（应用数学专业论文）电法探测裂缝的数学模型和方法及空心曲轴设计系统.pdf

摘要 本文第一部分主要讨论在二维导电体中裂缝的探测问题，这是一个偏微分方 程的反问题。实际中我们探测的目标包括裂缝的形状和裂缝的位置。在本文中， 我们对这个问题分别用拟牛顿方法和遗传算法进行了求解。 本文对电法探测导体中的裂缝问题建立了连续和离散化的数学模型，运用非 线性优化和演化计算进行数值求解，并用些数值结果证实了这些算法的有效 性。 首先，我们采用拟牛顿方法，这个方法可以避免大量复杂的二次偏导数的计 算，另外我们采取只要解次正问题方程就可以求出梯度的伴随状态法，比一般 的方法如差分法要更快更精确，并且不依赖于参数个数n 。 另外，我们采取遗传算法来求解这一反问题，遗传算法模拟生物进化，不需 要导数计算。它采用简单的编码技术来表示复杂的结构，通过对一组编码进行简 单的复制、杂交等遗传操作和优胜劣汰的自然选择来指导学习和确定搜索方向。 在第二部分中，我们讨论了空心曲轴设计系统。这是一个主要应用于内燃机 内部零件一曲轴的c a d 系统。由于采用了根据些特征参数对若干事先自动生 成的模型进行变换，快速生成网格的方法使系统方便、快速的实现了特征参数化 设计。 关键词：反问题，裂缝，遗传算法，并行算法，曲轴。 中图法分类号0 2 9 ：t b l1 5 i i a b s t r a c t t h ef i r s tp a r ti nt h i sp a p e rw et r e a tt h ei n v e r s ep r o b l e mt oi d e n t i f yac r a c k ，t h e s h a p e a n di o e a t i o ni nap l a n a rd o m a i n w es o l v ei t b y t w od i f f e r e n t w a y s ： q u a s i n e w t o nm e t h o da n dg a ( g e n e t i ca l g o r i t h m s ) i nt h i sp a p e r w ee s t a b l i s hac o n t i n u o u sa n dad i s c r e t em a t h e m a t i c a l m o d e l w eh s eb o t hg r a d i e n ta l g o r i t h ma n dg e n e t i ca 1 9 0 r i t h mt os 0 1 v et h is p r o b l e mn u m e r i c a l l y s o m en u m e r i c a l r e s u l t ss h o wt h ee f f i c i e n to ft h e s e m e t h o d s i n g r a d i e n ta l g o r i t h m ，w ea d o p tq u a s i n e w t o na l g o r i t h ma n da d j o i n t s t a t et e c h n i q u et or e d u c ec o m p u t a t i o n a le x p e n s e s 1 na d d i t i o n w ei n t r o d u c eg e n e t i ca l g o r i t h mt os o l v et h ei n v e r s e p r o b l e m w h i c hw i l l a v o i dc o m p u t i n gt h ed e r i v a t i v e g e n e t i ca l g o r i t h m b a s e do nt h ef u n d a m e n t a l p r i f i c i p l e so fd a r w i n i a ne v o l u t i o n i nt h es e c o n dp a r to ft h ep a p e rw ed i s c u s st h ec a d s y s t e mf o rh o l l o wc r a n k s h a f t d e s i g n i n g i ti sf r o mt h ea c a d p r o j e c t ，t h i ss y s t e ma p p l i e dt ot h em a j o rp a r t so f t h e g a se n g i n e - - c r a n k s h a f t i nt h i ss y s t e m ，q u i c ka n de a s yf e a t u r ep a r a m e t e rd e s i g ni s r e a l i z e db yt r a n s f o r m i n gs o m eg i v i n gm o d e l si n t of e mm e s h e s k e y w o r d s ：i n v e r s ep r o b l e m ，c r a c k ，g e n e t i ca l g o r i t h m ，p a r a l l e l a i g o r i t h m ，c r a c k s h a f t 致谢 x3 6 2 9 研究生三年期间，深受导师谭永基教授的谆谆教诲和悉心指导，本文就是 在谭老师的精心指导下完成的，谭老师给了我很大的理论指导，并对论文做了大 量的修改校正工作。谭先生渊博的学识，严谨的治学态度，以及他高尚的品德和 他的平易近人，都给我留下了很深的印象。在毕业论文完成之际，对谭先生在学 习生活上为我提供的众多帮助，表示深深的感谢。 同时感谢陆立强老师，在我学习期间，他也给了我很大的指导。另外对李晶、 陈华等同学的热心帮助，在此也一并表示感谢。 也感谢所有曾经给予我关心和帮助的老师、同学和朋友。 引言 本文的第一部分主要讨论了电法探测裂缝反问题的数学模型和方法。在实际生活中，生 产零件，人们当然希望生产的都是合格品，但是这时不现实的，往往因为技术或设备等方面 的原冈，难免会有次品出现，而判断一个零件是否次品，常常就是看零件上是不是有裂缝， 零件外面的裂缝是可以看到的，但内部的裂缝往往是不能直接观察的，所以裂缝探测问题就 提高到了理论研究的高度，裂缝探测的方法很多，其中用电法进行裂缝探测和用弹性变形探 测裂缝二种方法都可以归结为一类偏微分方程的反问题。基于裂缝探测问题在工业应用中的 重要意义，我们对此课题进行研究，建立了相应的数学模型，提【出有效的算法，并在此基础 上研究开发出相应的计算机软件。 在本文中，我们主要讨论上述第一种裂缝探测问题，即电法探测裂缝问题，对这个问题 建立了连续和离散化的数学模型，运用非线性优化和演化计算等数学方法对电法探测裂缝的 反问题提出了数值求解方法。 在第一章中，我们讨论了正问题的数学模型和方法。我们首先对裂缝探测问题建立了台 适的数学模型，同时介 “了有限元素法的一些基本概念和基本理论，并运_ l j 有限元素法对正 问题进行了数值求解。 第二章中我们对裂缝探测问题的反问题进行了分析和讨论，介绍了反问题的由来，并讨 论了反问题的数学模型。 第三章中我们介绍了一种对求解非线性优化问题比较有效的数值求解方法：拟牛顿算 法，对拟牛顿算法进行了较深入的讨论，并用它和计算目标函数梯度的伴随状态法对电法探 测裂缝的问题进行了数值求解。在反问题中由于每进行一次迭代就需要求解一次高阶方程组 ( 正问题的控制方程) ，计算量非常大，一般的迭代算法收敛非常慢，拟牛顿算法运用b f g s 迭代公式计算h e s s i a n 矩阵，避免了大量的二阶导数的计算，再就是每次迭代都需要计算目 标函数的梯度，一般差分法至少需要求解n + 1 次正问题方程，计算量很大，我们采用了快 速计算梯度的伴随状态法，只需要求解一次正问题方程就可以得到梯度，大大节约了计算时 问，也提高了精度。 第四章我们引进了一种模拟自然进化过程来搜索最优解的方法：遗传算法。遗传算法模 拟生物进化，不需要导数计算。它采用简单的编码技术来表示复杂的结构，通过对一组编码 进行简单的复制、杂交等遗传操作和优胜劣汰的自然选择来指导学习和确定搜索方向。实践 表明，遗传算法解最优化问题的计算效率比较高，是求解优化问题的很有_ i ； j 的工具，适用范 罔相当广。特别是对一些复杂结构、多维问题尤其有效，所以我们把遗传算法应用到电法探 测裂缝的反问题的数值求解中，对于多参数优化问题，一般的方法会收敛到一个局部极值， 而遗传算法可以搜索到一个全局最优解。并且由于遗传算法的本质并行性，计算中我们采_ 【 j 了并行算法，大大缩短了计算时间。文讨论了电法探测裂缝的遗传算法的并行实现，并给出 了一些具体计算实例，验证了并行计算的可行性。 在第二部分中，我们讨论了空心曲轴设计系统。这是一个主要应州于内燃机内部零什一 曲轴的c a d 系统。在本系统中，我们通过分析空心曲轴的工作状态，对其受力状况进行了 有限元分析，获得应力分布图，从而找到最大应力所在的位置，这样就可以对曲轴的受力强 度进行校核。由于采用了根据一些特征参数对若干事先自动生成的模型进行变换，快速生成 网格的方法使系统方便、快速的实现了特征参数化设计。 第一章正问题的数学模型和方法 第一部分电法探测裂缝的数学模型和方法 第一章正问题的数学模型和方法 裂缝探测有很多种手段，这里我们对电法裂缝探测问题进行讨论。 在平面导电体q 内探测裂缝的反问题包括探测裂缝的形状和裂缝的位置，这通过在 q 的边界上施加有限数量的电流并测出边界上相应的电势来实现。 在裂缝探测的这个领域中，已经有了许多理论性的结果，这些结果大部分是建立在二维 区域上的：f r i e d m a n 和 q o g e l i u s 研究了在一个平面区域内一条裂缝的探测情况，他5 f ) 假设 裂缝0 为一条光滑的简单曲线( 可能是空的) ，证明这条曲线可以通过在边界施加两个合适 的电流，并测量其相应的电势，通过这些条件而唯一确定，并且他1 f j 证明了这个结论是最好 的，也就是说，对应于一条裂缝只_ l j 一个边界电流以及相应的测量电势是不足以确定这条裂 缝的，这个唯一性结论在1 9 8 9 年给出的【1 。这个结果被b r y a n h 和v o g e l i u s 拓展到多条裂 缝的情况，他们证明一簇不交的光滑简单曲线q ，j = 1 ，2 ，n ，可以通过在边界上施加 v + ，个合适的电流并探测相应的+ ，个电势来唯一确定1 2 】。a l e s s a n d r i n i 在1 9 9 3 年对裂缝 探测的稳定性作了描述 3 】。b e na b d a 证明了对于己知一个端点落在区域的边界上的裂缝， 一个特定的电流和相应的测量电势就足以确定这条裂缝 9 】，a n d r i e n x 等在1 9 9 6 年证明了这 个问题的唯一性和l i p s c h i t z 稳定性【7 ；而e l c r a t 等( 1 9 9 5 ) 证明了一簇裂缝的唯一性理论。 我们现在在二维空间中讨论电法测量裂缝的问题，并对其进行算法方面的讨论。 1 1 正问题的数学模型 一个平面导电体q ，q 尺2 ，如图1 1 所示，它是一个单连通有界区域具有适当光滑 的边界m ，假设导电体电阻率为p ( 已知) ，其厚度为1 。若q 内存在一个裂缝0 ，设其为一 条二次曲线，我们只考虑。不自交的情况：这在特殊意义是说0 的初始点和和终l e 点不重合。 3 第一章正问题的数学模型和方法 假设这条裂缝是绝缘的，即电阻率为无穷大。在区域。的边界上a q 加一个稳定电流1 i ，1 l ， 不恒等于零。满足： 辟凼= 0 ( 1 1 ) 图1 1 平面区域因为直流电的作_ 形成一个稳定电场。对这个稳定电场，我们利用一些物理定 律来建立合适的数学模型。 我们必须求出在整个平面区域的电位分布情况u = u ( x ，y ) 。在区域q o 内的每一点，电位 函数u = u ( x ，y ) 均满足偏微分方程： _ ( 一1 _ 0 u ) + _ 【一1 _ 0 u ) ：o ( 12 ) o x pmo ) ，p 吨 其中p 为导体的电阻率。 f 面我们米考察电场的边界条仆。在边界a q 上由于给定电流v ，故在边界a q 上成立 如f 边界条f l ： 一1 o _ ui m ：甲( 已知)( 13 ) 由于假设裂缝是绝缘裂缝，则没有电流流入或流出该裂缝，因此在裂缝。的两侧，成立： 土p k o n ) 一= 吉( 詈) + = 。n a 。， 综上所述，联合式子( 1 2 ) ( 1 4 ) 我们可以对平面电法探测裂缝问题建立如下的数学模 嚣u ： 4 第一章正问题的数学模型和方法 _ ( 一1 _ 0 u ) + _ o ( 一1 _ 0 u ) ：o加趴口 o x po xo ypo y _ 1 _ a u ：va q ( 15 ) 口o n 一一 古( 孰= 上p t a n ) + = 。n a 其中n 为边界的单位法线向量，它在边界两侧规定取同一方向，角标，+ 分别表示在交 界面两侧取值。 对于任何一种均匀的各向同性导电体，其电阻率p 是一个已知常数，为简单起见，我 们不妨令p = 1 ，则( 1 5 ) 式可以简化为： 氅+ 鸳：0 i n 舐2a v 2 o u ：甲 o n o n ( 甜= ( 孰= 。 q o - a q( 1 6 ) 由假设( 1 1 ) ，若裂缝0 已知，问题( 1 6 ) 的解是存在的且在允许相差一个常数的意义 f 是唯一的。 1 2 唯一性定理 我们假设区域边界a q 是实解析的，对任意一点r a q 和任意一个很小的止 数，川以。表示加上弧长为2 6 ，以r 为中点的曲线，令| 1 ) 和q 为边界勰上两个不同 nn 的点，用尸q ( q p ) 表示沿边界a q 从p 到q ( 从q 到尸) 逆时针方向的曲线，下面我们 定义两个边界电流强度y ： 以及 满足 y ，( x ) = i 尸ql lj d qi o n p q o n o r y 2 ( x ) 2 k 一， 。 ( 1 7 ) ( 1 8 ) nn 这儿i p q i 表示曲线p q 的长度，。，是集合a 上的特征函数，选择常数s 充分小 讲盯( a p ，。，a 口，。) i 1l 尸一q 5 ( 1 9 ) 第一章正问题的数学模型和方法 唯一性定理：令k 是一个紧子集，k q ，y ，( i = 1 , 2 ) 为由( 1 7 ) 和( 18 ) 定义的电流 函数，存在一个正数s o ，满足岛：如果仃，盯为k 上两条不自交的c2 曲线并且“：和“： 表示问题( 1 6 ) 对应于曲线盯，盯和电流y ，的解，则如果 _ o “：= 昙“：，扛1 ，2 ( 1 1 0 ) d sd s 那么口= ( 9 - 这儿兰表示沿施逆时针方向的切向导数。 o s 这个唯一性定理的证明见【1 】f r i e d m a n 的文章，还有其他一些理论性结果，这里不再 一赘述。 正问题( 1 6 ) 的数值解一般可以应用差分法或有限元素法等方法进行计算。对于正问题 ( 1 6 ) ，我们来证明如下的变分原理，它是有限元素法进行求解的基础。 1 3 变分原理 我们令v 表示以下的集合 v = v g ，y l v 在q 上适当光滑 并记泛函为 ，( v ) = 扣小2 + 珈出方一m u v d s 变分原理可表述如卜： 变分原理：若“= “k y ) 是定解问题( 】6 ) 的近续并且适当光滑的解，l j u = u k y ) 在 函数集合v 中使得泛函( 1 1 1 ) 取得最小值；反之，在函数集合v 中使泛函( 1 1 1 ) 取得最小值 的函数“= “+ x ，y ) 一定是定解问题( 16 ) 的解。 根据这个变分原理，解定解问题( 16 ) 就化为在集合v 中求泛函( i 1 1 ) 的极值问题。 1 4 有限元素法的计算格式 根据以上的变分原理，我们对( 1 6 ) 式进行离散处理，即可得到有限元素法的计算格 式。 为简单计，不妨设区域q 为一个方形区域，对一般的区域做法是完全相同的。如图 1 2 所示，我们对这个方形区域进行三角形网格削分。 假设裂缝为一条二次曲线，p 。，p ；，p 2 是其上的三点，我们不妨设p 0 为起始点，p 2 为终 第一章正问题的数学模型和方法 止点，p t 为曲线上的任意一点，它们的坐标分别为( x o ，y o ) ，( x - ，y t ) 和( x z 。y z ) ，给定此三 点，这条二次曲线可以唯一确定。这条曲线的方程可以写为： y = a x 2 + h + c x o x x 2 f y 。= d z ；+ 6 x o + c 1 y y ：l ：= a 。+ 。x ；2 1 + + b 。+ * x x l ：+ + c 。 系数矩阵a = x ；x o 1 工? _ 1 x 2 2x 2 1 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 为范得蒙矩阵，我们不妨假设三点的坐标满足 x 。 1 0 ，使得只要忙一+ l | | 占， 就有： i l g ( x ) 一g ( x 。) 一g 。+ ( x x 。) | | 占l l x - x , + 0 ( 38 ) 令z = h ，b 表示g 的近似，我们要求 b k + l s = 儿( 3 9 ) 是合理的，其中 乩= x + l z ，j ，女= g + l g ( 31 0 ) 实际上( 3 9 ) 和( 37 ) 是等价的，只是( 3 7 ) 是关于h e s s e 逆近似的拟牛顿条件，而( 3 9 ) 是j q t - h e s s e 矩阵近似的拟牛顿条件，在这里成立础1 = h 。 拟牛顿法的主要步骤为： 1 、令d k = 一hk g k ； 2 、沿着方向d i 作线性搜索，得到盯“= 盯+ d ； 3 、校正h 女产生h “l 。 校止有多种方法，如s r i 校正、d f p 校止、b f g s 校正、p s b 校正等。 第三章拟牛顿方法求解反问题 这里我们讨论d f p 校正和b f g s 校正。 首先讨论d f p 校正：设对称校正为h k + l = 以+ a l l 7 + 6 w 7 ，令拟牛顿条件( 37 ) 满足 那么有h 儿+ a l d b l 7 y + b v v 7 y = s ，在这里“和v 并不唯一确定，但“和v 的一个明显 的选择是“= s kv = a h y ，这样就有a r7 h = 1 ，b v 7 v = - i ，则可以确定出 n = 1 7 “yy k = l h ：y kb = 一l v ty k = 一1 y j hk y i 舭”即舞一铹费 ( 3 1 i ) d f p 校正公式是经典的拟牛顿校正公式，是由d a v i d o n ( 1 9 5 9 ) 提出，后来又由f l e t c h e r 和p o w e r ( 1 9 6 3 ) 发展的，d f p 校正公式是实际中广泛采用的方法，但是，它具有数值不稳定 性，有时产生数值上奇异的h e s s e 矩阵，f 面的b f g s 校正克服了d f p 校正的缺陷。 由前面的介绍，( 3 9 ) 和( 3 7 ) 两个拟牛顿条件是等价的，其中任个都可以通过交换 h h b ，s kh n 从另一个得到，类似r 从( 3 7 ) 得到关于h 的d f p 校正公式( 31 i ) 我们可以从( 3 9 ) 得到关于b k 的b f g s 校正公式 - 瑙+ 舞桨 b z 曲 由y - b , s = 一吒g ，最巩= 一g ，故上式也可写成 b + r 3 1 2 b ) 实际上，只要通过对( 31 1 ) 式做简单的交换h b ，s f y ，关于b k 的b f g s 校正就 u j 以得到，所以也把( 3 1 2 ) 称为互补d f p 公式。 具体算法可以写成： a 、给出盯o ，b o ，0 s 0 ，使得 q ( a “1 ) 兰q ( a ) ，其中盯= 口+ 吼d ，吼是由线搜索得到的。 13 舞迸“ 巩 第二章拟牛顿方法求解反问题 d 、校正h 产生h ，使得拟牛顿条件成立 e 、k ：= k + 1 ，计算q ( a ) ，v q ( o - ) ，转到b 。 算法的流程图见图3 5 3 2 目标函数梯度的计算 易见以上的算法每步迭代都需要计算目标函数q ( a ) 及其梯度v q ( e r ) ，一股计算梯 度的方法差分法具有很大的缺点，首先是计算量太大，计算v q ( o - ) 至少需要解n + i 次控制方程( 1 1 9 ) ，另外误著也比较大。因此我们采月 种自动控制理论中的快速计算梯 度的方法一伴随状态法。 引入伴随状态矢餐五= ( 丑，五2 ，五。) ，假设离散问题的维数为1 1 ，我们来定义l a g r a n g e 算子 三= 9 + ( 3 ，1 3 ) 取上的全微分，我们有 班2 喜嚣” o ld u ，+ 篙训o l 删 冈为刚( 仃) 必须满足( 1 1 9 试此时有2 q ，筹= 。，v 扛1 ，圳u 有 2 喜挚，+ 芸孑删 b s ， 假如我们适当选取a 使得上式子的右段第一项为零，即使得 k p ) 7 a a q a “】 8 q a 甜。 可以得到v q 的第j 个分量的表达式 堕：旦：刀o k ( o - ) 。 一dcrj 0 0 j 刊百丁“ ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 g ) 式就是所谓的伴随状态方程，因此求v q 在点盯的值只需联合求解支配方程 14 第三章拟牛顿方法求解反问题 ( 1 1 9 ) 和伴随状态方 l ( 3 1 6 ) ，然后由式子( 3 1 7 ) 就可以导出v q 。 由于一般求梯度的方法如差分法或灵敏函数法 1 3 1 1 1 7 1 等的计算每都很大，而伴随状态 法因其计算速度几乎不依赖于方程的次数而显得优越，计算更快并且更精确。 3 3 数值结果 对于电法探测裂缝的反问题，我们开发出了应用拟牛顿法的计算机软件，流程图见图3 6 ， _ 【 j 的计算机语言为f o r t r a n ，工作环境主要为s g i 的o r i g i n 2 0 0 、o c t a n e 、0 2 等。 为了验证我们的计算机软什，我们采用的是模拟数据来作为测量数据，由于我们所探测 的区域是一个矩形，我们假设矩形的上下边界是绝缘的，即没有电流出入在上下边界。我们对 电流的取法稍微有点变动，在矩形区域的左右边我们给定电流q 和，则总电流掣为一个 分段函数，取的和当然满足四幽= o 成立。那么当我们给定一个裂缝时，它的位置 和形状已知，我们通过求解正问题可以得剑在左右边界上的电位值0 ，p ) ，_ i ， ， ， 我们把此电位值作为测量值，即设“? = “，p ”) ，我们取m 为8 0 ，通过均分左右边界， 均分点上的电位值由边界剖分结点上的电位值线性插值得到。反问题就是从一个初始的裂缝 盯。山发，来迭代解出口。的位置。 f 面我们通过两个例子来讨论拟牛顿法求解电法探测裂缝反问题的可行性。 例一、迭代6 7 次 坐标 真值初值解 始 x o 0 6 0 70 6 1 3 0 8 8 9 5 点 y n o 8o 50 7 9 9 28 0 6 2 终 x 2 1 8 1 5 1 8 3 1 6 7 1 5 5 点 y 2 24 2 02 4 0 6 4 7 1 1 6 q 02 0 2 7 0 8 2 21 2 3 3 e 一9 坐标中间点值初值搜索点的值 x 2 1 0 0 0 8 1 5 1 6 7 1 5 5 2 y 2 1 0 0 0 6 1 7 5 1 7 7 5 5 7 表3 1 第三章拟牛顿方法求解反问题 根据真实裂缝计算出来的边界上的模拟测量电势“? 。= 列，( 盯) f = t 8 口如。f a 、左边界的4 0 个模拟测量电势，编号为1 4 0 8 5 5 6 2 3 1 7 61 0 1 4 4 2 5 2 9 7 1 1 7 3 2 2 7 4 1 81 3 3 2 0 2 9 5 4 0 8 7 1 5 0 3 3 8 81 0 3 0 3 0 5 5 0 91 1 8 9 1 0 7 6 3 11 3 4 7 9 0 9 7 5 2 88 7 3 8 3 6 0 01 0 4 6 1 8 5 7 2 2 1 2 0 4 9 8 7 8 4 31 3 6 3 7 8 9 9 6 4 9 0 3 2 6 3 8 1 31 0 6 2 0 6 5 9 3 41 22 0 8 6 8 0 5 51 3 7 9 6 7 0 1 7 6 91 9 1 4 4 0 2 51 0 7 7 9 4 6 1 4 6 1 2 3 6 7 4 8 2 6 71 3 9 5 5 5 0 3 8 8 9 3 5 0 2 4 2 3 71 0 9 3 8 2 6 3 5 8 1 2 5 2 6 2 8 4 7 91 4 11 4 3 0 6 0 0 9 5 0 9 0 4 4 4 91 1 0 9 7 0 6 5 7 01 2 6 8 5 0 8 6 9 l1 4 2 7 3 1 0 8 1 2 9 ，6 6 7 8 4 6 6 111 2 5 5 8 6 7 8 2 】2 8 4 3 8 8 9 0 31 4 4 3 1 9 1 0 2 4 98 2 6 6 4 8 7 31 】4 1 4 6 6 9 9 41 3 0 0 2 6 9 1 1 51 4 5 9 0 7 1 2 3 6 9 9 8 5 4 5 0 8 5 1 l5 7 3 4 7 2 0 6 l31 6 1 4 9 3 2 71 4 7 4 9 5 1 4 4 9 b 、右边界的4 0 个模拟测量电势，编号为4 l 一8 0 9 8 8 8 6 7 8 71 0 5 ) 8 4 9 6 8 0 3- 1 2 1 8 1 0 6 8 1 9 9 9 0 8 4 7 7 8 8- 11 1 0 4 5 7 8 0 51 2 3 0 0 6 7 8 2 1 1 0 0 2 8 0 8 7 9 0- 】1 2 2 4 】8 8 0 61 2 4 2 0 2 8 8 2 3 1 0 1 4 7 6 9 7 9 1一】1 3 4 3 7 9 8 0 81 2 5 3 9 8 9 8 2 4 - 1 0 2 6 7 3 0 7 9 311a 6 3 4 0 8 0 9 - 1 2 6 5 9 5 0 8 2 6 - 1 0 3 8 6 9 1 7 9 5一1 1 5 8 3 0 1 8 1 1 1 2 7 7 9 1 1 8 2 7 - 1 0 5 0 6 5 2 7 9 6一1 1 7 0 2 6 2 8 1 3 i 2 8 9 8 7 2 8 2 9 一1 06 2 6 1 3 7 9 8 1i 8 2 2 2 3 8 1 4 1 30 1 8 3 3 8 3 1 1 0 7 4 5 7 4 8 0 0119 4 1 8 4 8 1 6 1 3 1 3 7 9 4 8 3 2 - 1 0 8 6 5 3 5 8 0 1，1 2 0 6 1 4 5 8 181 3 2 5 7 5 5 8 3 4 表3 2 根据初始裂缝计算出来的边界上的电势如f ： a 、左边界上的4 0 个电势值，编号为1 4 0 2 6 5 9 7 1 2 4 6 93 0 0 1 4 7 0 1 9 3 3 3 a 3 2 2 7 9 1 7 2 6 9 3 8 8 8 2 4 13 0 3 5 6 4 5 9 6 5 3 3 7 7 4 0 3 6 9 0 2 7 2 8 0 6 4 0 1 4 3 0 6 9 8 2 1 7 3 83 4 , 1 1 5 7 9 4 6 2 2 76 2 2 3 9 7 8 6 3 1 0 3 9 9 7 5 】03 44 5 7 5 5 2 3 4 2 7 9 6 4 1 5 5 5 93 13 8 1 7 3 2 8 3 3 4 7 9 9 3 1 0 0 7 2 8 3 0 5 9 1 3 3 1 3 1 7 2 3 4 9 0 5 53 51 4 1 0 6 7 7 9 2 8 , 6 4 7 6 7 1 0 33 2 0 6 5 2 4 8 2 83 5 4 8 2 8 2 5 5 2 2 8 9 8 9 4 2 8 7 6 3 2 4 0 7 0 0 6 0 03 5 8 2 4 5 8 3 2 4 2 9 3 3 11 8 6 4 83 2 7 4 8 7 6 3 7 23 6 1 6 6 3 4 0 9 7 2 9 6 7 2 9 4 4 2 13 3 0 9 0 5 2 1 4 5 3 6 5 0 8 0 9 8 6 9 1 3 3 7 7 1 6 8 3 6 1 3 a 9 6 7 7 8 3 7 】3 6 1 6 3 8 8 3 9 1 3 7 3 5 9 9 8 4 1 13 8 5 5 6 0 8 4 2 1 3 9 7 5 2 1 8 4 4 一1 4 0 9 4 8 2 8 4 5 1 42 1 4 4 3 8 4 7 1 4 3 3 4 0 4 8 4 9 一1 4 a 5 3 6 5 8 5 0 3 6 8 4 9 8 5 6 4 1 3 7 1 9 1 6 1 4 】4 3 7 5 3 3 3 7 1 8 6 3 7 8 7 5 1 2 9 5 9 3 82 1 6 8 8 7 3 1 3 8 5 5 8 6 4 5 0 3 3 8 9 0 0 4 0 2 7 6 3 9 2 4 2 1 6 0 4 8 3 9 5 8 3 9 1 8 2 l 3 9 9 2 5 6 7 5 9 3 b 、右边界上的4 0 个电势值，编号为4 1 8 0 - - 3 54 1 4 9 6 2 2 9 - 3 9 0 3 9 9 7 5 3 14 2 6 6 4 9 8 8 3 3 4 6 2 9 0 0 0 1 3 6 16 第三章拟牛顿方法求解反问题 3 5 7 7 7 4 6 3 5 9 3 6 1 3 9 9 6 4 8 9 3 65 0 2 4 6 6 1 9 3 6 8 6 4 9 6 7 5 0 3 7 2 2 7 4 6 8 8 0 3 7 5 8 9 9 7 010 - 3 7 9 5 2 4 7 1 4 0 - 3 8 3 1 4 9 7 2 7 1 3 8 6 7 7 4 7 4 0l - 3 9 4 0 2 4 7 6 6 1 3 9 7 6 4 9 7 7 9 1 - 4 0 1 2 7 4 7 9 2 2 4 0 4 8 9 9 8 0 5 2 4 0 8 5 2 4 8 1 8 2 4 1 2 1 4 9 8 3 1 2 4 1 5 7 7 4 8 4 4 3 4 1 9 3 9 9 8 5 7 3 4 2 3 0 2 4 8 7 0 3 表3 3 4 3 0 2 7 4 8 9 6 4 4 3 3 8 9 9 9 0 9 4 - 4 3 7 5 2 4 9 2 2 4 4 4 1 1 4 9 9 3 5 4 4 4 4 7 7 4 9 4 8 5 。4 4 8 3 9 9 9 6l5 4 5 2 0 2 4 9 7 4 5 4 5 5 6 4 9 9 8 7 5 4 5 9 2 7 5 0 0 0 5 计算结果裂缝的边界上的计算电势如卜： a 、左边界的4 0 个计算电势，编号为l 一4 0 83 4 6 2 5 0 1 29 8 3 1 7 5 4 7 51 1 3 1 7 2 5 9 3 8 8 4 9 4 8 0 0 5 9 9 9 8 0 3 0 5 2111 4 6 5 8 0 9 8 4 8 6 4 3 3 5 1 0 51 0 1 2 8 8 5 5 6 81 1 6 1 4 3 6 0 3 0 8 7 9 1 9 0 1 s l1 02 7 7 4 0 6 1 4 1 l7 6 2 9 1 0 7 7 8 9 4 0 4 5 1 9 71 0 4 2 5 9 5 6 6 01 1 9 1 1 4 6 1 2 3 9 0 8 9 0 0 2 4 4 1 0 5 7 4 5 0 7 0 61 2 0 6 0 0 】6 9 9 2 3 7 5 5 2 9 0 1 0 7 2 3 0 5 7 5 31 2 2 0 8 5 6 2 1 5 9 3 8 6 1 0 3 3 6 1 0 8 7 1 6 0 7 9 91 2 3 5 7 11 2 6 2 95 3 4 6 5 3 8 2i10 2 0 1 5 8 4 5 1 2 5 0 5 6 6 3 0 8 9 6 8 3 2 0 4 2 9 1 1 1 6 8 7 0 8 9 l1 2 6 5 4 2 1 3 5 4 b 、右边界的4 0 个计算电势，编号为4 l 一8 0 一9 9 3 3 9 1 4 3 2- 11 0 3 3 2 8 7 5 i 1 2 1 3 2 6 6 0 7 1 1 0 0 4 3 8 5 1 6 4- 11 1 4 3 2 2 4 8 3 1 2 2 4 2 5 9 8 0 3 - 1 0 1 5 3 7 8 8 9 6 - 1 1 2 5 3 1 6 2 151 2 3 5 2 5 3 5 3 5 - 1 0 2 6 3 7 2 6 2 8一i i 3 6 3 0 9 9 4 71 2 4 6 2 4 7 2 6 7 - 1 0 3 7 3 6 6 3 6 011 4 7 3 0 3 6 7 9 1 2 5 7 2 4 0 9 9 9 - 1 0 4 8 3 6 0 0 9 2一1 1 5 8 2 9 7 4 1 1 1 2 6 8 2 3 4 7 3 1 1 0 5 9 3 5 3 8 2 4 i i 6 9 2 9 1 1 4 3i 2 7 9 2 2 8 4 6 3 - 1 0 7 0 3 4 7 5 5 6- 8 0 2 8 4 8 7 5 1 2 9 0 2 2 2 1 9 5 - 1 0 8 1 3 4 1 2 8 8- 11 9 1 2 7 8 6 0 7 1 3 0 1 2 1 5 9 2 7 1 0 9 2 3 3 5 0 2 0- 1 2 0 2 2 7 2 3 3 91 31 2 2 0 9 6 5 9 表3 4 17 4 6 6 5 2 5 0 2 6 6 4 7 0 1 5 0 0 3 9 6 - 4 7 3 7 7 5 0 5 2 6 。4 7 7 4 0 0 0 6 5 7 - 4 8 1 0 2 5 0 7 8 7 4 84 6 5 0 0 9 1 7 4 88 2 7 5 1 0 4 7 4 9 1 9 0 0 11 7 8 4 9 5 5 2 5 1 3 0 8 12 8 0 2