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分形在艺术设计中的应用 摘要 分形( f r a c t a l ) 是二十世纪出现的隶属非线性领域的一个分支学 科，其主要描述自然界和非线性系统中不光滑和不规则的几何形体。 分形几何学在图象数据压缩、模拟自然景观、艺术图案设计、分形生 长以及混沌动力系统的研究等方面有着广泛的应用，并已出现许多研 究成果。由分形迭代函数系统( i f s ) 的各种算法，依据i f s 码生成了 s i e r p i n s k i 三角形、分形山、分形树、三维树叶等各种分形图。分 形理论已广泛应用于各个领域，如：数学、物理、化学、材料科学、 生物与医学、地质和地理学、地震和天文学以及计算机科学等。分形 艺术是分形理论在实际应用中独具魅力的一枝，可以说是科学与艺术 完美结合的典范。尽管分形艺术已经成为科学界越来越重要和广泛的 讨论话题，但这种讨论囿于技术性质的，并没有引起艺术界足够的重 视，更深层次的也只停留在欣赏和评价阶段，而缺乏对分形艺术创作 原理和思想的深入分析、归纳、整理、总结，更不要说分形艺术设计 理论及其在设计中的应用了。 因此，对分形理论在艺术设计中的应用的研究具有重要的理论意 义，又有广泛的实际应用价值。本文在借鉴前人研究成果的基础上， 首先对分形的发展历史和基本理论有了进一步的了解，概括出分形艺 术是非物质社会条件下诞生的数字化设计中的一类。分形艺术作为视 1 觉艺术，在视觉艺术创造规律、形式法则和审美方法方面与传统艺术 相似或者相同，并且独具特性，即自相似性、缠绕性和嵌套性。其次， 对于分形艺术的绘制软件做了说明，重点对p h o t o s h o p 外挂滤镜 ( f i l t e r ) k p t 5 中的f r a x p l o r e r 滤镜的使用进行了介绍，并给出了 应用这一软件绘制出的一些分形艺术图案。最后，研究了分形艺术在 网络界面设计、装饰艺术设计、广告设计、纺织品设计、虚拟现实设 计等方面的应用。 关键词：分形艺术，科学和艺术，迭代函数，m a n d e l b r o t 集， 自 相似性 a p p l i c a t i o no ff r a c t a li na r td e s i g n a b s t r a c t f r a c t a li san e wb r a n c ho ft h es c i e n c ef o r mt h ea r e ao fn o n l i n e a ri n t h et w e n t yc e n t u r y ，i tc a l ld e s c r i b er o u g h n e s sa n di r r e g u l a rg e o m e t r i c s h a p e si nt h en a t u r eo ri nn o n l i n e a rs y s t e m f r a c t a li sw i d e l yu s e di n m a n yf i e l d ss u c h 笛t h ei m a g ed a t ac o m p r e s s i o n ，s i m u l a t i o no fn a t u r a l s c e n e r y , f r a e t a lg e o m e t r y sg r o w i n ga n dt h er e s e a r c h e ro fc h a o sm o t i l i t y s y s t e ma n ds oo n b a s e do ni f sc o d e sa n dt h ea l g o r i t h mo fi f s ，t h e f r a c t a lp i c t u r e so fs i e r p i n s k i t r i a n g l e ，f i a c t a lm o u n t a i n ，f r a c t a lt r e e ， t h r e e d i m e n s i o n a ll e a v e sa n ds oo na r es i m u l a t e db yv bp r o g r a m m i n g f r a c t a lt h e o r yi se x t e n s i v ea p p l i e dt om a n yf i e l d s ，s u c ha sm a t h e m a t i c s ， p h y s i c s ，c h e m i s t r y , m a t e r i a ls c i e n c e ，b i o l o g ya n dm e d i c i n e ，g e o g r a p h y , e a r t h q u a k ea n da s t r o n o m y , c o m p u t e rs c i e n c ea n ds oo n 。f r a c t a la r ta sa p e r f e c tc o m b i n a t i o no fs c i e n c ea n da r ti s as p e c i a la p p l i c a t i o no ft h e f r a c t a ls y s t e m f r a c t a la r th a sb e e naw i d ea n di m p o r t a n tt o p i c ，b u ti ti s 3 o n l yd i s c u s s e da b o u tt h et e c h n o l o g y s oi tc a nn o ta t t r a c le n o u g ha t t e n t i o n f r o mt h ea r t i s t s ，j u s ts t o pi nt h es t e po fe n j o y m e n ta n de v a l u a t i o na n di s l a c ko fd e e p l ya n a l y s i n g ，s u m m a r i z i n g ，c l a r i f y i n ga n dc o n c l u d i n gt h e t h i n k i n ga n dc r e a t i o nt h e o r yo ff r a c t a la r t ，e v e nm o r et h ef r a e t a la r td e s i g n t h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n i nc o n s e q u e n c e ，t h er e s e a r c ho nf f a c t a lt h e o r yh a sb o t hi m p o r t a n t t h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n de x t e n s i v ea p p l i e dv a l u e t h i sa r t i c l ef i r s t l y w r i t e ss o m e t h i n ga b o u tt h eh i s t o r ya n db a s i ct h e o r y ，a n ds u m m a r i z et h a t f r a c t a la r ti sak i n do fd i g i t a ld e s i g n sb o r ni nn o n s u b s t a n c ew o r l d f r a c t a l a r ta sav i s u a la r ti ss i m i l a r 埘t l lt h et r a d i t i o n a la r ti nc r e a t i o nr u l e s ，f o r m p r i n c i p l e s a n da e s t h e t i cm e t h o d s b u tf r a c t a la r th a si t so w n c h a r a c t e r i s t i c ss u c ha ss e l f - s i m i l a r i t y , e n l a c i n ga n dn e s t i n gf e a t u r e s t h e n t h i sa r t i c l eg i v e s 锄d r a w i n ge x p l a n a t i o no ft h ef r a c t a la r ts o f t w a r e ， e s p e c i a l l yt h eu s i n gm e t h o do ft h ek p t 5f i l t e ri np h o t o s h o pa n ds o m e f r a c t a la r tp a t t e r n sd r a w nb yt h i ss o l 呐v a r e a tl a s tt h i sa r t i c l et e l l ss o m e a p p l i c a t i o n so f f r a e t a la r tu s i n gi nw e bi n t e r f a c e ，d i g i t a lm o v i e ，d e c o r a t i o n a r t , t e x t i l ea n dv i r t u a lr e a l i t yd e s i g n s c h a i q i u x i a s u p e r v i s e db yx v y a f e i k e yw o r d s ：f r a c t a la r ts c i e n c ea n da r ti f sm a n d e l b r o t s e t s s e l f - s i m i l a r i t yf e a t u r e s 4 附件一： 东华大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：我恪守学术道德，崇尚严谨学风所呈交的学位论文，是本人在导师的 指导下，独立进行研究工作所取得的成果除文中已明确注明和引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品及成果的内容。论文为本人亲自撰写。我对 所写的内容负责，并完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：， ；l ；i l 豸致 隗埘舭月2 气日 附件二： 东华大学学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解学校有关保留，使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。允许论文被查阅或借阅本人授权东华大学 可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本版权书。 本学位论文属于 不保密口 学位论文作者签名： 吼叫 隗狮旧梦 分形在艺术设计中的应用 第一章绪论 1 1 本课题研究的背景 在人类社会早期，科学与艺术同时产生，在当时二者是统一为体的，许 多艺术家同时也是科学家。这种统一到文艺复兴时期达到了顶峰。此后，随着 科学和艺术的发展日趋复杂化，导致艺术与科学逐渐分化。这种分化使得各自 的学科畸形发展，使得艺术与科学之间的鸿沟愈来愈大。2 0 世纪以来，由于科 学的迅速发展，在科学理论之中，积累了科学问题的素材，同时科学的视觉化 和艺术的科学化也日趋重要，于是许多科学家呼吁科学和艺术重新综合。然而， 艺术与科学结合之路似乎十分遥远，而且步履艰难，其中一个很重要的原因是 表现手段的问题。以视觉艺术为例，其中绘画表现能力难倒了科学家科学 家多半不会画画，而科学家又很难理解科学和科学家大脑之中的科学形象，而 无法使之视觉化。然而计算机的诞生，特别是微型计算机及其视觉艺术设计应 用软件的普及和大量使用，其展示世界、再现实物的能力，已让技法高超的艺 术家和设计师们相形见绌。同时也给许多对于绘画造型表现能力望而却步的科 学家、科技工作者赋予神来之笔，为科学与艺术结合架起了可以逾越的桥梁。 分形的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特( b b m a n d e l b r o t ) 1 9 7 5 年首 先提出的，作为- 1 7 以非规则几何形状为研究对象，是近= 、三十年才发展起 来的一门新的学科，其主要描述自然界和非线性系统中不光滑和不规则的几何 形体。分形的高度复杂性和精细结构使其具有很大的艺术价值，不但如此，分 形还有许多其他的应用，远不止制作漂亮图片。利用分形算法，可以建立植物、 海岸线、山和其他自然对象的逼真模型；而这些用其他方法来模拟是非常困难 甚至是不可能的。分形提供了一种紧凑而有效地存储复杂对象详细结构的方 法。用少量数据存储某个对象的详细描述能力，使分形成为存储压缩算法的理 想替代者。对分形的深入研究，也促使研究人员去研究相关的领域，像混沌 ( c h a o s ) 即显然是复杂方程的随机行为；以及复杂性( e o m p l e x i 哆) ，即关于 系统实际复杂程度特点的研究。 1 分形在艺术设计中的应用 分形艺术可以说是科学与艺术完美结合的典范，具有无可争议的美学感召 力，特别是对于从事分形研究的科学家来说。因为首先是科学家在研究中发现 了美，这种美好比牛顿发现第二定律f - - m a 时、爱因斯坦提出质能方程e = m c 2 时、杨振宁提出规范场理论时所体验到的科学美。科学不但是真实的，科学也 是美的。 分形艺术之美是一种几何学之美，而几何学与艺术的关系源远流长，每一 种艺术、每个艺术流派都无法回避几何学。在艺术领域公认有两次最大的创 新，一次是文艺复兴，另一次是二十世纪初兴起的现代艺术。两次大的变革 都与几何学的变革有关。前者与三维透视几何有关，后者与n 维几何和非欧几 何有关。 谢瑞尔( r rs h e a r e r ) 写了一篇极有趣的文章，指出每一时代的主流绘画 艺术背后都隐藏着一种深层数学结构几何学，绘画艺术流派转换有着与波 普尔柯恩库恩( p o p p e r c o h e nk u h n ) 所谓的“科学革命”相类似的结构 关系。在达芬奇( l d a v m c i ，1 4 5 2 - - 1 5 1 9 ) 那里是讲求透视关系的射影几何学； 在毕加索和埃舍尔( m ce s c h e r ，1 9 0 2 1 9 7 0 ) 那里是非欧几何学；在后现 代主义、纯粹主义那里也许是现在说的分形几何学，虽然艺术家们本身也许并 未意识到。o 李政道教授说：科学探索与艺术创作的共同特征是发展人类的创造力，它 们追求的目标都是真理的普遍性。艺术用创新手法去唤醒每个人的意识或潜意 识中深藏着的珍贵情感，艺术水平越高，唤起的情感就越强烈，反响越普遍。 科学研究发现的定律越深刻，阐述得越简单，就越具有一般性，应用就越广泛。 科学研究中充满了艺术，艺术创造中也贯穿了科学，科学与艺术都是居住 在大地上的人类试图不断理解宇宙的一种认知方式和生活方式，都是为了提高 人们的生活质量和幸福程度。科学采用模型，侧重概念思维；而艺术依凭直觉， 侧重形象思维。两者互补互动，缺一不可。科学与艺术有着不同的方法和规 范，适度的分离是其各自走向成熟发展的前题，但是两者有统一性，一定程度 上还要互相借鉴，都要为真善美的建设做出贡献。在现代社会，科学与艺术单 方面都有长足进步，但单向度片面发展的不良后果也是很明显的，有识之士已 o 分形艺术，刘华杰湖南科学技术出版社( 电子敝) ，1 9 9 8 分形在艺术设计中的应用 经感觉到了两者重新沟通、综合的必要性和可能性。 历史上科学与艺术之间不乏相互促进的实例，许多伟大人物既是科学家， 也是艺术家，如丢勒( a d u r e r ，1 4 7 1 1 5 2 8 ) 、达芬奇、罗蒙诺索夫 o 订v l o m o n o s o v ，1 7 1 1 1 7 6 4 ) 、奥本海默( j r o p p e n h e i m e r ) 等等。艺术 思维有时能够帮助科学家突破教条的限制，使科学家按照美的原则对现象、对 数据进行恰当的“观照”，从而激发科学家的想象力，提出新的科学理论。科 技进步也直接促进艺术的改良，特别是推动艺术创作工具、质料、手段和理论 的发展。 科学依赖于分析，艺术凭借直觉，分形艺术作品本身是科学的理性和艺术 的感受完美的融合，是数学和艺术的统一分形艺术作品所以能给人以极大艺 术震撼，是因为它的数学内涵与自然和人类存在的数学内涵高度和谐统一。 分形艺术首先是科学和艺术的统一，它是在当代科学的飞速发展赋予了艺 术创新更大的创作空间的产物；其次，他同时又是以现代计算机技术、现代几 何学等科学技术基础上的艺术。 朱光潜曾说：“意大利绘画在文艺复兴时代之所以能达到欧洲第一次高 峰，在很大程度上是科学技术进展的结果。当时一些重要的艺术家都同时是 科学家，文艺复兴时代对形式技巧的追求，尽管有它的形式主义的一 面，它毕竟是艺术发展史上的一个进步运动，因为它使艺术技巧结合到自 然科学，实际上起了推动西方艺术向前迈进的作用。z o 1 2 本课题的提出和意义 分形理论已广泛应用于各个领域，如：数学、物理、化学、材料科学、生 物与医学、地质和地理学、地震和天文学、经济学、计算机科学以及艺术设计 等。尤其在艺术设计领域显示出了独有的艺术魅力。因此，分形理论的研究具 有重要的理论意义，又有广泛的实际应用价值。 但是，无论是国内还是国外，分形理论在艺术设计上所做的研究和探索还 显得很不够。值得注意的一点是尽管分形艺术已经成为科学界越来越重要和广 泛的讨论话题，但这种讨论囿于技术性质，并没有引起艺术界足够的重视，更 。弓l 自分形与分维 李后强等四川教育出版社1 9 9 0 分形在艺术设计中的应用 深层次的也只停留在欣赏和评价阶段，而缺乏对分形艺术创作原理和思想的深 入分析、归纳、整理、总结，更不要说分形艺术设计理论及其在设计中的应用 了。这一现象的出现是可以理解的，分形艺术首先是以计算机技术发展和计算 机应用为基础的，而计算机技术和应用的发展速度远远超出了人们的反应速 度，同历史上任何一种艺术设计表现形式一样，艺术设计的过程总是由实现功 能向追求美和价值发展的。 分形艺术是有着自身独特性质魅力的艺术设计表现形式，长期缺乏自己完 善有力的理论体系，不树立适应分形艺术设计特征和发展的观念与思想，不将 这些观念和思想引入到分形在艺术设计的创作和欣赏中去，分形艺术设计就无 法发挥其优势和魅力。再由于技术对于设计师的困扰，分形在艺术设计中的应 用就受到了极大阻碍，这无论是对分形艺术设计本身还是对整个艺术设计的发 展都是不利的。 艺术设计需要与科学需要相互作用，促进分形艺术设计的迅速发展。一方 面，科学的发展需要市场的支持，而艺术正是科技成果通向市场，转化为社会 效益的重要途径。另一方面，设计艺术的进步有赖于设计艺术手段的革新，而 科学恰好为设计艺术提供了前所未有的艺术手段。 1 3 本课题的主要工作内容 分形理论的研究具有重要的理论意义，又有广泛的实际应用价值。本文 在借鉴前人研究成果的基础上，第一章介绍了分形的研究背景，指出分形艺术 是在科学与艺术结合基础上诞生的，并说明本课题提出的原因及意义；第二、 三章从分形的发展历史开始论述，提出了分形的定义，对分形的一些基本理论 如：分形空间、分形维数、m a n d e l b r o t 集、j u l i a 集、l 系统等做了介绍；第四 章提出了在数字化设计艺术兴盛的今天，分形艺术是数字化艺术的一种及其分 类和关于分形艺术的争论。 第五、六、七章是本课题的重点，创新点也在这一部分。第五章对分形艺 术的视觉形式美的法则进行了总结，并归纳出了分形艺术与传统艺术不同的新 的特性；第六章介绍了分形艺术设计软件，重点以k p t 5 为例，说明分形艺术 设计软件的应用；第七章对分形艺术在艺术设计的中应用进行了论述。 分形在艺术设计中的应用 第二章分形的历史 1 9 7 5 年，曼德尔布罗特( b e n o i tm a n d e l b r o t ) 在他的 i a so b j e t sf r a c t a l s ： f o r m e ，h a s a r de td i m e n s i o n ) ( 在1 9 7 7 年翻译成英文是“f r a c t a l s ：f o r m ，c h a n c e ， a n d d i m e n s i o n ”，即分形：形状、机遇和维数) 一书中最早使分形普及化。 在他的书中，曼德尔布罗特发明了“分形”( f r a c t a l ) 这个词来描述一类递归 定义的，可产生现实和超现实图像的曲线。此专著的发表标志分形几何作为一 门独立的学科正式诞生，把分形理论推进到一个迅猛发展的阶段，分形在计算 机方面的研究和应用已达到了较高的程度：即使一般的计算机用户，也会毫无 疑问地碰到过以日历、杂志封面或计算机作品形式出现的分形图像。 2 1 分形理论的产生 像所有杰出的思想一样，分形也不是神奇地突然出现，而是建立在许多数 学家和其他科学家的研究基础之上的曼德尔布罗特把历史片断凝聚起来，发 现了一些真正有洞察力的数学知识。在他的研究之前，实际上已有不少前人的 工作，为他的研究奠定了坚实的基础。在曼德尔布罗特发现分形前一百年，若 干科学家就已经研究了被认为是连续性和可微性的病态曲线和几何集合。1 8 7 2 年，德国数学家维尔斯特拉斯( k w e i e r s t r a s s ) 证明了一种连续函数在任意一 点均不具有有限或无限导数。这一结果在当时引起了极大的震动，但人们认为 维尔斯特拉斯给出的函数是一个病态的例子。同年，德国数学家集合论创始人 康托( g e o r gc a n t o r l 8 4 5 - - 1 9 1 8 ) 引入了一类全不连通的紧集康托三分集。 他的病态集的工作为今天的许多数学理论铺平了道路，包括现代集合论的开 创。康托进行了集合论的研究，对连续、封闭和稠密这样的性质取得了较深和 更严格的理解。为了测试这些集合理论的有效性，促使他研究这些不同一般的 集合。 对平面性质的经典看法是把曲线上的点( x ，y ) 看作是函数相关的，最简 单类型的曲线可定义为y = - f ( x ) 。引入参数t ，并把x 和y 写成t 的函数，可以 获得更一般的一维曲线。函数x ( 0 和y ( t ) 不是已明确地给定的，就是某个微分 分形在艺术设计中的应用 方程组的解。1 9 世纪的数学家和物理学家的流行观点是，不论那些方程是如何 复杂，任何想象都可以被描述成某种微分方程的解，科学家的任务就是寻找描 述所研究的特定系统的方程组。而如果没有超级计算机来至少找到近似的数值 解，求解这些方程将十分困难。 康托和其他研究人员的努力表明，人们可以构造大量的由有限的一组连续 微分方程不能描述的其他类型的曲线。所有这些曲线都有一个共同特征：它们 的构造是由递归过程定义的，即从某条称为“初始元”( i n i t i a t o r ) 的初始曲线， 比如一条简单线段开始，然后一条规则或一组规则，就可以形成曲线的下一段。 每条规则称为“生成元”( g e n e r a t o r ) ，生成元规则随后作用于新曲线的每个初 始元，该过程不断进行，直至无穷。 从效果上讲，构造这些曲线和在高等几何中所学的构造经典几何对象如等 边三角形是相似的在经典几何中，使用直尺和圆规，根据某个事先确定的过 程，就可以从某个起始形状做出新的形状。例如，可以用一条线段构造一个等 边三角形。康托研究了在每个构造步骤中生成的新片断小于起始形状的限制条 件下，进行重复构造所发生的情况。每次一旦生成一组新的片断，就把相同的 构造规则作用于这些新的每一个片断，并不断重复。康托感兴趣的是“极限” ( 1 i m i t i n g ) 图的性质，也就是说是无限重复这个构造操作所产生的图的性质。 正如他和许多其他人在过去的一百年所发现的，这些极限曲线具有一些令人非 常感兴趣的性质，如具有比产生它们的片断大的维数、模拟像扩散这样的复杂 过程的能力等。 我们可以对分形几何和欧氏几何做一个简单的比较： 欧氏几何分形几何 历史 两千多年最近二、三十年 对象人造物体 适于自然形态 尺度 可用特定比例和尺度没有特定的比例尺度，具有无限细节性 方法公式、基本元素 递归、迭代算法 分形在艺术设计孛的应用 2 2 自相似分形 一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时 闻尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局部性质或局部结构与整体类 似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情 况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局部放大一定倍数以后简单地和 整体完全重合。但是，表征自相似系统或结构的定量性质如分形维数，并不会 因为放大或缩小等操作而变化，所改变的只是其外部的表现形式。 2 2 1c a n t o r 集 康托的成果之一是定义了 0 ，1 】区间上一个具有无数多个点但却不稠密的 集合，这个几何就是c a n t o r 集。集合关于某个点x 是“稠密的”，是指如果x 的任意开区间均包含集合中的点( 当然，x 必须在该集合中) 。例如，区间中的 任何有限点集在那个区间是不稠密的，因为总可以找到一个比两点间的最短距 离还要小的区间。“不可数集”是集合中的成员和正整数之间不存在一一对应 的集合，意思是无法枚举集中的成员。譬如，在实轴上任何区间都有无数个点。 对某个区间而言，寻找一个可数的无限集并不困难。如对所有大于0 的整数值 1 1 ，序列1 n 是区间【o ，1 】的一个可数无限子集，因为除了点0 附近外，他都是 不稠密的。但定义一个不可数的无限子集却比较困难。c a n t o r 集是由简单的递 归过程来定义的： 1 取区间【o ，l 】并去掉中间的区间( 1 3 ，2 3 ) ，剩下【0 ，1 3 1 和 2 3 ，l 】两 个区间； 2 对剩下的两个区间重复该过程，c a n t o r 集就是永不会被去掉的点的集 合。 分形在艺术设计中的应用 层r 4 一 层次3 层次2 层次1 图2 - 1 图2 1 举例说明了经过若干次迭代以后剩下的点。水平线用来表示属于各 阶段集合的点集，注意该集在各个阶段变得越来越不连续。当然，初看可能不 太明显的是，c a n t o r 集实际上包含无数多个点，即区间【o ，1 1 和c a n t o r 集中的 点存在意义对应的关系。也可以用c a n t o r 集构造一些有趣的函数，比如图2 - 2 所示的“魔鬼的阶梯”。 品团 岛屠 图2 - 2 “魔鬼的阶梯”是用于构造c a n t o r 集相同的过程来递归构成的。每次去掉 一个区间，在区间的两个端点上画一条水平线。线的高度按一下确定：如果递 归达到层次k ，去掉区间1 ，那么该水平线的高度的为( 2 l 一1 ) 2 k 。在第一 层次，举例来说，去掉从1 3 到2 3 的这个区间，则在高度l 2 处画一条水平 线。而在第二层次，去掉区间 1 9 ，2 9 ，以高度1 4 画水平线；去掉区间1 7 9 ， 8 9 以高度3 4 画水平线，该过程无限连续进行。所得曲线是一条连续的但在 大多数地方是平的分形曲线，因为它完全是由水平线构成的。如果只进行有限 次数递归层次的构造过程，则可以得到一组不连续的水平线断。仅仅在无限递 归的极限情形下，才能最终获得一条平滑的从0 到1 ，但没有非水平线段的连 分形在艺术设计中的应用 续曲线。 “魔鬼的阶梯”及其他类似构造曲线的几何性质，常常要比读者可能最为 熟悉的代数和微积分中的曲线复杂的多。“魔鬼的阶梯”是一个复杂结构，但 在显示器上画此酋线及许多其他递归定义曲线的程序却是很容易生成的。 尽管c a n t o r 集有许多有趣的性质和变体。但我们对于这类函数的主要兴趣 在于它所具有的独特性质： 1 这些曲线虽有十分复杂的结构，但可以用非常紧凑的方式表示，即只 要存储初始元( 通常是像直线段这样的简单几何形状) 和构造此曲线的生成元 即可； 2 这些曲线比经典几何学中相对平滑的曲线几何更能精确的表示自然物 体中所存在的精细形状和表面； 3 曲线递归定义，通常没有简单、封闭形式的表达式( 也可以用y 爿积) 这样的形式表示) ，因而不能用传统的绘图方法绘制。 由它们的定义得知，因为其递归定义，这些曲线难以用一般的方法绘制和 分析。在c a n t o r 那个时代，递归曲线一般被认为是异常的数学奇事，也没有物 理上的对应物，因此深入地研究被认为是没有价值的。但设想那个时代，实际 上并没有绘制这些曲线的良好方法，更很少用它们来分析问题，所以这也是一 种可以理解的态度。因此，实事求是地说，计算机图形的发明是在此类曲线可 以被有效研究之前所取得的最重要的进展。 2 2 2k o c h 曲线 1 9 0 4 年，瑞典数学家科赫( h v o nk o c h ) 设计出类似雪花和岛屿边缘的一 类曲线，即k o c h 曲线( 也成雪花曲线) ，它们都遵循同样的基本规则，例如， 它们都从某个起始形状开始，然后施加某个变化规则生成下一段。 为制作k o c h 曲线让我们从一直线段开始，然后应用图2 3 所示的生成元， 再从该四边形开始，对四边形每边均应用生成元，生成下一段。 一j l a 肌n nn 分形在艺术设计中的应用 图2 - 3 k o c h 曲线在许多方面的性质与三分c a n t o r 集列出的那些性质类似，它由 四个与总体相似的“四分之一”部分组成，但比例系数是三分之一。它在任何 尺度下的不规则性反映了它的精细结构，但这样错综复杂的结构却出自于一个 基本的简单结构 2 2 3 s i e r p i n s k i 垫 1 9 1 5 年，波兰数学家谢尔宾斯基( w s i e r p i n s k i ) 设计了象地毯和海绵一样 的几何图形，被称为s i e r p i n s k i 垫。s i e r p i n s k i 垫是从一个三角形开始的，如图 2 4 所示，然后用一个构造c a n t o r 集非常相似的过程，也就挖去中间的小三角 形。在这两种情况下，过程无限进行来产生最终图形。 两个对象间差别在于：k o c h 曲线是由 一个一维形状代替另一个一位形状生成 的。如图2 - 3 所示，生成元总是按比例缩 小，以至于它可以精确代替每个线段。生 成元与初始元之间的比例与所得曲线的维 数密切相关和k o c h 曲线不同， s i c r p i n s k i 垫使用二维区域作为它的定义。 s i e r p i n s k i 垫实质上是c a n t o r 集的二维形式。 图2 4 很容易看到，用不同的初始元和生成元，就可以制作出此类对象的变体。 尽管如此k o c h 曲线、s i c r p i n s k i 垫以及它们的无穷无尽的变体，都至少有一个 共同点，即一个称为自相似性的性质。具有自相似性时，若取部分曲线并把它 用合适的比例放大，则就可以得到原曲线的一个相同的复制品。对k o c h 曲线 来说，可以取任意段，放大三倍以获得曲线的复制品。s i e r p i n s k i 垫用2 作为 放大因子，这是因为各阶段在垂直和水平方向上都把三角形分成一半。因为对 象构成的方式是递归产生，自相似性的一个内在性质。 为了进行有用的递归步骤，生成元必须把对象变换成它自身的较小拷贝， 然后对每个拷贝进行该操作。因此，生成元必须在它要替换部分的相同位置和 位向上进行替换。比如在k o c h 曲线中，多边形的每条边均是由与该边位置和 分形在艺术设计中的应用 位向相同的生成元代替的。同样，s i e r p i n s k i 垫可以看成是取一个三角形，然 后作三个位于该原始三角形中的复制品，相同的操作再作用于每个新形成的三 角形。这个过程的每一步均是初始元的“仿射变换”( 由旋转、缩放、平移和 反射组合而成的变换) 。这方面的研究产生了一种确定生成元也即一系列作用 于对象的仿射变换集合的精巧方法。 这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几 何思想的源泉。1 9 1 0 年，德国数学家豪斯道夫( f j - i a u s d o r f f ) 开始了奇异集合 性质与量的研究，提出分数维概念。1 9 2 8 年布利干( g b o u l i g a n d ) 将闵可夫 斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1 9 3 2 年庞特里亚金 ( l s p o n t r y a g i n ) 等引入盒维数。1 9 3 4 年，贝塞考维奇( a s b e s i c o v i t c h ) 更 深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其 几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫贝塞考维奇维数概 念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作 为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。o 2 3 自然分形 像k o c h 曲线和s i e r p i n s k i 垫这样的分形纯粹是数学构造，正如同欧几里德 线、圆和曲线一样。这样的对象实际上是对自然界中对象的抽象。曼德勃罗特 在数学领域的主要贡献，就是他认识到了这些递归定义形状在自然界中确实是 普遍存在的。他在 t h e f r a c t a l g e o m e t r y o fn a t u r e ( 自然界的分形几何) 一 书中，指出了自然分形的许多例子。从模拟星系到研究树的叶子和树枝，许多 自然界的物体看上去是由在某种程度上和较大物体相似的、较小的物体组合而 成的。如在许多种树中，树枝的结构看上去和整棵树的结构非常相似。如果看 一下四周，我们还会在所有不同物体中看到许多其他例子。图2 5 为分形对山 的模拟，图2 6 为分形树叶。 o 引自分形理论及其发展历程 李后强汪富泉 分形在艺术设计中的应用 图2 5图2 6 形是在任何尺度上都显示自相似性的几何实体所有分形都具有一种离散 的自相似比例因子，而非分形对象就没有这样的比例因子。如果把平滑的非平 行曲线如圆、抛物线或线段的一部分放大，那么放大部分将变得更平滑、更直。 而如果把它充分放大，那么放大部分将变成像一条直线。因此非分形对象总有 一个放大极限，超过此极限将看不到进一步的结构。分形对象没有这样的比例 放大极限。无论怎样放大，我们总会看到曲线中更多的更详细的结构。 自然界中的分形一般不满足任意缩放自相似这个判断。如把某个植物放大 足够大的倍数，最后将达到组成植物的分子层次，他当然不具有和植物相同的 空间结构。然而，许多物体在若干数量级的尺度上确实显示出自相似性。这个 大的自相似尺度范围使这样的物体也十分适合于用分形来模拟。 不像k o c h 曲线这样严格的几何分形，自然物体不是严格的自相似的，也 就是说，该物体不是它自身的较小精确复制品组成的。曼德勃罗特引入统计自 相似这个概念，作为自然界物体的更一般和更逼真的模型。在一个“统计自相 似性”的物体中，组成物体的各部分具有和整体相同的一般结构，只是根据某 个比例缩小的精确复制品发生随机变化的。这些变化必须足够小，以保证保持 生成元大致看上去仍是相同的。例如，我们可以随机的改变k o c h 曲线生成元 的高度来制作它的一个有趣的变体。整条曲线看上去仍然像k o c h 曲线，但此 时它具有自然物体的更随机的外观特征。 根据统计自相似性的特点。模拟复杂对象的方法的魅力是把一个复杂对象 分割成了更多可管理的部分( f r a c t a l 这个术语就是从拉丁文“f r a n g e r e ”得来的， 意思是断裂) 。在更重要的层次上，生命有机体中的分形结构和生长、演变的 基因编码规则吻合良好。有机体从一个初始细胞( 初始元) ，诸如树的种子开 分形在艺术设计中的应用 始生长。种子内的基因代码为复制细胞和使有机体长大给出指令，通过简单地 对每个细胞重复基因指令，有机体便能以自然分形或至少是递归的方式不断长 大。 2 4 制作空间 分形理论与应用问题的研究，总是在一个假定的理想空间中进行的。一个 完备的度量空间常常能满足人们的要求。设( x ，p ) 是完备度量空间，且在 x 的非空紧子集空间f ( x ) 上赋予度量k ，则( f ( x ) ，h o ) 就是一个度量 空间，我们称之为“分形空间”。 像k o c h 曲线这样的递归定义曲线向1 9 世纪的许多原则发起了挑战。这些 曲线导致的最具革命性的概念之一是改变了维数的直接定义。大多数人倾向于 把一维曲线简单地看作平面图像。这样的曲线没有“厚度”，因此看上去这样 的一条曲线将永远不能“充满”平面中的某个区域是自然的。一条曲线说是“充 满”或覆盖某个区域，指的是能证实该曲线经过区域中的每一个点( x ，v ) 。 遗憾的是，维数的简单表示在处理无限长曲线时就失效了。1 8 9 0 年，意大利数 学家皮亚诺( g i u s e p p ep e a n o ) 发表了一篇包括连续曲线定义的论文，所提出 的连续曲线充满了平面中一个单位正方形。 关于这种基本构造方法，有许多可能的变体。该原始平面充填曲线称为 p e a n o 曲线。这种基本曲线的构造方法可以很容易地推广到任意有限维数。因 此p e a n o 曲线可以充满一个三维立方体和二维正方形。人们会很自然的认为， 一维曲线是不可能充满二维空间的。但p e a n o 曲线和它的许多变体表明，这种 直觉表示对许多分形和递归定义曲线而言是不确切的。因此，正如c a n t o r 所说 的，定义集合有许多途径；p e a n o 也表明，有许多容易构造的相关曲线可以用 来定义集合，即使它们可能因具有一些不平常的性质而难以绘制，诸如不可微 连续以及可充满多维空间等。这些性质和在高等微积分课程中所遇到的那些正 常的曲线和形状的性质截然不同。 数学维数的表示已由于皮亚诺、康托和谢尔宾斯基这样的数学家的努力而 发生了彻底的改变。维数是什么有很多种定义方法，目前来说，可以把“分形 分形在艺术设计中的应用 维数”简单地表示成曲线内在复杂性的度量。例如，p e a n o 曲线的分形维数是 2 ，显示了它的平面充满特性。但就其本身而言，这些研究者的结论看上去仍 十分深奥，难以用来解决现实问题。o 2 5 分形和计算机图形 在没有计算机的时代，手工画递归曲线是很困难的，m c e s c h e r 的工作代 表了一些最令人感兴趣的递归定义形状研究结果。他的许多画说明了制作具有 无限细节图像的的无尽可能性。此外，e s c h e r 观察这些类型的图像以及把他们 转化到纸上或木头上的能力也是相当独特的。但由于没有画这些形状的简便方 法，对那个时代的数学家、艺术家和科学家来说，使分形对象可视化或研究它 们都是非常困难的。 今天，分形的流行完全是由于利用了计算机和计算机图形。分形作为一个 概念能广泛而迅速地被人们所认识和接受，一个主要原因就是借助计算机的能 力，j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集的精细而复杂的结构被形象化地展示在人们眼前。 可以说，没有计算机做图，即使曼德尔布罗特有再强的几何直觉想象能力，也 无法想象j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集的精细结构。p c i t g c n 和s a u p e 在科学杂 志上发表的“分形语言”的文章中更明确地指出，“分形首先是一种几何语言。 但它们最基本的要素却不可能被直接观察到。在这方面它们基本上不同于欧几 里德几何中所熟悉的诸如直线和圆之类的要素。分形不是采用原始形状而是采 用算法和数学程序集来表示的，这些算法借助一台计算机而被转换成一些几何 形态。算法元素的数量是没有穷尽的。一旦人们掌握了分形语言，那么就可像 建筑师采用传统的几何语言所制作的蓝图来描绘一幢房屋那样，准确而简洁地 描绘出一朵云彩的形状”。计算机是在可以接受的时间范围内绘制分形模型的 唯一现实手段。利用递归定义过程，计算机非常适合于画这些形状。更为重要 的是，通过允许控制分形参数的相互作用，可以方便的研究各种变换。 很难想象，若没有计算机在处理图形、图像上的强大功能，人们怎么能直 观的看到分形几何中处处可见的、奇特的、异乎寻常的像j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集等优美的精细结构，更是无法想象那些具有无限细节的自然景观和高度真实 。引自用c 什设i t - 劁t 、三维分形图形程序 著者m a r kf i n l a yk c i t h a 科学出版杜龙门出版社 分形在艺术设计中的应用 感的三维动画。计算机在分形几何方面所起的作用促进了迭代理论的复兴。 m a n d e l b r o t 的工作之所以成功的原因之一是他的合作者d r r i c h a r dv o s s 的 努力。后者的云、地形和其他的形状，给出了如何运用分形技术来制作自然形 状的非常逼真的一些最早例子。如同科学上的许多其他发现，人们一旦看到了 结果，对图形制作技术的兴趣就迅速增强了。 从1 9 8 4 年开始，德国布来梅( b r e m e n ) 大学动力系统计算机图形室的培特根 等制作出第一批、第二批和第三批优美的分形图片，在两位参议员的支持下 他们成功地举办了一个展览。后来图片先后在英国和美国展出，引起轰动，最 终出版了影响甚大的分形之美一书，以无可置疑的艺术美向所有专业与非 专业人员展示了复解析动力系统的奇妙，该书1 9 8 7 年荣获“杰出技术交流奖”。 一时间j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集占据了校园的时机。如今p h o t o s h o p 图形处理 软件专门设置了j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集生成程序，任何非专业人员随便输入 几个参数也能快速得到一幅妙不可言的分形图形。 分形在艺术设计中的应用 第三章分形的基本理论 3