“充分”和“必要”的转换

“充分”和“必要”的 转换 丁 一在假言判断中，充分条件和必要条件可以互相转换，不过，这种转换是有条件的。在讨论转换的规律之前，我们有必要先明确一下这两种假言判断前后件之间的关系。充分条件假言判断前后件之间的关系是“有之必然，无之未必不然，已然未必有之，不然必无之”，具体地说： 有前件必有后件（例如，物体摩擦以后必然产生热量） 无前件未必无后件（没有摩擦未必不产生热量太阳给地球送来热量，燃烧会产生热量，电能和化学能也可转化为热量） 有后件未必有前件（热量不一定由摩擦产生） 无后件必无前件（没有产生热量，就必然未曾摩擦）必要条件假言判断前后件之间的关系是“无之必不然，有之未必然，不然未必无之，已然必有之”，具体地说： 无前件必无后件（例如，不供给水分，植物必然不能生长） 有前件未必有后件（供了水，植物不一定能生长供水太多了，许多植物会烂根而死； 光有合适的水分而没有空气、阳光，植物也不能生长） 无后件未必无前件（植物不能生长，未必是缺水） 有后件必有前件（植物能够生长，必然是供了水） * * * * *当“如果p，那么q”成立时，前件p是后件q的充分条件。根据充分条件假言判断前后件之间的关系： 有p必有q 无p未必无q 有q未必有p 无q必无p 如果p，那么q 只有q，才p 对于“无q必无p”，我们也可以说“只有有了q，才可能有p”（只有产生了热量，才可能是摩擦了），即“只有q，才p”，而这正是必要条件假言判断的形式。因此，当p是q的充分条件时，q就是p的必要条件。这一转换用式子表示，就是： * * * * *当“只有p，才q”成立时， 前件p是后件q的必要条件。 根据必要条件假言判断前后件之间的关系： 无p必无q 有p未必有q 无q未必无p 有q必有p 只有p，才q 如果 p，那么 q 对于“无p必无q”，我们也可以说“如果没有p，那就没有q”（如果不供给水分，植物就不能生长），同时将“没有p”用“ p ” 表示、“没有q”用“ q ”表示（“ p”、“ q ”读作“非p”、“非q”），即可化为“如果 p，那么 q”，而这正是充分条件假言判断的形式。因此，当p是q的必要条件时， p就是 q的充分条件，这一转换写成式子，就是： * * * * * 只有q，才p 如果 q，那么 p 对于式中的“只有q，才p”来说，q是必要条件假言判断的前件，p是这一判断的后件，根据式的转换可得： 如果 q，那么 p 只有 p，才 q 在式“如果q，那么p ”中，q是充分条件假言判断的前件，p是这一判断的后件，根据式的转换可得： 只有 p，才 q 如果 p，那么 q 在式“只有p，才q”中，p是必要条件假言判断的前件，q是这一判断的后件，根据式的转换可得： 只有 p，才 q 如果p，那么q 这里“ p”、“ q”读作“非非p”、“非非q”，是对判断p、q的否定之否定，即肯定；换言之，“ p ”即“p”，“ q ”即“q”。所以，式可换写为： 如果p，那么q 只有p，才q 只有q，才p 如果 q，那么 p 这样，根据 式，可以得出如下循环转换关系：这就是说： p是q的充分条件（如果摩擦，就会生热）那么： q是p的必要条件（只有生了热，才可能是摩擦了） q是p的充分条件（如果未生热，就没有摩擦过） p是q的必要条件（只有未摩擦，才可能没有生热）再以室外“下雨”与“地湿”两者之间的关系为例：“下雨”是“地湿”的充分条件只要下雨，地上就会潮湿（即“有之必然”。 附带说明一下，这里的“下雨”指下得像了样的雨，不包括辛弃疾笔下那种“七八个星天外，两三点雨山前”式的雨在内。退一步说，即使只下了不多几点雨，肉眼看不出地湿，但用仪器来测量，地上总会比原先湿一点的）；“地湿”是“下雨”的必要条件只有地上湿了，才可能是下过了雨（但“地湿”不一定由“下雨”引起，洒水、解冻等都可使地面潮湿，必要条件前后件之间本来就是“有之未必然”）；“地上不湿”是“没有下雨”的充分条件只要地上不湿,就没有下过雨（不然必无之）；“不下雨”是“地不湿”的必要条件只有不下雨，地上才可能不湿（首先符合“有之未必然”：“有之”指有“不下雨”的前件，“未必然”指未必有“地不湿”的后件，如前所述，地面可能由于其他原因而潮湿。同时也符合“无之必不然”：“无之”指不是“不下雨”，即“下雨”；“必不然”指必定不是“地不湿”，即“地湿”。这样，就成了“只要下雨，地上就会潮湿”，又回到充分条件来了）。 * * * * * 如果 p，那么 q 只有 q，才 p 对于式中的“如果p，那么q”来说，p是充分条件假言判断的前件，q是这一判断的后件，根据式的转换可得：在式“只有q，才p”中，q是必要条件假言判断的前件，p是这一判断的后件，根据式的转换可得： 只有 q，才 p 如果 q，那么 p 上式可换写为： 只有 q，才 p 如果q，那么p 如果q，那么p 只有p，才q 在式“如果q，那么p”中，q是充分条件假言判断的前件，p是这一判断的后件，根据式的转换又可得：这样，根据 式，又可得出如下循环转换关系： 只有p，才q 如果q，那么p 如果 p，那么 q 只有 q ，才 p 这就是说： p是q的必要条件（只有供了水，植物才能生长）那么， p是q的充分条件（如果不供水，植物就不能生长） q是p的必要条件（只有植物未能生长，才可能是未供水） q是p的充分条件（如果植物生长了，就一定是供了水）再以“认真学习”和“成绩优秀”之间的关系为例加以说明：“认真学习”是“成绩优秀”的必要条件只有认真学习，成绩才会名列前茅（当然，“有之未必然”，认真学习的人成绩不一定优秀）；“学习不认真”是“成绩不优秀”的充分条件如果学习不认真，成绩就不会名列前茅（“无之必不然”）；“成绩不优秀”是“学习不认真”的必要条件只有成绩不优秀，才可能是学习不认真（当然，“不然未必无之”，成绩不优秀未必是由于学习不认真，因为除了“学习认真”之外，“基础扎实”、“思维敏捷”等都是成绩名列前茅的必要条件，缺一不可）；“成绩优秀”是“学习认真”的充分条件如果成绩名列前茅，那么学习一定很认真（“已然必有之”）。在日常生活中，人们常常自觉不自觉的运用着“充分”和“必要”的转换。上例中的两句话就是家长教育子女、老师开导学生时 常说的：“只有认真读书，才能学好功课；如果你不认真，就不能取得好成绩。”( 只有p,才q ；如果p,那么q ) 再如，“你必须把问题讲清楚，否则大家不会原谅你”，其中也包含着两种假言判断的转换：“只有把问题讲清楚了，大家才会原谅你；如果不把问题讲清楚，大家就不会原谅你。” * * * * *对于“如果 p，那么 q”这一形式，有的逻辑教本把它看作充分条件假言判断，如北师大等十一院校编写的普通逻辑；有的教材则将它作为必要条件假言判断的其他表达形式，如金岳霖主编的形式逻辑。笔者认为，前一种处理比较合理。说“p是q的必要条件，那么p就是q的充分条件”，实际上是用充分条件的形式表达了必要条件的