（应用数学专业论文）二维hénon方程极小能量解的渐近性态.pdf

毽缒垒硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 法学洲 熬援 擘尔师琵六学 主席 翰宫教授华东汗氯东苹 ) 习龚别教授耷末汗乳六孳 截党解谐舜擎乐汗亿六晕够帮 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：，= 益盖垒童 学位论文授权使用声明 e t 期：易心、。g ， 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和 纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学 校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有 权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本 j | ! i ! 定。 学位论文作者签名：复舀b 囊 日期：，钞r 、厶君 导师签名： 日期：幽拍誓，粤 我们考虑h 6 n o n 方程 摘要 蚓。矿- 1 z n 茁n z a q n 是r 1 v 中的单位球，o 0 是一个常数，指数p 是超线性且次临界的，即 l2 p 2 + = + 。，n = 2 ， iz = 一 性 u ，i，、【 第一章引言 关于半线性椭圆方程解对称性的研究一直是偏微分方程研究邻域的 一个热点，有了对称性，就可以把区域的维数适当降低，从而对研究解的 性态提供方便另外，b l o w u p 分析也是偏微分方程中非常有用的方法， 该方法主要是通过伸缩变换把区域放大，让我们能更加细致的研究解的 性质，所以通常被用来研究解的渐近性态 方程 1 1背景介绍 z q n ，( 1 1 ) oea q 这里的= 南是l a p l a c e 算子，q 0 是固定的常数，p 2 ，n = 日( 0 ，1 ) 是政“中的单位球该方程在天文学上有重要意义，是研究球状 星系时常用的模型，它在一定程度上反映了星系在旋转时的结构和稳定 性科学家m h 6 n o n 在1 9 7 3 年7 1 首次提出了该方程，故后人都把它叫 作h n o n 方程 单从数学角度看，h 6 n o n 方程也是一个存非线性分析和临界点理论 应用方面很好的例子关于方程( 1 1 ) 解的存在性，如果o = o ，则方程变 为我们熟悉的多项式型半线性椭圆方程，由经典的p o h o z a e v 恒等式我们 知道。p 2 + 时( 2 是s o b o l e v l | 缶界指数) ，方程无解，而且根据g i d a s - n i n i r e n b e r g 著名的结果f 8 。我们还知道该方程的解一定是径向对称的；但 当n 0 ，情况显然变得复杂很多，事实上。的存在会影响到解存在的 条件，因为根据p o h o z a e v 恒等式，只能知道在星形区域内，当p 2 + + 厕2 a 时，h 6 n o n 方程( 1 1 ) 解不存在那当p 2 + - 而2 a 时，解的情况到底 如何呢? 第一个给出明确结论的是w ，一m n i 教授，他在1 9 8 2 年1 9 ，t h e o r e m 6 】证明了对每一个p = 一 u u iilj(1_【 称的这个结果还是很出乎意料的，因为指数p 的范围包含了临界和超临 界的情况 虽然论文9 1 的结论拓宽了指数p 的范围。但之后的研究论文还是主要 集中在p 是次临界的情形，即 i2 p 0 ，当p 一2 + 时，方程( 1 1 ) 有唯一的极小能量解且径向对称；而 当p 一2 + 时，极小能量解一定非径向对称【1 2 】的主要想法是让p 固定， o l 一+ 。或者让n 0 固定，p 一2 + 时比较在全体函数空间和在径向对 称函数空间中两个极小能量的大小，如果后者大于前者，则极小能量解 一定不会是径向对称的 特别地，s m e t s 等人的研究结果实际上同时证明了方程( 1 1 ) 的多解性， 因为当“充分大时，方程至少会存在两个解：一个是n i 在1 9 1 中找到的( 这 5 在p22 - 时仍存在) ，另一个是上面介绍的s m e t s 等找到的非径向对称的极 小能量解 之后d c a o 和s p e n g l l 3 进- - 步得到了n 3 ，当n o 固定，p 一2 4 时 h 6 n o n 方程( 1 _ 1 ) 极小能量解的渐进性态：如果唧是邯的最大值点，贝1 x p 是 唯一的j | d i s t ( x p ，a q ) 一0 另外，我们还可以在【1 6 j 中找到当。一+ o o 时 h n o n 方程极小能量解的渐近性态 1 。2 本文的主要结果 文【1 2 】和文【1 3 】中关于p 趋向于临界指数的结果都是在高维情形( 】v2 3 ) 下取得的，二维的情形并没有研究本文的目的就是想讨论一下当n = 2 。a 0 固定，p 一十0 0 时方程( 1 1 ) 极小能量解的渐近性态 为了更好地描述本文的结果，我们先来熟悉一下本文中用到的一些 记号： 。u “，v ( 。) = 1 。g ( i i ：i 蒜) ( 1 3 ) 其中肛r ，z ，y 噼 6 告诉我们方程 z r 2 的解只能写成，( z ) 这样的形式 础) 是n 上的s o b o l e v 空，范数定义为”i l 础= ( ，| v b ( z ，j r ) 是以。为球心r 为半径的球 常数g ，a ，q 等是一般意义下的常数( 根据需要可以变化) z = f z l ，z 2 1 ，z 1 ，护代表z 的坐标分量 以下是本文的主要结果： 定理1 1 设脚是方程( 1 1 ) 的极小能量解，则存在与p 无关的正常数f l ，q ， 对充分大的p 有 0 c i j l “pjj 牌 岛 + 。 事实上，我们可以用迭代的方法对定理1 i 中常数伤值作出估计，有 以下定理 6 + “， 1 满足p 4 1 = 盟护a p 0 0 定理1 2 当p 充分大时，极小能量解不是径向对称的 本文的安排如下： 在第二章中，我们将先引入几个引理，然后对极小能量解的能量作 出估计，通过能量估计再结合c o - a r e a 公式来给出定理1 1 的证明，以及用 迭代的方法证明定理ll 第三章，我们将利用b l o w u p 方法对极小能量解 进行分析，证明定理1 2 7 第二章有界性证明 在本章中，我们首先将利用t r u d i n g e r 不等式和m o s e r 函数对极小能 量昂作出估计，然后分别运用c o - a r e a ( t 式和迭代方法证明定理1 1 和定 理1 17 2 1 几个主要引理 引理2 1 【3 ，l e m m a2 1 任给t 2 ，存存常数d ，使得对任意的“ h o ( q ) 都有i l “l t d 。t lf v a z l l l ：，这里n 是r 2 中的有界区域进一步有 l i m 研：( 8 7 r e ) 一 证明：对所有的z 兰o , s 1 ，有以下不等式成立 南父 其中r ( s ) 是r 函数 又根据t r u d i n g e r 不等式( 5 和 1 1 ，p 1 6 0 j ) 上唧m 赢) 2 卜蚓q l r ( 1 + 1 ) s f e x p 4 j l l c l f 2 l ( 4 7 r ) 因此， ( d c ) ( r ( ；+ 1 ) ) “1 m a 神i v 牝 令d t = ( r ( ；+ 1 ) ) 。c t 1 n 1 7 ( 4 7 r ) r ；，引理中的不等式得证 8 o 胪 v ；i 忆 厂 圳 嘶 o 广却l 0 如 赢胡知 一i ih 帆驯厂厶啕 z 生一 我 进一步，由s t i r l i n g 公式 f ( ；+ 1 ) ) 。( ( 等) 5 佤c ) ( 去) 5 d 其中o 仇 击由上述等价关系可得 i i m d t = ( 8 ”e ) 引理2 2 瓜s l i r ai n fp 1 2 c p j i ms u p p 1 2 勺v 自鬲可i 了_ 可i p o o 口一o 。 这里唧= 品 口 i 正h l ：我们将仿照 3 中引理2 2 的证明取小球既c cn ，对任意的0 f l ，考虑m o s e r 函数 ”f ( z ) 0 z ! l x l 己 z i l 易证得m f 硪( q ) 且l i v m ；i i 弘= 1 我们计算它的能量 l zr o m , p d z j n 去o g l 2 ( 训9 小n z + 去l o g - 5 ( 圳 9 b r b 。1 曙( l i z i ) 1 妒d z 珐1l o g l 2 ( l 1 ) 莉2 7 p 2 在上式中，我们取f ：l e - 鼎，则 所以 ( n 堋z ) ；去( 燕) ；z 警 高 l 2 c p 而 l v 而m t l l 面2 丽( 莉2 7 f ) 一；l 一字p 一5 ( 2 1 ) 9 班址啦 例刿洲 嘲且嘲。 ，j，、l 上面 又因为由引理21 可知 岛= v 邯i i l 。 巧1 p 由( 2 ，1 ) 和( 2 2 ) 我们可以得到 - _ p l 2 c p _ 厢面面( 是) 一；l 一字 在上式中让p o o 得 瓜l i m i n f p l 2 c p l i r a s u p p l 2 c p 、q 孑再而 p 一 p _ 推论2 3 8 ”e 1 裟群p 上i v “d z 1 1 竺9 p 上v 邯1 2 d x 4 1 r ( n + 2 ) e 8 w _ 0 不依赖于p 使得i i “ i l o 。c 证1 t 1 ：设a l 是一关于齐次d m c h l e t 边界条件的第一特征值，妒是相应的正 特征函数则如果u 是h 6 n o n 方程的正解，我们有 。= z ( “妒一酬d z = 也f u d x + 1 抓i 圳z z u 汕+ 1 1 p 汕 = ( 矿一a l u ) 妒d x 所以，i i ij l * a f 。m i n ) q ，1 ) 口 下面我们来回顾一下定理1 1 证明中所用到的c o - a r e a 公式 1 5 】 定理2 5 ( c o - a r e a 公式) 设m 是紧致带边黎曼流形，f w 1 , 1 ( m ) ，则 对任意定义在m 上的非负可测函数9 ，我们有 ：f ，= _ 7 ( l 南) 缸 2 2 定理1 1 的证明 证明：由引理( 2 4 ) ，我们只需证明存在c ，使得忪l k o 。g 即可 下面将给出极小能量解嘶的一致上界估训令 = r 警邯( z ) ，一4 = z ：萼 嘶( z ) ，g = z ： 0 ， ( 上u p 地) ；丽14 巾+ 2 ) e a + e a 丁+ 2 a + e 丁2 s - 1z l v u 扩妇= 上h 。哆- l + 2 s d x _ l ，满足e 4 1 = 鱼护a ，最后再让一o ，我们得到 l i m s u p i i , “prr 。e j a 1 5 口 第三章b l o w u p 分析 本章中，我们将用b l o w u p 分析的方法对极小能量解u ，在最大值点 的渐近性态进行分析，通过对渐近性态的刻画来得到我们想要的最终结 果 3 1b l o w u p 分析的预备条件 在以下部分中，记是极小能量解邯的最大值点，即邯( 唧) = i l 郇ip 引理3 1 1 i m 隧掣匕：佃 p + 。u 口 证明：记h 是一关于齐次d i r i c h l e t 边界条件的第一特征值，我们有 l = z f z i 。嚯如sd z ! h ( 唧) p - 2 上出 【咋( 唧) 】- 2 a i l i v m 2 d x = h ( ) ，。a i l 品 这里雌是引言中泛函，的极小子由上面的不等式得到b ( 昂) p 一2 孚， 由引理2 3 知昂一0 ，注意到= ( 昂) 寿印，得到 l i 。丛皂烂：+ 。 ，h 谯 0 。 接下来，我们来s l 出下面的定理1 ，2 证明中所用到的一个重要7 1 理， 证明过程中用了f 2 ，p r o p 3 2 】的方法 引理3 2 假设( z ) 2 瓦茜【邯( e 一十唧) 一坳( 酃) 】且在瓯。( r 2 ) 中如一 名，0 ，这里，o s l 言中( 1 3 ) 式所定义的l i o u v i i l e 方程的解则对任何兄 o ，当p 充分大时，我们有 扛z p ) v “p ( z ) 0 ，v z b ( z p ，e p r ) z p ) 特别地，是在口( 唧：勺固内唯一的临界点 1 6 证明：对任意的z b ( 唧，f p r ) ，令x ：x - - x p r ( o ，尺) ，我们有 。口 3 7 - - z p ) v 咖) = 掣x v 榔) 所以我们只需证明p 充分大时有 x ，v 九( x ) 0 ， v xe8 ( 0 ，r ) o ， 即可 假设存在实数岛，序列一+ 。和 x 。) cb ( o ，r o ) 满足 x n v 曲h ( x 。) o( 3 1 ) 由于b ( o ，r o ) ，所以存在x o b ( o r o ) ，一 情形( 1 ) x o 0 此时 x - v 西p 隅，一x o v u 旷一篇器 0 3 2 定理1 2 的证明 证明：在以下部分中，我们记e 一22 两i e l 珂同，由引理3 1 和引理22 知 2 霹1 劬 1 7 口 我们将分别证明当d i s t ( x p ，a n ) 写+ 。和d i s t ( x p ，a n ) 勺g 时，对充 分大的p ，u 。都不是径向对称的 情形i ) _ x o q 且d i s t ( z p ，a n ) e p 一+ 。 对任意序列；。_ + 。，记：= 毕一r ， 如( z ) 2 函p n 霜- - 1 钳+ ) 一“一n ( z ，n ) ， 因为尘些竺艘。o 。，所以显然有n 。r 2 由的定义可得满足方 e p 程 f 一= i e n z + x p n i 。( 1 + 舞) “，z n ”， o 0 ，让n 充分大，使u ( o ，2 r ) cn 。，设w 。是方程 一- - a w n 。，k 水坞小。渺：i 鬻翁， 的解因为l t 。z + z m i 。( 1 + 嚣) “- 1 1 ，所以由先验估计得 0 曼w , a c ( r ) 对z b ( 0 ，2 r ) ，令( z ) = ( z ) 一“h ( z ) ，显然饥( z ) 是b ( o ，2 咒) 中的 调和函数且有一致的上界0 由调和函数的h a r n a c k 不等式，我们得到 b s u ( 。) 5c ( 兄) b i 咀拓( 。) ( o ( u j or 1 d 又因为s u p 讥( z ) 移i ( o ) 一e ( r ) ，我们得到 b ( o ，r ) c ( r ) 砂。( z ) s0 ，z b ( 0 ，r ) 所以由砂。的定义得， g ( 冗) 2 。( a ：) 墨0 ，b ( o ，| r ) 1 8 根据的方程( 3 ，2 ) 和标准的正则化理论知，在( ( 哩2 ) 中一致有界， 从而存在。c 2 ( 础) ，使得在c ( 融) 中，一z 因此p h i l ( 3 2 ) 得，z 满 足方程 茁骢2 ， z r 2 ， i x i _ + o 。 ：- 。a 翥z c ! = 竺o , 专。，三e 譬 r 2 ：, 。 当z o o 时，f l 三变换h ( x ) = z ( b z ) ，其中b 2 = 赤所以 ( z ) 满足 一a h = 驴豫2 下面将证明e “ + o 。， 由于在( 琏2 ) 中，z n z ，所以在点收敛意义下有 - 1 ) 1 0 9 ( ，+ 者) 一矗卜o ，在脚 怕n 叫 1 0 9 ( - + 者) 一寿卜z ，在癣中 上：e ( 。) 出= 上。e 2 ( b t ) a z = 上。i z 。i 。e = ( ) d z l i m i n ki e n xq - x p a e z n + p n - 1 ) 1 0 9 ( 1 + 剁音】d z i m i n r 小i 甜计i ( ，+ 者) “如“一。j 2 p n l l i 。m i 。n i 瓦1 庐”一”【“h1 。jj ”一1 ( 3 3 ) 上。k z + l 。啦! + ) 血 = 1 骢掣际赢z i 嚷。1 ( 州z - i m i n r 若为点m 露。d z g 1 9 冰鉴 = 斗 & 鲫小 ，、l 最后的不等号用到了定理1 1 和推论2 3 由c h e n 和l i 的工作 6 ，t h e o r e m 】，我们可以得到 h ( z ) = l o g 所以 ，、， l 烈叫1 唱再覃两 由引理3 2 知存在的一个邻域，在该邻域中唧是邯( z ) 唯一的最大值点， 又注意到扣0 ，所以郇( z ) 不是径向对称的 情形i i ) 如一x 0 a n 且d i s t ( 唧a a ) l 勺曼c 不妨设d i s t ( ，a n ) l e p 一卢 o ) ，和之前一样e ；2 五丢争巧r i g 里m k 。 一 缸畿托宴蜘，釉) = i 弩1 憾够2 胪 ，+ 甜，z b ( 。，妄) 吨2 。 ”w 女k ( 。z ；鍪二：“刁。；严：。，nb ( 0 ，妄) ，) = 一m ，。 9 2 = o ) n b ( ，二) ， 注意到呜( z ) = a i j k z l + 城，( k z 2 ) 和骘( z ) = b j ( e k z l + 醒，“z 2 ) 在c 2 ( 岛。) 中 关于k 是一致有界的类似于情形i ) 的证明过程，这里利用了一般线性椭圆 型方程所对应的先验估计f 1 1 ，t h e o r e m3 7 ，p 3 6 、h a r n a c k i 不式i n ，p r o b - l e m3 4 ，p 4 8 和同胚映射垂及中的性质，我们知道存在”k 的极限函数 c 2 ( r ；) ，满足的方程为 ：t z 。0 t ( 3 5 ) 其中丁= ( z 1 ，z 2 ) ：。2 o ) = r ；在( 3 5 ) 中r a w , i t 续性知，p 0 下面将证明不可能是径向对称的 运用反证法，假设径向对称则不妨设“p 的最大值点如= ( 0 ，一1 ) 一 z o2 ( 0 ，一1 ) ，记r 是过z ，与z o 的连线上一点轨= ( 0 ，t a r 1 ) 的圆弧( o 1 ) ，贝l j y t = 西( 轨) = ( 0 ，t c v v ) ，所以垂p ) = v 2 = t c f v ，由“，1 ，= u v ( x t ) 知， 2 1 忙 。，n 一= 一 +| | ，研t _ k 舭。一。 _“叭厂厶 h p l ，。：t 。， = b ( o ，t a r ) ，从而叫p l ：t n ，c ， = w v ( o ，詈) ，让p 。o o 得 w l ：z ；。册= w ( o ，p ) ，因此如果记一 ；瓞2 + l j l 卢z 2 卢) ， = ( o ，z 2 ) l ；卢z 2 口) ，我们有l l ”i i p ( ) = jj l i p ( ，) s c ，不等弓是因 为”是连续的所以b 矿矗酽g i l = 0 0 ，与( 3 ，5 ) 矛盾 口 3 3 有待解决的问题 问题3 3 方程( 3 5 ) 是不是存在解? 如果有解，那么解的形状如何? 问题3 4 哗的霞大值点是否唯一? 唧的位置会在区域内部还是趋向边 界? 问题3 5 由定理1 1 知l l 岫 l 。o 是有界的，那么l u ，i l o 。收敛到哪里? 1 b 在整 个区域上的渐近性态又如何? 问题3 6 我们已经知道当维数n 3 ，p 2 + + 看时，h 6 n o n 方程至少 都是有径向解的，那么p 一2 + 惫时径向解的性态是怎样的? 2 2 参考文献 1 a d i m u r t h i ，m ，g r o s s i ，a s y m p t o t i ce s t i m a t e s1 0 r at w o d i m e n s i o n a lp r o b - l e mw i t hp o l y n o m i a ln o n l i n e a r i t y ，p r o c a m e r m a t h s o c 1 3 2 ( 2 0 0 4 ) n o 41 0 1 3 1 0 1 9 2 】k e 1m e h d i ，m g r o s s i ，a s y m p t o t i ce s t i m a t e sa n dq u a l i t a t i v ep r o p e r - t i e so fa ne l f p t i cp r o b l e mi nd i m e n s w nt w o ，a d v n o n l i n e a rs t u d 4 ( 2 0 0 4 ) n o 11 5 3 6 3 x r e n ，j w e i ，o nat w o d i m e n s i o n a le l f p t i cp r o b l e mu n t hl a r g ee x p o n e n ti nn o n l i n e a r i t y ，t r a n s a m e r m a t h s o c 3 4 3 ( 1 9 9 4 ) 7 4 9 - 7 6 3 4 jx r e n ，j w e i ，s i n g l e p o i n tc o n d e n s a t i o na n dl e a s t - e n e r g ys o l u t i o n ， p r o c a m e r m a t h s o c 1 2 4 ( 1 9 9 6 ) n o 11 1 1 1 2 0 【5 j m o s e r ，as h a r pf o r mo fa ni n e q u a l i t yb yt r u d i n g e r , i n d i a n au n i v m a t h j 2 0 ( 1 9 7 1 ) 1 0 7 7 - 1 0 9 2 6 】w c h e n ，c l i ，c l a s s i f i c a t i o no fs o l u t i o n so fs o m en o n l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o n s ，d u k em a t h j 6 3 ( 1 9 9 1 ) 6 1 5 6 2 2 7 】mh 6 n o n ，n u m e r i c a le x p e r i m e n t so nt h es t a b i l i t yo fs p h e r i c a ls t e l l a r s y s t e m s ，a s t r o n o m ya n da s t r o p h y s i c s2 4 ( 1 9 7 3 ) 2 2 9 - 2 3 8 8 】bg i d a s ，w 一m n i ，l n i r e n b e r g ，s y m m e t r ya n dr e l a t e dp r o p e r t i e sv i a t h em a x i m u m p r i n e 咖l e ，c o m m m a t h p h y s 6 8 ( 1 9 7 9 ) 2 0 9 - 2 4 3 【9 】w 一m n i ，an o n l i n e a rd i r i c h l e tp r o b l e mo nt h eu n i tb a l la n di t sa p p l i c a t i o n s ，i n d i a n au n i v m a t h j 6 ( 1 9 8 2 ) 8 0 1 8 0 7 1 0 c 一s l i n ，w - mn i ，it a k a g i l a r g ea m p l i t u d es t a t i o n a r ys o l u t i o n st o ac h e m o t a x i ss y s t e m 、jd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s7 2 ( 1 9 8 8 ) 1 - 2 7 1 l jd g i l b a r g ，n s t r u d i n g e r ，e l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so f s e c o n do r d e r , s e c o n de d i t i o n ，s p r i n g e r v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 8 3 1 2 】ds m e t s ，m w i l l e m ，j s u ，n o n - r a d i a lg r o u n ds t a t e si o rt h eh d n o n e q u a t i o n ，c o m m c o n t e m p m a t h4 ( 2 0 0 2 ) n o34 6 7 - 4 8 0 1 3 】d ，c a o ，s p e n g ，t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o u ro f 琥eg r o u n ds t a t es o l u t i o n s f o rh d n o ne q u a t i o n ，j ，m a t h a n a l a p p l 2 7 8 ( 2 0 0 3 ) 1 - 1 7 1 4 】r s c h o e n ，s - t y a u ，l e c t u r e so nd i f f e r e n t