（应用数学专业论文）小波分析在信号诊断中的应用.pdf

华北电力大学硕十学位论文 摘要 目前，在一些工业信号诊断上主要应用快速富立叶变换，这种方法在大多数应用 中是有效的但傅立叶变换在实际应用中有它明显的缺陷，它不是局部化的时频分 析工具。小波分析提供了一种自适应的时域和频域同时局部化的分析方法，而且 时一频分析中有着很强的灵活性，能聚焦到信号时段和频段的任意细节，被喻为 时一频分析的显微镜。论文中，前三章介绍小波分析的基本内容，包括f o u r i e r 变换，窗口f o u r i e r 变换及小波变换。 在第四第五章，讨论了小波在信号处理 中的应用。第四章是根据数据特征，构造了一个合适的小波，该小波具有很好 的对称性和局部化特性。对称性保证了诊断信号突变点不发生时间前后的位移， 这一点是小波工具箱中著名的d a u b e c h i e s 小波所没有的特性。局部化特性保证了 计算的速度和精度。这个小波基本上保留了d a u b e c h i e s 小波的优点，而克服了它 的缺点。通过实验得到了满意的结果。第五章，通过把小波和神经网络相结合， 讨论这个方法在信号处理和函数逼近中的应用，通过实验表明，在信号故障诊断 和函数逼近之中，这个方法也是一种有效的方法。 关键词：小波变换，信号诊断，滤波器，傅立叶变换 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h eb a s iso fw a v e l e tw a si n t r o d u c e di nt h ef i r s tt h r e e c h a p t e r s t h ea p p l i c a t i o no fw a y e l e ti ns i g n a ld i s p o s a lw a sd i s c u s s e di n c h a p t e rf o u r w ec o n s t r u c ta ne f f e c t i v ew a v e l e tf il t e ri nt h e1 i g h to ft h e c h a r a c t e ro fs i g n a l t h i sw a v e l e ti ss y m m e t r i c ，w h i c hi sam e r i tt h a t d a u b e c h i e sw a v e l e t sl a c k t e s t i n g sr e s u l t ss h o w e dt h ef e a s i b i l i t ya n d p r a c t i c a l i t yo ft h em e t h o df o ra p p l i c a t i o n i nc h a p t e rf i v e ，w ed i s c u s sa p p l i c a t i o n so fw a v e l e t n ni ns i g n a la n df u n c t i o n a p p r o x i m a t i o n ag o o dr e s u l tw a so b t a i n e db yt e s t i n g c a ol i j u a n ( d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s ) d i r e c t e db yp r o f l iz h o n g y a n k e yw o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ，s i g n a ld i a g n o s i s ，f i l t e r s ，f o u r i e rt r a n s f o r m 华北电力大学硕十学位论文 摘要 目前，在一些工业信号诊断上主要应用快速富立叶变换，这种方法在大多数应用 中是有效的但傅立叶变换在实际应用中有它明显的缺陷，它不是局部化的时频分 析工具。小波分析提供了一种自适应的时域和频域同时局部化的分析方法，而且 时一频分析中有着很强的灵活性，能聚焦到信号时段和频段的任意细节，被喻为 时一频分析的显微镜。论文中，前三章介绍小波分析的基本内容，包括f o u r i e r 变换，窗口f o u r i e r 变换及小波变换。在第四第五章，讨论了小波在信号处理 中的应用。第四章是根据数据特征，构造了一个合适的小波，该小波具有很好 的对称性和局部化特性。对称性保证了诊断信号突变点不发生时间前后的位移， 这一点是小波工具箱中著名的d a u b e c h i e s 小波所没有的特性。局部化特性保证了 计算的速度和精度。这个小波基本上保留了d a u b e c h i e s 小波的优点，而克服了它 的缺点。通过实验得到了满意的结果。第五章，通过把小波和神经网络相结合， 讨论这个方法在信号处理和函数逼近中的应用，通过实验表明，在信号故障诊断 和函数逼近之中，这个方法也是一种有效的方法。 关键词：小波变换，信号诊断，滤波器，傅立叶变换 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h eb a s i so fw a v e l e tw a si n t r o d u c e di nt h ef i r s tt h r e e c h a p t e r s t h ea p p l i c a t i o no fw a y d e ti ns i g n a ld i s p o s a lw a sd i s c u s s e di n c h a p t e rf o u r w ec o n s t r u c ta ne f f e c t i v ew a v e l e tf il t e ri nt h el i g h to ft h e c h a r a c t e ro fs i g n a l t h i sw a v e l e ti ss y m m e t r i c ，w h i c hi sam e r i tt h a t d a u b e c h i e sw a v e l e t sl a c k t e s t i n g sr e s u l t ss h o w e dt h ef e a s i b i1 i t ya n d p r a c t i c a l i t yo ft h em e t h o df o ra p p l i c a t i o n i nc h a p t e rf i v e ，w ed i s c u s sa p p l i c a t i o n so fw a v e l e t n ni ns i g n a la n df u n c t i o n a p p r o x i m a t i o n ag o o dr e s u l tw a so b t a i n e db yt e s t i n g c a ol i j u a n ( d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s ) d i r e c t e db yp r o f l iz h o n g y a n k e yw o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ，s i g n a ld i a g n o s i s ，f i l t e r s ，f o u r i e rt r a n s f o r m 声明尸明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文小波分析在信号诊断中的应用， 是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在 论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或 其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校 可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同 媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名： 日期： 导师签名： 日期：地堡：主，侈 2 华北电力人学硕十学位论文 第一章 引言 1 1 小波分析与分数傅立叶变换的有关介绍 傅罩叶变换是一个十分重要的研究工具，无论是在一般的科学研究中，还是在 工程技术的应用研究中，它都发挥着基本工具的作用。随着理论研究和应用的不断 深入，对傅里叶分析技术的改进已经是历史的必然。因为各种科学问题研究的特殊 需要，对傅里叶分析技术的改进也选择了完全不同的方向。 为了进行信号局部的频谱分析，人们丌始对傅罩叶变换进行改进，1 8 4 6 年g a b e r 提出了以其名字命名的g a b e r 变换( 窗口f o u r i e r 变换或短时f o u r i e r 变换) ，提出了 对信号加窗来进行信号局部分析的新思想，但是g a b e r 变换不论如何选择窗口函数 都无法产生正交基，使得其计算复杂，数据的冗余大，而且它的时频窗口是恒等不 变的，正是对其的深入研究导致了小波分析与分数傅立叶变换的产生。 1 1 小波分析发展经过的几个阶段 小波变换是在傅立叶分析的基础上发展起来的，作为时一频分析方法，小波分 析比傅立叶分析有着许多本质性的进步。小波分析提供了一种自适应的时域和频域 同时局部化的分析方法，无论分析低频或者高频信号，它都能自动调节时一频窗， 以适应实际分析的需要，小波分析在局部时一频分析中有着很强的灵活性，能聚焦 到信号时段和频段的任意细节，被喻为时一频分析的显微镜。 小波分析之所以得到如此广泛的应用，完全归功于它的数学机理的创见性和完 善性，从纯粹数学的角度来说，我们研究的小波变换是调和分析( 其中包括函数空 间、广义函数、f o u r i e r 分析和抽象调和分析等) 这一重要学科大半个世纪以来的工 作结晶；从应用科学和技术科学的角度来说，小波变换又是计算机应用、信号处理、 图象分析、非线性科学和工程技术近些年来在方法上的重大突破。实际上，由于小 波变换在它的产生、发展、完善和应用的整个过程中都广泛受惠于计算机科学、信 号和图象处理科学、应用数学和纯粹数学、物理科学和地球科学等众多科学研究领 域和工程技术应用领域的专家、学者和工程师们的共同努力，所以，现在它已成为 科学研究和工程技术应用中涉及面极广泛的一个热门话题。 从小波变换的发展过程来说，大致可分成三个阶段： 第一阶段：孤立应用时期。主要特征是一些特殊构造的小波在某些科学研究领 域的特定问题上的应用。这个时期最典型的代表性工作是法国地球物理学家m o r l e t 和g r o s s m a n n 第一次把“小波”用于分析处理地质数据，引进了以他们的名字命名 的时间尺度小波，即g r o s s m a n n m o r l e t 小波。同时，著名的计算机视觉专家m a r t 在他的“零交叉”理论中使用的可按“尺度大小”变化的滤波算子，现在称为“墨 华北电力人学硕十学位论文 西哥帽的小波也是这个时期有名的工作之一，这部分工作和后来成为m a l l a t 的正 交小波构造理论支柱之“多尺度分析 或“多分辨分析有密切联系。这个时期一 个有趣的现象是各个领域的专家、学者和工程师在完全不了解别人的研究工作的状 态下巧妙地、独立地构造自己需要的“小波。虽然如此，但通观全局可以发现， 这些专家、学者和工程师所从事研究的领域广泛分布于科学和技术研究的许多方 面，因此，这个现象从另一个侧面预示小波分析理论研究和应用热潮的到来，说明 了小波理论产生的历史必然性。 第二阶段：国际性研究热潮和统一构造时期。真正的小波热潮丌始于1 9 8 6 年， 当时法国数学家m e y e r 成功地构造出具有一定衰减性质的光滑函数，这个函数( 算 子) 的二进尺度伸缩和二进整倍数平移产生的函数系构成著名的2 范数函数空间的 标准正交基。进入这个时期之后，l e m a r i e 和b a t t l e 又分别独立地构造得到了这样 的“好的”小波。再后来m e y e r 和计算机科学家m a l l a t 提出多分辨分析概念，成功 地统一了此前s t r m b e r g 、m e y e r 、l e m a r i e 和b a t t l e 的各别的小波构造方法，同时， m a l l a t 还在多分辨分析的基础上简洁地得到了离散小波的数值算法即现在的m a l l a t 分解和合成算法，并且将此算法用于数字图像的分解与重。几乎同时，比利时数学 家d a u b e c h i e s 基于多项式方式构造出具有有限支撑的正交小波基和对称双正交小波 【1 3 1 ，c h u i 和中国学者王建忠基于样条函数构造出单j 下交小波函数，并讨论了具有 最好局部化性质的尺度函数和小波函数的构造方法。 第三阶段：全面应用时期。从1 9 9 2 年丌始，小波分析方法进入全面应用阶段。 在前一阶段研究工作基础上，特别是数字信号和数字图像的m a l l a t 分解和重构算法 的确定，使小波分析的应用迅速波及科学研究和工程技术应用研究的几乎所有的领 域。鉴于小波分析的“自适应性质和“数学显微镜性质”，使其被广泛用于基础 科学、应用科学尤其是信息科学、信号分析和方方面面，比如：图像处理与传输、 信号处理、模式识别、地震探测、音乐、雷达、c t 成像、计算机视觉、航空航天 技术、故障监控、通信与电子系统等。由于小波分析在数字信号分析方面独特的诊 断效果，来自不同学科、不同背景、不同兴趣爱好的科技工作者自觉投入到小波分 析理论与应用研究中，涌现出一批高水平的论文和著作，在国内外形成一次又一次 研究高潮，到今方兴未艾。 1 1 2 傅立叶变换的局限性 傅立叶变换是信号分析和处理的理论基础，有着非凡的意义，起着重大的作用。 但是，傅立叶变换有它明显的缺陷，信号任何时刻的微小变化会牵动整个频谱。反 过来，任何有限频段上的信息都不足以确定在任意时一间小范围的信号。实际信号 往往是时一变信号、非平稳过程，了解它们的局部特性常常是很重要的。人们通过 预先加窗的方法使频谱反映时间局部特性，即采用短时傅立叶变换。短时傅立叶变 换是用时间窗的段信号来表示它在某个时刻的特性，显然，窗越宽，时间分辨率 2 华北电力人学硕十学位论文 越差，但为提高时问分辨率而缩短窗宽时，又会减低频率分辨率。因此短时傅立叶 变换不能同时兼顾时间分辨率和频率分辨率。小波变换是八十年代后期发展起来的 应用数学分支，具有多分辨分析的特点，而且在时频域都具有表征信号局部特性的 能力。它在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有 较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉为分析信号的显微镜。小波变换 在很多方面取代了傅罩叶变换与短时傅里叶变换。 1 。2 构造小波的意义 小波变换在分析诊断信号有着自身的显著优势，然而并不是每个小波都能分 析处理任意的信号，运用小波有很强的选择性，针对不同的信号需要应用符合其 条件的小波，如何选择小波是小波研究中的热点和难点问题。由针对不同的信号 需要选择合适的小波就衍生出构造小波的问题，经典小波数目有限，这就需要我 们研究小波分析的人员去构造小波，构造小波的方法也是当今小波分析研究中的 重点和难点。无论如何选择小波或者构造小波，目的是为能准确的解决遇见的问 题，本文在信号诊断中，构造了一个小波，此小波能很好的分析信号，达到了预 期分析的目的。 3 华北电力人学硕十学位论文 第二章f o u r i e r 变换 众所周知，一个复杂的波形可以看作一个函数或模拟信号，也可以看作一种复 杂的振动现象，它是由不同频率，不同振幅的谐波叠加而成的。例如，光波为不同 强度，不同波长的单色光的叠加，光波可分解为光谱，声音也可分解为不同音调， 不同音强的声谱，天线回路中的复杂电信号，可分解为不同频率，不同振幅的简谐 电磁波。f o u r i e r 分析就是对函数( 模拟信号) 作协波分解，合成和分析的有力的数 学工具，它在光学，声学，电学，力学等学科，特别是在数字信号处理方面，都有 着非常广泛的应用。 2 1f o u r i e r 变换 f o u r i e r 变换是将时间t 作自变量的时域函数厂( f ) ，t ( 一，+ ) ，通过指定的积 分运算，变换为频率0 3 作自变量的频域函数f ( 0 3 ) ，甜( 一，+ o o ) ；f o u r i e r 变换 的积分运算公式为： f ( ) = rf ( t ) e 1 “d t 2 2 窗口f o u r i e 变换 f o u r i e 分析在信号分析处理中中的突出贡献，在于它将复杂的时域信号转换到频 域中，用频谱特性去分析和表现时域信号的特性。但是f o u r i e 分析不能分析局部信 号的局部频谱特性，它没有时一频局部化功能。窗口f o u r i e 变换正是在时一频局部 分析方面取得了本质性的进步。 f o u r i e 分析能有效的分析平稳信号，能通过频谱函数方便地指明平稳信号的主 要谐波成分，然而，在实际应用中，我们常需要频域特性随时间变化的非平稳信号， 如音乐信号，语音信号，探地信号等，需要了解某些局部时域信号所对应的主要频 率特性，也需要了解某些频率的信息出现在那些时间段上，具体的说，对于音乐模 拟信号，我们希望了解局部时域信号的频率特性，希望局部地改变音乐信号的听觉 效果；对于基桩施工所采集的信号，我们希望知道什么局部时域信号表示基桩顶部 达到什么性质的地层，什么局部时域信号表示基桩发生断裂现象；对于电网运行所 采集的信号，我们希望实时地进行监测分析，快速判断故障信号发生的时间，地点 和类型，以便能做出即时反映并保证电网正常运行，上述情形都提出了关于短时段 时域信号所对应的局部频域特性，即时频局部化的要求 f o u r i e r 分析对时一频局部化要求是无能为力的只要观察分析f o u r i e r 变换表 4 华北电力人学硕十学位论文 达式 f ( c o ) = rf ( t ) e 一耐d t ，一 即可明白其中的原因一方面，f o u r i e r 变换要求提供厂o ) ，t e r 的全部信息，即使短 时段信号信号厂( f ) ，t 【一t 2 ，t 2 ，但是f ( t o ) 提供的是关于t o u r 的全部信息，主要反 映这个短时段时域信号的那些局部特性却无法知道。另一方面，时域信号的局部改 变会影响其，( ) 的全局改变， ) 在某个特定处的表现不可能通过局部时域信 号得到，它需要提供厂o ) ，t e r 的全部信息。特别值得注意的是： f ( t o ) 2f r ( 5 ( t ) e 一“d t = 1 2 2 1 窗口f o u r i e 变换( w f t ) 的基本思想 为克服f o u r i e 变换在时一频局部化方面的不足，d g a b o r 于1 9 4 6 年提出了窗口 f o u r i e 变换( 简记w 丌) 方法。 w f l r 的这清楚的表明：时域中某点的局部变化会影响频域全局。 数学形式为 ( 6 歹) ( 御，b ) = c ，( f ) 甜p - b ) e 。啊d t 其中，实函数“) 为时窗函数。 w f t 实现时域和频域局部化的基本思想是重要的。在时域局部化方面，它通过 引进的时窗函数o ) ，使时域信号，( f ) 在t = b 附近被局部化为f ( t ) t o ( t b ) ，在频域 局部化方面，需观察( g - 厂) ，6 ) 的表现，由卷积定理得 ( g d ( c o ，6 ) = 2 ：r e 。曲f 。1 【，( 亭) ( 亭一6 d ) 】( 6 ) 其中，厂( ) = 研，o ) 】，文) 一f t o ( t ) 】是通用记号，由上式可以清楚看出。若( ) 在 n ，= 叩附近是有局部化作用的，频域信息，( ) 就能在= r 附近被局部化。总之w f t 是在ttb 附近的时窗中观察是域信号f ( t ) ，在= 叩附近的频窗中观察频域信号 ， ) 。 时窗函数起着的时域局部化的作用，f ( t ) t o ( t 一6 ) 就表明了t = b 处的局部域信 号，时窗函数t o ( t ) 的开窗效果是用时窗中心f + 0 4 0 】和时窗半径a f 【o ) 】来表示的， 若无须指明窗函数，可直接用记号t 和，。 时窗中心可仿照力学中关于重心的描述来定义，即 f 2 川p ) 2 出肛i 甜p ) 2 d t 时窗半径可仿照力学中求矩量的办法来定义，即 ，= k p - t ) 2i ( f ) 2 肛l p ) 2 以，佗 华北电力人学硕十学位论文 在此定义下，当0 2 ( t 一6 ) ，b = 0 时，时窗函数的限时作用表现为：以t 为中心的 旷t a ，t + ，】范围，时窗宽度为2 ，。 同样，在此定义下，对o 一6 ) ，b 0 的情形，利用时窗中心和时窗半径的直观几 何含义，不难理解， i t i c o ( t 一6 ) 】；f 【 ) 】+ 6 la ， c o ( t - b ) 】= a ，【p ) 】 在w f t 中，t o ( t ) 起着时域局部化的作用，c o ( o , ) 起着频域局部化的作用，( f ) 是 时窗函数，c o ( c o ) 是频窗函数，故频窗函数的丌窗效果度量类似时窗效果度量。 频窗中心甜和频窗半径。定义为 l 矗i 荆2 叫正l 荆1 2 咖 卜= 缸 - c o ) 2 i 翻1 2 毗l 翻1 2 叫尼 同时窗一样，频窗平移r 后，有j 【9 一，7 ) 】= + ，7 ia 。【缈扣一蹿) 】= a 。 若c o ( t ) 和c o ( c o ) 能分别起着时窗和频窗的作用，可简称r _ o ( t ) 为窗函数。它的时域 局部化作用被限制在时窗区间【o + 6 ) 一a ，o + + b ) + 】范围内。它的频域局部化作用 被局限在频窗区间【+ r ) 一。，扣+ r ) + 。】范围内。于是，n - - i q 建 时一频坐标 系，用时窗区间和频窗区i 白j 形成一个矩形时一频窗。 2 2 2 w f t 的局限性 就时一频局部化而言，w f t 在f o u r i e 分析的基础上取得了本质的进步，时一频 局部化的精细程度反映在时一频窗形状上，低频信号的特点是，大的时间范围内幅 值变化慢，其频率范围窄，于是分析低频信号的时一频窗特点应是时窗宽且频窗窄； 高频信号的特点是，较短的时间范围内幅值变化快，其频率范围宽，于是分析高频 信号的时一频窗特点应是时窗窄且频窗宽。w f t 分析信号的时一频窗有如下特点： 6 华j 匕电力人学硕十学忙论文 0 b l 虬 f 无论时窗中心还是频窗中心移动，时频窗形状始终保持不变。 时一频局部化的精细程度还表现于分析高，低频信号的自适应时一频窗方面。 在给定的实际模拟信号中，常常同时含有表示某种特定情况的低频信号段，此时需 要一种自适应的时一频局部化方法，也就是说，选择某个窗函数，希望其时一频窗 形状是自适应变化的，对低频信号，其窗口形状自动变得扁平，对高频信号，其形 状自动变得瘦长，对于这方面的要求，w f t 是无能为力的。 时一频局部分析还要求将频域分成若干个细小频带，进一步分析信号在各个频 带中的表现；往往还要实时地，精细程度更高，自适应地分析信号，对这些要求， w f t 也是无能为力的。 7 华北电力人学硕+ 学位论文 第三章小波变换 本章介绍的小波变化可以克服w f r 在时一频分析中， 特点，自适应的调整时一频窗的缺点。 为此，先分析w f t 不能实现自适应时一频窗的原因， 域开窗性能为主来考虑问题的，也就是说， 不能根据高低频信号的 在w f t 中，通常是以时 ( g ，) ( ，6 ) 2 f j f ( t ) c o ( t 一6 ) 】e 一“d t 先将厂( f ) 时域局部化为f ( t ) c o ( t 一6 ) 。再对丌窗后局部时域信号作f o 。u r i e 变换，在这 种观点之下，倒o b ) 的设计很难以自动适应低，高频信号在时域或频域中的局部表 现，从而出现了时一频形状不变的特点。 我们不妨换一个角度观察w f r ，即采用形式 ( g - ，) ( ，6 ) = c 厂o ) ( ，t - b ) d t ，n 其中，( ( 【，t 一6 ) = ( f b ) e 妇，这是一种新的思考方式，在积分变换的意义下，既 把看作变换函数，又把0 3 看作对厂( f ) 在时域和频域都能起限制作用的窗函数。基 于这种考虑，不妨假设窗函数具有抽象形式z 缈。( f ) ，其中 驴曲( f ) = 口“2 q 口( a t - b ) ，ae r + 它是由驴( f ) 经过平移和放缩的结果。见图3 1 8 1 2 i口 华北电力人学硕十学位论文 这种形式的窗函数能同时表现时间和频率方面的特征。若a 1 ，则驴o ) 被压窄且振幅拉高， c p a 。( f ) 含有表现高频分量的特征，因为a 在吼。o ) 中作为表现频率的参数，所以它不 仅能适应关于不同频率时域信号的时窗函数的要求，而且在铣。 ) 中也含有参数a ， ( ) 也能适应关于不同频率的频窗函数的要求 3 1 小波、小波变换的定义和条件 根据前面的分析，对模拟信号f ( t ) 的积分变换 ( 口，6 ) 2 ，厂o ) 驴曲( t ) d t 鼻 称为小波变换，买中， 伊曲( f ) = a 1 1 2 q ；( a t b ) 是由妒( f ) 经平移和放缩的结果，当满足一定条件时9 ( f ) 称为允许小波函数。 小波变换作为一种积分变换，只有当它能做回复变换时，它才是有意义的，为 了推导小波变换的回复公式，需要参照f o u r i e 积分变换推导推导回复公式所需要的 乘积定理式，即 去正q 他) 】i 【g ( t ) l d = 正m g i t ) d t 上式表明了变换前两个函数的能量积分和它们在变换后的能量积分之间的等价关 系，受此启发，当积分变换是小波变换时，可以得到类似于乘积定理式的表现形式。 先观察 一 ( 口，6 ) 2 ，o ) 9 ) 出 l 去r 俐i 【拍m n ， 一害p 净挚d 2 鲁弘翩舶 ：嬖币( 口) 刍( ) 】p ) 三巧 结果是变量6 的函数。上式推导用了积分变换的共轭关系，比照推导0 ，6 ) 的 华北电力人学硕+ 学位论文 同样办法，我们得到 利用上面结果可得 又因为 ( 口，6 ) 。f g ( t ) q 口曲。矽 ：垂a ；( 删参( 训p ) = 一 i 足i 叫，留i 叫i 口- h 、 、“、7 pf ，b ) w g ( a ，b ) d b 月 2 瓦a 去( 删翻籼舶】 。却翻妇翩】d 即( 口，6 ) 吭( 口，6 渺) a r 足 5 f 夕( 口曲如翩狲) 扣 a 俨些，旬衲m ， 。巳去驴翩d 亭 = c 妒f 厂o ) ；o ) d r 下面分析允许小波函数妒( f ) 应满足的条件，要使以上推导的积分变换有意义，一方 面，要求j 1 妒o ) 1 2 d t + ，这就要求伊( f ) 具有快速衰减性；另一方面，由参( ) 的连 续性和ic 。i + 可推知妒( o ) = 0 ，由f o u r i e r 变换的表达式可推知 i 币( ；0 ， r 1 0 华北电力人学硕十学位论文 这表明妒p ) 具有波动性。总之，尹o ) 是像波一样的快速衰减函数，形如小的波，这 就是妒( f ) 称为小波的原因 综上可知称满足p ( f ) 出= o 和衰减性掣妒o ) 1 2 出 + 的函数是允许小波 3 2 小波变换的自适应时一频变化 我们应当注意，允许小波只是允许可作正向和逆向的小波变换的函数，若让妒o ) 或0 ) 能作窗函数，还必须满足关于窗中心和窗半径的度量要求。所以，可作窗 函数的小波函数除保持振荡性以外，其衰减速度要比允许小波的快；作为窗函数的 小波函数吼。p ) ，是出同一函数妒( f ) 经平移和放缩得到的，p ) 在时域和频域都具 有较强的局部化功能。 在小波变换的定义中，小波函数妒。( f ) 是窗函数，它的时一频窗表现了小波变 换的时一频局部化能力，这节我们主要介绍钆。( f ) 的开窗效果。 记t 为时窗中心，为时窗半径，珊为频窗中心，。为频窗半径，则关于窗 函数吼。( f ) ，有 ，f 5 瓦靠乒1 ( f ) 1 2 出 铲瓦蒜妒一) 2 l o ) 1 2 出) “2 国= 七r 甜i ；曲圳2 d t o 国5 7 一f 甜伊曲【叫) r i l 妒。( ) i i ：噎 。= _ 三一 r ( m 一曲+ ) 2l 甲。b ( 甜) 1 2d ) 珊2 l l 妒。州。告 关于窗函数妒( f ) 的度量，可在上式中令4 1 ，6 一。得到，由于( f ) 是由妒( f ) 经平移 和放缩的结果，所以上式中关于9 9 a 。, ( t ) 的窗的度量可用妒0 ) 的相应量表示。因为 i i 妒曲( f ) 4 ：= 1 吼。o ) 2t i t 蕾 。r i 口“2 q 口( a t b ) 1 2d t 名 t 几c p ( a t b ) 1 2d ( a t 一扫) 名 = 0 伊o ) i i ：- j l 妒0 ) 0 ： 因此，利用变量代换有 r 。瓦，f 帆( f ) 1 2 a c t 兰= ! ! 坐垄叁竺堡堂堡笙茎 一 _ - - - - _ - _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - - 一 ；赢f 学m 酬1 2 出 ；一l i ji 掣i j 0 驴o ) 瞧 、口“一“ 1 b 。：妒+ i ：耗+ 6 ) = 一( f 。+ 扫 4 ，= 百；：去了面巧( f r ) 2 i9 曲o ) 1 2c f f l 圮 = 订；：= ：三7 厂i i 巧( r 一丢r ；一詈) 2 i 妒( 口，一6 ) 1 2d ( 口f 一易) ) “2 一丢志铲彬i 州2 一 上式表明，若妒o ) 不被压缩，驴o ) 仅向右移动6 而变为妒o 一6 ) ，则驴( f ) 的时窗中心f ： 也被向右移动6 ，变为f ；+ 6 ；若妒( f ) 变为伊曲o ) ，则时窗中心就由f ；变为言o ；+ 6 ) ， 即表明，对驴( f ) 的平移并不改变其时窗宽度；当驴( f ) 被压缩1 肠变为驴曲( f ) 时，其时 窗半径。也相应地被压缩了1 a 。 与之类似，关于z 。( 山) 的窗的度量也可用参( ) 的相应量来表示，事实上 厶) ；口- l ，2 p - i o , ! 。伊 i t o ) ， 妇) 阳一1i 诤1 2 ， l l 刍曲( ) o ；。j 1 ；曲( ) 1 2d 。舅驴 i o j r ) 1 2d ( 詈) 。 飞 “ “ ：i l 刍 ) 临 于是就有 。士r i 参曲t ，t o 、t ) i z d t o 一 4 一j i 吵曲 “ 0 妒曲 ) 骺r ；- 旦一r i ( 竺) l i 参( 竺) i ：d ( 竺) ；一i j 掣i 一，i ， i i 刍曲( ) 瞄口 口口 1 2 兰! ! 坐塑叁兰堡兰堡堡塞一一一一一一 - _ _ i _ _ - _ _ _ - _ - - _ - 一一一 ： 一i ；( 宇) f 2 d 宇 = 一c w i c ，_ “ - 1 0 妒( 珊) 惦名 = a 。t 了l r ( 一) 2ip 曲( ) 1 2d 彬 2 l i 妒。( ) 1 1 0 噎 = 七母妒 ( i 0 3 ) ( 秒2 i l 妒。( 脚) | | 0 噎 妒“ “ 一a a 从上式可以看出，当驴o ) 被压缩1 口变为o ) 时，其频窗半径被拉宽了口倍a 总之，用r g o 。o ) 作窗函数时，小波变换能在时一频局部范围内分析信号，此时 时一频窗中心为( 三( f ：+ 厶) ，a r y , ，：) ， 4甲 时窗宽度为2 a ，= 2 a 妒a 频窗宽度为2 a 。一2 a a 矿 时一频窗面积为2 a ，2 a 。一4 a 矿a 埘 小波变换的时一频窗如下图所示，其中图3 2 表明，对于同一个时窗中心而言， 随着频窗中心( 频带中心) 上移，小波变换的频窗宽度( 频带宽) 被拉宽，相应地， 其时窗宽度被压窄。 a = 2 a = l 1 祝= 一 2 华北电力人学硕+ 学位论文 图3 2 小波变换时一频窗示意图 下面具体说明小波变换的时一频局部化机理。 对于参数口固定，参数b 自由的情形，小波变换矽，( 口，b ) 是关于变量b 的时域函 数；由于驴曲( ) 是频窗函数的缘故，小波变换形，( 口，b ) 实际上是被限制在 频窗= 【a c t ) ：一a a ，a o l ：+ 口】 9矿尹妒 这个子频带范围内的时域函数。 对于参数a 和参数b 都固定的情形，由于吼。o ) 是时窗函数和妒曲( ) 是频窗函数 的缘故，形，0 ，6 ) 的时域和频域表现实际上是被限制在 时频窗= 【a c t ) ：一a a ，a m ：+ 口】 【三咖b ) - 笠，三小6 ) + 笠】 aaaa 范围内。由于，( 口，6 ) 是与，( f ) 对应的一种积分变换，所以小波变换缈，( 口，扫) 实际上 是在积分变换机制下将厂( f ) 和厂( ) 限制在时一频窗内的一种局部化表现。换句话 说，町0 ，b ) 在时窗内的表现对应着厂( f ) 在时窗内的表现，f 【( 口，6 ) 】在频窗内的表 现对应着厂) 在频窗内的表现。 下面进一步具体说明小波变换的时一频窗是自适应的。 从小波窗函数伊。( f ) 的参数选择方面观察。当a 较大时，频窗中心a c a ：自动地调 整到较高的频率中心的位置，且时一频窗形状自动地变为“瘦窄 ；因为高频信号 在很短的时域范围内的幅值变化大，频率含量高，所以这种“瘦窄 时一频窗正符 合高频信号的局部时一频特性。同样，当a 较小时，频窗中心口：自动地调整到较 低位置，且时一频窗的形状自动的变为“扁平”状；因为低频信号在较宽的时域范 围内仅有较低的频率含量，所以这种“扁平”状的时一频窗正符合低频信号的局部 时一频特性，w f r 仅具有不变时一频窗，无论频率中心处于何处，其时一频窗形状 不改变，其时一频局部分析显得很单一。与之相比，小波变换的时一频窗是灵活可 调的，是自适应的。 1 4 华北电力人学硕十学何论文 第四章小波分析在信号诊断中的应用 一个信号的f o u r i e r 变换其实就是该信号在一组正交的正弦函数( s i n ( 埘) 和余 弦函数( c o s ( 耐) 上的投影，而一个信号的小波变换是它在一组小波函数簇上的投影。 选择恰当的小波函数簇，可以很好的分析信号的特征，相反，若小波函数簇选取不 j 下确，对信号进行小波变化之后，信号在小波函数簇上的投影系数很可能淹没信号 的特征。一组小波函数簇可以有一个小波基函数通过适当的尺度变换和迭代运算来 产生，一般我们称这个小波基函数为小波函数。小波函数的构造以及选用也是当今 小波理论研究的一个热点，在m a t l a b 中，系统只提供了八种小波函数，往往某 个小波函数对于信号的分析具有最佳的效果，在本节开端我们详细介绍自构的小 波，并应用此小波作信号诊断的小波。 4 1 构造一个小波函数 用，表示，的f o u r i e r 变换，f - 1 表示f o u r i e r 的逆变换 我们采用以下方法构造一个小波函数 令厂1 ( ) - 1 - t 0 2 则，由上式可得到：厂l ( 一1 ) - - 1 一( 一1 ) 2 ，1 ( + 1 ) ；1 一 + 1 ) 2 又因为 一抽- 1 ) = 去p 抽叫d j “o 一e i t 厂l ) ；等( 业t f ) 一i 一一u ，s i 觅2 、 。， 令 驴a 2 三( 夕t ( 一1 ) + 夕，( + 1 ” 矾) ；f ，( 参p ”；j 2c o s f ( 掣- c o s t ) 证明1 ：! 姆矾) 。寺 硼涠为s i n t , - 荟( 刮。1 南一鲥2 荟( - 1 ) 两t 2 k - 1 耳2 七 删= 孚c 砉e c 扣广1 南，一扣广南， ， 1 5 华北电力人学硕士学位论文 则 = 半【嗉一争喷1 一矿1 2 川 当f - - , o 时，驴o ) ；i 2 ( 五1 一夏1 ) = 2 勋 可令 妒，o ) 一 t = 0 4 0 t 4 0 t 0 t 4 0 或者ts 一4 0 一一一一，、1 17 矿，一一一一 l o ) 的图像 证明2 ：f q 汐, ( t ) d t = 0 a1 证明：驴( ) 一去( ，。c o 一1 ) + ，。( + 1 ) ) 一一2 所以妒( 0 ) 一0 f ( ) = 垆( ) f ( c o ) 25 甲t ( t ) e - j 。 t d t ，( o ) 。p ，o 弦们d t = 0 则可得 m q ) d t = 0 噶 计算1 ：几魄( f ) 1 2 d t + 噶 在m a t l a b 中通过编写程序可证得结果。 0c f 一 三印曩|，o 0c 三矿 华北电力人学硕十学侮论文 由于称满足，驴( f ) 出= o 和衰减性j 1 驴o ) 1 2 d t + o o 的函数是允许小波，通过证明2 ， 月 r 计算1 ，可知驴。o ) 满足允许小波条件，9 。0 ) 可作为小波函数进行信号分析与处理。 4 2 在m a t l a b 系统中添加新的小波函数 在m a t l a b 中，我们可以用w a v e m n g r 函数去添加一个小波函数，然而在添 加一个小波函数之前，必须进行如下的工作： 选择一个小波函数的全称名( f u l ln a m e ) 。小波函数的全名必须是一个字 符串，如m a t l a b 中已有的：h a a r ，d b ，s y m 等，取本文所要添加的小 波妒l o ) 的名字为x i a o b o 选择一个小波函数的缩写名( s h o r tn a m e ) 。缩写名必须是一个字符串，且 字符个数小于或等于4 ，如m a t l a b 中已有的：h a a r ，d b ，s y m 等，本 文取x i a o b o 的缩写名字为x b 。 定义一个在小波函数系列中的序列号。如果存在一个小波函数系，则小 波函数系是由小波函数缩写名和一个序列号一起构成一个小波函数名， 字符串( n u m s ) 包含的是一个小波函数系列的所有序列号，各个序列号 之问用空格隔开。 新建一个宰- m a t 文件，或者簟m 文件。w a v e m n g r 函数需要一个文件参数。 对于一个有许多小波函数的小波函数系，必须定义一个半m 文件；对于只 有一个小波函数的小波函数系，必须要定义一个宰- m a t 文件，对于本文 驴。( f ) 小波只需定义一个* m a t 文件。文件内容如下 f u n c t i o n 【o u t l ，o u t 2 】= x i a o b o ( v a r a r g i n ) e s l ，x 】= x i a o b o i ( _ l b ，u b ，n ) r e t u r n sv a l u e so f t h ex i a o b olw a v e l e to i la nnp o i n tr e g u l a r g r i di nt h ei n t e r v a l 【l b ，u b i o u t p u ta r g u m e n t sa r et h ew a v e l e tf u n c t i o np s i c o m p u t e do nt h eg r i dx t h i sw a v e l e th a s 【一4 0 4 0 】a se f f e c t i v es u p p o r t i fe r r a r g n ( m f i l e n a m e ，n a r g i n ，【34 】，n a r g o u t ，【0 ：2 】) ，e r r o r ( 件) ；e n d o u t 2 = l i n s p a c e ( v a r a r g i n 1 ：3 】) ； o u t l = 2 ( p i 搴o u t 2 2 ) * c o s ( o u t 2 ) * ( s i n ( o u t 2 ) o u t 2 一c o s ( o u t 2 ) ) e n d 1 7