（应用数学专业论文）基于元胞自动机的股票市场模拟模型.pdf

中文摘要 摘要 随着金融市场和复杂性研究工具的发展，人们发现传统的有效市场假说并不 成立。股票价格收益是不稳定的随机序列，收益分布不是正态分布，股票价格收 益表现出非线性，序列自相关性等。因此，越来越多的经济学家和物理学家致力 于股票价格机制的研究并借助于复杂性研究工具建立了许多模型。 最近，元胞自动机作为复杂系统和复杂性研究的重要研究工具已经得到了广 泛的应用本文借助于元胞自动机运算速度快、演化规则简单等特点建立了基于 元胞自动机的股票市场模拟模型。 现实股票市场中存在着许多不确定因素，这些不确定因素使股票交易者很难 对股票价格做出准确、客观的预测。不同于带有确定转移概率参数的随机元胞自 动机模型，本文将模糊控制方法应用到转移概率中，使转移概率模糊化，建立基 于模糊控制的随机元胞自动机模型来模拟股票市场的不确定因素以及交易者面对 不确定市场所做出的决策。文中将参加交易的交易者分为三种类型，不同类型的 交易者对股票价格的变化程度的模糊定义不同。交易者通过对股价变化程度的分 析来做出买入卖出决策。模拟结果再现了股票市场尖峰肥尾，弱自相关性，波动 聚集性以及多重分形性等特征，并与恒生收盘指数进行了比较。同时研究了在交 易者比例不同的条件下股票市场的稳定性。 关键词：元胞自动机；模糊控制；波动聚集性；厚尾性；多标度分形；稳定性 s i m u l a t i o n o fs t o c km a r k e tb a s e do nc e l l u l a ra u t o m a t a a b s t r a o t i n f l u e n c e db yt h ed e v e l o p m e n t si nt h ef i n a n c i a lm a r k e ta n dt h et h e o r yo fc o m p l e x s y s t e m s ，p e o p l ef o u n dt h a te f f i c i e n tm a r k e th y p o t h e s i s ( e m r i ) i sn o tv a l i d s t o c k r e t u r n sa r eu n s t a b l es t o c h a s t i cs e r i e s t h ed i s t d b u t i o no fs t o c kr e t u r n sa r en o tg a u s s i a n d i s t r i b u t i o n , s t o c kr e t u r n se x h i b i t sc h a r a c t e ro fn o n - l i n e a ra n da u t o c o r r e l a t i o n s m o r e a n dm o r ee c o n o m i s t sa n dp h y s i c i s t sh a v eb e e na t t r a c t e dt of i n dp r i c em e c h a n i s m ，a n d e s t a b l i s h e dal o to fm o d e l sb yc o m p l e xs y s t e m st o o l s i nr e c e n ty e a r s , c e l l u l a ra u t o m a t a ( c a ) h a sb e e nu s e dw i d e l yt os t u d yc o m p l e x s y s t e m s i nt h i sp a p e r , w ee s t a b l i s ht h es t o c km a r k e tb a s e do nc e l l u l a ra u t o m a t aw i t h t h ec h a r a c t e ro fr a p i do p e r a t i o na n ds i m p l ee v o l v e m e n tr u l e so fc a t h es t o e km a r k e te n v i r o n m e n ti su s u a l l ym u c hm o r ei l l d e f i n e da n dm a k e si t i m p o s s i b l ef o rt r a d e r st of o r mp r e c i s ea n do b j e c t i v el n i c eo b j e c t i v ee x p e c t a t i o n s t o m o d e lt h eu n c e r t a i n t yo ft h em a r k e ta sw e l la sh o wt r a d e r sr e a c tw h e nt h e yf a c et h e u n c e r t a i n t ym a r k e t ，t h i sp a p e rw ee x p l o r et h eu s co fa ni n e x a c ta l g o r i t h mf o rp r o b a b i l i t y r e a s o n i n gf o rd e a l i n gw i t ht h eu n c e r t a i n t i e si n v o l v e di nt h em a r k e t ，i nc o n t r a s tt ot h e s t o c h a s t i cm o d e l sw i t hd e t e r m i n i s t i cp a r a m e t e r s w ed i v i d et r a d e r sp a r t i c i p a t ei nt h e t r a d i n gi n t ot h r e eg r o u pa n de a c hg r o u ph a v et h e i ro w n “d e f i n i t i o n o fp r i c ec h a n g e s d e 孕e e ，b u tt h e “d e f i n i t i o n ”i sf u z z y g r o u p sm a k ed e c i s i o nt ob u yo rs e l l s t o c ki n a c c o r d a n c ew i t hf u z z y “d e f i n i t i o n ”s ob yi n t r o d u c i n gas t o c h a s t i cc e l l u l a ra u t o m a t a m o d e lw i t hf u z z yp a r a m e t e r st os i m u l a t et h ed y n a m i c so ft h es t o c km a r k e t , s o m eo f w e l l - k n o w n s t y l i z e d f a c t so ft h es t o c km a r k e t , s u c ha sf a tt a i l s a b s e n c eo f a u t o c o r r e l a t i o n s ，v o l a t i l i t yc l u s t e r i n ga n dm u l t i f r a c t a lp r o p r i e t i e s a r er e p r o d u c e d a d i r e c tc o m p a r i s o ni sm a d ew i t ht h ed a i l yc l o s u r e so ft h eh a n gs e n gc o m p o s i t ei n d e x w ea l s os t u d yt h em a r k e ts t a b i l i t yu n d e rd i f f e r e n tp r o p o r t i o no ft r a d e r s k e yw o r d s ：c e l l u l a ra u t o m a t a ；f u z z yr e a s o n i n g ；v o l a t i l i t yc l u s t e r ；f a tt a i l s ； m u l t i f r a e t a lp r o p e r t y ；s t a b i l i t y 大连海事大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：本论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果， 撰写成硕士学位论文：基王丞塑自动扭鲍避墓壶扬搓垫搓型：。除论文中已经 注明引用的内容外，对论文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明 确方式标明。本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经公开发表 或未公开发表的成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：弓承愿劫唧年弓月卫妇 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连海事大学研究生学位论文提交、 版权使用管理办法”，同意大连海事大学保留并向国家有关部门或机构送交学位 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连海事大学可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于：保密口 不保密口( 请在以上方框内打“4 ”) 论文作者签名：嗝、芬导师签名； 日期：加7 年了月西日 基于元胞自动机的股票市场模拟 引言 问题的提出 有效市场假说( e f f i c i e n tm a r k e th y p o t h e s i s ，e m f o 在现代证券理论中占有重要的位 置，它认为股价能反映所有的相关信息。即使股价在短期内可能偏离股票的基本价值， 但随着时间的流逝，投资者获取的信息越来越全面，股价最终必定回归其基本价值。e m h 假定投资者都是理性的，有秩序和有条理的。由于投资者对新信息立即做出反应，所有 的信息都反映在价格变化中，每日的价格行为只同当前的信息有关，而与以前的价格无 关，因而价格是独立的随机变量，当投资者足够多的时候，收益率分布趋于正态分布。 但是，随着金融市场的发展和非线性理论的广泛应用，人们发现越来越多的现象已 经无法在有效市场假说的框架下得到合理的解释。曼德布尔罗特( b b m a n d e l b r o t ) 在 1 9 6 3 年指出股票收益分布严重偏离有效市场假说下的高斯分布，呈现尖峰肥尾的特征， 而且收益率序列还呈现长期相关性。曼德布尔罗特据此提出了股票价格的“诺亚效应” ( n o a he f f e c t ) 和“约瑟效应”( t o s e p he f f e c t ) 。所谓“诺距效应”是指股票价格偶尔会发 生不连续，突发性的大跳跃，并且在一个大跳跃后面常跟着一个大跳跃，在一个小跳跃 后面常跟着一个小跳跃，这就是后来在金融学中常说的波动聚集( v o l a t i l i t yc l u s t e r ) 现象， 常常导致股票收益的分布出现尖峰肥尾的现象，而不是有效市场假说的正态分布。“约 瑟效应”是指股票价格存在长期持续与非周期的循环现象，这导致收益存在长期相关性。 越来越多的研究表明，金融价格时间序列存在着丰富的内在特征和结构，如不同尺度的 时间相关性和自相似特性等，这些都是复杂性的典型特征。这些发现吸引了国内外很多 物理学家、经济学家探索金融市场的运行规律，其中，基于非线性动力学的金融市场演 化机制研究是近年来的热点课题，同时也是复杂性研究的一个重要方向。 国内外研究现状 目前，金融市场的非线性动力学特征研究主要集中在两个方向上：第一是对金融市 场是否存在分形、混沌等非线性特征的检验以及检验方法的研究；第二是建立非线性动 力学模型来描述金融价格的动态演变过程，探询金融市场价格波动行为的是形成机理。 引言 前者是对金融市场的价格是否具有混沌分形特征进行有关的统计检验，这也是当前 股票市场非线性研究的热点。这些检验包括：长期记忆与r s 分析，b d s 检验、l y a p u n o v 指数检验和标度理论等。然而这方面的工作仅贩于给出实际数据检验金融市场是否具有 自相似性、混沌和标度不变性等非线性特征的证据，缺乏对其产生原因的深入分析，因 而无法真正揭示其非线性结构。 后者通过大量的研究发现，产生波动聚集及非周期循环现象的原因是由于多个单元 的相互作用形成的，也就是所谓的“羊群效应”，基于这个思想建立了一些相应的多主 体模型，包括争当少数者博弈模型，渗透模型，旋转模型，以及其它金融市场微观结构 模型。其中以c o n t b o u c h a u d 模型( c b 模型) 1 1 1 、l a x m a r c h e f i 模型( l m 模型) 【2 捌最为著 名。 t h o m a sl u x 与m i c h e l em a r c h e s i 设计了一个随机的多经理人模型。在此模型中， 所有的交易者被分成两群，一群人遵循有效市场假设，认为资产的价格是由其基本值决 定的。所谓基本值是资产未来被期待的利润折成现值所造成的该资产的价值，这一群人 称为基本派( f u n d a m e n t a l i s 0 。另一群人不相信价格有立即恢复为基本值的倾向，他们认 为价格是由价格的倾向，价格的发展图样以及其他交易者的行为所决定的。他们由“技 术面”来判断价格的变化。由于他们考虑别人的行为以致常常会造成群聚( h e r d i n g ) 现象， 这一群人称为“哄传交易者”或“噪声交易者”( n o i s e t r a d e r ) 。哄传交易者又分为乐观 派与悲观派。在这模型中，有趣的动态行为是由个别交易者在不同群之间变换角色促成 的。角色变换是由基本值改变的外在原因及交易者市场操作的内在原因一起造成的。此 模型明确地定义角色切换的机率，这个机率随着时间作改变。角色变换，价格改变以及 基本值改变所假设的细节在此略去。 c b 模型是成功地将渝渗理论用于金融系统建模的一个模型，它提出的羊群效应是 产生肥尾和股市泡沫的主要原因。在该模型中，网络上的每一个点代表一位投资者，每 一步迭代时，以一定的概率使任意两格点之间相连的边成为连通边，连通的格点形成一 个簇。每个簇被看成是意见一致并采取相同投资行为的投资团体，其参与交易的概率为 知，其中买入概率、卖出概率均为a ，处于观望状态的概率为1 一知，交易的量与簇的 基于元胞自动机的股票市场模拟 规模j 成正比，收益率为： a p “肼，+ 一肼，_ 一o 其中，m + 表示规模为j 处于买入状态的簇的个数，表示规模为j 处于卖出状态的 簇的个数，即价格是由供求关系之间的差异所决定的。 上述这些模型的一个共同特点是，摒弃了经典金融研究中简化的典型的理性人假 设，将其建立在投资者是有限理性的基础上，然而这些模型很少着眼于多个体行为互动 以及整体行为在时间和空间上的相互关联。每个经济个体，都处在它们所共同创生的整 体经济模式中，并对该模式进行反应和适应。当个体做出反应，整体模式会变化：当整 体模式变化，个体重新做出反应。这样，经济系统一直处在随时间不断地演化和展现过 程中，而不是达到某种定态或均衡点。而且，经济个体在对整体经济模式的反应中会预 测他们所采取行为的后果，并采取相应的策略行动，这些预测和策略行为会使经济个体 互动和整体模式创生更具有复杂性。 研究目标和主要内容 本文的研究目标是： ( 1 ) 在跟踪国内外股票市场复杂性研究水平基础上，构建基于元胞自动机的股票市 场模型，并对股票市场价格的波动进行描述： ( 2 ) 为股票市场价格预测提供可借鉴的理论模型。 文章主要内容将从以下五个方面阐述：第一章介绍了元胞自动机的基本理论；第二 章叙述了元胞自动机在经济系统研究中的应用；第三章给出股票市场演化机制模型；第 四章对模型所产生的结果进行数值分析，并与香港股票市场的恒生指数进行比较。最后。 在结论部分指出了需要进一步研究的工作。 创新点 c o n t - b o u c h a u d 模型( c b 模型) 、l u x m a r c h e s i 模型( l m 模型) 等，这些模型分别给出 了收益率分布出现尖峰肥尾的可能原因，但是对市场和现实之间的差距依然存在。众所 周知，复杂系统的演化存在许多不确定因素，使得系统的演化过程随机性与模糊性并存。 引言 为了更好的解决这类问题，本文将运用l m 模型的主要思想来建立更加符合真实市场价 格运动特征的股市模型：我们将模糊数学、随机过程这两个数学工具与元胞自动机原理 结合起来，也就是把转移概率应用到元胞自动机的演化规则中，使得演化规则随机化， 把系统演化需要的某些重要参数模糊化来解决问题。这种模型更加符合系统演化的不规 则、不确定的特征。 通过引入技术交易者，本文对模型进行了改进。因为在现实股票市场中，噪声交易 者，基础交易者和技术交易者并存，引入技术交易者更加符合股票市场的现实性，并且 为股票市场微观结构的研究提供了一个崭新的思路。 研究意义 ( 1 ) 从非线性和模糊性角度来分析和研究股票市场，加深人们对股票市场特征和规 律的认识。 ( 2 ) 重新诠释股票市场的投资者的属性，由于投资者对市场复杂性的认识、情绪和 信息形式的不同，其决策过程大相径庭。对这个问题的研究有助于我们理解股票市场价 格的形成过程。 ( 3 ) 将元胞自动机原理与模糊数学、随机过程相结合构造的基于模糊推理的随机元 胞自动机模型，不但可以更好地处理经济系统中不确定问题，而且使元胞自动机更加智 能化。将它应用到股票市场的模拟中，更加符合实际情况。 基于元胞自动机的股票市场模拟 第1 章元胞自动机 当前，有关复杂性或复杂系统的研究方兴未艾，随着对地理系统、生态系统、社会 系统、经济系统以及人脑系统等复杂系统的深入研究，人们发现，其中显现出来的科学 问题的复杂性已经无法从过去以还原论、经验论、及“纯科学”为基础的经典科学中得 到合理的解释。摆在人们面前的问题是，这些系统内部的要素是怎么相互作用而产生复 杂行为的呢? 经典科学的一贯传统是把系统分解成一些简单的单元，而复杂性科学则致 力于研究这些要素是如何相互作用而产生整体的复杂性的 综合集成技术、整体优化技术、计算智能、非线性科学、数理逻辑以及计算机模拟 中的人工生命( a r t i f i c i a lu e c ) 、元胞自动机( c e l l u l a ra u t o m a t a ，简称c a ) 、竞争与合作 ( c o - o p e t i t i o n ) 等方法被认为是复杂性科学研究的基本研究方法。其中，元胞自动机能构 造出一些尽可能简单的模型，同时又能抓住系统演化的本质特征从而体现系统复杂的演 化行为。元胞自动机方法是唯一一个根据复杂系统特点而设计出来的可在计算机上模拟 的一种特殊方法，它的空间是离散的，时间是离散的，系统的状态也是离散的。实际上 元胞自动机是一种离散的动力系统。目前，元胞自动机已被广泛应用于复杂系统的研究 中，成为以离散性为特点描述复杂行为的一种具有广阔发展前景的方法。 1 1 元胞自动机的构成 元胞自动机是本世纪5 0 年代由冯诺依曼( y o n n e 啪a n n l 提出的 4 】。为了模拟生物学 中的自我复制行为并且能在计算机上得以实现，冯诺依曼提出了一个简单的模式，即把 一个长方形平面分成若干个网格，每一个格点表示一个元胞或一个基本单元，其状态赋 值为o 或1 ，对应于网格中的空格和实格，在事先设定的局部规则下，网格中的空格和 实格按一定的规律进行演化，这就是元胞自动机。这一开创性研究在停滞了约1 0 余年 后，1 9 7 0 年j h c o n w a y 编制了一个名为“生命”的游戏程序，通过设定简单的法则， 元胞或基元在网格中就能产生无规则和有规则、稳定和非稳定等无法预测的演化行为。 这种结果使许多计算机科学家产生了兴趣，并最终在这种程序与图灵( a t u r i a g ) 机的等 价性上实现了突破，这两者的等价性的证明表明了“生命”模型能模拟任何一种计算机。 进入年代，元胞自动机的研究有了新的进展。科学家利用这类模型十分简洁地复制 第1 章元胞自动机 出复杂现象演化中出现的吸引子，分岔、自相似性等现象圈。这一研究使元胞自动机成 为把握复杂现象的一个重要方法。 元胞自动机由元胞，元胞的状态空间，元胞邻居及局部演化规则四部分组成 6 1 。简 单地讲，元胞自动机可以视为由一个元胞空问和定义于该空间的变换函数所组成。 ( 1 ) 元胞 元胞又可称为单元或基元，是元胞自动机的最基本的组成部分。元胞分布在离散的 一维、二维或多维欧几里德空间的晶格点上。 ( 2 ) 状态 状态可以是 o ，1 ) 的二进制形式或是p l ，5 2 s 略整数形式的离散集，严格意 义上讲，元胞自动机的元胞只能有一个状态变量。但在实际应用中，往往将其进行了扩 展，使得每个元胞可以拥有多个状态变量。 1 ) 三角形网梅 2 ) 正方形网格 图1 1 二维元胞自动机的两种网格划分 f i g 1 1 t w o t y p eo f g r d d i n g o f t w od i m e n s i o n c e l l u l a r a u t o m a t a ( 3 ) 元胞空间( l a t t i c c ) 元胞所分布在的空间网点集合称为元胞空间。 元胞空间的几何划分：理论上，它可以是任意维数的欧几里德空间的规则划分， 目前研究多集中在一维和二维元胞自动机上。对于一维元抱自动机，元胞空间的划分只 有一种。而高维的元胞自动机，元胞空间的划分则可能有多种形式。对于最为常见的二 基于元胞包动机的股票市场模拟 维元胞自动机，二维元胞空间通常可按三角形网格排列和正方形网格排列等( 如图1 1 所 示1 。 这三种规则的元胞空间划分在构模时各有优缺点： 三角网格的优点是拥有相对较少的邻居数目，这在某些时候很有用；其缺点是在计 算机的表达与显示上不方便，需要转换为四方网格。 四方网格的优点是直观而简单，而且特别适合于在现有计算机环境下进行表达和显 示；其缺点是不能较好地模拟各向同性的现象。 边界条件：理论上，元胞空间通常在各维向上是无限延展的，这有利于在理论 上的推理和研究。但是在实际应用过程中，我们无法在计算机上实现这一理想条件，因 此，我们需要定义不同的边界条件。归纳起来，边界条件主要有三种类型：周期型、反 射型和定值型。有时，在应用中，为更加客观、自然地模拟实际现象，还有可能采用随 机型，即在边界实时产生随机值。 周期型( p e r i o d i cb o 岫d a r ) ，) 是指相对边界连接起来的元胞空间。对于一维情形，元胞 空间表现为一个首尾相接的“圈”对于二维情形，上下相接，左右相接，形成一个拓 扑圆环面f l o r a s ) ，形似车胎或甜点圈。周期型边界空间与无限空间最为接近，因而在理 论探讨时，通常采用此类边界。 反射型( r e f l e c t i v eb o u n d a r y ) 指在边界外邻居的元胞状态是以边界为轴的镜面反射。 例如在一维空间中，当r = l 时的边界情形： 图1 2r = 1 时反射型边界 f 喀1 2 b o u n d a r y a f r e f l c c t i o n w h e n r = l 定值i f 0 ( c o n s t a n tb o u n d a r y ) 指所有边界外元胞均取某一固定常量，如0 ，1 等。 需要指出的是，这三种边界类型在实际应用中，尤其是二维或更高维数的构模时。 第1 章元胞自动机 可以相互结合。如在二维空间中，上下边界采用反射型，左右边界可采用周期型。 构形：构形是在某个时刻，在元胞空间上所有元胞状态的空间分布组合。通常。 在数学上，它可以表示为一个多维的整数矩阵。 ( 邻居( n e i g h b o r ) 在维元胞自动机中，通常以半径，来确定邻居，距离一个元胞，内的所有元胞均 被认为是该元胞的邻居。二维元胞自动机的邻居定义较为复杂，我们以最常用的正方形 网格划分为例，常见的有冯诺依曼( v o n n e u m a n n ) 型，摩尔( m o o r e ) 型两种，参见图1 3 ， 1 4 。其中黑色元胞为中心元胞，灰色元胞为其邻居。 田髑 1 ) v o n n e u m a n n 2 ) m o o f e 图1 3 ，= 1 元胞自动机的邻居模型 f i g 1 3t h et y p i c a ln e i g h b o rs q u a r e sw h e n ，# 1 田圈 1 ) v o n n e u m a n n2 ) m o o r e 图1 4r = 2 时元胞自动机的邻居模型 f i g 1 4t h et y p i c a ln e i g h b o rs q u a r e sw h e nr = 2 ( 5 ) 规则( r u l e ) 规则就是根据元胞当前状态及其邻居状况确定下一时刻该元胞状态的动力学函数， 基于元胞自动机的股票市场模拟 简单讲，就是一个状态转移函数。我们将一个元胞的所有可能状态连同负责该元胞的状 态变换的规则一起称为一个变换函数。这个函数构造了一种简单的、离散的空间时间的 局部物理成分。要修改的范围里采用这个局部物理成分对其结构的元胞重复修改。这样， 尽管物理结构的本身每次都不发展，但是状态在变化。它可以记为，：s “= f ( s i ，力， 为t 时刻的邻居状态组合，我们称，为元胞自动机的局部映射或局部规则。 ( 6 ) 时间( t i m e ) 元胞自动机是一个动态系统，它在时间维上的变化是离散的，即时间t 是一个整数 值，而且连续等间距。假设时间间距d t = 1 ，若t = 0 为初始时刻，那么t = 1 为其下一 时刻。在上述转换函数中，一个元胞在t + 1 时刻的状态直接决定于t 时刻该元胞及其邻 居元胞的状态，虽然，在t 一1 时刻元胞及其邻居元胞的状态间接( 时间上的滞后) 影响了 元胞在t + 1 的时刻的状态。 1 2 元胞自动机的一般特征 ( 1 ) 元胞自动机的高度离散性。元胞自动机是一种时间和空间都离散化的数学模型， 其元胞的状态变量都是分离的。这些元胞具有有限的状态并且排列成一个有规则的晶格 结构。这一特性极大地简化了计算和处理的过程，但在总体上仍然很好地表现了宏观的 物理过程。元胞自动机是直接从物理系统中建立起来的离散模型，不同于一般计算机离 散数值方法。 ( 2 ) 元胞自动机状态演化的同步性。元胞自动机每一个元胞的状态以统一确定的规 则演化，在宏观上是同步的。从微观上，通常我们是在通用计算机上对整个元胞自动机 的元胞逐个进行模拟计算，但当我们考虑它的具体计算过程时，可以发现，元胞自动机 的计算具有空间和时间上的一致性，在宏观上其状态演化是同步的。 ( 3 ) 元胞自动机元胞相互作用的局部性。元胞自动机元胞的状态根据一个局域作用 规则而被更新，具体地讲，在( f + 1 ) 时刻的元胞状态根据t 时刻它自己的状态和t 时刻它 邻居元胞的状态而改变。因此，元胞自动机的演化规则是局部的，而其动力学演化行为 是全局的。 第1 章元胞自动机 1 3 初等元胞自动机 元胞自动机通过模拟简单的微观机制就能产生相关的宏观整体上的复杂行为。下面 就来介绍初等元胞自动机。 初等元胞自动机( e l e m e n t a r yc e l l u l a ra u t o m a t a ，简称e c a ) 是状态集s 只有两个元素 s 1 ， ，即状态个数k = 2 ，邻居半径r = 1 的一维元胞自动机，它是最简单的元胞自动 机模型。由于在s 中具体采用什么符号并不重要，它可取 0 ，1 ) ， - 1 ，1 ， 黑，白) 等， 通常我们将其记为 0 ，1 。此时，局部映射( 规则班妒一s 为： s l “一f ( s l _ l t , s l t s + l )( 1 1 ) 其中有三个变量，每个变量取两个状态值，那么就有2 3 = 8 种组合。一旦给出这八 种组合上的值，就完全确定了。例如以下映射便是其中的一个规则： 表2 1 演化规则 t a b l e 2 1e v o l v e m e n tr u l e 通常这种规则也可表示为以下图形方式( 黑色方块代表1 ，灰色方块代表o ) ： 图1 5 演化规则 f i g 1 5e v o l v e m e n t r u l e 基于元胞自动机的股票市场模拟 这样，对于任何一个一维的0 ，1 序列，应用以上规则，可以产生下一时刻的相应 序列。以下序列就是应用以上规则产生的： 如 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 l o f + 1 ：1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 在以上三个变量的八种可能组合上，可以产生2 s = 2 5 6 种规则，它对应于2 5 6 种初 等元胞自动机。 1 4 随机元胞自动机与蒙特卡罗方法 在元胞状态和邻居构形确定的条件下，元胞的状态变化或动作并不是确定的，而是 受一定的概率控制。这种具有随机型规则的元胞自动机模型常被称为随机型元胞自动机 ( s t o c h a s t i c c d l u l a r a u t o m a t a ) ，而与其相对的模型被称为确定型元胞自动机( d e t e r m i n i s t i c c e l l u l a r a u t o m a t a ) 。实践证明，这种具有随机型规则的元胞自动机往往可以使得模型模 拟结果更加真实，符合不规则，不确定的特征。 随机规则都是基于概率的随机过程。为了模拟这样的随机过程，随机元胞自动机模 型中应用了蒙特卡罗方法。 蒙特卡罗方法也称为统计试验模拟法。它是运用一系列的随机数来表达一项概率分 配的模拟方法。它是一类通过有关的随机变量或随机过程的随机抽样，来求解复杂随机 现象的方法。基本思想为：为使复杂的随机系统行为能以定量的方式描述，求解确定的 数学问题，要人为地构造一个与原来系统相对应的但没有直接关系的概率过程系统，利 用此系统产生大量的随机统计现象来描述、模拟真实系统行为和规律。 设定某一事件的可能结果为e ： e 1 ，e 2 ，岛) ，各自的发生概率分别为尸： p l ， p 2 ，内，。根据事件各自的概率值大小，将其分别映射到r ： ，l ， 2 ， 区间 上。区间长度与概率大小呈线性正比关系，然后在该区间内任意产生一个随机数x ，若 工e r i ，则认为事件句发生了一次。 例如某事件存在三种可能e l ，e 2 ，旬结果，各自发生概率分别为p l = 0 2 ，p 2 - - - - 0 5 ， p 3 = 0 3 ，将其分别映射到0 1 9 ，2 0 。6 9 ，7 0 9 9 区间上，在0 9 9 区间内随机产生一个随 第1 章元胞自动机 机数z ，若工t1 2 ，则认为事件e l 发生了一次；若z = 4 6 ，则认为事件e 2 发生了一次； 若x = 8 6 ，则认为事件e 3 发生了一次。 1 5 元胞自动机与马尔可夫过程 马尔可夫过程( m a r k o vp r o c e s s ) 是一个典型的随机过程。设是一个随机过程，当 过程在时刻t o 所处的状态为已知时，时刻t ( t t o ) 所处的状态与过程在t o 时刻之前的状 态无关，这个特性称为无后效性。无后效性的随机过程称为马尔可夫过程。马尔可夫过 程中的时间和状态既可以是连续的，又可以是离散的，我们称时间离散、状态离散的马 尔可夫过程为马尔可夫链。马尔可夫链中，各个时刻的状态的转变由一个状态的转移的 概率矩阵控制。 马尔可夫链与元胞自动机都是时间离散、状态离散的动力学模型，二者在概念上有 一定的相通性。尤其是对于随机型的元胞自动机来讲，每个元胞的行为可以视为一个不 仅时间上无后效性，而且在空间上无后效的马尔可夫链。 但是，即使是随机型的元胞自动机也与马尔可夫链存在相当大的差别。首先，马尔 可夫链没有空间概念，只有一个状态变量，而元胞自动机的状态量则是与空间位置概念 紧密相关；其次，马尔可夫链中的状态转移概率往往是预先设定好的，而随机元胞自动 机中的元胞状态转移概率则是由当前元胞的邻居构型所决定的。 基于元胞自动机的股票市场模拟 第2 章元胞自动机在经济系统研究中的应用 复杂系统一般所具有的组成要素的系统性、状态的不确定性和组成要素状态随时间 演化的相互依赖性等基本特征与经济学的复杂行为极为相似。可见，经济系统具有复杂 系统的特性。因而，描述复杂系统的元胞自动机方法通常被应用于经济学的研究之中， 构成非线性经济学的组成部分。 2 1 在寡头垄断行为中的应用 2 0 世纪7 0 年代，在c o u r n o t 、b e t r a n d 、e d g e w o r t h 关于寡头垄断经济模型研究的基 础上川，c y e r t 和d e c j i = o o t 提出了适合于寡头垄断行为研究的新的经济模型【8 】。仿照一维 元胞自动机的分布特征，并在周期边界条件限定下，他们把固定数目的公司看作是沿环 形分布的格点。顾客对称地分布在公司周围，他们根据两个公司公布的价格来决定它们 从哪个邻近的公司购买商品。假定顾客有同样的偏好，由于顾客是对称分布的，所以， 每个公司面临相同的竞争环境。 在完全短期行为的公司中，每个公司要使它的利润最大化，它们的价格决策最终只 依赖于它的邻居公司所提出的价格，他们和邻居公司一起分享各自的市场。在这里假设 处于奇数位置的公司在第奇数个周期里调整它们的价格，处于偶数位置的公司在第偶数 个周期里调整它们的价格。在这一模型中，时间和公司的定价都是离散的，假设p f f 是 在时刻t 第i 个公司的价格，公司下一时刻的价格矽1 依赖于该时刻相邻公司的定价， 即： c ”1 一f ( p f - 1 ，p )( 2 1 ) 同理可以推出该公司在下一时刻的价格为： 耳“- f ( f ( p m ，f ) ，僻，p m ) )( 2 2 ) c y e r t 和d e g r o o t 的垄断竞争模型是元胞自动机的早期应用，其设计的一维元胞自 动机模型对当时的垄断竞争行为研究有一定的借鉴意义：同时对元胞自动机自身应用的 发展也起到了重要作用。他们设计了一种特殊的维元胞自动机演化方式，因为它规定 第2 章元胞自动机在经济研究中的应用 在奇数个时间周期里，处于偶数位置的公司的价格保持不变，在偶数个时间周期里处于 奇数位置的公司的价格保持不变。可以认为这是对元胞自动机同步性的一种扩展。但是 从现实的角度来考虑这个模型，便会发现其所设的元胞空间跟实际情况有很大的差距， 因为在现实生活中，每个垄断公司的分布是平面型的，这时可以考虑用二维元胞自动机。 另外，在制定演化规则的同时，此模型没有考虑环境变量的影响，比如宏观的经济政策 所施加的影响。 2 2 在市场营销中的应用 市场中消费者的购买行为往往受到其他消费者的影响，当消费者是否购买某一商品 的决策受已购买同一类商品的周围邻居的人数影响时，那么，就存在连带外部效应 ( n e t w o r k e x t e r n a l i t y ) 。连带外部效应可以是正的，也可以是负的。如果一名消费者的商 品需求量随着其他消费者购买数量的增加而增加，那么就存在着一个连带外部正效应， 反之是负效应。连带外部正效应的例子之一是攀比效应。它是一种最求时尚的愿望，即 消费者认为购买该商品的人数越多，他( 她) 购买的可能性就越大。 陈荣1 9 1 等人运用元胞自动机模拟方法，研究存在连带外部效应市场的动力学演化行 为。模型中假定市场被划分为一组正方形的网格，每个格点代表一群消费者，表示为元 胞自动机的一个元胞。状态为0 的元胞表示未使用过该产品的潜在的消费者；状态为2 的元胞表示正在使用该产品，而且在一定时问内会对周围的用户产生好的影响的消费 者，由于存在攀比效应，这类消费者在一个局部中越多，对周围用户的影响也越大；状 态为1 的元胞表示己使用过该产品，且对其他用户的影响力已经消失的消费者，经过一 定时间以后，又会成为新一论潜在的消费者。 假定每个元胞当前时刻的决策只受周围元胞在上一时刻状态的影响。影响规则为： ( 1 ) 当前元胞状态为0 且周围有状态为2 的元胞时，元胞以一定的概率转入状态2 。 而且周围状态为2 的元胞越多，其概率越大； ( 2 ) 当前元胞状态为2 时且进入状态2 的时间达到一个限定值后。元胞状态以一定 概率转入状态1 l ( 3 ) 当前元胞状态为1 时且进入状态1 的时间达到一定限定值后，以某个概率转入 基于元胞自动机的股票市场模拟 状态0 。 元胞自动机在市场营销中应用的意义在于它把确定型的元胞自动机应用推广到了 随机型元胞自动机的应用，这样更加符合实际情况。但是只考虑了单一的横向影响因素。 对宏观因素的影响并没有考虑。此外，消费者层次和消费观念，即元胞自身属性的影响 也没有得到考虑。 2 3 在股票市场中的应用 元胞自动机在股票市场中的应用通常表现为无约束股票市场建模和有约束市场建 模。所谓无约束的股票市场模型，是指假设在股市流通的资金总量和股票总量都是无限 的。魏一鸣、应尚军、范英、汪秉宏利用二维元胞自动机系统地研究了该假设下的股票 市场。为了简单，我们称该模型为w y f w 模型 1 0 , 1 1 l 。w y f w 模型的出发点是认为投资 者心理是市场演化最重要的动因。尽管影响市场行为的投资者心理是多种多样的，但 w y f w 模型中只考虑了从众心理，也就是所谓的“羊群效应”。通俗地讲，从众心理 就是看到周围人做什么，自己也就跟着做。该模型认为在现实股票市场中，投资者之间 具有相对的独立性，他们按自己所掌握的信息进行投资分析，并做出相应的投资决策： 同时，每个投资者之间又有着很强的相互依赖的行为，也就是“羊群心理”或“羊群效 应”。如果投资者的独立性多些，整个市场的行为则比较稳定，如果投资者的相互依赖 行为或者说从众行为多些，则会引起投资者莫名其妙地跟风买进或卖出，就会引起整个 市场的大幅波动。 在w y f w 模型中，将股票市场看作是一个二维的元胞自动机，每个股票投资者看 作是一个元胞，随机地分布在二维空间网格上。邻居的形式是典型的m o o r e 型；元胞的 状态变量为股票投资者的投资行为s ( f ) ，表示第f 行j 列元胞在时刻t 的投资行为， 投资行为的状态空间包括股票的买入( _ 1 ) ，股票的卖出( + 1 ) 和股票的持有( o ) ，即： s = - 1 ，0 ，+ 1 ) 在w y f w 模型中，投资者下一时刻的状态仅由其8 个邻居的投资行为和自身的从 众心理的影响。记t 时刻投资者o ，d 周围邻居中出现最多的状态为彳f ， ，那么t + 1 时 刻( f ，d 的状态审表所示的转换概率矩阵决定。其中从众概率p f o ，1 】，刻画投资者的 第2 章元胞自动机在经济研究中的应用 决策在多大程度上会受周围大多数人的影响，可以用来度量系统从众心理的强度。具体 算法如下： 表2 1w y f w 模型中投资者“，d 的状态转移矩阵 t a b l e 2 1e v o l u t i o nr u l eo fw y f w 但是，现实的股票市场是有各种约束的，有资金量和股票持有量的约束，也有成交 时的竞价约束，而且，投资者的投资策略除了模仿或者从众等非理性行为外，还有来自 基本面分析和技术面分析的理性行为，有必要按照投资分析的方法建立包含理性投资策 略的股票市场c a 演化模型。因此，应尚军等人又建立了基于投资分析的股票市场元胞 自动机模型。演化规则既考虑股票投资者之间的相互影响，又考虑股票投资者自身对股 票买卖的分析能力，包括基础分析和技术分析，每个股票投资者的偏好以及宏观政策等 主要影响因素，其具体规则可用下式表示： 影“- ， ，s 乏。，；固 ( 2 3 ) 既一o 二( 1 ) ，s n t 扣) ) j d i d 2 d ，；f - 0 工2 ， ( 2 4 ) ( 2 5 ) 其中，d 1 ，c 1 2 ，d 3 为单个元胞的三个方面的状态、单个股票投资者对股票买卖的分 析能力和股票投资者的投资偏好，影“表示空间中位置为r 的元胞在t + 1 时刻的状态， 霹表示空间中位置为，的元胞在t 时刻的状态，向量s ) 表示位置为，的元胞其邻域三 在t 时刻的状态，尺表示相同关联因素，即每个股票投资者面临的宏观政策因素，f 表 示元胞自动机的演化规则，它应该是一个随即函数，即反映每个股票投资者以一定的概 基于元胞自动机的股票市场模拟 率买入或卖出。 以上模型对于元胞自动机股票市场模型的研究是具有启发性和借鉴意义的，它通过 简单的直观规则抓住了一些真实市场的特征。但是这种元胞自动机的模型其演化机制没 有考虑到真实市场中不确定的因素，对投资者的分类也过于粗糙，作者也没有检验模型 是否能够与部分真实市场统计性质吻合，使得模型的可信度打了折扣。 第3 章基于元胞自动机的股票市场模型 第3 章基于元胞自动机的股票市场模型 3 1 有效市场假说 “有效市场假说( e m h ) ”起源2 0 世纪初。这个假说的奠基人是一位名叫路易斯巴 舍利耶的法国数学家，他把统计分析的方法应用于股票收益率的分析，发现其波动的数 学期望值总是为零。 1 9 6 4 年奥斯本提出了“随机漫步理论”，他认为股票价格的变化类似于化学中的分 子“布朗运动”( 悬浮在液体或气体中的微粒所做的永不休止的、无秩序的运动) ，具有 “随机漫步”的特点，也就是说，它变动的路径是不可预期的。1 9 7 0 年法玛也认为，股 票价