（概率论与数理统计专业论文）固定设计下一类半参数回归模型的渐近性质.pdf

摘要 摘要 半参数回归模型是二十世纪八十年代发展起来的一种重要的统计模型 这种模型既有参数分量，又含有非参数分量，兼顾了参数回归模型和非参数回 归模型的优点，较单纯的参数回归模型或非参数回归模型有更大的适应性， 并具有更强的解释能力 本论文主要研究一类重要的半参数回归模型 玑= z ：卢+ 9 ( q ) + e i ，i = 1 ，2 ，一，n ， 其中甄= ( 如l ，。豳，z 试) ，( d 1 ) ，g ( ) 是未知函数，卢是未知待估参数，e 是随机误差，且目e i = o ，e e = 口2 在许多实际问题中，我们遇到的多为嗣是非随机设计点列，即固定设计 点列的情况因而本论文主要是研究在q 是固定设计情况下，此类半参数回 归模型的大样本性质相合性 与通常采用的两阶段估计方法即非参数权函数法结合最小二乘法不同， 考虑到此模型本身的特性。本文采用最小二乘法结合一般非参数权函数估计 方法，定义了未知待估参数卢和未知函数g ( ) 及误差方差盯2 的估计景良，如( ) 和醒其估计方法的基本思路是先基于线性模型聃= z 猡+ e i ，定义未知待估参 数卢的估计即此线性模型的最小二乘估计磊；然后将所得估计良代入原半 参数回归模型中，用一般的非参数权函数方法定义未知函数g ( ) 的估计如( ) ； 最后定义误差方差一2 的估计砩 为讨论简单计，本文主要讨论模型在d = 1 时即一维的情况下的相合性 北京工业大学理学硕士学位论文 同时指出多维情况可由一维情况平行的得到推广，从而得到该类模型在固定 设计下的相合性这一重要的大样本性质 本论文在q 是固定设计的情况下，假定未知函数9 ( ) 连续，对非参数权 函数的条件更为一般和基本，并对随机误差e 的矩的要求有限，讨论并证明 了在这些条件下，卢，9 ( - ) 的估计量良，如( - ) 及误差方差a 2 的估计量磅相合 性和p ( 2 ) 阶平均相合性 关键词：半参数回归模型，非参数估计，最小二乘估计，强相合性，p ( 2 ) 阶平均相合性 i i a b s t r a c t a b s t r a c t a s e m i p a r a m e t r i cr e g r e 8 s i o nm o d e lh a sb e e na ni m p o r t a n t8 t a t i 8 t i c s m o d e ls i n c e1 9 8 0 s t h i sk i n do fm o d e li n c l u d e 8n o to n l yap a r a m e t r i cc o r n d o n e n tb 砒a l s oan o n p a r a m e t r i cc o m p o e n t s o i th a st h ea d 、甚n t a g e so ft h e p a r 锄e t r i cr e g r e s s i o nm o d e l a dt h en o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o n l o d e l i th a s t h em o r ei m p l e m e n t sa n ds t r o n g e re x p l 姐a t i o n st h a nt h ep u r ep a r a m e t r i co r n o n p a r a m e t r i cr e g r e 8 s i o nm o d e l t h i sp a p e rc o n s i d e r sa ni m p o r t a n t8 e m i p a r 锄e t r i cr e 酎船s i o nm o d e l 口i = 嚣：卢十9 ( z i ) + e i ， i = l ，2 ，礼 w h e r ez l = ( z n ，z 2 ，嚣“y ，( d 1 ) ，9 ( ) b a nu n k n o w nf = i m c 乞i o ，芦i sa u n k o w np a r a m e t e rt ob ee s t i m a t e d e a r ei i d r a n d o me r r o r sw i t he e = 0 a n d f e ；= 盯2 o o i m a i l yp r a c t i c a lp r o b l e i i l s ，孔u s u a l l y a r es o m en o n r a n d o md e 8 i g n p o i n t s ，t h a ti s ，a x e dd e s i g np o i n t 8 s o ，t h ep u r p o s e o ft h i sp a p e rc o n c e n t r a t e s o nt h es e m i p a r a r n e t r i cr e g r e 韶i o nm o d e l sl a r g e8 a m p l ep r o p e r t y 吒o n s i t e n c y w h e nz ta r et h e 丘x e dd e s i g np o i n t s u n h k et h en o m a l 廿o8 t a g e 8 髓t i i n a t em e t h o d ( t h e u 8 u a ln o n p a r a m e t r i c 、e i g h t e dm e t h o d c o m b i n e dw n h t h e1 e a s ts q u 村ee s t i m a t e ) ，c o 璐i d e r i n g t h e c h a r a c t e r i s t i c so ft h i sm o d e l ，t h i sp a p e r1 1 8 e st h el e a s ts q u a r ee s t i m a t e c o m b i n - i n gw i t ht h eu s u a ln o n p a r a m e t r i cw e i g h t e dm e t h o d a n dd e 最n e st h ee s t i m a t o r 8 良，如( ) a n d 磅f o r t h eu n k n o w np a r a m e t e r 卢，t h eu n k o w nf u c t i o n 雪( ) a n dt h e u n k n o w nv a r i a n c eo fe r r o r s 盯2 1 1 t 北京工业大学理学硕士学位论文 t h eb a s i cm e ao ft h ee s t h a t em e t h o di s ，如s t l y ，b a s e do nt h el i n e 壮 m o d e l 玑= z + e i ，d e 丘n i n gt h el e a s ts q u a r ee s t i m a t o r 臃o f t h el i n e a rm o d e l f o rt h eu n k o w np a r 锄e t r i c 卢；s e c o n d l y u s i n g 恤ee 8 t i m a t o r 风w e v eg o tt o s u b s t i t u t ef o r 卢i nt h eo r i g i n a ls e m i p a r a m e t r i cr e g r e 鹃i o nm o d e l 弘= z 猡+ 9 ( 甄) + e ta n du s i n gt h eu s u a ln o n p a r a m e t r i cw e i g h t e df u n c t i o nm e t h o dt o d e 6 n et h ee s t i m a t o r 甄( ) f o rt h eu n k n o w nf u n c t i o ng ( ) ；矗n 以l y ，d e 丘n i n gt h e e s t i m a t o r 畿f o r t h eu n k n o w nv a r i a n c eo fe r r o r 8 盯2 f b rs i m p l i c i t y ，t h ：i sp a p e rf o c u 8 e so nt h ec o n s i s t e n c yo ft h em o d e li n o n ed i m e n 8 i o nc a s e ，t h a ti sd = 1 t h i s p a p e ra 1 8 0p o i n t so u tt h ec o n s i s t e n c y t h a tc a nb eg e n e r a l i z e dm o r et h a no n ed i m e n s i o n s o ，w ea c h i e v et h e1 a r g e s a m p l ep r o p e r t y c o n s i s t e n c yo ft h i sc l 鹅so f i n o d e lo nt h ef i x e dd e s i g n i nt h b p a p e r ，f o r 丑】【e dd e s i g i lp o i n t 8 孔，衄d e rt h ea 鼹u m p t i o nt h a tt h e u k n o w n m c t i o n 口i sc o n t i n u o u 8f h n c t i o na n dt h em o m e n to fr a n d o me r r o r 捌s t sa n di s 丘n i t y w ed i s c u 鹳a n ds h o wt h a tt h ee s t i m a t o r s 反，蟊a n d 锑f o r 卢，9 a n d 仃2h a v es t r o n gc o n s i s t e n c y pt h - m e a nc o n 8 i 8 t e n c yf o rm o r eg 髓e r a l n o n p a r a m e t r i cw e i g h t e df u c t i o n k e yw o r d s ：s e m i p a r 螂e t r i cr e g r e i o nm o d d ，n o n p 壮哪e t r i c 鹊t i m a t i o n l e a s ts q u a r ee s t i n l a t e ，s t r o n gc o n s i 8 t e c y 砧h _ m e a nc o n 8 i s t e n c y 第1 章综述 1 1 前言 第1 章综述 在客观世界中，普遍存在着变量之间的关系变量之间的关系一般来说分 为确定性和不确定性两种确定性关系是指变量之间的关系可用函数关系来 表达变量之间的不确定性关系，称为相关关系在许多实际问题，往往要考 察对象y ( 响应变量) 同影响y 的因素( 解释变量) x 之间的关系若响应 变量y 与解释变量x 之间存在着某种相关关系，即当x 取一定值时，不足 以确定y 的值，但能确定y 的条件分布y 对x 取值的依赖关系，是最广 意义下的回归关系 回归是指在给了一组数据( 。，”- ) ，( z z ，抛) ，( 。，鲰) 之后，希望找到一个 解释变量x 和响应变量y 之间的关系，使有 执= m ( q ) + ，i = 1 ，2 ，- - ，n ， m ( z ) = e ( y l x = 。) 为回归函数，矗为随机误差回归分析就是研究具有相 关关系的变量之间的统计规律性 自f g a l t o n1 8 8 6 年首次提出回归模型以来，在过去的几十年来，该模型 被广泛的应用于工农业、气象、经济管理以及医药卫生等领域同时由于实际 应用的需要。回归模型也在不断发展，其模型从最初的参数回归模型发展到非 参数回归模型，从非参数回归模型又发展到半参数回归模型随着回归分析的 理论研究不断深入，回归分析越来越深刻地应用于实际 回顾回归分析研究的历史，大致在二十世纪七十年代以前，重点在于参数 北京工业大学理学硕士学位论文 回归模型尤其是线性回归模型的研究参数回归模型中，总体的分布形式或分 布族往往是给定的，或者是假定了的，回归函数中除了有限个参数未知以外， 其余都是已知的因而模型容易处理，而且对此研究已有相当长的历史，已形 成一套比较成熟的理论和方法但无论从理论还是应用方法，仍然在不断深 化，向纵深方向发展参数回归模型对回归函数常常有基本假设，提供了大量 的额外信息，这些信息通常由经验和历史资料提供因而当假设模型成立时， 其推断有较高精度然而，在实际生活中，对总体的分布的假设并不是随便作 出的有时，数据并不是来自所假定分布的总体；或者数据根本不是来自一个 总体；还有可能，数据因为种种原西被严重污染这样，当参数假定与实际相 背离f 盼情况下，用参数回归模型进行推断，拟合情况很差，甚至会引起无法预 料的错误这种情况促使人们寻求一种不假定总体的分布，尽量从数据本身 获取所需信息的道路 二十世纪七十年代以来，非参数回归日渐兴起非参数回归模型的特点是 回归函数的形式可以任意，解释变量x 和响应变量y 的分布的限制很少，因 而有较大适应性自s t o n e 1 】于1 9 7 7 年提出非参数回归估计的权函数估计方 法后，s t o n e 的方法引起广泛的重视近几十年来，权函数方法如近邻估计、 核估计、局部多项式估计等等方法不断发展完善，非参数回归的理论和应用取 得了较大的进展但在非参数回归模型中，各个解释变量对响应变量的作用的 差别往往被忽略这在实际问题中对此未提供任何信息时，是不可避免的；但 若有根据( 经验或历史资料等) 认为某些解释变量对响应变量y 的影响较显 著时，使用非参数回归模型则没有充分利用已知的信息，会明显降低模型的解 第1 章综述 释能力 在研究气候条件对电力需求的影响这一实际问题中，为充分利用已知的信 息，以弥补非参数回归模型的不足和发挥参数回归模型的优点，r i c e ( 1 9 8 2 ) ，e n g l e 等( 1 9 8 6 ) 提出了半参数回归模型( 文献中亦称偏线性回归模型，混合回归模 型，部分线性模型等等) 将回归函数分解成参数和非参数结构，。半参数”的 含义体现的更为清楚和最富现实意义 半参数回归模型是二十世纪八十年代发展起来的统计模型此模型介于 参数回归模型和非参数回归模型之间可以设想，在不少实际问题中，它可 能是一个更接近于真实，更能充分利用数据中提供信息的提法在理论上，处 理这种模型的方法融合了参数回归中习用的方法和较近发展起来的非参数方 法但也并非这两类方法的简单叠加总的看，可以认为其复杂性和难度，都 超过了单一性质的回归模型在应用上中，模型较单纯的参数模型或非参数模 型有更大的适应性因而可以说，它实在是一个在实用上有重要意义且在理论 上富有挑战性的领域 应指出的是，参数回归模型，非参数回归模型和半参数回归模型这三种类 型各有其适应范围离开各自的适应范围就无法评价这些模型的优劣因而 这些模型在其适用范围内都是十分有用的它们理论和方法都在不断发展之 中本论文主要讨论一类半参数回归模型，我们先来了解半参数回归模型的研 究状况和应用情况 1 2 半参数回归模型的研究简况 在不少实际问题中，妥考察对象y ( 响应变量) 同影响y 的因素( 解释 3 北京工业大学理学硕士学位论文 变量) 之间的关系我们知道传统的线性模型当假设模型成立时，其推断有较 高的精度但当参数假定与实际背离时，其拟合情况就很差但若用非参数模 型去处理的话，则有可能会丢失由经验或历史资料得到的信息为充分利用数 据中提供的信息，因而采用两者的混合，即采用半参数回归模型 半参数回归模型发展至今，在解决实际问题中，实际工作者和学者们提出 了许多类型的半参数回归模型下面，主要介绍两类重要的半参数回归模型 这两类模型都有其实际的意义 若影响y 的因粼解释变量) 可分为两个部分，即z l ，。2 ，唧及t 1 ，t 2 ，t g 0 + 口= ) 根据经验或历史资料可以认为因素凯，z 2 ，唧是主要的，而且 y 与钆。2 ，却是线性的；而t l ，t 2 ，t g 则是某种干扰因素( 或者看作是协 变量) ，它同y 的关系是完全未知的，而且没有理由将其归入误差项采用半 参数回归模型 弘= z ：卢+ 9 ( 氐) + e ， = 1 ，2 ，n ，( j ) 其中丑= ( 以l ，z 协，z 村) ，卢= ( 卢l ，岛，角) 7 ，( d 1 ) ( 8 ，t i ) 是 试随机设 计或匿定非随机设计点列，龟是i i d 随机误差，且眈= o ，眈= 矿 c n ) = d ( 厶) ； 其中c f l 和矗满足 l i m s u p n c ：l o g n o 得到如下主要结果： 定理( i ) 若条件1 3 成立，那么当n _ 时有 、，伍( 良一p ) 二( o ，口2 一1 ) ( i i ) 若条件1 3 成立，且o 以= e e 一一 o 。，那么当n 。时有 何( 醒一a 2 ) 与( o ，蠢) 1 0 第l 章综述 g a o 除了给出上述定理外，还给出了若干估计的最优收敛速度等其具体 结果就不在此给出，可详见文献( 2 8 相比较模型( j ) 的完善研究和发展，半参数回归模型( ) 有很多有意义 的问题值得去研究比如基本问题的研究，相合性问题，寻找较为稳健的估计 问题，删失数据下的估计的渐近性质等等方面 在实际应用中，通过最小二乘法建立普通回归方程这一方法应用的较为 广泛然而用此方法去预测经济现象问题时，误差往往会很大因为被预测的 经济变量y 的变动除了与变量x 线性相关之外，还有循环变动因素时间t 或 其函数9 ( t ) 等的作用2 0 0 1 年，欧阳资生和鄢茵f 2 9 1 就湖南省城镇居民消费支 出这一经济现象，采用半参数回归模型( j ) 的一维情况，建立一种能有效消除 普通回归方程的较大误差的递归的核回归预测模型，并应用在该实际问题 事后用计算机模拟检验，证实该模型有很好的拟合优度和精度 张辉霞和薛留根采用半参数回归模型( j ，) 中的一维情况，针对高考 数学成绩对高等数学成绩的影响，建立了半参数回归模型( 在该文中称为混合 回归模型) g = n + k + 9 ( 。) + e ，此模型从整体上反映高等数学的考试成绩 虽高考数学成绩的变化趋势，反映高等数学的教学效果，并可依据高考数学的 成绩来预测高等数学的考试成绩，评价教师的教学效果，为教学管理部门提供 了分析问题和方法和理论依据经模拟计算验证，此模型具有很好的拟合优度 和精度 半参数回归模型的其它类型在实际当中同样也具有广泛的应用背景，在 理论上专家学者们也做了很多的研究，得到不少的研究成果具体的实际背 北京工业大学理学硕士学位论文 景，本文就不作叙述以下简述一下几类其它类型的半参数回归模型 模型( 盯j ) ： 矾= 卢+ 9 ( t ) + e ，1s i s n ， 其中卢是未知待估参数，伯 ( o “1 ) 是随机或固定的设计点列，9 ( ) 是 定义在r 上的未知函数，e 是i i d 随机误差，且e e i = o ，眈 = 矿 o o 模型( j y ) ： 弘= ，( ，卢) + 孽( 南) + e i ，l l n ， 其中= ( z m ，z “) ，( d 1 ) 是固定设计点列，卢= ( 卢l ，岛) ( g 1 ) 是未 知待估参数，”，t ) 是定义在r d r 口上的已知函数，仇 ( os 如1 ) 是随 机或固定的设计点列，9 ( ) 是定义在r 上的未知函数，e 是i i d 随机误差， 且e e - = o ，四e ? = 口2 。o 模型( y ) ： y ( j ) ( z i n ，t i 。) = 如卢+ 9 ( z 讯) + e o ) 0 讯) ，1 js m ，ls s n ， 其中t 。r d ，r 为已知的设计点列，g 为冗d 中紧子集a 的未知 连续函数，e ( j ) ( z i n ) 为不可测的均值为零的随机误差，y 0 ) ( 。) 为可观察 的随机变量，它们定义在同一个概率空间( q ，ap ) 上 至于这些模型的研究成果，就不作详细介绍了具体见文献【3 0 33 】 1 3 半参数回归模型的发展前景 半参数回归是一个历史不长，尚在发展中的领域目前所取得的成果中， 有一些还不是最终的本颁域的研究主要属大样本性质，所得到的结果也属 一1 2 第l 章综述 大样本结果对于估计的小样本性质的研究很少，这也是半参数回归模型研究 的新课题再则对大样本统计的一些基本问题，如相合性和渐近正态性目前的 研究已具有一些深度，但有些基本问题还没有解决或最后解决由于半参数回 归模型的复杂结构，可以预料，还有不少困难要克服 半参数回归这一模型兼顾了参数回归和非参数回归模型的优点，模型具 有较强的解释能力因而在实际中有着更为广阔的实用背景深信随着半参数 回归模型在理论和方法上的日益成熟，对经济、医药、工农业生产等方向将起 着更重要的促进作用 一1 3 北京工业大学理学硕士学位论文 第2 章本论文的研究目标和估计方法 2 1 研究目标 正如上章所述，目前对半参数回归模型( j ，) 的研究所见到的结果还不多 对于基本研究问题相合性的研究结果则更少本文在适当条件下，研究了半 参数回归模型( 盯) 在固定设计下的相合性 本文要求戤是固定设计点列情况下，甄这一前提，减弱了g a 0 【1 6 2 8 】 要求以d 8 ，d 8 是剧上的紧集这一在实际情况下要求较强的条件同时 本文减弱了g a 0 2 8 】中对于未知函数9 的满足一阶工咖8 c 切条件，并降低了 对非参数权函数的要求，尤其是去掉对权函数要满足一阶l 枷c i 拓条件这一 要求本文假设未知函数g 连续，对非参数权函数的要求更为一般和基本，添 加了对随机误差目的矩的要求，得到卢，9 及一2 的估计量良，如，醒的强相合 性和p ( p 2 ) 阶平均相合性所得结论虽较弱，但是在现有文献尚未见到， 因而有其意义加之，在实际问题中，我们遇到的多为固定设计点列，更有其 研究的必要 本文主要考虑半参数回归模型 弘= z ：卢+ g ( 观) + 氐， = 1 ，2 ，n ，( j f ) 其中跏= ( 研l ，z 1 2 i ，z i d ) 是固定设计点列，且以r d 卢= ( 卢1 ，岛，风) ，( d 1 ) e t 是i i d 随机误差，且e q = o ，e e = 盯2 o 。，g ( ) 是定义在d 4 上的未知 函数，d 4 是上一紧集卢是未知待估参数考虑鼠9 的估计量良，如及 误差方差a 2 的估计量磅，在适当条件下它们的强相合性和p ( 2 ) 阶平均相合 1 4 第2 章本论文的研究目标和估计方法 性 2 2 估计方法 对于半参数回归模型( j ) 的估计方法通常是采用两阶段估计方法其步骤 大致如下：第一步先设回归参数卢已知，然后使用标准的非参数回归方法， 基于玑一z = 9 ( t ) + e ，l sn ，去估计未知函数9 ，并记所得估计为 如( ，卢) ；第二步再将所得估计口。( t ，卢) 代替原未知函数g ，使用最小二乘法寻 找回归函数卢的下述极小问题的解： 壹( 弧一。：卢一如( 屯，卢) ) 2 ：。i 。! ( 弧一。：卢一如( 屯，卢) ) = m i n ! 从而得到卢的估计良和9 的最终估计颤( t ，反) 对于模型( j ) 所得到的结论大致是基于在适当条件下得矩阵；釜霹五收 敛到一正定阵为前提其中磊= q 一w ( 缸) ，矸( t ) = w ( t ；t l ，t 2 ，t 。) 为一般的非参数权函数 对于半参数回归模型( j ) ，柴根象【2 0 】基于此模型的可加性还提出二阶段 估计方法此估计方法目前运用的不多具体做法如下：令a = 点白) ，矗= g ) 一a + e t ， = l ，2 ，n ，则模型( j ) 变为 玑= a + 。：卢+ “，i = l ，2 ，一，n ， 其中l ，e n i i d ，且e s l = o ，o 司= e e = e e + y d r ( 9 ( 噩) ) = 盯2 + 仃 o ，都有恶嚣l 叠t ( ) 川q 一勺l 6 ) i = 。( 1 ) ； 一1 9 北京工业大学理学硕士学位论文 ( 4 盟i 叠( 吲一1 l = 0 ( 1 ) ； ( 5 逻篇1 叠t ( q ) q i a 2 ) ，使得e j e l p o o 且满足条件( a ) ，则 若再满足条件( 6 ) ( c ) ，则 赢马卢 如( z ) - 苎：与9 ( z ) ，vz d( n o o ) a ：旦鸟盯2 ( n _ + ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 定理2 若存在常数p ( p 2 ) ，使得吲e t o 及n 1 ， 均有 p ( 1 “i e ) 2 e 印卜e 2 2 ( y 。r ( m ) + m e ) ) - nn t ；li = l 证明：可参见文献c 3 5 1 引理2当n 充分大时，在条件( 6 ) 和条件( c ) 中( 1 ) ( 3 ) ( 4 ) 满足下，有 球拍勺) 一t ( q ) 9 ( 蜘) 1 2 d ( 1 ) ， a s 证明：记虿( 巧) = g ( q ) 一三w ( q ) g ) ， 对于vj o ，都有 麟) is 鼢i g ( ) j 燧i 量t ( q ) 一1 1 + ，臻i 叠( 巧) 川驴蚓 叭咖扩出m i + 鼢耋( 瑚1 ，臻陋t 呻i 鲫( 9 ( 瑚刊圳 因为g 是闭区间d 上的连续函数，则一致连续且有界并在条件( c ) 中 ( 1 ) ( 3 ) ( 4 ) 满足下，易见 燃圳= 。( 1 ) ， o m ( n _ 。) 引理3当n 充分大时，在条件( c ) 中( 1 ) ( 2 ) 下，有 躜蚤帕咖l = o ( 1 ) ， 0 3 3 3 1 一2 1 北京工业大学理学硕士学位论文 蚤帕咖t i = 蚺一 ( 3 3 z ) 证明：先证( 3 3 1 ) 式对于vq o ，令 e ：= e i j ( qi ) ，e ? = e 一e ：，= 1 ，2 ，n ， 由e = a 2 qi ) ) = o ( ( 1 0 9 n ) _ 1 ) 又记e 。= 矸( q ) ( e ：一日e ：) ，由龟的i i d 可知，i = 1 ，2 ，n 相互 独立，且e e 。产o 在条件( e ) 中( 1 ) ( 2 ) 满足下， 量露( e ；：) 量w 未( 町) 曰| 1 2 l 芝i = i r 。擐。i ( q ) l 麟善f ( 叼)一l i j n l s ，曼n i ：a 。 冬q n 一 ( 1 0 9 n ) _ 。， ，臻l e 讲js 。擐。| 眠( 圳熙1 8 ：一驯 s2 叼n g r i 一 ( 1 0 9 f 1 ) 一1 = c 岛钉f l o g n 】一1 2 2 第3 章主要结果及其证明 由引理l 得，对于ve o ，有 p ( 1 耋e 一e ) 2 e 印 一e 2 【2 ( g - n 一 ( 1 0 9 n ) _ 1 + q ( 1 0 9 n ) _ 1 q e ) 】) 2 e 印 一e 2 晒吓( 1 。gn ) 一1 】) 取o 2 ) ( i q l ) i 冬( k 1 9 ) i = 。7 ( p 2 ) 于是可得 e ( 妻。州e ：。) 2 g ( 1 0 9 n 1 0 9 l o g n ) ，n 一 又由m 口r k o 不等式，当p 2 时， 对于ve o ， 萎p ( 1 壹。州e l 。) s 刍量e ( 壹；繇) 2 mp ( 1 o 州e l e ) s 壶e ( 繇) m t = l = 1。= l i = l 一2 5 北京工业大学理学硕士学位论文 由日0 r e ? 一g 8 n 钯引理 则 于是得到 n o n i 如_ o m _ + o 。) l = l 反马卢m _ + o o ) 故( 3 2 1 ) 式成立 下面证明( 3 2 2 ) 式对于v 善d n s ( n o o ) g ( z ) 一。( z ) = g ( $ ) 一w ，n ( z ) ( 瓠一$ i 风) i = l = g ( g ) 一矸_ i ( 岳) ( 执一。卢一e i + 。i 卢+ e ，一茁卢n ) i = l ：b ( 。) 一曼i 。( z ) 9 ( 乳) 1 + 量w k ( z ) q ( 磊一卢) o t = l 。 t = l 一- ( 岳) 8 i( 3 4 2 ) i = l 皇b 1 + b 2 一b 3 由引理2 可知，在条件( 6 ) 和( c ) 中( 1 ) ( 3 ) ( 4 ) 下，有 由已证得 并在条件( c ) 中( 5 ) 满足下 b l l = d ( 1 ) ( n _ + ) 磊马卢，m _ m ) 一2 6 0_ 秣 。汹 + 风 。沮 | | k 第3 章主要结果及其证明 岛i i 蚤t ( z ) q 1 | 忍一卢l = 。( 1 ) 。s - m _ + o 。) 又由引理3 可知，在条件( c ) 中( 1 ) ( 2 ) 满足下，有 b 3 = o ( 1 ) ，o s ( n - + ) 因此对每一个z d ，当n 充分大时 这就证得了( 3 2 2 ) 式 现证( 3 2 3 ) 式 1 如( 岳) 一9 ( 。) i = o