（应用数学专业论文）一类分形集上的dirichlet形式研究.pdf

摘要 本文首先讨论了在研究分形集时我们用到的一个新的重要的方法一一 d i r i c h l e t 分析方法，其是最近在研究“分形分析”中提出来的一种研究分形集的 很有用的工具，它本身类似于我们在研究经典数学分析中能量的定义形式。我们 首先给出分形集上d i r i c h l e t 形式的定义以及在本论文中将要用到的一些定理和 主要结论。通过上述这些有用的方法和工具，我们研究了定义在自相似分形空间 上的调和函数的d i r i c h l e t 形式的性质，我们得到的主要结论是将定义在自相似分 形集上的d i r i c h l e t 形式进行分解，分别研究部分的分形空间上的方向d i r i c h l e t 形式的性质，得到了一个更进一步的结果，即其上的d i r i c h l e t 形式划分具有加权 平均值的性质，这和在经典的数学分析中多元函数的积分与各个自变量之间的积 分具有本质的区别。由于分形上的分析研究的基本内容是在分形集上建立微分方 程，并且在分形集上建立导数的概念是有困难的，因而我们转而考虑在分形集上 定义l a p l a c e 算子，这其中也将用到我们给出的d i r i c h l e t 形式定义，所以我们在 本文中给出的d i r i c h l e t 形式的一些性质在分形分析中是很有必要的。 关键词：d i r i c h l e t 形式；符号空间；调和函数；迭代函数系统i f s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ef i r s t l yd i s c u s san e wa n di m p o r t a n tm e t h o dd u r i n g s t u d y i n go ff r a c t a ls e t - - d i r i c h l e ta n a l y s i sm e t h o d ，w h i c hi sam o r eu s e f u lt o o l i n t r d u c e do na n a l y s i so ff r a c t a l r e c e n t l ya n di ss i m i l a rt oe n e r g yf o r mo n m a t h e m a t i c sa n a l y s i s w ef i r s t l yg i v et h ed e f i n i t i o no fd i r i c h l e tf o r mo nf r a c t a l s e ta n ds o m et h e r o mw h i c hi su s e f u lt oo u rp a p e r t h r o u g ht h i su s e f u lm e t h o d s a n dt o o l s ，w es t u d yt h ec h a r a c t e r i s t i c sd i r i c h l e tf o r mo fh a r m o n i cf u n c t i o n d e f i n e do ns e l f - s i m i l a rf r a c t a ls p a c e t h em a i nr e s u l to ft h i sp a p e ri st h a tt h e d i r i c h l e tf o r md e f i n e do ns e l f - s i m i l a rf r a c t a ls e t sc a nb er e s o l v e di n t os e v e r a i p a r td i r i c h l e tf o r m s t h er e l a t i o no ft h et o t a ld i r i c h l e tf o r ma n dp a r td i r i c h l e t f o r mi st h a tt h ef o r m e rc a nb en o t e db yl a t e r sw i t hl i n e s t h i sr e s u l ti sv e r y d i f f e r e n tf r o mt h er e l a t i o n s h i pi nc l a s s i cm a t h e m a t i c sa n a l y s i s t h o u g hm a i n c o n t e n to nf r a c t a la n a l y s i si sc o n t r u c t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so nf r a c t a l s e t s a n dt h ec o n t r u c t i o no fd e f i n i t i o no fd i f f e r e n t i a i l sm o r ed i 怖c u l t ，w ec o n s i d e r t h et h ed e f i n i t i o no f l a p l a c eo p e r a t o r ，w h i c hw i l lu s et h et h ed e f i n i t i o na n d c h a r a c t er s t i c so fd i r i c h l e tf o r m s os o m ec h a r a c t er i s t j c so fd i r i c h l e tf o r mi s m o r en e c e s s a r yo nf r a c t a la n a l y s i s k e yw o r d ：d i r i c h l e tf o r m s h i f ts p a c e t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m ( h a r m o n i cf u n c t i o n i f s ) i i 独创性声明 秉承学校严谨的学风与优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在导师的 指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，不包含本人或其他用途使 用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明，并表示了谢意。 本学位论文成果是本人在广东工业大学读书期间在导师的指导下取得的，论文成果 归广东工业大学所有。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任，特此声明。 指导教师签字： 凉乙匆 论文作者签字：j ，一乓 2 0 a j i 年产彤。f j 第一章绪论 第一章绪论 1 1 分形分析的发展和现状 1 9 8 2 年，美籍法国数学家b b m a n d e l b o r t 的名著t h ef r a c t a lg e o m e t r yo f n a t u r e 出 版，分形这个概念被广泛传播，对分形的研究成为当时全球科学家讨论最为热烈，最感 兴趣的热门话题之一。除了物理学家，数学家，化学家，地震学家，材料学家之外，甚 至经济学家，音乐家乃至画家，电影制作者都参加到这一行列中，并且在各个领域都取 得了可喜的成果。因此，当时一位美国物理学家j a w h e e l e r 说：可以相信，明天谁不 熟悉分形，谁就不能被认为科学上的文化人。由分形所产生的分形空间【2 】上能否建立起 严格的数学理论一直是数学家们热忠于研究的内容，分形空间【2 】不同于经典的欧氏空间， 所以想要在这些很“奇异”的空间上建立类似于经典数学分析理论似乎还有很长的路要 走。 那么，什么是分形呢? 遗憾的是，要给出确切的严格的定义似乎为时尚早。为此， 我们暂且不管如何去定义分形这个概念，而是先去观察一些大家熟悉的分形集，比如自 然界中出现的诸如云层的边界，山脉的轮廓，雪花，海岸线等“不规则”的几何形体。 为了描述这些分形图，人们寻找到了很多的数学方法，并且试图用经典的数学分析的方 法来描述定义在分形空间【2 】上的函数的性质，出现了一些新的方法和概念，其中，迭代 函数系统( i f s ) 就是构造分形集的一种方法。有关它的论述是由j e h u t c h i n s o n 在1 9 8 1 年的论文f r a c t a la n ds e l l s i m i l a r 中给出的，至今已有十分丰富的内容。特别是b a r n s l e y 等人的工作，将其与计算机应用相结合，发现了分形图像压缩技术，取得了巨大的成功。 而在用i f s 方法构造分形集时用到了一个重要的工具符号空间【5 】，其本身就是一个自 相似集。 另为，最近对分形分析的研究主要涉及到分形空间【2 】上的解析函数问题，1 9 8 4 年， j o n s s o n 和w a l l i n 通过运用w h i t n e y 延伸理论建立了分形集上的函数空间理论。b a r l o w 和p e r k i n s 【3 7 】建立了s i e r p i n k ig a s k e t 上的“布朗运动”j k a g a m i 和s t d c h a r t z 给出了分 形上的p d e 的一些新的论述，用到的工具主要有：d k i c h l e t 形式，自相似测度，分形集 奎三垩盔耋圣兰璧圭兰竺兰銮 上的调和函数的定义等等，并且获得了许多有意义的结果。值得一提的是，在1 9 8 9 年 j k a g a m i 的文章ah a r m i n i cc a l c u l u so nt h es i e r p i n s k is p a c e s 用分析的方法在s i e r p i n s k i 三角形上建立了l a p l a c e 算子。随着众多数学家的不断努力，对分形分析的研究出现了 许多新的方法和观点，且这方面的国际交流日益密切，国际专题会议此起彼伏，我国的 攀登计划非线性科学项目中己列出“分形的数学理论”这一前沿课题，国家自然科 学基金申请指南中已列出“分形论及其应用”，这都表明我国学术界对分形研究的肯定 和重视。 1 2 国内外分形分析研究概况 在分形空间上建立完整的数学分析理论将有助于这f l t l l 线性学科的进展和在这一 领域的新的突破，目前，对这方面的研究虽然在不断进行中，并且也出现了一些可喜的 成果，但是距离将这一新的学科象经典数学分析理论那样建立起完整的理论体系似乎还 有很长的路要走，国内外在这些方面做出的比较有意义的成果可以概括为：局部域上的 分形分析研究，例如：局部域上的h o l d e r 型空间与p a d i c 导数之间的关系，l i p s c h i t z 及其性质，分形的几种维数( h a u s d o r f f , p a c k i n g ，b o x - c o u n t i n g 维数) 的分析定义及性 质，随机分形研究中的一些基本概念等，同时，还构造了一些有意义的分形例子。在这 方面的研究中，逐步揭示了欧氏空间与局部域上调和分析的本质差别，以及在分形分析 研究中两者所具有的优越性，以提供人们在研究过程中选择适当工具的依据。另外，在 分形分析研究中，分形集上d i r i c h l e t 形式的建立也为分形分析研究提供了一个很有用 的工具。 1 2 1 满足开集条件的分形集的研究 设z ，正，厶是彤上的一族压缩自相似变换，压缩比为别为o l ，那么 ，) ：。 组成一个相似压缩迭代函数系统( i f s ) 嗍，则存在唯一的非空紧集e 使得e = u z ( e ) 。 i = l 紧集e 称为关于相似压缩迭代函数系统 z ：。的自相似集( 或称为吸引子) 。通常情形 下e 或者e 的边界为分形集。如果将该迭代函数系与一 一n 。相联系，则存在 2 r 唯一的概率测度1 使得i l = p ，。z 一，称为自相似测度，可以证明的支撑 s u p p t = e 。如果分形集e 满足：存在非空有界开集d ，使得( 1 ) z ( d ) n ( d ) = a ， 如果f _ ， ( 2 ) u ，( d ) c d ，则称e 满足开集条件( o s c ) ，对这样的分形集的研究 现在具有以下经典的结论：e 的h o u s d o r f f 维数，填充维数以及盒维数相同，且满足方 n 程r = 1 的唯一解，这里s 为其h o u s d o r f f 维数；测度的f 一谱f ( 日) 由下列方程 n 彤，：“。) ：l 唯一确定，并且重分形公式成立。 i - i 1 2 2 具有重叠的分形集的研究 当上述迭代函数系统不满足开集条件，即压缩迭代函数具有重叠时，对分彤榘的维 数计算以及不变测度的描述将变得异常复杂，对于这种情况，l a u 和n a g i 给出了弱分 离条件( w s c ) 3 6 1 ，这一条件弱于开集条件，且包含许多重要的有重叠的情况。如小波 分析中的尺度方程，以及研究无穷b e r n o u l l i 卷积时出现的i f s 。对于z ( x ) = p x ， 五( x ) ：肛+ 1 一p ，可以证明当p ：孚为黄金比时，“，石 满足w s c ，但不满足 o s c 。如果令p ：= 丢，( f = 1 ，2 ) ，则相应的自相似测度称为无穷b c m o u n i 卷积，当 三 p l 时，确定是绝对连续或奇异这一问题已有7 0 年的历史，至今尚未完全 解决。 1 2 3 分形上l a p i a c i a n 的定义1 2 1 川。 目前对于分形集上l a p l a e i a n 的定义，通常由两种方法，第一种方法是基于 概率理论来定义其上的随机过程，类似于布朗运动，关于这方面的论述见于 广东工业大学理学硕士学位论文 g o l d s t e i n ，k u s u o k a 等人的著作中。另一种方法是由k i g a m i 提出的类似于积分的 思想【1 1 u 1 3 1 【2 7 1 ，在这些理论中的主要概念是能量的定义，尽管在经典数学分析理 论中，能量通常被看作是梯度平方的的积分，但是对于分形集的情形，这些都需 要重新定义f 4 1 ，因为在分形集上定义的函数并没有或不存在梯度或积分。 分形集或分形空间上建立函数积分的思想完全不同于经典的微积分理论。由 于我们现在研究的分形集大多可以通过迭代函数系统得到，所以我们可以从初始 条件建立分形空问上的积分理论，这里首先需要在其上定义自相似测度【5 】和调和 函数【“。 另外值得注意的是分形集上方向导数的定义，例如定义在【0 ，l 】区间上的连 续函数虬v ，我们假定函数v 在其边界上的值为0 ，则有： f 甜”( 工) v ( x ) 出= 一p ( z ) i ，( 工) 出“( 1 ) v ( 1 ) 刊( o ) v ( o ) 由于v ( 1 ) = v ( o ) = o ， f ”( x ) v ( x ) 出= 一p ( x ) i ，( x ) 出 我们可以重新定义导数a 。u ( 1 ) = 甜( 1 ) ，a 。u ( o ) = ”( o ) 。对于【o ，l 】区间，我们 可以通过迭代函数得到4 1 ，而我们将要研究的分形集一般情形都可以通过类似的 迭代函数得到，所以可以将这样的思想应用到分形集的研究上。这样的思想在建 立分形集上调和函数的d i r i c h l e t 形式具有很好的性质洲6 1 。 分形集上函数多项式的建立也出现了一些新结论【9 】【1 1 】【1 引，我们简单概括为： 设= u ：a “k = 0 ，满足这个条件的函数称为多调和函数，如果我们想要得到 中的一个函数，那么它一定满足a u = h ，其中a h = 0 ，即h 是一调和函数【4 1 。则由： u ( x ) = c g ( x ，y ) h ( y ) d a ( y ) 可以作为满足上述方程的一个解。 运用上述思想，我们可以得到中的解。我们知道，在单位区间 【0 ，1 】上的多项式空间可以通过a “1 “= 0 的解得到，由于我们前面提到【o ，1 】区间 可以通过迭代函数的得到，所以我们可以应用这样的思想来在分形集上建立函数 多项式的表达形式。关于这方面的论述可见本文后的参考文献。 4 1 3 本课题的来源，研究目的和意义 本课题来源于香港中文大学数学系和中山大学非线性课题一分形分析理论的研究。 本课题研究的主要目的和意义：自从分形诞生之日起，无论是其本身的性质，还是 其在其他领域的应用都得到了很快的发展，例如与现代计算机相集合在图像压缩方面的 应用，以及由简单的函数所构造的非常美丽的图像，这些都足以让许多数学家着迷。由 于分形集所产生的分形空间又是那么的不规则，使得数学家在这样的空间上象经典的欧 氏空间那样建立起来完整的数学理论似乎还有很长的路要走，在这方面作一些尝试显然 是很有意义的。 本课题研究的目的研究一类分形集上的d i r i c h l e t 形式的性质，即：分形集上的 d i r i c h l e t 形式具有可划分性。这样的性质和经典的类似能量划分性质具有很大的不同。 同时这为进一步研究分形空间提供一些思想和方法的尝试。 1 4 本课题研究的思路，方法和主要内容 本课题研究的思路：首先描述分形分析研究中用到的一些新的理论，方法，概念； 然后通过具体的分形集合的例子，建立其上的d i r i c h l e t 分析理论，同时对这一方法所 的到的结果进行理论总结，最后的到本科题的结论，并提出了一些新的设想。 本课题用到的主要方法： ( 1 ) d i r i e h l e t 分析方法； ( 2 ) 调和分析方法； ( 3 ) 平均值方法； 本课题研究的主要内容： ( 1 ) 分形分析研究中d i r i c h l e t 分析的方法； ( 2 ) 通过具体例子给出了分形集上d m c h l e t 的分布具有平均值的性质； ( 3 ) 对分形集上调和函数的性质给进行总结。 耋三些奎兰墨主要圭兰竺兰耋 1 5 论文的组织 本论文的内容安排如下： 第一章本章作者查阅了大量最新的中外文献，介绍了分形的发展和现状，以及分 形分析研究的最新进展，比较系统全面的阐述了目前国内外在分形分析研究领域的最新 动态，存在的困难和待解决的问题，以及所采用的数学方法，接着介绍了本课题的来源， 研究目的和意义，最后介绍了本课题研究的思路，主要内容和论文的组织。 第二章本章主要介绍了研究分形分析中用到的一些新的数学工具，概念以及定理。 第三章本章我们首先介绍了分形集上d i r i c h l e t 形式的定义，这里将用到定义在已 知分形集上的调和函数的d m c h l e t 形式，为了更清晰说明分形集上的这些形式的性质， 我们给出了具体的例子。 第四章本章是该课题的主要研究结果，通过具体的例子给出了定义在分形集上的 d i r i c h l e t 划分具有的线性形式。 最后是本文的结论。 6 第二章预备知识 随着众多学者对分形分析的研究的逐步深入，在这一领域出现了一些新的概念，定 理和方法，本章我们首先介绍些在本课题中将要用到的用来描述分形分析研究中心出 现的这些概念，定理和方法。 2 1 符号空间 设2 为正整数，令q = 1 ，2 ，- - n 为n 个不同符号的集合 q ”= i 2 ：q ，l ，s 胛 表示长为 的符号序列的集合，约定心= g 。集合科 中的元素也称为长为h 的词。 记q = o n “，即长为有限的符号序列的集合( 或长度为有限的词的集合) 。若 n z 0 国q ，我们用川表示缈的长度。 q ”= ( f 2 q ，j n ) ，即长度为无穷长的符号序列的集合。 设q 。，记 巴= ( x = x t x ：毛q ”：x , x 2 i = ) 。 巴称为q ”中的一个柱集，它由头川个符号恰好为的无穷符号序列组成。 对任意工甜，记x i 。皇而， n 。 现在在q 。上定义下述度量：设x ，y eq 4 ，令 d ( x ，_ ) ，) 皇2 一州”1 4 ”7 9 可以直接验证d 为q 。上的度量，对于任意的彳q ”，其直径定义如下： 函册“皇s u pd ( x ，y 1 j 。) 月 性质2 1 1 【5 】在上述度量下，q 。具有如下性质： ( 1 ) q ”为紧度量空间，且q 。的直径为l ： 7 广东工业大学理学硕士学位论文 ( 2 ) 设国q ，则e 的直径为d i a m c , , = 2 制； ( 3 ) c ：为q 4 既开又闭的集合； ( 4 ) 巴 棚构成q 。的一个网。即q ”= uq ，并且若盯，f q ， 口e r 或者en c r = a ，或者一个柱集包含在另一个柱集中。 设国甜，r 是一正数，定义q 。的子集d ( 国，) 如下： d ( 国，r ) - - - x , 。：d ( x ，国) ， ， 并称其为度量空间q 。中以为球心，r 为半径的开球。如果上述” ”改为”，则记为 b ( x ，1 ，并称其为闭球。 性质2 1 2 在度量空间q 。中，柱集g ，q + 既是开球，也是闭球 证明：f l j d i a m c , , = 2 制，对任意巴，构造闭球：口( 盯，2 十i ) = x ：d “盯) 2 制 ， 可以得到巴= b ( o r ，2 制) ，事实上，对任意j 巴，有工b = 盯l h ，所以d ( x ，国) 2 十i ，即 得x b ( c o ，2 刊) ，从而有巳c b ( o r ，2 刊) ，反之对任意y b ( x , 2 + i ) ，则有d ( y ，o - ) 0 ，若，2 l ，由d i a m n 。= 1 ，所以对任意的x q ”， 有d ( 工，o r ) s s r ，则有x b ( 盯，r ) ，- 于是b ( o r ，) 3 q 。，自然就有口( 盯，) = q ”。而q 。可 以看成一个柱集巳，这里a 表示空词。若0 r l ，则存在k n ，使得2 1 “”， 0 ，从而构成了这个度量空间作为拓扑空间的基。 第二章预备知识 性质2 1 4 度量空间( r 是完全有界的。 性质2 1 5 度量空间q ”是一个迭代函数系统的自相似集。 由于上面的自相似集满足开集条件，于是其维数可以由下面给出的公式计算出来。 并且在其上运用自相似测度进行描述。 2 2 主要概念和定理 设y 是一可列集合，定义1 ( v ) = ，l 厂：v 专r 。如果v 是有限的，则可以定义，( 矿) 中的标准内积为：u , v ) - - e 。，“( p ) v ( p ) ，其中”，v l ( v ) 。 定义2 2 1 ( d i r i c h l e t 形式) 刚设y 是一有限集，定义在，( 矿) 上的对称双线性形式称 为v 上的d i r i e h l e t 形式，如果满足下列条件： ( 1 ) 8 ( u ，“) 0 ，对于任意的“z ( 矿) ( 2 ) “，“) = 0 ，当且仅当甜是定义在y 上的常函数 ( 3 ) 对于任意的“z ( v ) ，8 ( u ，“) 8 ( u ，甜) ，这里甜定义为： f l 如果 “( p ) l “( p ) = 甜( p ) 如果0 “( p ) o , i s 我们定义d f ，f 拍胁形 式如下： u ，v ) = 与( “。瓦，v 。兄) m e m 这里，v ，( ) ；屹= 。么，= q 吃( 0 m q ”。 命题2 2 5 嘲旧对于任意给定的p ，( ) ，存在唯一的函数甜，使得“k = p ，且 ( “，v ) = m m ( 甜，v ) ：这里谢足：v i = p ，其实“是满足下列方程的唯一解，即： f ( 上v ) l 匕= o 对任意肼1 【v 1 = p 由上述得到的函数“称为具有边界值p 的调和函数。 1 0 第三章分形集上的d i r i c h l e t 形式描述 3 1 分形集上调和函数的d i r i c h l e t 形式 对于分形空间的研究出现了一些新的思想和方法，这些思想和方法又不同于经典数 学分析里面的思想，但是最近出现了一些类似于用经典的数学分析思想来刻划分形空间 上函数的性质，本章我们介绍这些思想中的一个有意义的分形分析的方法一d i r i c h l e t 分 析法。 设g 是一有限连通图，“，v 是定义其顶点v 上的实值函数，我们定义其上的单线 性d i r i c h l e t 形式以及双线性d i r i c h l e t 形式分别为： 屹( “) = ( ( x ) 一甜( y ) ) 2 x v ( 甜，v )( “( x ) 一“( y ) ) ( v ( x ) 一v ( ) ，) ) m ( 3 1 ) ( 3 2 ) 这里符号x y 表示( x ，y ) 是图g 的一条边。 对于上述定义，显然有：以) = ( “，“) ，并且双线性d i r i c h l e t 形式可以通过单 线性d i r i c h l e t 形式表示，即： 尾( “，v ) = 三( 尾 + v ) 一 一v ) ) ( 3 3 ) 所以以下我们主要研究单线性d i r i c h l e t 形式，简称d i r i c h l e t 形式。 命题3 1 1 ( m a r k o v 性质) 如果用函数u 的最小值和一个常数代替函数“，则由上 述所得到的d i r i c h l e t 形式不减，即： ( 【甜】) ( ”) 其中【“】= r a i n 1 ，m a x u ，o ) ( 3 4 ) 现在给定两个图g ，g l ，使得v k ，u ，m 分别是定义在v ，k 上的实函数，这 里v ，k 是g ，g i 的顶点集。 假设嵋在矿上的限制是u ，即”= q 0 。因此函数可以作为函数u 的延伸，显然上 述这种延伸至少有一种使得d i r i c h l e t 形式( 4 i ) 最小。并记甜为满足这种延伸的唯一的 广东工业大学理学硬士学位论文 函数，我们称这种延伸为调和延伸，且有： u l v = “，( 磊) ( m ) 对于所有的满足嵋i t = 玎的函数m 。 称( 磊) 是到g 上的限制d j r i c h l e t 形式，这样的到的d i r i c h l e t 形式与( “) 有下面的关系 ( ；) = 哦( “) ，其中r 满足o r o 。 对于满足什么条件分形集上的d i r i c h l e t 是形式存在的现在没有统一的结论，我们只 是可以找到一些充分条件和例子1 ，和能量比例0 的选择一般也很困难。 通过上述两个例子，我们可以得到定义在这样的分形集上的调和函数“是按照下面 的等式分布的： “i e = 和k ( 4 2 9 ) 这里4 ，4 ，以为调和延伸矩阵邮1 ，并且这样的矩阵可以通过下面的方程的到： e “e r , 。1 ( ( e _ ) 一“( 只唯) ) = 0 ( 4 3 0 ) 这里我们对于该类分形集上的能量分析，o k = v o = q ，屹，v 0 ，任意两点处调和函数 在任意两点处的函数值的差的平方在能量表达式中会根据其位置的不同添加不同的常 数，并且我们可以根据调和延伸算法来确定这些常数的具体值，见前面的例4 2 。这就 给出了在分形集上d i r i c h l e t 形式所具有的性质。由于在经典数学分析理论中，i v “r 的积 分( 实际上，也是能量形式) 和 1 0 u & ，r d x ( 可以看作为方向能量) ，其中q c r ”。 j - 7 - 上述两者之间没有必然的联系，而在分形集上定义的调和函数的d i r i c h l e t 形式却具有很 好的性质，即：总d k i c h l e t 形式可以表示为各个方向d i r i c h l e t 形式的加权线性组合，这 为我们在新的函数空间，即：分形空间上建立函数性质具有一定的意义。 结论 在分形分析研究中，定义在自相似分形集上的函数的d m e h l e t 形式具有很好的性 质，这完全不同于在经典数学分析中的情况。这可以作为研究在分形空间上建立类似于 经典数学分析中的理论，但是这方面的研究只是刚刚起步，还有很多新问题有待解决， 本文的主要工作是在分形集上调和函数d i r i c h l e t 形式建立的基础上进一步研究调和函 数d i r i c h l e t 形式的性质。通过作者自己创立的例子和大家熟悉的经典分形集，我们给出 了分形集上d i r i c h l e t 形式的性质，对此，本文得到如下主要结论： 对于给定的满足开集条件的分形集，该类分形集可以通过迭代函数系统得到，在给 定的边界条件下，定义于其上的d k i c h l e t 形式可以划分为不同方向的d i r i c h l e t 形式，并 且总d i r i c h l e t 形式可以表示成各个方向d i r i c h l e t 形式的线性组合。这样我们就可以通过 研究方向d i r i c h l e t 形式的性质来研究分布在分形集上的调和函数的性质。 设“是一定义在开集qc - r ”中函数，则函数“在q 上的能量可以表示为i v “l 的积分的 形式，且其方向能量可以表示为：【1 0 u 0 x ，j d r ，通常单一方向能量和总体能量没有必 i 。- 然的联系，当我们研究定义在分形集上的调和函数的性质时，类似与能量形式的情况将 出现一些新的有趣的性质，这正是本文给出的结论。具体概括为： 定义在分形集上的调和函数的d i r i c h l e t 形式及其方向d k i c h l e t 形式具有如下的 联系：即，d i r i c h l e t 形式可以表示为各个方向d i r i c h l e t 形式的线性组合。 对于定义在满足开集条件的分形集上的调和函数的d i r i c h l e t 形式，我们在文 中已经给出了其定义。本文给出的定义在分形集上的调和函数的d i r i e h l e t 形式仅 仅是在研究分形分析这一新的学科领域中的一种新的方法，由于我们所讨论的分 形空间完全不同于经典的欧氏空间，所以要想在其上建立诸如函数的积分以及导 数似乎很难想象，不过可喜的是：这方面的工作也在进行中，并且得到了一些新 的结果，例如，我们可以在其上定义函数的分数阶导数等，由于我们给定的分形 集可以通过给定的初始边界条件通过迭代函数系得到，根据这个特殊的性质，它 们在实际应用中也有很好的前景，诸如：在微分方程的稳定性以及热核估计等。 限于篇幅，我们这里不再讨论，作者可以查阅本文后面的参考文献。 1 b b m a n d e l b r o t f r e e m a n ，1 9 9 7 2 b b m a n d e l b r o t 1 9 8 2 参考文献 f r a c t a l s ：f o r m ，c h a n c e ，a n dd i m e n s i o n d c a l i f o r n i a ： t h ef r a c t a lg e o m e t r yo fn a t u r e m c a l i f o r n i a ：f r e e m a n ， 3 肯尼思法尔科内( 英) 曾文曲等译分形几何一数学基础及其应用 m 沈阳：东北 大学出版社1 9 9 1 4 j h u t c h i n s o n f r a c t a l sa n ds e l f - s i m i l a r i t y j i n d i a n au n i v m a t h j 3 0 ( 1 9 8 1 ) 7 1 3 7 4 7 5 k f a l c o n e r t e c h n i q u ei nf r a c t a lg e o m e t r y m n e wy o r k ：w il e y1 9 9 5 6 c b a n d ta n dg r a f s e l f - s i m i l a rs e t sv i i ac h a r a c t e r i z a t i o no fs e l f - s i m i l a r f r a c t a l sw i t hp o s i t i v eh a u s d o r f fm e a s u r e j p r o c a m e r m a t h s o c 11 4 ( 1 9 9 9 ) 3 1 9 - 3 4 4 7 文志英分形几何的数学基础 m 上海：上海科技教育出版社1 9 9 2 8 j k i g a m i ah a r m o n i cc a l c u l u so nt h es i e r p i n s k is p a c e s j j a p a nj a p p l m a t h 6 ( 1 9 8 9 ) 2 5 9 2 9 0 9 j k i g a m i h a r m o n i c c a l c u l u so n p c f s e l f - s i m i l a r s e t s j t r a n s a m e r m a t h s o c 1 9 9 3 ，3 5 5 ：7 2 1 7 5 5 1 0 j k i g a m i a n a l y s i so nf r a c t a l s 姗l o n d o n ：c a m b r i d g eu n i v p r e s s 2 0 0 1 1 1 s t r i c h a r t z r s o m e p r o p e r t i e s o f l a p l a c i a n o n f r a c t a l s j j f u n c t a n a l 1 9 9 9 ，1 6 4 ：1 8 1 2 0 8 1 2 s t r i c h a r t zr t a y l o ra p p r o x i m a t i o n so ns i e r p i n s k ig a s k e tt y p ep r a c t a l s j j f u n c t a n a l 2 0 0 0 ，1 7 4 ( 1 ) ：7 6 1 2 7 1 3 s t r i c h a r t zr t h el a p l a c i a no nt h es i e r p i n s k ig a s k e tv i at h em e t h o d o f a v e r a g e s j p r a c i f i cj m a t h 2 0 0 1 ，2 0 1 ( 1 ) ：2 4 1 2 5 6 1 4 s t r i c h a r t zr a n dm u s h e r s p l i n e so nf r a c t a l s j m a t h p r o c c a m b ：耋三竺銮耋登竺璧圭量堡鎏苎 p h i l s o e 1 2 9 ( 2 0 0 0 ) ，3 3 1 3 6 0 1 5 k s l a u ，s m n g a ia n dh r a o i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m sw i t ho v e r l a p s a n ds e l f - s i m i l a rm m e a s u r e s j j 。l o n d o n m a t h s o c ( 2 ) 6 3 ( 2 0 0 1 ) ，n o 1 ， 9 9 - 1 1 6 1 6 k s l a ua n dx y w a n g i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m sw i t haw e a ks e p a r a t i o n c o n d i t i o n j s t u d i am a t h 1 6 1 ( 2 0 0 4 ) ，n o 3 ，2 4 9 2 6 8 1 7 s m n g a ia n dy w a n g h a u s d o r f fd i m e n s i o no fs e l f - s i m i l a rs e t sw i t h o v e r l a p s j j l o n d o nm a t h s o c ( 2 ) 6 3 ( 2 0 0 1 ) ，n o 3 ，6 5 5 - 6 7 2 1 8 谢和平，薛秀谦，分形应用中的数学基础与方法 刖，北京：科学出版社1 9 9 8 1 9 金以文，鲁世杰，分形几何原理及其应用 m ，杭州：浙江大学出版社1 9 9 8 2 0 3 文志英，井竹君，分形几何和分维数 j ，数学的实践与认识，第四期1 9 9 5 2 1 苏维宜，分形与局部紧群上的调和分析，非线性论文集1 9 9 0 2 2 m y a m a g u t ia n dj k i g a m i 。s o m er e m a r k so nd i r i c h l e tp r o b l e mo fp o i s s o n e q u a t i o n a n a l y s i sm a t h e m a t i c sa n da p p l i c a t i o n ，g a u t h i e r v i l l a r s ，p a r i s ， 1 9 8 8 ，4 6 5 4 7 1 2 3 p a p m o r a n ，a d d i t i v ef u n c t i o n so fi n t e r v a la n dh a u s d r o f fm e a s u r e ， p r o c c a m b p h i l o s s o c ，4 2 ( 1 9 4 6 ) ，1 5 - 2 3 2 4 李文侠，一类准自相似集的研究 j ，数学年刊，1 5 a ，6 ( 1 9 9 4 ) 2 5 v m e t z ，t h el a p l a c i a no ft h eh a n yf r a c t a l ，a r a b ，j s c i e n g s e c t ct h e m ei s s u e s2 8 ( i c ) ，1 9 9 - 2 1 1 2 6 j k i g a m i ，ah a r m o n i cc a l c u l u so nt h es i e r p i n s k is p a c e s ，j a p a nj a p p l t h 6 ，2 5 9 2 9 0 ， 1 9 8 9 2 7 b m h a m b l y ，h e a tk e r n e l sa n ds p e c t r a la s y m o t o t i c sf o rs o m er a n d o m s i e r p i n s k ig a s k e t s ，f r a c t a lg e o m e t r ya n ds t o c h a s t i c si i ( c b a n d te ta l ，e d s ) ， p r o g r e s si np r o b a b i l i t y ，v 0 1 4 6 ，b i r k h a u s e r ，p p 2 3 9 2 6 7 ，2 0 0 0 2 8 吴敏，关于自相似集的一个维数定理 j ，数学学报，第3 8 卷，第3 期1 9 9 5 2 9 j k i g a m i ，e f f e c t i v er e s is t a n c e sf o rh a r m o n i cs t r u c t u r e so np c f s e m i s i m i l a rs e t s ，m a t h p r o c c a m b r i d g ep h i