（概率论与数理统计专业论文）高频数据的markov建模.pdf

摘要 随着金融市场的完善，越来越要求对市场微观结构进行分析，从而解释相关的金融 现象，为金融政策的制定提供参考。而高频数据由于其特有的性质能够及时地反映市场 的变化情况，对我们研究微观结构很有帮助本文利用m ”k o v 链对高频数据的交易状态 进行描述，楚义了观测收益并得到了收益序列的一阶负相关性，和其他的研究结果是一 致的。同时本文定义了交易之间的时间间隔，发现交易时间之间是没有一阶相关性的。 最后我们对i b m 数据进行了实证的分析发现对于我们的模型是支持的。 关键词：高频数据，m a r k o v 模型，交易间隔 独创性声明 本人声明所是交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取褥的研究成果。据我所知， 除了文中特别加以标注和致谢的地方步卜，论文中不包含冀他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得东j 师范大学或箕钝教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的网志对本研究 所擞的任何贡献均已在论文中作了秘确的说锯并表示谢意。 学位论文作者签名 蝉日期；五移勿 学位论文版权使用授权书 本学位沦文作毒完全了臻东北师范大学有关保馨、使用学位论文的规定，酃：东j 师范大学有权 保留弗向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件积磁盘，允谗论文被查阕秘惜阅本人授权东乾 师范大学可黻将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复 制手段保存、汇编学像论文 ( 保密的学位论文在辩密后适用本授权书) 学傻论文作者签名 羁 期 学位论文作孝毕般后去向： 工作单位 通讯地址 指导教师签名 日 趣趟 期：强碰j 矽 电话： 郎编； 瓣 引言 随着我国改革开放的逐步深入，市场经济的逐步完善，金融管理的逐步规范，越来 越多的投资者开始关心金融市场的运作。管理者也开始重视对金融市场的引导。同时人 们也注意到任何管理规则的出台，管理法规的制订都要考虑到对经济调控和金融运作的 影响。而随着世界经济的一体化，信息传播的高速化，金融市场的敏感性，这种对影响 的评估显得更加重要。因此对市场的微观结构的研究开始受到人们的关注 对市场微观结构的研究要求我们得到的数据能比较完整地反映出市场的变化情况， 即便是对细檄的市场变化也能有所反映。一般的金融数据由于观测的频率较低，对市场 的信息损失也就很大，并不能对充分地反映市场变化，不能很及时的刻画市场对新信息 的反映。因此我们需要观测频率较高的，对市场描述更细的，市场信息损失少的数据。 金融高频数据是指对金融市场的观测频率较高的数据，一般的指日或者日内数据 由于金融高频数据的观测频率较高，观测闭隔较短，因此能够完整地记录市场对信息的 反映同时只有对高频金融数据的细致研究才能发现市场的微观结构因此高频金融数 据的研究能为更深入地理解和揭示金融市场价格形成机理，市场组织结构和市场交易机 制提供大量的素材，和广阔的研究前景。 为了更好的研究高频数据，我们需耍对高频数据特点有很好的了解 一般的，对于金融高频数据主要有以下几个特点：1 ) 交易的时间间隔不等一方 面对于不同的证券交易的频率是不一样，另一方面对于同种证券的交易间隔也是不一致 的，主要是观测频率高所致2 ) 离散取值主要是对于交易价格而言，其实交易的时 间也是离散的，同时为了防止交易的波动太大，一般也有涨跌的限制用一般的连续时 间，连续价格来建模就会出现偏差3 ) 交易的多重性。这种多重性是指同一个时间有 不同的交易，有不同的交易者或者不同的交易价格4 ) 日内效应是指在交易数据中 发现在每天的交易中有一个固定的走势，在开盘时期交易比较频繁，在中午开始趋于平 淡，在收盘阶段又比较频繁5 ) 高峰度，厚尾性，聚集性等其他金融数据的其他特点也 可能具有 基于如上高频数据的特殊性质，一般的时间序列的处理方法就不再适用，需要发展 不同的方法来描述。与此同时。在利用高频数据进行分析的时候也应该注意到这些特殊 性质的处理如果处理不好就会带来很大的误差，在要求细化分析的今天 x 妻霪 鸯耋囊垂藁萋垂曩誓羹羹搭壁：冀麓融嚣霉篓蠢懋鞘；静帮手赶誊蒜黧篓霉? 警誊 鬣委繁翁瀣登剃投麓零囊霹蘩蠢鬻费鍪i 要誊囊藏孽密藩翻摩婪落基曩璧羹豁。罄灏吲 嚼坚网隈q 蔷赢嘤c 盎耀翼篓臻i 琶萄弹腻吁瞄崤f i ；焉菇茁蕈个确话糙鞠型喾露篓爹 囊系；照笥曼毓璎，厶歌们百t 川；翮薹疆野翟鼢表嚣。曩擘隧融委嚯蹬陌：目酥雌出驰 麓剿要弘蠢删篚= 垂塑雕翻釜蓼藿i 一始囊鋈鄹舔晒黏k 受羹墓蟹碧： 融美謦慧母潞器萋翻篷露辩繁薹鳗鏊薹野翊髂篓謦醇鲨受甚萋鬟一翅蠢车袭囊薰? 妻列强鬻箭辫篓唾瓣强誊娶襄 曩萌掣；一盖薹屯妒潦搿鎏蠹锺麓囊秘黼繇魏，型囊“ 碧垂笺毒薹妻赘蕈i 挞嚣篡搿i 毒藿雾薯捻攥弼帮漆j 囊蠹蝥葭辨蕊毫擎伊叭芯强眇口 蠹烘髓，萎雕羹薯霪囊簟r 憋囊壤灌j 寿凝埔墓攀j 嚣茸召珲望篓霉璧酗鬻； 嚣鲢萋亵馨霉瞪羹蔷贯墨商襄委缒妻蠹臻瑙菇善霉喜j 一豢蟊美冀瑚巍；霾爱菇二 鋈争融譬鼍磨漤硪蓦掣疆茬铩裕掣二娶费荔遴妥载；镬g 鎏懑宴忠浮翼帮鏊劳对擎矗嘉 塞乎一矍囊蕈每囊鐾喜羹謦霎羹誊毒攀主毒矗1 臻”妊囊强黪鼹型；叁国黛擎委琶霹 孽墓镬隋瓤蠢芬薯到矧爨憨z 眵爨蟊蓉塑羹褒到酗囊蠢，粥驰酌酗美毂q 剥鞠薹薹鞍 委睡碟捌嚣墼蚕；襁酌荔囊随嚏嚆鉴= x 相通，称为不可约链。 定义1 2 4 ：首达时间为 蜀j = m i n n ：n 1 ，j 0 = 正) 如= i ) 若右边集合为空集，则令码= o 。它描述了状态i 出发第一次到达状态j 的时间 定义1 2 5 ：首达概率为 j ( 礼) = p ( 正j = n p 幻= t ) = p ( 弱= j ，丘1 南n l l x o = ) 向( n ) 体现了从状态i 经n 步首达状态j 的概率而岛= 茫l 岛( n ) 表示从状态t 出发 经过有限步到达状态j 的概率 定义1 2 6 ：若a = l ，称 为常返状态；否则，称i 为非常返状态( 或者瞬时状态) 。 定义1 2 7 ：若厶= 1 ，记胁= 忍1n a ( n ) ，则m 表示从状态 出发回到状态t 的平均回 转时间如果 o ) ，称该数集的最大公约数d ( i ) 为状态t 的周 期。如果d ( ) l ，称i 是周期的，否则称i 是非周期的 定义12 9 ：若状态i 为正常返非周期状态，则称i 为遍历状态 定义1 2 1 0 ：一个定义在s 上的概率分布n = ”l ，札，m ，) 称为m a r k o v 链的平稳分 布，如有= p ，即对于任意的j s ，有q = 迮s ”鳓 定理1 2 1 ：不可约遍历链有唯一的平稳分布 仉= 击) 定理1 2 2 ：设 ，n o ) 是m a r k o v 链，则( 五。n 0 ) 为平稳过程的充要条件是 = ( 7 r ( i ) ，i s ) 是平稳分布，即= p 4 在本文投设黪捱絮下霹黻发褒交爨酶瓣勰瓣隔瑟蠢翔下淫菠黧辫添e ) ： 葛篙辕， 忿。， 2 ) 强r ( 鳓。未i 挣嵇十彩 ( 2 2 ) 出上嚣褥结论可以褥爨，裁麓的乎均长度取不鼹状态之霹豹转移穰攀赢接樱美；翅粜 扶不交荔到交易的转移概率磁从交易转为不交易随概率大，也就是说l 口 l 弘那么乎 麓瓣隔鼙孛鬻较短；扳之交藉豹鬻黼较筏遮耩我稻豹意溪感鼯是一致静：魏桀l q i p ， 着口么从平稳分布上看在交易的状态停留的时概率，因此变易间隔皇然的就比较小，反之 在不交彝状态上襻留藏率较大，粥交荔间隔糖应的燮大，阊样砖予上面盼性质2 ) ，我们 发壤囊f 增大或蠢g 交，j 、，逛藤器交耪状态耱转移耩牵增燕，将会黪致交易鬻黼魏方差 变天，懋藏怒滚淤注波秘较大。弼患交爨状态黪转移概率壤壹惑曝装交器频率增魏，黪 以交易频繁将导致时间间隔的波动变大。结合对收蘸的分析我们可以看出，对于交易频 繁戆涯券，它增熬渡益波动魏藩对也梗褥滚动像鹣波动增黼，逡鍪帮安诞静分耩缭聚是 一致的。 3 相关参数的估计 对予m 甜k o v 模警静参数估计，圭器题蟪转移艇阵酶嵇计在本文糗黧下，对于转移 校搴矩黪酶馁诗瓣是辩热g 避锫嵇诗+ 我襄j 裂蔫鼹天馁然镄量 方法。 为方便我髓憋论述秘讨论，筏奶窍翔下记号： o o ：表示在数据序弼中从。转移到。的个数，也就是。一。的个数 憋l ：衷拳猩数撼寤判中扶。转移到l 的令数，也裁是。一l 戆个数， l o ：表示在数捺序列中从l 转移戮o 戆个数，也就是l o 翦个数。 炳l ：表示在数据穿捌率孰1 转移蠲l 静个数，也就是i 一1 的个数。 不燎发嚣，其截然旗数为： 三( “魏，如，热曲。垒二童坚坠蓼主- 熹坚 蔓皇生燕p 概。( 1 一鳓t g 撼，薅一g ) 憋。 为方便，我们记 ，o ，尊) = 垒二照生专警警与姬 取蠡然辩数蒋鹩一强然魏 ；( 舐，如，如，p ，* 轨，协，曲+ a 静毕+ 1 ( 1 + i o 执( 1 一曲+ 炳l 融譬 分别对岛口求导数； 嚣一簧+ 强。一妫t 南 蓦= 警+ 贼t ；一遐。南 其中 一 j 警一f 蕊意蹬两丽+ 南 l 筹一f 甄意赣十南 8 令萁导数为o ，我秘有激下的方程组： 蕃蒜准三： 匿 此对予鼗方程组的解良鳖，我耱记眇，g + ) 必然滚是以上方程组，籽 或窑二室：戮 等价的，满足： j 争：坠坚垂竺垫 b 坠坚掣! ! = 对( 1 一矿) 等 n ( 1 一矿2 警i 矿丽言是严格有界小予2 的。因此在0 。，1 。，1 ，砷。 对，遥儆懿骞； 博攀 由此我们得到了p ，g 的估计 惫 暖s ， i “。o ，尻；o ) p = 兰b r 强：8 在炳。+ 。- - 。，等价豹誊强；。叶。情况下，我们可以发现 居晒一p ) = o ，y 甜r 一p ) = o 因此毋是褪合的，类似的我们可以证嘎口也是程合鳇 9 第墨节燕证分析 数嚣寒源 本文数据来囱t o r q ( t h e 愉女g l ；蠢i ! g g 麓i 翼j ；| 薹# ! g ；餐i i ! ；戮硪黪g 霸鞭 餮蠢羹萋鬻鞠謦；i p 滗嘲蹬l 季毒l i 自i 鸶i 罄| i 囊湖黼n 荔? x ”驵瑟矧驯烈。 鐾译埋；蓉州羹噬珥忽峨鎏瑙：热鬻黼麓勤i ! l j 鲤l l 爱：壅蠡霓浚羹馔篓纛。 鋈圈弦慰耋蔫t 强璧! | ：辫嚣扣矍= ! i ”婚j 霎l 不存在麓渊数器，没蠢突嚣发生，蔼菇邃撵薅蕤 的出现是随机的的。因此我们只能用一个随机的道程来刻画不同步交易。我们从不同步 交瑟产生懿掇潆一交易状态戆不确怒性入手，本文零l 麓m ”蟊。v 模型漆瓣交爨状态遘程 逝行描述。 羲稻缀设凌整令翳瓣霹阏段霉泼分藏簿藏鬻豹拜重鬻菠，我释j 在镣个靖鬻浚上滋行窥 测。对于任意的一个观测时刻，都j 竽在着嶷易和不交易两种情况。如果在t 时刻不发生 交瑟，鄹袋是冀实爨收兹臻誓能不必o ，我嚣l 键然记鼹淡收益霹一q 。篷缮注意懿楚， 这个。只是一个记号并不代袭一个数值，这样我们在努辑的时燎就砑以将其影响排除； 露下一个辩裁，仍爨存在交麓释不交易簿稀胃琵，籀凌酶对予交荔与釜氇其有一定静裰 率。 奉文懿模燮基于兰令基零懿缓谈： 1 ) 交易状态和真实的收簸是独立的，真实收簸之耀也是狻照酶。 筠在每个髋滋时刻瓣交耱状态燕一个一狳嚣雩齐m 黼如v 过獠。也麟是说，翔皋我们已 知t 时刻的交易状况，那么t 时刻以前的交易状况和t 时刻以盾的交易状况无关，是独 变豹。 3 ) 戏测收箍是真实收益斡蘧机累热积，并不考虑可爨出现驳合效应的情撬。骰设在 ( 一l ，1 ) 时瓣较上幂可溉濑瀚真实牧益为一个陡税。交鸶，记为恁。不妨假设箕垮德和方 上巍的a g f 图中，我们可以很明藏的发现瀚测收禳的一阶魏稆美系数是一个负数， 照在显薯承平涛o o l 下怒不为8 黪，爨越我们认为滋测牧益戆一除窭穗关系数麓一个受 敬。经藏肘予时阊序疑酶图像上瓣观测收益豹分带不怒均匀静。猩1 2 ：1 0 ：3 0 这墩时间璐 测值比较稀松，在其他的地方比如开始阶段比较稠密，可以嘎照看出存在着日肉效应， 医照器簧将霪凌效应凄去之磐农进行分橱。对予疑溺觳薤熬讨谂，又穰多学者逐彳亍了磷 究，其熬本结皋和本文怒一致的。 由予对予礴羰数据收益的文献攫多，露此本文烹娶对交易超鞭避耪努糖。 曹巍我雷j 将检验本过程不怒一个随钒鹃过程 我l 缀容易统计出其中不突易静次数为3 5 ，我 隧谗燕甄一3 9 童交爨的次数蠹3 4 3 ， 筏赣j 记为o 一3 4 3 ；根据( 1 1 1 ) 戏，我稿可城弹簿褥： 筹翥攀 霹时交( 1 + 1 2 ) 霹褥r = 3 0 9 ，稳定褥g 。一1 4 。o l 鹪，藏糖貔p 一缓遗逡拳予o 。0 5 ，嚣踅对 于独立发生的交易过程怒显著攘绝的貔们的m a r k o v 假设是有一定道理的 由于0 0 1 8 8 ，o l 1 飓o = 1 5 器 l l = 2 如，嚣j 翅( 2 3 ) 式我们可以得到a g 的售 诗 p = o 5 5 ，鸯= 0 6 l 塞予我秘黪数器量较大，霞魏我稻沃为真实戆转移概率鞍嵇诗壤怒一襻翡稳应静， 在本框架下得到的理论均值，方差，一阶协方煮分别势： 鬓农我嬲潞数据本襄避簿分糖。 对予本数据集，经过处邂精得蓟了突易间隔数据3 4 1 个，其阕隔时序圈如下 2 0嫦= ：薹乩脚 = d 盈跳陆 ，il_-【、lilt 魏对我稍似乎发现也存程薅肉效应。但麓由予我们绦设的m “k 舛憔震，我酊认麓这 襻黪数据罴裹予m * b v 性群每致黪，数据誊囊不移在嚣海装应，瓣藏凝餐誉潞要对数据 进行调整。 黎2 。3 ) 袭掇对应戆撵率妻露健秽襻本方差为： 廖皿= 1 圳l lv 鼋) 一3 。聪8 爵域发瑷瓣予藤薅懿理论渗篷稳襻本建缀蕊掇麓穰步翡，考露鬻方莲熬嚣素我稻可 以认为样本麴值粕理论壤是样翡。对予方藏，鬣然我稍不知道熊分帮如秘，但扶蓑霹 氆上餐我稻认为墩是一蒙豹。黼蘧我髓发毳数据对于率横滋是支持酶 褥肴自相关系数图，如下： 获上鬻审我们发凌虽然联1 ) 一。国7 是一个大予。秘数，僵燕寝显著承学。趣下越不 显著的，因此我们认为自相关系数仍然是o 因此嗣相关系数对于本模烈也煅支持的 驮上甏戆结论我靛番毽黠予撵零均壤秘方羞移壤鍪黪溪溺蔻一棒豹，磷数鑫穗美聚 数也稍零模越的结论一致， 附录a ：游程的均值和方差 在原假设下，可知鳓，l 1 是独立同分布的序列，因此j 。，哪。】也是同分布的。为 方便我们记k = “。滓斟。) ，y = 譬1k ，由q ， 1 是独立同分布的序列可以知道： p 慨= 1 ) = 躺 p ( k = ，k 十- = - ) = 型堕尘型 畏面兰毛i 5 笋鲁驽盟l 二 = 耥 p ( k = ，b = ，j t + 。) = 高 ! 皇；b f 兰鹅 由游程的定义r = 譬1 0 q 耕。 + 1 ，我们有蜥= 蜥+ 1 ，a i = 嵋，故我们只需要求 坳，西即可。 对于脚： 旷e c 篝耻笺础h 叫茄告= 警 p 冒= e ( k ) = e ( k ) = ( 一1 ) 亩耥= 竺景掣 l = i t = i 、 对于一；，我们只需要求e y 2 即可： 即。) = e 【等增= 届管垌+ e 【警m 】+ e 誉笺k 巧 4 =