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1/31,概念与性质矩阵的对角化,2/31,一、相似矩阵的概念,定义设a,b是n阶方阵，若存在可逆矩阵p,使,则称b是a的相似方阵，或说a与b相似.,对a进行运算p-1ap,称为对a进行相似变换.,可逆矩阵p称为把a变成b的相似变换矩阵.,注：定义中的可逆矩阵p不唯一.(参考p158),3/31,设为阶方阵，则相似矩阵有下列,（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性.,基本性质：,4/31,二、相似矩阵的性质,2.若a与b相似，且a可逆，则b也可逆，且a-1与b-1相似.,1.若a与b相似，则|a|=|b|，r(a)=r(b).,3.若a与b相似，则a与b有相同的特征多项式和相同的特征值.,a与b相似,5/31,4.若a与b相似，则am与bm相似，其中m为整数.,a与b相似,am与bm相似,5.若a与b相似，f(x)是一元多项式，则f(a)与f(b)相似.,6/31,证明：,a与b相似,f(a)与f(b)相似,7/31,三、矩阵对角化的概念,如果n阶矩阵a相似于一个对角矩阵,则称矩阵a可对角化.即:存在可逆矩阵p,使得,8/31,四、矩阵对角化的条件,9/31,矩阵a相似于,10/31,a相似于,11/31,12/31,13/31,14/31,证明:,只证s=2的情形,一般情况归纳法证之.,(1),(2),(3),15/31,16/31,设是矩阵a的所有特征值，是齐次方程组的一个基础解系,j=1,2,s,a的特征向量组线性无关.,注意：mi齐次方程组的基础解系所含解向量个数.,17/31,且分别为ni重根,则a可对角化,p160定理3,18/31,五、矩阵对角化的步骤,19/31,20/31,3.对每个特征值求对应的特征向量,21/31,22/31,23/31,24/31,25/31,26/31,例3已知矩阵,（1）求与；,（2）求一个可逆矩阵，使,（3）求,27/31,解（1）因a与b相似，故,即,将代入有；,将代入有,28/31,（2）的特征值为1，2，2，,解齐次线性方程组,可分别求得a的对应特征向量,于是所求可逆
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