（基础数学专业论文）各阶元的个数对有限群结构的影响.pdf

西南大学硕士学位论文 摘要 各阶元的个数对有限群结构的影响 基础数学专业硕士研究生苑金枝 指导老师陈贵云教授，曹洪平副教授 摘要 设g 是一个有限群，l r 。( g ) 表示群g 的元素阶的集合；”k ( g ) = 1 9 c l o ( q ) = i 表示g 中 阶元的个数，简记为m t ；p ( a ) = ( m 1 ，m k ，m 。) 表示g 的阶型； n s e ( g ) = m k 7 r c ( g ) 】表示g 的元长之集合 考虑群的数量关系对有限群结构的影响是有限群论中一个重要课题许多群 论工作者在这方面做了大量的工作如著名的s y l o w 定理l a g r a n g e 定理b u r n s i d e 定理等。1 9 8 7 年施武杰教授提出了单群的纯数量刻画：仪用有限群元素阶的集合 和有限群的阶来刻画有限单群 j g t h o m p s o n 教授在给施武杰教授的一封信中提出了下面一个问题： t h o m p s o n 问题：设g 1 与g 2 为同阶型的有限群，若g 1 可解，g 2 是否可解? 一些群论工作者从群的最高阶元的个数出发来研究有限群，侧面对t h o m p s o n 问题进行了研究，得到了一些令人鼓舞的结果( 参见文献【1 0 1 ，【1 1 】，【1 2 】，【1 3 ：【1 4 】) ， 但是，至今没有人对j g t h o m p s o n 猜想给出证明，也没有可以举出反例可见 t h o m p s o n 问题的解决是相当困难的 本文首先讨论了与同阶型群相关的另一个问题怎样的群可由其阶型唯一确 定? 进一步容易看出若g 1 与g 2 为同阶型的有限群，必有n s e ( g 1 ) = n s e ( g 2 ) 但 反之不一定成立故作者又用数量集合n s e ( g ) 对有限群g 进行了初步研究 主要结论如下： 定理1 1 设g 为有限群，日为2 3 p 阶群，p 为奇素数，则g 竺h 的充要条件是 p ( g ) = 尸( 日) 定理2 1 设g 是具有循环极大子群的矿阶群，其中p 为素数，日为群，则 ( 1 ) 当g g 2 ，g 3 ，g 6 时，h 兰g 的充要条件是p ( h ) = p ( g ) ( 2 ) 当g = g 2 ，g 3 或g 6 时，若p ( h ) = p ( g ) ，则h 竺g 2 ：g 3 或g 6 定理3 1 设m 为群，g 为2 q p 阶群，其中q p 为不同的奇素数则 ，笺g 的充要条件是p ( m ) = p ( a ) 定理3 2m 为群，则m 垒a 5 的充要条件是p ( m ) = p ( a 5 ) 定理4 3 设g 为群，n s e ( a ) = 1 ，2 ，3 ，2 p 】，其中p 为奇素数，则g 鲁z 8x 忍 关键词：阶型元长同构循环极大子群 西南大学硕士学f ? ，论乏 a b s t r a c t t h ei n f l u e n c eo f t h en u m b e ro fe l e m e n t sw i t ht h e s a m eo r d e ro nt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s n a m e ：地a nj i n z h i s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rc h e ng u i y u n ，p r o f e s s o rc a oh o n g p i n g a b s t r a c t l e tgb eaf i n i t eg r o u pa n d7 r e ( g ) t h es e to fi t se l e m e n to r d e r d e n o t eb y m ( g ) = l 9 c l o ( g ) = 训t h es i z e o f e l e m e n t o f o r d e r i i n g ，p ( c ) = ( m l ，m k m s ) t h eo r d e rt y p e ，a n dn s e ( g ) = m i l l 7 r e ( g ) ) t h es e to fs i z e so ft h ee l e m e n g sw i t h t h es a m eo r d e r i ti sa ni m p o r t a n ts u b j e c tt os t u d yt h ei n f l u e n c eo nt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s b yt h e i rq u a n t i t a t i v er e l a t i o n s h i p m a n ys c h o l a r sh a v eo b t a i n e da l o to fi m p o r t a n t r e s u l t s f o re x a m p l e ，t h ef a m o u s ”s y l o w st h e o r e m ，”l a g r a n g e st h e o r e m ，”b u r n - s i d e st h e o r e m ”e t c i n1 9 8 7 ，p r o f e s s o rs h ip u tf o r w a r dc h a r a c t e r i z a t i o no ff i n i t es i m p l e g r o u p sb yt h e i rq u a n t i t a t i v er e l a t i o n s h i p ：c h a r a c t e r i n gf i n i t es i m p l eg r o u p so n l yu s e t h es e to fi t se l e m e n to r d e r sa n di t so w no r d e r p r o f e s s o rj g t h o m p s o np o s e dt h ef o l l o w i n gp r o b l e mi nh i sl e t t e rt op r o f e s s o r s h i ： t h o m p s o n sp r o b l e m ：s u p p o s eg r o u p sg ia n dg 2a r eo ft h es a m e o r d e rt y p e s u p p o s e g 1i ss o l v a b l e ，i si tt r u et h a tg 2i sn e c e s s a r i l ys o l v a b l e ? s o m ea u t h o r sw h ow o r ko ng r o u pt h e o r e ms t u d yt h et o p i co fi n f l u e n c eo n t h en u m b e ro fm a x i m a lo r d e ro naf i n i t eg r o u pt os t u d yt h et h o m p s o n sp r o b l e m n o n d i r e c t l y t h e yo b t a i na l o to fe x c i t i n gr e s u l t s ( s e e 1 0 11 11 1 2 1 3 1 1 4 ) b u t ，n oo n e c a ns o l v ei tc o m p l e t e l y , e v e ng i v eac o u n t e r e x a m p l eu pt on o w ，w h i c hi m p l i e st h e d i f f i c u l t yo ft h o m p s o n sp r o m b l e m i nt h i sp a p e r ，w ef i r s t l yd i s c u s s e dt h eo t h e rp r o b l e mw h i c hi sr e l a t e dt og r o u p s o ft h es a m eo r d e rt y p e s ，w h i c hg r o u p sc a nb ed e c i d e db yt h e i ro r d e rt y p e s ? a n d i ti se a s yt os e et h a ti fg la n dg 2a r ef i n i t eg r o u p so ft h es a m eo r d e rt y p e ，t h e n n s e ( g 1 ) = n s e ( g 2 ) ，b u tt i i sn o tt r u ec o n v e r s e l y s ow ec o n s i d e rt os t u d yt h ef i n i t e g r o u pgb ys e tn s e ( g ) i i 西南大学硕士学f ? ，论文a b s t 日a c t w eg e tt h ef o l o w i n gt h e o r e m s ： t h e o r e m1 1l e tgb eaf i n i t eg r o u p ，a n dhi st h eg r o u pw i t ho r d e r2 3 p ，pi s a no d dp r i m en u m b e r t h e ng 竺hi f o n l yi f p ( c 1 =p ( 日) t h e o r e m2 1l e tgb esf i n i t ep g r o u pw i t hm a x i m a lc i r c l es u b g r o u pw i t h pi sap r i m en u m b e r a n dh i sa g r o u p t h e n ( 1 ) i fg g 2 ，g 3 ，g ，t h e nh 笔gi f o n l yi f p ( h ) = 9 ( g ) ( 2 ) i fg = g 2 ，g 3o rg 6 ，a n dp ( h ) = p ( g ) ，t h e nh 笺g 2 ，g 3o rg 8 t h e o r e m3 1l e tmi sag r o u p ，a n dgi st h eg r o u pw i t ho r d e r2 q p ，qa n dp a r eo d dp r i m en u m b e r sa n dq p t h e nm 竺gi fo n l yi fp ( m ) = p ( g ) t h e o r e m3 2l e tm i sag r o u p ，t h e nm 型a 5i fo n l yi fp ( m ) = p ( a 5 ) t h e o r e m4 3l e tgi sa g r o u p ，n s e ( g ) = 1 ，2 ，3 ，2 p ) ，pi so d dp r i m en u m b e r s t h e ng 型磊易 k e y w o r d s ：o r d e rt y p e ，c y c l i cm a x i m a ls u b g r o u p ，i s o m o r p h i s m 1 u 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：茏仓，棒 签字日期：2 0 0 ) 年够月细日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 | ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：叫不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：龙仓棰 签字日期： 面节年够月。日 导师签名：嘭f 笑彳 签字魄伽卜朋o 日 两南大学硕+ 学位论文 引言 引言 对任一有限群g 和任一正整数d ，令g ( d ) = z g i 一= 1 ) 若g l 与 g 2 为有限群，满足i g l ( d ) i = i g 2 ( d ) i ，d = 1 ，2 ，则称g l 与g 2 为同阶型群 j g t h o m p s o n 提出了 猜想l 设g 1 与g 2 为同阶型的有限群，若g l 可解，则g 2 一定可解 对这一猜想的研究，目前没有什么好的办法，仅有一些群论专家从侧面进行了 研究如施武杰教授在文献【1 】中提出了 猜想2 设g 为群，何为有限单群，则g 竺h 当且仅当( 1 ) 7 r e ( a ) = 7 r 。( 日) ，其 中丌e ( g ) 表示g 中元的阶之集；( 2 ) i g l = i h i 还有一些群论工作者从群的最高阶元的个数出发来研究有限群，侧面对 t h o m p s o n 问题进行了研究，得到了一些令人鼓舞的结果( 参见文献 1 0 ， 1 1 ， 1 2 ，【1 3 】， 1 4 】) ， 但是，至今没有人对j g t h o m p s o n 猜想给出证明，也没有可以举出反例 很明显，若g 1 ，g 2 为同阶型有限群，则丌。( g 1 ) = 7 r e ( g 2 ) 且i g l l = i g 2 i ，于是 猜想2 证明后即可得：设g 1 ，g 2 为同阶型有限群，若g l 可解，则g 2 非单但这离 猜想1 的证明仍很遥远 设g 是一个有限群，7 r , ( a ) 表示群g 的元素阶的集合；m i ( g ) = 1 9 g i o ( g ) = i ) i 表示g 中i 阶元的个数，简记为m ：p ( a ) = ( m l ，m k ，。m 。) 表示g 的阶 型；n s e ( g ) = m t k 7 r 。( g ) ) 表示g 的元长之集合。 显然g 1 ，g 2 为同阶型群当且仅当p ( g 1 ) = p ( c 2 ) 目前，用数量集合n s e ( c ) 来刻画有限群是一新的方法( 参看文献【1 6 】) ，容易看 出：若g 1 和g 2 是同阶型群，则n s e ( g 1 ) = n s e ( g 2 ) 需要注意的是：有限群不能被元长集和其阶唯一确定如g 2 = ，= 6 p = 1 ，【o ，6 j = 1 ，扎2 ，g 3 = ，矿= 1 ，6 p = 1 , b - 1 a b = a 1 桫，虽然 n s e ( g 2 ) = n s e ( g 3 ) ，但是g j 与g 3 不同构 本文首先讨论了与同阶型群相关的另一个问题，怎样的群可由其阶型唯一确 定? 然后，利用数晕集合n s e ( g ) 对有限群g 进行了刻画主要结论如下： 定理1 1 设g 为有限群，日为2 3 p 阶群，p 为奇素数，则g 呈h 的充要条件是 p ( a ) = p ( 日) 定理2 1 设g 是具有循环极大子群矿阶群，其中p 为素数，日为群，则 ( 1 ) 当g g 2 ，g 3 ，g 6 时，h 垒g 的充要条件是p ( g ) = p ( g ) ( 2 ) 当g = g 2 ，g 3 或g 6 时，若p ( h ) = 尸( g ) ，则h 兰g 2 ，g 3 或g 6 定理3 1 设m 为群，g 为2 q p 阶群，其中q p 为不同的奇素数则a f 笺g 1 两南人学硕十学位论文引言 的充要条件是p ( ，) = p ( g ) 定理3 2m 为群：则m 竺a 5 的充要条件是p ( ，) = p ( a 5 ) 定理4 3 设g 为群，n s e ( g ) = 1 ，2 ，3 ，2 p - ? 其中p 为奇素数，则g 兰磊z 2 本文中的群均为有限群，常用符号和基本概念如下： h g 表示日为群g 的子群；日 2 时，g 恰有p 个循环极 大子群和一个舻2 ，p ) 型极大子群，它们分别为 ( i = 0 ，1 ，p 一1 ) 和 ；而当n = 2 时，g 恰有p + 1 个循环极大子群 证明见文献1 4 8 两南人学硕十学位论文 第2 章矿阶群的一个新刻画 引理2 4 ( 1 ) 若g 是( v ) ，( v i i ) 类型的群：则g 恰有一个循环极大子群和两个 非循环极大子群极大子群 ( 2 ) 若g 是( ) 类型的群，则当n = 3 时，g 恰有三个循环极大子群；而当 n 3 时：g 恰有一个循环极大子群和两个非循环极大子群极大子群 证明见文献【4 】 引理2 5 若g 是( i i ) ，( i i i ) ，( v i ) 类型的群，则g 中p ( 2 i n 一1 ) 阶子群个 数为p + 1 ，且恰为p 个循环群和一个( p i - 1p ) 型群 证明因为g 的p 阶子群为p i + 1 阶子群的极大子群，故由引理2 2 和引理2 3 易证得 引理2 6 若g 是( i v ) ，( v ) ，( v i i ) 类型的群：则g 中2 i ( 3 i n 一1 ) 阶子群个 数为2 卜+ 1 ，且恰为一个循环群和2 n - i 个非循环群 证明由引理2 2 和引理2 4 立即可得 定理2 1 设j g i = p “，g 有循环极大子群：则g 中各阶元个数如下 l pp 2p 3矿一1矿 g 1 1 p 一1 p 2 一pp 3 一p 2矿一p n 一2p n p n l g 2 l p 2 1矿一p 2p 4 一p 3p n p n 一1 0 g 3 1 p 2 1p 3 一p 2p 4 一p 3p n p n l 0 g 4 112 + 2 n 一12 22 n 一20 g 5 l1 + 2 n l22 22 n - 20 g 6 l2 2 1 2 2 2 32 俨1 0 g 7 12 n 一2j - 12 + 2 n 一22 22 n 一20 证明( 1 ) 因为g 1 为循环群，n i , 2 易知p 阶元个数为妒( p ) = p i ( 1 一；) = p i p i - 。 故p ( g 1 ) = ( 1 ，p 一1 ，p