一p ) ，得 q 弘) 一一瞄一孚一詈( 1 + 叩4 ，) 】。一【詈一詈o + 口，( p 一屯弘) 】 ( 3 1 3 ) 33 5s 。 、。 上式为一阶微分方程，解得 q ( f ) i _ 【争詈( 罟+ 去瑚+ q ( 0 ) 再将终止条件即f - z 时代入上式得 ，q ( 驴- 【争詈等+ 去训r ) 】+ q ( o ) 从上式求出常数 3 【q ( 丁) 一q ( o ) + 尝丁】 “互； 0 1 6 ) + l d e ”。2 ， p p 一口2 这里需要注意的是，随着有效利用率的提高，终止时间丁将随之增大，即丁是有效 利用率的函数同样，q f ) 也是有效利用率的函数 将( 3 1 6 ) 代入( 3 1 2 ) 即可得价格p 的最优解 p一号乒+pc1二二，+，一 3 2 2 考虑有效开发率的数学模型 在模型( 3 1 ) 中没有考虑到自然资源的“有效开发率一【1 2 1 在自然资源的开发过程中， 管理与开发技术有一个发展的历程，在开发过程中，资源的流失率是一个逐渐减少的过 程因此在模型( 3 1 ) 的基础上，应增加。有效开发率开对开发决策的制约作用 设( f ) 表示在，时刻对自然资源的有效开发率，则函数白( ，) 满足：对月+ ，有 ( 0 1 ) ，掣北学 。且熙1 1 故可取蠢- ( 1 + 矿”0 ) 又设fto 时，( 0 ) 为已知，设f - 时( o 0 由于实际资源开采受诸多原因的影响，资源开采过程中大量资源开采出来未经利用 就被浪费，所以在模型中考虑有效开发效率完全符全客观实际，而且开采中产生的浪费 就可以通过用开采的有效率直接反应出来 下面构造开采效率函数彳，显然彳是时间f 的函数，可记为彳一彳o ) ，并且对 0 ， 有彳o ) ( 0 ，1 ) 实际中随着时间f 的推移，资源的开采应该越来越充分，即开采效率不 断提高，所以彳( f ) 单调增加的，故些掣 o ，且l i m 4 ( f ) 1 由此以上特点可知，若存 口f 一+ 。 在这样的开采效率函数，则其函数曲线形状应如图4 1 所示 醯 p 图4 1 有效开采率曲线 f i g 4 1mc u n 他c l i co fe 舶“v cd c v e l o p 瓣n tm t i o 一 ，要 叫 蔓主- 一丕要墨生壹鎏墨互墨垒壹盈坠全盘苤盟熬鲎搓型 壅韭盘鲎塑堂垡逢耋 考虑概率论中指数分布函数 荆。k 譬 ( 式中秒为正参数) 的函数特征，以及函数曲线特点，如图4 2 所示 f ( x ) l 0 9 0 8 0 7 0 6 o 5 o 4 o 3 0 2 o 1 易知当f 0 时，