（理论物理专业论文）使用操控动力学研究系统的静态和动力学临界性质.pdf

使用操控动力学研究系统的静态和 动力学临界性质 专业：理论物理 姓名：龚树荣 指导教师：钟凡教授 摘要 本文提出了一套完备的操控动力学方法一一在临界温度附近向系统施加一 个含时线性变化的外场使之完成其动力学过程一一用以研究系统的静态和动力 学临界性质，该方法能够克服临界慢化现象，并且给出了它的理论基础：具有外 场作用的偏离临界温度的动力学妒4 模型的重整化群分析。通过研究磁滞回线的 面积、面积对温度的导数以及矫顽场的标度行为，可以在不使用任何输入参数 的情况下，系统地得到该模型的临界温度、静态和动力学临界指数。应用该方 法对二维和三维动力学i s i n g 模型进行了蒙特卡罗数值模拟，所得结果与现有结 果相吻合，这进一步证实了本理论和方法的有效性。 关键词：操控动力学，临界动力学，临界温度，临界指数，临界慢化，i s i n g 模型 m a n i p u l a t i n gd y n a m i c st od e t e r m i n e s t a t i ca n dd y n a m i cc r i t i c a l p r o p e r t i e ss y s t e m a t i c a l l y m a j o r ：t h e o r e t i c a lp h y s i c s n a m e - g o n g s h u r o n g s u p e r v i s o r ：p r o f z h o n gf a n a bs t r a c t w ep r o p o s eam e t h o dt os y s t e m a t i c a l l yd e t e r m i n eb o t hs t a t i ca n dd y n a m i c c r i t i c a lp r o p e r t i e so fa s y s t e mb ym a n i p u l a t i n gi t sd y n a m i c sw i t hal i n e a r l yv a r y - i n ge x t e r n a lf i e l dt oo v e r c o m ec r i t i c a ls l o w i n gd o w n i ti sb a s e do na na n a l y t i c r e n o r m a l i z a t i o n - g r o u pt h e o r yf o rt h ed y n m n i c 妒4m o d e lw i t hs m a l lt e m p e r a t u r e d e v i a t i o n st oi t sc r i t i c a lt e m p e r a t u r e 瓦a n du n d e ral i n e a rd r i v i n g s c a l i n gb e - h a v i o r sf o rt h ee n s u i n gc o e r c i v i t y , h y s t e r e s i s8 1 e a ，a n di t sd e r i v a t i v eo b t a i n e d e n a b l et od e t e r m i n e 正a n dt h es t a t i ca n dd y n a m i cc r i t i c a le x p o n e n t sw i t h o u t a n yi n p u te x p o n e n ta n dw i t ha p p r o p r i a t ea c c u r a c yf o rl o we f f o r t m o n t ec a r l o s i m u l a t i o nr e s u l t sf o rt w oa n dt h r e ed i m e n s i o n a li s i n gm o d e l sa g r e ew i t he x i s t i n g o n e sa n dt h u sc o n f i r mt h em e t h o da n di t st h e o r y k e yw o r d s ：m a n i p u l a t i n gd y n a m i c s ，c r i t i c a ld y n a m i c s ，c r i t i c a lt e m p e r a t u r e ， c r i t i c a le x p o n e n t s ，c r i t i c a ls l o w i n gd o w n ，i s i n gm o d e l v 论文原创性声明内容 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人 承担位论文作者签名垄树象 日期：矽d 7 年舌月歹日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权将 学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室 被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩 印或其他方法保存学位论文。 学位论文作者签名：墨树衮 导师签名： f1 兄 日期：巩唧年么月r 日日期：7 年月中日 知识产权保护声明 本人郑重声明：我所提交答辩的学位论文，是本人在导师指导下完成的成 果，该成果属于中山大学物理科学与工程技术学院，受囡家知识产权法保护。在 学期间与毕业后以任何形式公开发表论文或申请专利，均须由导师作为通讯联 系人，未经导师的书面许可，本人不得以任何方式，以任何其它单位做全部和局 部署名公布学位论文成果。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名；。袭树蕴 日期：弘7 年么月r 日 第1 章前言 1 1简介 相变f l 】广泛存在于自然界当中，有气一液转变、顺磁一铁磁转变、合金 的有序一无序转变、正常导体一超导体转变等。按照f i s h e r 的观点【2 1 ，相变可 以分为不连续的一级相变( f i r s t o r d e rp h a s et r a n s i t i o n s ) 和连续相变( c o n t i n u o u s p h a s et r a n s i t i o n s ) 两大类。在连续相变的相变点及其附近的现象可称为临界现 象( c r i t i c a lp h e n o m e n a ) ，该相变点可称为临界点( c r i t i c a lp o i n t ) 。 对于连续相变，系统在i 艋界点时，涨落达到无穷，关联长度发散，物理量可 以写成幂函数形式，即标度( s c a l i n g ) 形式【3 1 ，其中的幂指数就是标度指数，即 临界指数( c r i t i c a le x p o n e n t s ) ，临界指数之间满足一些恒等式，这些恒等式就 是标度律( s c a l i n gl a w ) ，标度律使得独立的临界指数的个数减少。同时，由于系 统处于长程关联，许多相互作用的细节被抹平，因此具有标度不变性( s c a l i n g i n v a r i a n c e ) ，k a d a n o f i 把这一性质应用至l j i s i n g 模型中，可以证明标度律。 另外，不同的相变系统在临界点及其附近具有相同的标度形式和临界指数， 这便是普适性( u n i v e r s a l i t y ) ，可以说这些系统属于同一普适类。一般来讲，对 于平衡的临界现象，空间维数和内部序参量维数是判断是否属于同一普适类的 重要标志，相互作用的力程和系统的掺杂情况对于普适类也有影响。最近关于 自旋可能取值为一1 、0 , n + l 的i s i n g 模型的研究，所得临界指数与自旋可能取值只 有士1 的i s i n g 模型相同，表明它们属于同一普适类f 4 1 ，也正说明影响普适类的是 序参量的维数，而不是序参量的具体取值。 系统的对称性及其破缺是2 0 世纪后半叶以来物理学研究的重要观念和研究 思路。l a n d a u 的平均场( m e a n - f i e l d ) 理- 论虽然是一种唯象理论，但是它能够很好 地从对称性的角度研究相变，例如是否发生相变，发生的相变是一级的还是连 续的，然而由平均场理论计算得到的标度指数不能与实验很好地相符。 重整化群( r e n o r m a l i z a t i o ng r o u p ) 方法i 主1 w i l s o n 5 首先运用到临界现象当 中，它能够从第一原理的层次给出标度的结果，并解释临界现象的普适性，同 时，计算得到的临界指数能够很好地和实验相符。场论重整化群( f i e l d t h e o r e t i c 1 2 使用操控动力学研究系统的静态和动力学临界性质 a g ) 6 ，7 ，8 方法是一种理论计算的方法，通过增加圈图展开的阶数，可以获得 更为精准的结果【9 ，1 0 1 。对于平衡的临界现象，目前计算的阶数达七阶i n 。 除了场论圈图展开，蒙特卡罗( m o n t ec a r l o ) 计算机随机过程数值模拟也是 研究相交的重要方法【12 】。现在一般的个人计算机，其计算速度和内存容量已经 能够成为很方便的数值模拟的研究平台。 除了平衡的临界现象外，还有动力学的临界现象，也称作临界动力 学( c r i t i c a ld y n a m i c s ) 。不同的动力学作用形式会影响动力学临界指数和动 力学标度形式，从而可以划分不同的动力学普适类【1 3 1 。本文研究的是序参量不 守恒的模型，i l i a 模型( m o d e la ) ，序参量守恒的模型是b 模型( m o d e lb ) 。对于 自旋系统，a 模型可用自旋翻转来实现，即g l a u b e r 动力学；b 模型可用自旋交换 来实现，群i k a w a s a k i 动力学。 对于一级相变动力学f 1 4 l ，它分为亚稳成核长大和失稳分解1 5 1 两类。运用 于连续相变的重整化群理论计算方法也被应用到一级相变动力学的失稳分解 点 1 6 l ，并在标量模型中得到新的不动点【1 7 1 ，这是一个不稳定的不动点。 1 2 本文的研究背景 本文的主要研究领域是临界动力学。对于临界动力学，系统越接近于临界 温度( c r i t i c a lt e m p e r a t u r e ) ，达到平衡态所需的时间越长，在临界温度处，所需 时间为无穷，便出现临界慢化( c r i t i c a ls l o w i n gd o w n ) 现象。为了克服临界慢化， 许多方法被提出，包括c l u s t e r 算法，也包括许多非平衡的动力学方法。 近二十年来，短时临界动力学 1 8 1 被应用到许多模型当中。所谓短时，就是 系统演化的初期( 早期) 。j a s s e n 等人的研究表明，在演化早期，系统同样具有标 度行为，从而可以避免临界慢化问题，并在早期区引入了新的独立的动力学临 界指数p 和口7 。在短时临界动力学中，通过蒙特卡罗计算机模拟【1 9 ，2 0 ，2 1 】，使用 有限尺寸标度和动力学标度，能够得到临界温度、静态临界指数和动力学临界 指数，它主要研究系统从某一初始态淬火到临界点的早期非平衡态行为，演化 的动力学是自由临界弛豫。 线性操控也是一种能够避免临界慢化的非平衡态动力学方法，并且是一种 简单的含时外在操控。与短时临界动力学不同，它改变了动力学机制，把系统 对外界操控的响应作为研究的主要对象，而它引入的新的动力学临界指数实际 上是原有的临界指数的组合。 第1 章前言3 本文将在文献f 2 2 1 的基础上，进行一般化( g e n e r a l l i z e d ) 处理。文献2 2 1 使用了 场论重整化群方法分别处理了线性变化外场和线性变化温度下的动力学模 型，并运用蒙特卡罗数值模拟给出了一个改进的三维i s i n g 模型的动力学临界指 数。而本文同时考虑外场和温度的作用，在场论重整化群方法的基础上，将线 性驱动的方法发展成为一套普遍的、系统的操控动力学方法，用以处理临界动 力学。在本人较早的研究中，进行了相关的尝试f 2 3 1 ，但由于引入表征动力学性 质的物理量不够，无法处理同时有外场和温度的情形。而本文则比较全面地完 成了这一研究，引入了积分运算和求导运算【1 9 】，从而在没有任何输入参数的情 况下，能够得到研究系统的临界温度2 1 1 、静态临界指数和动力学临界指数。 这种通过非平衡过程来研究系统临界性质的操控动力学，在克服临界慢化 现象的同时，能够在只使用单一方法下，完整地给出系统的静态和动力学临界 性质。事实上，能够同时拥有这些有点的方法并不多，并且对于许多系统特别 是无序系统，它的临界温度和临界指数仍不能很好地定下来，这一方法能够为 研究无序系统的临界性质提供另一种可供选择的方法。 另外，交变外场也被应用到二维i s i n g 模型中，将一个周期内的平均磁 化强度定义为序参量，用无量纲化的半周期类比于温度，研究了动力学相 变( d y n a m i cp h a s et r a n s i t i o n s ) ，得到了与平衡态i s i n g 模型相同的静态临界指数， 并认为它们属予同一普适类f 2 4 】。本文的研究与交变外场的研究不同，我们没有 改变序参量和温度的定义。 1 3 本文的主要结构 本文在接下来部分的结构如下： 在第二章，将简单介绍平衡的和动力学的临界现象，包括标度理论和临界 指数，经过分析指出了临界慢化的根源。另外，以线性变场作用下的动力学高 斯模型为例，解析地计算了它的动力学标度函数，并获得了在静态高斯模型中 没有的对称性破缺，从而说明动力学过程对于平衡临界现象的影响。 在第三章，将使用场论重整化群的方法处理有外场的、偏离临界温度的动 力学矿模型，正因为引入了对临界温度的偏离，使得本文能够第一次在线性驱 动的研究中引入磁滞回线面积对温度的导数，这也是文献 2 2 并1 1 1 2 3 1 中所没有的。 通过分析回线面积、面积对温度的导数和矫顽场的标度行为，得到了一套系统 的、完整的方法用以测量临界温度、静态临界指数和动力学临界指数。 4 使用操控动力学研究系统的静态和动力学临界性质 在第四章，将使用与动力学模型属于同一普适类的动力学i s i n g 模型进行 二维和三维格子的数值模拟，得到了临界温度和临界指数的具体值，并与现有 的结果进行了比较。一维动力学i s i n g , 模型的磁滞回线一并给出。 在第五章，将进行总结和展望。 第2 章平衡的和动力学的l 临界现象简介 2 1平衡临界现象简介 对于平衡的临界现象，随着温度从临界温度以上变到临界温度以下，系统 的序参量连续地从零变成非零。对于平均场模型，微观序参量妒的宏观平均 值m 与自由能、约化温度7 - = ( t 一疋) 冗的关系可见图2 1 和图2 2 。在临界点， 系统对于能量简并的多重有序低温相的选择是随机的，反映在图2 1 中对于低温 曲线两个极小值的选择是随机的，在低温相出现对称性破缺。 在临界点，系统的关联长度趋于无穷，自由能的二阶导数出现发散，磁化强 度( 序参量的宏观平均值) m 、比热c 、磁化率x 、关联长度专和空间关联函数c 满足 以下关系2 5 1 m ( h = 0 ) o ( ( 一下) 卢， m ( r = 0 ) o ( i h i l 6 s g n ( h ) ， c 。cl 一丁l _ a ， xo ( 1 一r i _ 7 ， o ( i r l _ y ， c ( 7 ) o ( r - ( d 一2 佃) ， ( 2 - 1 ) 其中日是外场，r 是空间距离，d 是空间维数，p 、6 、7 、q 、z ，和7 7 是静态临界指数， 一般来说它们均为正值。第一个式子中7 - 只能取负值，表示外场为零时在临界 温度以上没有磁化强度。第二个式子中的符号函数表示m 与日方向相同。接下 来三个式子中的绝对值符号表示7 取正值或取负值均可，一般来说7 - 取正值与取 负值时的临界指数相同，指数前的负号表示它们在临界点是发散的。最后一个 式子是连续相变特有的，在一级相变中，它的形式为c ( r ，t ) = c ( r l ( t ) ) 1 4 】，其 中l ( 亡) 是有序化畴区的含时大小，标度函数前面没有发散的部分。 根据标度理论，在临界点及其附近，各个物理量可以写成标度的形式 m ( t ，h ，l ) = 6 邓肛m ( r b m ，饿p ，l b 一1 ) ，( 2 - 2 ) o 本文所有图均为作者本人所画，并且是在一定参数下作出的精确图，并非示意图。 5 6 使用操控动力学研究系统的静态和动力学临界性质 - 仁0 1 ， 仁0 1 - 仁- 0 1 j j 力夕j 2 、可， p 、厂2 历 o 1 图2 - 1 ：自由能与序参量的关系曲线。其中妒4 项系数取为0 6 。 其中己是系统的尺寸，6 是任意的长度标度因子。 分析( 2 一1 ) 式中前网个物理量，可以得到临界指数之间满足以下关系， q + 2 p + ，y = 2 ， ( 2 - 3 ) 7 = p ( 艿一1 ) ，( 2 4 ) 它们分别是r u s h b r o o k s 标度律和w i d o m 标度律。 把空间关联函数也纳入考虑中，可以再得到两个标度率 7 = ( 2 一，7 ) ( 2 - 5 ) v d 一2 一a ， ( 2 - 6 ) 它们分别是f i s h e r 标度率和j o s e p h s o n 标度律，后者涉及系统的空间维数，是超 标度律，在包含随机作用的模型中，它可能需要修正。这样，六个静态临界指数 中就只有两个是独立的。 联合标度律( 2 3 ) 、( 2 - 4 ) 和( 2 6 ) ，可得 侈+ 1 ) = d v ，( 2 - 7 ) 这一式子在第3 章中将使用到。 第2 章平衡的和动力学的临界现象简介 7 l 二，：二二。_ 1 。2 z 图2 - 2 ：约化温度与序参量的关系曲线。其中矿项系数取为o 6 。 2 2 临界动力学简介 下面简单介绍动力学的临界现象，也就是临界动力学。当系统趋近或越过 i 临界点时，许多动力学性质会表现出来，例如弛豫时间、线性响应等，这些性质 与系统的动力学演化方程有关，不能由平衡态的性质得到。临界动力学就是要 研究系统在临界点及其附近的非平衡态性质。 动力学标度理论和动力学普适类 1 3 】是一种重要的描述临界动力学的方法。 当系统从初态向平衡态弛豫的时候，在开始演化的一段很短时间内，微观相互 作用的细节非常重要。但是，经过一定的演化时间后，存在着一个特征时标t n l c ， 当演化时间t 时，系统处于大范围的关联，表现出动力学标度性和普适 性。 对于无外场下的动力学标度理论，只需要在( 2 - 2 ) 式中加入时间变量，可以 得到以下形式 m ( t ，7 - ，l ) = 6 - p m ( t b ，r b l 少，l b _ 1 ) ，( 2 - 8 ) 其中z 是动力学临界指数，表征系统的含时演化性质。当l 一0 0 时，令b = 7 ， 可得 m ( t ，l ) = 一m ( 亡芒m ，1 ，) ，( 2 9 ) 其中亡m = 7 - 一心，标示系统演化的长时区。 m ， o 0 8 使用操控动力学研究系统的静态和动力学临界性质 毫 o o 8 g 鲁 口8 口 4 0 0 图2 - 3 ：完全有序初态m o = 1 的短时演化行为。根据本文研究内容的特点，我们加入了外磁 场日的作用，( a ) 图是三维7 0 7 0 7 0 简单立方格z j 己f f j i s i n g 模型( 瓦= 4 5 1 1 5 ) 的演化，( b ) 图 是将( a ) 图的嫩标改为双对数坐标。系统处于临界温度时，( b ) m 中对应曲线的线性行为最 好。正向的外场和低温有类似的效应。 当r _ 0 ，即系统接近临界温度，便是一个很大的值。亡 芒瑚c 时系统处 于线性弛豫区，序参量表现为指数衰减 m ( t ) o ( e 一一， ( 2 - 1 0 ) 当7 = o 时，t m 扯一0 0 ，系统需要无穷长的时间才能达至平衡态，这就是临界慢 化。对于丁= o 时的有限尺寸系统，令b = l ，代入( 2 8 ) 式得到 m ( 亡，0 ，l ) = l a p m ( 孟m 艄，0 ，1 ) ，( 2 - 11 ) 其中亡m = l ：，当l o o 时，t m 托_ 0 0 ，同样有临界慢化。 叭 吣 如旬如印钿锄 h h h h h h反tc；甄曩&鼠副船副副矾科似似似似似似 d 叠o 审 寸套d 9 a 4 o v 口4 o v 寸4 o 9 日o v 寸4 o v 口a o 可 4 o v * 第2 章平衡的和动力学的临界现象简介 9 当系统处于t 疵 t t m 舵的时区内，序参量表现为代数弛豫，即非线性弛 豫。可令b = t l z ，代a ( 2 8 ) 式得到 m ( t ，0 ，o o ) = t 一卢w m ( 1 ，0 ，o o ) ，( 2 1 2 ) 可见动力学临界指数z 与静态临界指数p 、一起决定中时区的演化性质。 j a n s s e n 等人【1 8 】的研究表明，在演化早期的特定时间内，系统也表现出标 度性和普适性，需要新的临界指数描述，这就是短时临界动力学。在( 2 8 ) 式的 基础上加入初始序参量，可得 m ( t ，7 - ，l ，m o ) = 6 一p m ( t b ，r b m ，l b - 1 伽铲o ) ，( 2 - 1 3 ) 其中r n o 是初始序参量，z o 是它的反常量纲。这样，除了。疵和n 妣两个时标之外， 还可以得到一个短时区的时标t i = m i 名知。当m o = 0 时，t i _ o o ，表明短时区 占主要。当m o = 1 时，t i 就是一个很小的值，系统马上进入代数弛豫区【2 0 】，并且 系统的弛豫对于外磁场是敏感的，相关演化结果可见图2 3 。 在演化时段t m c 0 ，r o 和亡0 ，即外场从负值往正方向推，则方程的解 变为 m ( t ) ：一芝竽+ 昙亡+ ( c - r 4 r - 2 h o t ) e _ , l i 竹，( 2 - 2 7 ) 若施加方式变为h = i - o r t ，保持h o o ，r 0 和亡0 ，即外场从正值往负 方向推，初始条件为m ( = o ) = 一g ，c o ，则有 m ) = 皇；堑一罢芒一( c + 皇 害堑) e 一竹， ( 禾2 8 ) 当t = 1 - i o r ，即日= o 时，可分别得到自发磁化强度 m ( 日：o ) ：一i r + ( c + 譬竽) e - - v h o 俾，( 2 - 2 9 ) m ( 日：o ) ：i r 一( g + 芝竽) e - r h o r ，( 2 - 3 0 ) 在冗很小的情况下，上两式右边的第二项可以略去，有m ( h = 0 ) = 一r r 2 和m ( 日= 0 ) = r r 2 ，这便是磁滞回线的特点，解( 2 2 7 ) 和解( 2 2 8 ) 的表达式在具体的参数 取值下作于图二4 。 非零自发磁化强度的大小随变场速率的增大而增大，随温度的升高而减少， 其方向与变场的方向有关，反映了对称性破缺，而这种破缺来源于动力学标度 函数对平衡态的修正，体现了临界动力学与平衡临界现象的不同。 第3 章操控动力学的理论和方法 在这一章中，将介绍本论文的主要工作一一使用操控动力学方法研究系统 的静态和动力学的临界性质。“操控的概念在上一章的最后一节中已经提到， 并用于求解动力学高斯模型。而在这一章中，我们将它推广发展成为完整的用 于求解一般系统临界动力学的方法，具体来说，包含三个层次： 第一，向系统施加一个含时线性变场使其完成动力学过程，同时避免临界 慢化； 第二，在临界温度附近的若干个具体确定温度下重复第一步的操控，具体 温度的取值和间隔应满足所需和所能达到的精度； 第三，运用不同温度之间的动力学过程量的关系求解系统的静态和动力学 临界性质，包括确定临界温度，计算静态临界指数和动力学临界指数。 在文献 2 2 1 中，分别使用在临界温度的线性变场、无外场的线性变温，驱动 系统完成其动力学过程，没有把外场和温度两个因素联合起来一并考虑，所得 结果相对较少。而本文在其基础上，进行一般化的推广，形成一套系统的、完整 的方法，称为操控动力学，可作为研究临界动力学的一种可供选择的手段。 3 1 外场作用下动力学妒4 模型的重整化群理论分析 既然温度和外场两个因素都要纳入研究范围，这就有必要对包含这两个因 索的模型进行理论分析，使用的理论分析工具是重整化群理论，使用的模型是 最简单的连续模型一一动力学矿模型，即含时金兹堡一朗道( t i m e d e p e n d e n t g i n z b e r g - l a n d a u ) 模型。 考虑具有外场作用的偏离临界温度的妒4 自由能 刷= a r8 舻+ 扣+ 三酬2 一日妒 ，( 3 - 1 ) 其中g 是扩项耦合系数，r 同样表示约化温度，偏离临界温度表现为7 - 是非零值， 梯度项表示空间涨落对能量的贡献，这是平均场中没有的。在有限温度，它的 动力学演化过程遵循含噪声的朗之万方程 害= 一a 掣- i - ，( 3 - 2 ) 1 3 1 4 使用操控动力学研究系统的静态和动力学临界性质 其中满足 ( ( r ，亡) ) = 0 ，( 荨( r ，亡) ( r ，) ) = 2 入6 ( r r ，) 6 ( t t 7 ) ，( 3 - 3 ) 是高斯型白噪声。 方程( 3 - 1 ) 、( 3 - 2 ) 和( 3 - 3 ) 联合起来便是动力学矿模型，它的处理可以参 考j a n s s e n 的论述 2 6 ，2 7 】，即等价于动力学泛函 珈，纠币础p p 州r - v 2 ) 妒+ 扣卢入卅 9 2 ) ，( 3 - 4 ) 其中眵是一个响应场。这样可以得至f j 共轭外场h 和元下的生成泛函 w h ，h 】一1 1 1 d ( 妒，b ) e x p ( - i k o ，纠+ ( 妒+ h l ，5 ) d r d t ) ， ( 3 _ 5 ) 经过勒让德变换，可以得到顶角函数 r h ，h i = w h ，h i 一( 妒) 九一( 9 ) 危， ( 3 6 ) 重整化群理论的具体工作就是要计算这些项角函数。 处理这个既包含温度偏离( 非零“质量项) ，也有外场作用的模型，与以往 的只有温度偏离或外场作用的模型相比，在重整化群理论层次上，它有两个“插 入项，但它不会引入新的发散，仍由妒4 不动点控制。 相关的各个重整化群因子z 由以下因子给出 8 】 伽= 髟2 妒，= 影2 9 ， 铷a o ：- 芝z 1 2 2 p z - 1 一气g n d u ： 陋7 ， 铷= 石z 五让， “= ， h o = z ；l 搀h ， 其中d = 2 ( 4 7 r ) d 2 r ( d 2 ) ，d 是空间维数，r 是伽马函数( g 锄m af u n c t i o n ) ，p 是 动量标度因子，牡是无量纲的用于确定不动点的量，= 4 一d ，v c 是涨落导致的 对平均场临界温度的偏离，下标o 表示裸量，即没有经过重整的。由这些重整化 因子可以看到，加入外场并没有引入新的发散，这是因为在自由能中，外场与 序参量是一次方耦合的。 第3 章操控动力学的理论和方法1 5 这样，可以得到关于序参量平均值m = ( 妒) 的重整化群方程 ( p 钆+ 入以+ 触+ 忙丁缉+ 互1 7 日翰+ 互1 ，y ) m = o ，( 3 - 8 ) 其中的威尔逊函数( w i l s o n sf u n c t i o n s ) 定义为对弘的导数，也可进一步写成 对让的导数 = 肛以i n a = p ( 缸) a u l n 入， 声= 弘瓯i n7 = p ( 心) 巩i n7 , p ( 乱) = 肛钆t = 一e ( 巩i n u o ) 一1 ， ( 3 - 9 ) ，y = 肛瓯i n 乙= p ( 让) 巩i n 彩， 具体的计算，就是要算出咖 ) 、乙) 、名m ) 、况( 钍) 、缈( 让) 等无穷大因子的 表达式。因为没有新的发散，这些因子就是通常妒4 模型的对应量：利用它们就 能使理论有限。 p 等= p 等= p 等+ p 鲁掣+ p 鲁掣+ p 丽i ) m l d h 厂( p ) ，( 5 - 1 0 )p 面邓面邓面却丽亏+ p 百昔+ p 丽1 厂， ( p 品+ p d a d p ( p ) 孤o + p 掣鲁+ p 訾嘉一p 而d ) m = 。，( 3 - 1 1 ) 入= p 百d a ( p ) ， 三= 五d r ( p ) h - p d p ， 阳2 ， 三7 d ， _ 一 互，y m3 一p 面， 这四个表达式实际上是威尔逊函数在不动点p ( 矿) = 0 处的表达式，求解这四个 微分方程，可得 m ( p ) ；m ， 日( 力= h p v 2 ， r ( p ) ：下一胆， ( 孓1 3 ) a ( p ) = a 矿， 这便求解了重整化群方程。对于临界现象，讨论的是p _ 0 的极限，因而矿取红 外不动点。 下面进行量纲分析，如果设动量的量纲为l ，即纠= 1 ，利用( 孓1 ) 式和( 3 2 ) 式， m = t d - 2 ，b 】= 4 一d ， h i = 丁d + 2 ，队】= 一2 ，h ：2 ，( 3 - 1 4 ) 其中d 是空间维数，这样可以得到m 的表达式 m ( t ，入，丁，日) = p 一，。2 一似一2 ) 2 m ( 入矿。，7 l 2 2 ，矽2 一( d + 2 ) 2 ) ，( 孓1 5 ) 写成通常的临界指数形式可得 m ( t ，a ，丁，h ) = m ( a 1 矿，r p 一跏，h p 一例p ) ， ( 3 - 1 6 ) 其中临界指数可以由下列的式子给出 刁2 7 7 旷1 - 2 一略，：( d + ，7 2 ) 2 ，( ) 5 = ( d 一，7 + 2 ) ( d + 7 7 2 ) ，z = 2 + r r 一7 3 3 测量临界温度、静态临界指数和动力学临界指数的方法 若对系统施加的外场是线性变化的，即( 2 1 7 ) 式，h = r t ，并且有( 2 2 1 ) 式 的标度律，伯= z + b 5 v ，那么在方程( 3 1 6 ) 中省去时间变量t ，保留外场变量日， 令p = r 1 r h 可以得到 m ( 7 - ，h ，兄) = 舻坩hm ( t r 一1 ，h r 一膨啪) ，( 3 - 1 8 ) 其中m ( z ，秒) 是标度函数。 第3 章操控动力学的理论和方法 1 7 在方程( 3 - 1 8 ) 中，除了变量日外，还有变量r ，这样通常的对于单一变量的重 新标度方法就不能适用。处理这种双变量问题的一种有效的方法是将其中一个 变量积分掉，对于本问题，应对外场日积分。具体来说，可以使用线性变化的外 场来回扫描，形成磁滞回线，从而完成对日的积分，得到a = 5 f m d h ，面积反映 了这一非平衡过程中的能量耗散，于是可以得到只含一个变量的标度形式，有 a ( r ，r ) = 舻( 蹦) 哪f ( r r - 1 帅) ，( 3 - 1 9 ) 其中， ) = 爹m ( x ，可) d y 是标度函数，标度形式( 3 - 1 9 ) 给出了临界温度瓦附近的 情形，它仍然由妒4 临界不动点控制。它与文献【17 】得到的用于描述一级相变动力 学的面积标度a = a o + o 舻不同，其中山是反映了系统在r = 0 的极限下的能 量耗散，n 是系数，n 是标度指数并由新的不稳定不动点决定。 当系统处于临界温度，满足7 - = 0 ，此时标度函数，( z ) 为常数，可以得到精 确的幂律行为 a l r = o 舻( 6 + 1 ) 啪，( 3 - 2 0 ) 偏离临界温度时，r 0 ，便出现对幂律行为的修正，p 冗- 1 h ) ，这种差别可以 用于确定系统的临界温度正一一在不同的温度下研究a 和r 的幂律行为，寻找关 于幂律行为的标准偏差最小的温度，便可以认为这个温度就是临界温度，当然 它有一定的误差范围。 在磁滞回线中，m = 0 时，对应于矫顽场风，可以从( 3 1 8 ) 式中得到它的标 度形式 凰( lr ) = 尉坫似h h ( r r _ 1 帅) ，( 3 - 2 1 ) 其m h ( x ) 是单变量的标度函数。同样在7 = o 时，可以得到精确的幂律行为 鼠i r 卸j 加h ，( 3 - 2 2 ) 记知= 肺z ，伯和纯；i = p ( 6 + 1 ) r h ，那么可以得到艿、z r 和z z 。使用标度 律( 2 7 ) 式和( 2 2 1 ) 式，那么动力学临界指数名就可以求出。为了得到静态临界指 数p 和，还需要一个关系。在此情况，有效的方法是将面积a 对丁求导，可得到 皇生尝旦：r o ( 删哪- l 佃e ( r 胪慨) ， 7 ( 3 - 2 3 ) 其中e ( z ) = d f ( x ) d x ，是单变量的标度函数。7 - = o 时，同样可以得到精确的幂 律行为 箬b 胖) ， p 2 4 ) 1 8 使用操控动力学研究系统的静态和动力学临界性质 记口l = 卢( 艿+ 1 ) 伯一i v r h ，并且使用n h 和佗缸的表达式，以及( 2 7 ) 式和( 磐 2 1 ) 式，便可以得到全部的临界指数 6 = 扎h ( 他鲁一扎h ) ， 彳= d ( 1 一n h ) n 鲁， 咱= a 确， ( 3 - 2 5 ) p = ( 嵋一蛳) ( 略一o ) ， = 略a c n 缸一n ) ， 也就是说，如果能够测量蛐、蠕和口1 ，那么所有的静态临界指数和动力学临界 指数就可以完整地得到。 这就是使用操控动力学得到静态和动力学临界性质的方法。 第4 章 外场作用下动力学i s i n g 模型的蒙特卡罗数 值模拟 4 1蒙特卡罗数值模拟简介 蒙特卡罗随机数值计算是发展迅速的重要计算手段。它的基本思想是通过 计算机产生大量的随机数，运用这些随机数进行具体计算，最后进行统计平均， 从而得到较为精确的逼近值。 最简单的应用是计算定积分。对于定积分j = r ，( z ) 出，可在区间【n ，6 】内 均匀产生一系列的个随机数鼢，其中i = 1 ，2 ，n ，那么计算这个定积分就 可以转换成计算求和 i = 丙1 ，( 戤) ， ( 缸1 ) 通过增多随机数鼢的个数，即增大，可得到好的逼近值。这是简单抽样的一种 应用。 若上述定积分中的被积函数，( z ) 的分布概率与自变量z 有关，即有一个概率 密度分布因而0 ) ，那么定积分就变为 k 警， c 抛， e p ( z ) d z 、7 此时如果按照( 垂1 ) 式那样通过简单抽样进行计算，就不合适了，因为( 4 一1 ) 式是 针对均匀分布的情况，相当于p 0 ) 是常数。此时，可使用重要