（概率论与数理统计专业论文）嵌套法构造超饱和试验设计.pdf

abs t r a c t s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n i s a k i n d o f f r a c t i o n a l f a c t o r i a l d e s i g n i n w h i c h t h e n u m - b e r o f r u n s i s n o t e n o u g h t o e s t i m a t e a ll t h e 二e ff e c t s . i t h a s r e c e n t l y r e c e i v e d m u c h i n t e r e s t b e c a u s e o f i t s p o t e n t i a l i n f a c t o r s c r e e n i n g e x p e r i m e n t s . c o n s t r u c t i o n m e t h o d s h a v e m a i n l y f o c u s e d o n t w o- l e v e l a n d m u l t i - l e v e l c a s e s . h o w e v e r , m u c h p r a c t i c a l e x p e r i e n ce i n d i c a t e s t h a t m i x e d - l e v e l s u p e r s a t u r a t e d d e - s i g n s h a v e m o r e w id e u s e s . t h is p a p e r p r o p o s e s s o m e c o n s t r u c t i o n m e t h o d s o f m i x e d - l e v e l s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s . m o s t o f t h e p r e v io u s s t u d ie s h a v e f o c u s e d o n b a l a n c e d d e s ig n s , i .e . e a c h c o lu m n o f t h e d e s i g n h a s e q u a l o c c u r r e n ce p r o p e r t y o f t h e l e v e l s . s a t t e r t h w a i t e ( 1 9 5 9 ) p r o p o s e d t h e i d e a o f s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s in r a n d o m b a la n ce d e s ig n s . b o o t h a n d c c a c ( 1 9 6 2 ) f a s t e x a m i n e d t h e s e d e s i g n s s y s t e m a t i c a ll y a n d p r o p o s e d t h e e ( 内 c r i t e r i o n . a f t e r t h e n , t h e r e h a d b e e n li t t l e s t u d y o n t h e s u b j e c t o f s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s u n t i l t h e a p p e a r a n ce o f t h e w o r k 勿l i n ( 1 9 9 3 ) a n d w u ( 1 9 9 3 ) . s i n ce t h e n , t h e r e h a s b e e n a l a r g e n u m b e r o f p a p e r s o n t h is s u b j e c t . m u lt i- l e v e l s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s w e r e f ir s t l y s t u d i e d 勿y a m a d a a n d l i n ( 1 9 9 9 ) , w h o p r o p o s e d t h e 扩c r i t e r i o n t o e v a l u a t e d t h r e e - l e v e l s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s . t h e n , y a m a d a a n d m a t s u i ( 2 0 0 2 ) a n d y a m a d a a n d l i n ( 2 0 0 2 ) u s e d 扩t o e v a l u a t e m ix e d - l e v e l s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s . f a n g , l i n a n d l i u ( 2 0 0 3 ) p r o p o s e d t h e e ( f n o d ) c r i t e r io n fo r c o m p a r i n g m ix e d - l e v e l s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s a n d p r e s e n t e d a m e t h o d f o r c o n s t r u c t i n g e ( f n o d ) o p t i m a l s u p e r s a t u r a t e d d e s ig n s . a n d t h e n f a n g , g e , l i u , a n d q i n ( 2 0 0 4 ) a n d k o u k o u v i n o s a n d m a n t a s ( 2 0 0 5 ) c o n s t r u c t e d m a n y e ( 几。 。 ) o p t i m a l m ix e d - l e v e l s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s . l i , l iu a n d z h a n g ( 2 0 0 4 ) d e r iv e d a lo w e r b o u n d o f 护a l o n g w i t h t h e s u ff i c i e n t a n d n e c e s s a ry c o n d i t i o n f o r a c h i e v i n g i t . r e c e n t ly , l iu , f a n g a n d h ic k e r n e ll ( 2 0 0 6 ) , y a m a d a e t a l . ( 2 0 0 6 ) , a i , f a n g a n d h e ( 2 0 0 7 ) , l i u , z h a n g a n d l i u ( 2 0 0 7 ) , l i u a n d l i n ( 2 0 0 7 ) a n d t a n g , a i , g e a n d f a n g ( 2 0 0 7 ) a ls o o b t a in e d s o m e in t e r e s t i n g r e s u l t s o n s u p e rs a t u r a t e d d e s ig n s i n t e r m s o f t h e x z c r i t e r io n . t h e m a i n p u r p o s e o f t h i s a r t i c l e i s t o p r o v i d e a c o n s t r u c t i o n m e t h o d , t h e n e s t i n g m e t h o d , f o r s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s . c h a p t e r 1 d i s c u s s e s s o m e c r i t e r i a f o r s u p e r s a t - u r a t e d d e s i g n s a n d t h e i r c o n n e c t i o n s . i n c h a p t e r 2 , s o m e c o n s t r u c t i o n m e t h o d s f o r s u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s a n d p r o p e rt i e s o f t h e r e s u l t i n g d e s i g n s a r e i n v e s t i g a t e d , a ls o , n e s t i n g m e t h o d a n d s o m e e x a m p l e s a r e p r o v i d e d i n t h is c h a p t e r . c h a p t e r s 3 a n d 4 c o n t a i n t h e e x t e n s i o n f o r t h e n e s t in g m e t h o d . c h a p t e r 5 i n t r o d u c e s t h e o p t im i z a - t i o n a l g o r i t h m f o r t h e d e s i g n m a t r i x . t h e l a s t c h a p t e r c o n t a i n s s o m e c o n c l u d i n g r e m a r k s . t h e n e s t i n g m e t h o d i s e a s y t o p e r f o r m , t h e g e n e r a t e d d e s i g n s h a v e l o w v a l u e s o f e ( f o d ) a n d t h e n e a r o rt h o g o n a li t y b e t w e e n d e s i g n c o l u m n s o f t h e s p li t d e s ig n is w e ll k e p t . k e y wo r d s : s u p e r s a t u r a t e d d e s ig n ; m i x e d - l e v e l ; o rt h o g o n a l d e s i g n . a ms 2 0 0 0 s u b j e c t c l a s s i fi c a t i o n s : p r i m a r y 6 2 k 1 5 ; s e c o n d a ry 6 2 k 0 5 . i i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了 解南开大学关于收集、保存、 使用学位论文的 规定， 同意如下各项内 容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电 子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电 子版，并采用影印、 缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以 及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务: 学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的 复印件和电 子版; 在不以 赢利为目 的的 前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 瘾 ,z 7年 灯 月 节 日 经指导教师同意 ，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名:学位论文作者签名: 解密时间: 年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 内 部 s 年 ( 最长5 年，可少于5 年) r li4,* lo if 咚 10 if . 7 l j - io 4 机孑 t 2 0年 ( 最长 2 0年，可少士 2 ( ) 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学 位论文，是本人在导师指导下， 进行研究 工作 所取得的 成果.除 文中已 经注明引用的内 容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、己公 开发表或者没有公开发 表的 作品的内 容。 对本论文所涉 及的 研究工作做出 贡献的其他个人和 集体， 均已 在文中以明确方式标明。 本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 未 1 4 0 ” 7 年 g- )i 夕 日 第一章超饱和设计的最优准则 用x nq , 二卜 r ， ; r . . . . . x % x 14 , , x 29 + 7 表 示 试 验 次 数 为。 ， 因 子 水 平 数 为4 i ， 且 因 子 数 为、 的 试 验 设 计 用。 、 e tj -_ 1 - j 矩 阵x n = lx rn + ， x .q ,! 表 示 试 验 次 数 为n ， 因 子 数 为 、 = 鲜= 1 m i 的 混 水 平 设 计当 鲜= 1 (4 i - 1)-j = n - 1 时 ， 该 设 计 为 饱 和 设 计 ， 记 为s d ( n ; 4 1 - i tm m s . . . 4 t0 0 ) . 当 鲜= 1 ( 4 i 一 1)-j ， 一 1 时 ， 该 设 计 为 超 饱 和 设 计 ， 记 为s s d ( n ; 9 1 4 2 + . . . q t - ) . 当设计阵的任一列的各水平出现相同的次 数时， 该设计阵为平衡设计. 本文中的 设计均为平衡设诈 要构造出最优的混水平超饱和设计， 就需要有相 应的 评价准则. 平衡超饱和设计 的评价准则已 有很多， 下面将作介绍. 1 . 1 e ( s 2 ) 准则 对于两 水 平情形. 超饱和设 计阵 可以 记为s s d ( n ; 2 ) ， 因子的 两 个水平 分别用 - 1 和+ 1 来 表 示 ， s ij 表 示 设 计 阵 的 第 列 和 第7 列 的 向 量 乘 积 ， e ( s 2 ) 表 示 所 有心 的 平均值， 即为 e (s2 ) 一艺 刃( ( 1 . 1 ) 1 i -n 2 ( 。一 n + 1 ) ( 。 一1 ) ( 二一1 ) ( 1 . 2 ) 达到下 界的 超饱和设 计即为e ( s 2 ) 最优 设计 . 此q 随有其他准 则， 比 如 a v e ls l 一e ibii l/ ( 1 i j $ m s .= 臀ls ii l. 然而这些准则只 适用于两水平 悄形， 局限性比 较 大， 必须 要加以 推广 ， 于是有了 第 二 阶段 1 . 2 x 2 准则 对于三水平情形，和l i n ( 1 9 9 9 ) 提出了 新的 准则. 对于。个 三水平因 子的 设 计阵欢 =1x 1 , x 2 ， 二， x - ， 首先 他 们 定 义了x ( x i , x i ) 来 度 量 任 意两列x i 和 x i 的 偏差， 。 ( n a b ( i , j ) 一 。 / 9 ) 2 x l x i , 2 i ) =7 ， 一 - 一 一 ， 丁 i 一 , ， ，_r a 了沙 氏r -1 , z , ( 1 .3 ) 其中、( i , i ) 表 示 设 计阵 的x i 和x i 两列中 因 子 水 平 组合 为( a , b ) 的 试验 次 数 . 当 x 2 ( x , , x i ) =2 。 时 ， 表 示-t i , 2 i 两 列 完 全 相 关 ; 相 反 ， 当x 2 ( x . , x i ) =。 时 ， 表 示2 i , 2 i 两列完全独立 于是， 我们 得出结论， 对于三 x i ， 如 果 他们 的 所 有 水 平 组 合( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , . . . x i 和x i 完 全独 立. 水平的超饱和设计阵的任意两列 x i 和 , ( 3 , 3 ) 都出 现 相同 的 次 数 ， 则 认 为 两 列 在 此基 础 上 ， y a m a d a 和l i n ( 1 9 9 9 ) 定 义 了 一个 准 则 来 度 量 整 个 超 饱 和 设 计狱 = 1x 1 , x 2 , . . . , x - 的 偏 差 ， 记 为. 二x 2 一e x 2 (x i, 2 i )/ ) ， ( 1 .4 ) 1 _ i i _2 n ( 2 二一 。 +1 ) ( 。 一1 ) ( 。一 1 ) ( 1 . 5 ) 达 到上 述下 界的 设 计称为护最优 设计 此9 f z有 其它准则， 比 如 m a x尹= m a x 1 i _ j m 扩( 从 ， 粉 ) ( i s ) 扩准 则 很 容 易 推 广 到 多 水 平 和 混 水 平 情 形 . 对 于 设 计s s d ( n ; q i - i 9 2 - 一q t- ) , 在 不 引 起 混 淆的 情 况 下， 设 计阵 的 第i 列 和 第9 列的 水 平 数 也 记为9 i , 9 j . 同 样 定 义 x ( x i , x j ) 来 度 量 任 意 两 列x i 和x j 的 偏 差 ， 9 , 9 1 x (二 ， - j ) = 艺艺 ( n a b ( i , j ) 一 n l ( 4 ig j ) ) 2 ( 1 . 7 ) a =1 b =1 同样有: 二 。 x 2 =e 可( 9 i g j ) x 2 (x i, x j )l ( 1 . 8 ) 1 i j m 很容易 可以 看出 ， e ( s 2 ) 准则可以 看作 是推 广 后x 2 准则的 特 例， 对 于任意 的 两水 平 设计s s d ( n ; 2 ) ， 下 式 成立: e ( 8 2 ) =n 。 。 扩 .( 1 . 9 ) 1 .3 e ( f . . ) 准 则 类似 三 水平 情形 ， f a n g , l i n 和l i u ( 2 0 0 3 ) 等 人 引 入 了e ( 九 。 。 ) 准 则 评 价多 水 平 超饱和平衡 设计， 并且该准则适用于混 水平 情形. 对于平衡设计s s d ( n ; 9 1 0 9 2 0 . . . g i m e ) . 在 不引 起 混 淆的 情况 下 ， 设 计阵的 第 列和 第7 列 的 水平 数也 记为9 i , 9 i . 定 义 任 意 两 列x i , x j ( 1 j ， ) 的 偏差为 c i a 1 棍d ( x i , x j ) 其中n a b ( x i , x j ) 表示 设 计阵 的 新的评价准则为 = 又艺 (n ab (二 ， x j ) -份 ) 9 i g j ( 1 . 1 0 ) 口 =1 b =1 x i 和x j 两列中 因 子水 平为a 和b 的 试验次 数. 因 此 e (f , o d ) 一艺 rn o d i ) ( 1 .1 1 ) 1 i j m f a n g , l in 和l i u ( 2 0 0 3 ) 证明了: 二 ; _ 、 _ 互 n k ,l= 1,k l 2k l 、n m 一， 。 。 ， m (。 一 1 ) m 一 1 1 。 ( 。一 1 )( 全 m jn 2 m i ( m a 一 1 ) n 2 9 j2 + e 艺 n l; m i n 2 i =l i =1 d # 9 : 9 i) 艺j=1 ( 1 . 1 2 ) f a n g , l i n 和l i u ( 2 0 0 3 ) 也得到了 上 述表 达 式的 下界 e ( f a o o ) n ( 以_ m i n 4 i 一 。 ) ， m( 。一1 ) ( n 一1 ) 1 二 ( 。一1 )( 全 m in i+ e 艺 m i m i n g i =i 4 i m i ( t n i 一1 ) n 2 9 j2 i =1 i = 1 j # i 4 ; 9 i) ，艺间 ( 1 . 1 3 ) 其中彻 是设计阵中 第k 行和第l 行的 行相 似数， 即第k 行和 第l 行之间有相同元素 的列数. 达到上述下界的充要条件是: 人= 鲜= i m i n l g i 一 ， n一 1 ( 1 . 1 4 ) 为一个正整数， 并且除了k=1 之 外所有的枷 都等于上 述 x 满足上 述充要条件 的 设 计 称为e ( f n o a ) 最 优 设 计 ， 本 文 中 又 称 之 为 正 则 设 计. 正 则 设 计的 行 相 似 数 为 定 值 f a n g , g e , l i u 和q i n ( 2 0 0 4 ) 又 进 一 步推 广e ( f n o d ) 的 下 界. 对 于 上 述 平 衡 设 计， 定 义 :7 =l a j , d , =( 。 一 1 ) ( 7 + 1 一 a ) , d , 十 ， =( n 一 1 ) ( a 一 y ) ， 其中i a j 表 示入 的 整 数部 分， 则e ( f n o d ) 的 新 下 界 为: e ( f n o d ) 。 ( 。 一 1 ) 。( m一1 ) 【 ( ， + 1 一 a ) ( a 一 ， ) + , 2 1 + nn1 ”2一 1 、卜/ 一 气 早 一l c1 , . 1 7 . _? n x + mk m一1 ) 简9 i - j ( - j 一 1 ) n 2 9 j + f- f- m i m ; n 2 怡1夕 . 1 j 笋 9 i g i 艺问 ( 1 . 1 5 ) 达到该下界的充要 条件是: 对于设计 矩阵 任一行， 该行与其它行的n 一1 个行相似数 中 ， 有心个 为， ，d r + i 个为， +1 . 很 容 易 可以 看出 ， ( 1 . 1 3 ) 为( 1 . 1 5 ) 的 一 个 特 例 . ( 1 . 1 5 ) 的 下 界比( 1 .1 3 ) 的 下 界 要 紧 . 因 此， 本 文中 采 用 公 式( 1 .1 5 ) 来 计 算e ( f n o d ) 下 界 值. 达 到 上 述e ( 几口 。 ) 下 界的 设 计 都为e ( f , o d ) 最 优 设 计 此外 其它准则还有 m a x f n o d ( q i 7 9 1 ) = m a x f h a d ( x ; , x ; ) 1 ， q 时 ， 不 管 分 块 设 计 如 何分 块， 生成 设计的行 相似数只 能 取到两 个不同 值 ， 生成 设计的e ( j n o d ) 值为 定值 ， 不 一 定能 达，8 j1j e ( f n o n ) 下 界. 证明:当。 q 且n q*时 ， 混 水平 正 则设 计s s d ( n ; q ; . . . q t 4 ) 的 行 相 似 数 人值为. 例(a.s) * _ 丛1 m in / qi - m n_l 等 水 平 正 则 设 计s s d ( n ; q 1 ) 的 行 相 似 数a 值 为: m ( n / q 一 1 ) 几*一 1 生 成 矩 阵s s d ( 二，/ q ; 扩,m 尹” ) 的 ， . ， 列 可 以 分 成， ， 组c l , c 2 , . . . , c m , 每 组 有m列， 其二. / q 行 分 成n 组 ， 为b 1 , b 2 , ， 凡 的n * / q 次 重 复 当i 尹 .7 时 ， b ; 与b ; 的 行 相 似 数 均 为a ; 当 = j 时 ， 则且与b i 的 行 相 似 数 为a ( 不 同 行 ) 或 者。 ( 同 行 ) . s s d ( 二，/ q ;护m ) 的， 组c l , c 2 , , c m . 的 分 成n 块 ， 则 块 间 相 似 数 ， 为a ， 下 面 再 考 虑s s d ( 二， / q ; q 1 m 犷仇 . ) 的 行 相 似 数 . 如 果s s d ( n n / q ; 才,m . . . r- *e ) 的 任 惫 两 行 , j 在 不 同 块 的 相 同 位 置 上 ， 则 它 们 之 间 的 行 相 似 数 为k i =m a + ( m - a ) a ， 这 样 的 ij 有n n / q ( n 一 1 ) 个 其 它 情 况 下 ， 任 何 两 行 之 间 的 行 相 似数 为a i d = w;k , 这 样 的a i j 有。 n * / q ( n n / q 一 。 ，) 个 . 由 此 可 知l r ij = 1 碍的 值 与 s s d n ( g i- 犷) 的 分 块 方 式 无 关 . 由 ( 1 .1 2 ) 式 可 以 知 道 ， e (j n o d ) 们 a m) 与 e n 1 做相 差 - t * 数 ， 因 此 e (.f,. . ) 的 值 与 分 块矩阵s s d n ( g i . . . q -) 的 分块方式 无关 . 当n =q . 时， ( 。 一 久 . ) 久 ， 当n 分块设计每行各为一组， 生 成设计的行相似数为定值 入 =q * 时 ， ”=0 ， 生 成 设 计的 行 相 似 数为 定值入 =m . 入 = 仇久 . + 因此均达 到e ( 几 。 。 ) 下 界， 为e ( 几。 劝最 优 设 计. 口 尽 管e ( f n o d ) 的 值 与 分 块 矩阵s s d ( n ; 扩， 尹) 的 分 块方 式无 关 ， 但 是 需 要 注 意 的 是， m a x f n d d ( 9 i , 叼和m a x f n o d 恤, 9 7 ) 的 值 与 分 块矩阵 的 分块 方 式 有 关. 因 此 可 以 选 择 一 个 较 好 的 分 块 方 式 ， 使m a x 聪d ( 9 . , 动和m a x 聪d ( 9 i , 9 i ) 的 值 尽 可 能 地小 口 定 理2 . 2 对 于 同 一 个 分 块 矩 阵s s d ( n ; q . . . 9 i ) , 知 果 框 架 矩 阵s s d ( n i ; 9 : ) 和s s d ( n ; ; 才 ) 满 足 : n4/9i = n i l g i = k 1 , 则 由 这 些 框 架 矩 阵 能 生 成 同 样 的 生 成 矩 阵s s d ( n k ; 9 1 ， 9 i ) , 所 有 的 这 些 框 架 设 计 中 ， 由 较 大 的 框 架 设 计 生 成 的 拒 阵 具有 较小的e ( f n o d ) 位. 证 明 :对 于 框 架 设 计s s d (n , ; q * ) ， 行 相 似 数 为a i 一m 黔- 1 ) 由 该 框 架 设 计 生 成 的 超 饱 和 矩 阵 为 记 为s s d ( n k ; q 1 . g t im ) ， 类 似 定 理2 .1 的 证 明 过 程 ， 生 成 矩 阵s s d ( n k ; 尹m , ， “ ) 的 行 相 似 数 也 只 能 取 到 两 个 值a i: 和场， 其 中 a u =r n x+( m - 一,%, ) a ， 这 样 的a : ， 共 有从: 二n k ( n i 一1 ) 七 福 =二 . a ， 这 样的 戈共 有场 = n k ( n k 一 74 ) 个. 同 样 ， 对 于 框 架 设 计s s d (n ; ; 才 ) ， 其 生 成 设 计 为s s d (n k ; r * . . . 9 e + ) ， 该 设 计的 行 相 似 数 也 只 能 取 到 两 个 值a i : 和a j 2 ， 其中a j : 二， a j 十 ( ， 一 a ; ) a ， 这 样的 a j : 共 有场; = n k ( 、一 1 ) 个 ; 如= m a ， 这 样 的标共 有丛: = n k ( n k 一 、 ) 个 . 不 妨 假 设，a i l a : 2 =为 2 ,( 2 . 6 ) 阴(zs) n , 1 n i t , 怂t 凡 : +鱿2 ) 1,2 =凡1 构 : +丛2 为 2 . 由( 1 .1 2 ) 式 可 以 知 道 ， 生 成 矩 阵s s d ( n k ; q , - , , , q m em ) 的e ( j n o d ) 值 与 nk7/ m m ) 感 j =1， i 护 j尸 仅仅相差 一个常数. 由l i u , f a n g 和h i c k e r n e ll ( 2 0 0 6 ) 中 用到的 优势 理论的 结果， 不 难 证 明 由 较 大 的 框 架 矩 阵s s d ( n j ; 才 ) 生 成 的 新 超 饱 和 设 计 具 有 较 小 的e ( f n 0 0 ) (1 . 口 推 论2 . 1对 于 夺 块 设 计韶侧n ; 才， 尹) 、 知果 存在 框架 设计s s d ( n * ; n 0 ) , 那 么 所 有 满 足 生 成 设 计， 旨 刃 ( 记 ; ,ns d ( n , 4 i ,m . . . 4 i ) 的 框 架 设 计 类s s d ( n e ; q -, ) 中 ， s s d ( n , n 0 ) 对 应 生 成 设 计的e ( f n 0 0 ) 最 小 . 并 且 ， 仅 有 通 过框架 设 计s s d ( n * ; n. ) 而 生 成 的 超 饱 和 设计 阵 能 达到e ( f o o ) 下 界( 1 . 1 3 ) . 当 上 述s s d ( n * ; n ) 存 在 时 ， 由 定 理2 . 1 中n =q 的 情 形 知生 成 设 计 能 达 到 al .) 下 界. 定 理2 . 3 对 分 块 设 计s s d ( n ; 扩， 尹) ， 框 架 设 计s s d ( n * ; q 0 ) 及 生 成 设 计 s s d ( 二， / q ; q m ,m . . . q ,- - ) , 设x i , x j 和从 ， 1j j 分 别 为 分 块 设 计 和 生 成 设 计 的 第葱 和j 列， 则有 f o j(v km l i,ykm -i-j) 一 (攀 ) z. fn0 0 (二 ，、 )， ( 2 .9 ) 其中k =0 , 1 , . . . , m 一1 , 即由 框架设计的每一列所生成的m列之问 保特原分块设 计 饥列之问的近似正交性， 水平配对出 现的须率保特不变. 证明: 将 分块设 计的 。行分成 q*块， 每 块 可q 行 。列， 并记这 4 块为 b i , b 2 , - - , b , 二框 架 设 计的 任 一列中1 , 2 , . . . , e各 有n * / q * 个， 因 此 在 生 成 设 计 中 ， 对应于 框架 设计的每 一列， b i , 几， ， 几 各 有n / q*个， 形成分 块设计的n * / q 次重复， 易知结论( 2 .9 ) 成立. 而且， 该结论在后面的非正则情况下也是成立的. 口 由 该 定 理 知 ， 在e ( 几 o d ) 尽 可 能 小 或 达 到下 界 的 前 提 下 ， 如 果 原 分 块设 计的 各 列 具有较好的 近似正交性， 那么 生成设计的 各列组内也保持较好的 近似正交性， 特别地， 推 论2 .2 知 策 分 块 设 计 为 正 交 表o a ( n , m , q , t ) , 框 架 设 计 为s s d ( n * ; 4 ) ， 那 么 生成 设 计邪刀 ( 二，. l q ; q - ) 的二 . 列 可 以 分成。 . 组 ， 每 组中 的m列两 两 正 交 由 上述定理可以知道， 如果分块设计存在正交列， 那么生成设计中 也必然包含正 交列. 这样 ， 如果对活动因子有先验信息， 便可以将最有可能的活动因子安排在正交 列中 一 pi 寸 试验结果的分析证实活动因子确实在正交列中， 便可以 对活动因子的性 质做更有效的分析. 第三章嵌套设计法的非正则推广 定义 等 水 平 超 饱和 设 计s s d ( n ; 了 m ) ， 该设 计 矩 阵 的 行 相 似 数 可以 取到k 个不 同 值a l , a 2 , . . . , 从- 定 理3 . 1 取 上 述 超 饱 和 设 计 阵s s d ( n ; 了 ， ) 为 框 架 设 计 ， 取 混 水 平 超 饱 和 设 计 邵侧n ; g 1 - g 2 - - - q t ) 为分块 设计， 那么无论分块设计 知何分块， 生成 设计都其有 相同的e ( f n o d ) 值 证 明 : 当。q 时 设 框 架 设 计s s d ( n ; q ) 行 相 似 数 为入的 有n , 个 ， =1 , 2 , . , k ， 且有 e n i 一 n (n 一 1 ). 设分块设计 记为 b l , b 2 , 计阵为 s s d ( n ; g l g 2 . . q t ) 的 行 相 似数 为a . 将 分块 设 计 分成 二 ， b q 将第 个 分块尽嵌 人框架设 计的因 子 水平 中. q 块， 分别 生成新的设 s s d ( n n / q ; g i m , m g 2 m a m , g t l m ) . 由 于分块设计行相似数为定值入 ， 所以生成的新设计阵的行相似数只能为k +1 个值: p 1 , 0 2 , . . . , a k + l ， 其中: a t =m a ; +(t . 一 ) a , 二1 , 2 , . . . , k ,( 3 . 1 ) a k + l =9 2 a .( 3 . 2 ) 记从 为上述 a . 的个数， 则有: 从 =n / 9* n ; , i =1 , 2 , . . . , k ,( 3 . 3 ) m k+ l = n 2 (q ) 一 nq . ) ( 3 .4 ) 则由 前 面的 证明 可以 知 道 ， 不 管 分 块设 计 如 何 分 块， 生 成 设 计 的e ( f n o d ) 都不 变. 当 ， =9 时， 证明 方法类似， 有相同 的结论. 所以 命题成立 口 例3 . 1 对 分 块 设 计 拒阵s s d ( 6 ; 2 1 3 3 ) 进 行 分 块 ， 分 块 方 式 如( 2 .3 ) , 框 架 设 计 为 无 ， 2 的e ( f n o d ) 最 优非 正刘 设 计 见 表7 .2 ， 其e ( 几 o d ) 值 为4 .8 3 , a s s d ( f e ( f n 3 6 ) ， 见 表生 成 设 计s s d ( 1 2 ; 2 6 3 1 $ ) ， o d ) 下 界为 7 . 1 , 3 . 9 6 ,两者炸常接近. 第四章框架设计的选取 在第二章中， 已 经涉及到框架设计的选取问 题. 在分块设计 和框架设计都是正则 设 计的 情形下， 同 一 个分 块设 计在不同 框架 设计的 作用 下 可以 生 成同 样大小的 超饱 和 设计. 较大的框架设计能生成较好的生成设计. 第三章中， 嵌套设计法得到了 推广， 框 架设计可以 是非正则的， 这样可供选用的框架设计更多了. 这种情形之下， 框架设计 的选取间题显得更加重要了. 例4 . 1当 夺 块 设计 和 框架 设计 亦为s s d ( 6 ; 3 5 ) ， 生 成 设 计 为s s d ( 1 2 ; 3 2 5 ) , 该 设 计 的e ( 几 。 功值 为5 .6 ; 当 介 块 设 计 为韶酬6 ; 3 5 ) , 框架 设 计 为k =2 的 非 正 则 设 计s s d ( 1 2 ; 6 5 ) ( k k l u , 枷 和z h e n g ( 2 0 0 8 ) 中s s d ( 1 2 ; 6 ) 的 前5 列 ) ， 生 成 设 计 为 s s d ( 1 2 ; p) , 该 设 计的e ( j n o d ) 值 也为5 .6 例4 . 2介块 设计为 正文 设计口 a ( 8 , 7 , 2 , 2 ) , 框架 设计为 它本旁口 a ( 8 , 7 , 2 , 2 ) , 或 者k =2 的 非 j . a 11 设计s s d ( 1 6 ; 4 7 ) ， 见 表7 .3 , 或 者k =3 的 昨 jl 则 设 1 t s s d ( 3 2 ; 8 7 ) , 见 表7 .4 . 它 们有 相同 的 生成 设 计s s d ( 3 2 ; 沙) ， 共e u n o d ) 值 介别 为 : 1 3 . 7 , 7 . 1 , 4 爪 而e ( 几 。 劝下 界 值 为3 . 1 8 , 所 以 较 大 的 框 架 设 计韶侧1 6 ; 4 7 ) 效 果 比 较 好 . 由 上面两个例子可以 看出 ， 类似正则设计悄形， 往往较大的框架设 计所生成的超 饱 和设计 具有 较小的e ( j n o d ) 值. 下 面将 从理论上 证明 这 个问 题. 正 则 设 计s s d ( n ; q i q 2 q t ) 为分 块 设 计 ， 行 相 似 数 为a ; 另 一 个正则 设 计 s s d ( n ; q ) 为 框 架 设 计 ， 满 足q * 。 ， 行 相 似 数 为a ， 则 生 成 设 计 为s s d ( n n / q ; 才 l - q n y m 尹- 1 ) ， 行 相 似 数 为a l ( 1 ) 二 、 a , a 2 ( 1 ) = m a + ( 二 一 林 . e ( 1 n d d ) ( 1 ) 为 正 则 框架 设 计 得 到的e ( 人 d d ) 值 . 同样， 正则设计 s s d ( n ; q lq 2 . . . q ) 为分块设计. 由k=2的非正则设计 s s d ( n ; n ) 为 框 架 设 计 ， 该 设 计 行 与 行 之 间 的 相 似 数 为从 ， 枯 气 ， 且 满 足从 . 二 a . , 枯 a . 由 非 正 则 框 架 设 计 生 成 的 新 超 饱 和 设 i 朽 己 为s s d (n ; 岭 2- 秽- 砂m ) 该 设 计 行相 似数为a i ( 2 ) =从 . 。+( m . 一片 . 林 ， a 2 ( 2 ) =枯 . 。+( m . 一a 2 ) a . 侧几0 0 ) ( 2 ) 为 非正则 框架设计 得到的e ( j n o o ) 值. 如 果” n/q= 矿 . ， 那么 两种 设 计 方 法生 成的 超 饱 和 设计 具有 相同 的 行 列数 ， 于 是就可以 对两种框架设计的结果进行比 较. 此时， 两个生成设计的行列数相同， 并且 都是列平衡的， 所以 生成设计的行相似数的总 和是相等的， 因 此我们可以推出: a l ( l ) a 1 ( 2 ) x 2 ( 1 ) , a l ( 1 ) _戈( 2 ) _ a 2 ( 1 ) ,( 4 . 1 ) e ( 几o d ) ( 2 ) ! e ( 2 8 3 1 ) 进 行 优 化 ， 得 到 优 化 设 计 矩阵 ， 见 表 7 .7 . 其e ( 几 。 。 ) 值为3 .9 8 ， 优 化 前e ( 几 。 。 ) 值为4 .8 3 , e ( 几 。 。 ) 下 界 值为3 .9 6 ， 可 见优化效果明显 此外， 表7 .5 , 7 . 6 是生成 设计 优化前后的 相似数矩阵 ， 由 两张表的 对比 我们可以 清绝的看出 ， 优化后相似数明显的趁于一致， 优化效果良 好. 第六章小结 本文介绍了一种构造超饱和设计的方法 一嵌套设计法. 将混水平的正则设计分 块后 嵌 入 到另 外 一个正 则设 计中 ， 得 到 的 生 成 设 计 具有 较小的e ( j n o d ) 值 ， 是 近 似 e ( 九 o d ) 最 优 设 计 ，