（应用数学专业论文）板几何中具广义边界条件的迁移方程研究.pdf

摘要 摘要 自从上世纪五十年代l e h n e r w i n g 和j o r g e n s 的开创性工作以来，迁移方 程解的构造性理论研究已成为数学界、物理界和工程技术界都非常感兴趣的课 题。本文运用算子理论、半群理论和现代分析数学等方法研究了板几何中周期 ( 广义) 边界条件下具各向异性、连续能量、( 非) 均匀介质的迁移方程，获得了 该方程相应的迁移算子a 的谱分析等一系列好的结果。其主要结果叙述如下： 1 在第一部分绪论中，我们介绍了迁移理论的研究进展； 2 第二部分，在( 1 p m ) 空间对板几何中广义边界条件下一类具各向 异性、连续能量、菲均匀介质的迁移方程进行研究，证明了该迁移算子a 产生c n 半群和该g 半群的d y s o n p h i l l i p s 展开式的二阶余项在f ( 1 p o 。) 空间上是 紧的和在z 空间是弱紧的，从而获得了该算子在区域r 中仅有有限个具有限代 数重数的离散本征值，并且证明了其占优本征值的存在性； 3 第三部分，在r 空间对板几何中周期边界条件下一类具各向异性、连 续能量、均匀介质的迁移方程进行研究，证明了该迁移算子4 在带域只。( 4 ) 中 无复本征值和仅由有限个具有限代数重数的实离散本征值组成等结果。 关键词：迁移方程；广义和周期边界条件；二阶余项；紧性；复本征值 n a b s t r a c t a b s t r a c t s i n c e1 9 5 0 st h ee x p l o r a t i o nw o r ko f l e h n e r - w m ga n dj o r g e n s ，t h ec o n s t r u c t i v e t h e o r yo f 订a n s p o r te q u a t i o ns o l u t i o n i st h es u b j e c to fg r e a t l yi n t e r e s t e di n m a t h e m a t i c s ，p h y s i c sa n de n g i n e e r i n gt e c h n o l o g y t h i sp a p e r r e s e a r c h e st h es p e c t r u m o ft r a m p o r to p e r a t o raf o ra n i s o t r o p i cc o n t i n u o u se n e r g ya n dh o m o g e n e o u so r n o n h o m o g e n e o u si ns l a bg e o m e t r yw i t hp e r i o d i co rg e n e r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sb y t h eo p e r a t o rt h e o r y , t h es e m i g r o u pt h e o r ya n dt h em e t h o d so fm o d e r na n a l y s i s m a t h e m a t i c s ，a n dw eg e tas e r i e so fg o o dr e s u l t sa b o u tt h es p e c t r a la n a l y s i so f 订；m s p o r to p e r a t o rar e l a t i n gt ot h et r m , a s p o r te q u a t i o n s t h em a i nr e s u l t sa l es h o w e d 笛f o l l o w - 1 p a r to n e , i n t r o d u c t i o n , i nt h i sp a r t ，w ei n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to ft h e t r a n s p o r tt h e o r yr e s e a r c h ； 2 t h e s e c o n dp a r t , i nl p ( 1 p o o ) s p a c e ，i tr e s e a r c h e st r a n s p o r te q u a t i o nf o r a n i s o t r o p i cc o n t i n u o u se n e r g ya n dn o n h o m o g e n e o u s 谢t l lg e n e r a lb o u n d a r yc o n d i t i _ d n si ns l a bg e o m e t r y , i ti st op r o v et h a tt h et r a n s p o r to p e r a t o ra g e n e r a t e sac o s e m i g r o u p 矿( ，) ( f 0 ) a n dt h es e c o n d - o r d e rr e m a i n e dt e r mo ft h eo y s o n p h i l l i p s e x p a n s i o no ft h ec os e m i g r o u pi sc o m p a c ti ni f ( 1 p 0 的一般迁移方程，证明了其相应的迁移算子a 产生的c 0 半群 e 0 ) ( r 3 r ) 是紧的，从而得出了迁移算子彳的谱及方程解的渐近展开式“。1 9 6 2 年，n o r t o n 讨论了介质均匀、粒子单能、各向同性在球对称模型中迁移算子彳的 实谱的性质，得出4 有无限多个向o o 聚集的实离散本征值，且每个本征值的代 数重数为l “1 。1 9 6 6 年，u k a f 将n o r t o n 的结果推广到有界凸体情况，虽然仍保留 了介质均匀、单能、各向同性诸假设，但得出a 存在可数无穷个集聚于m 的实 离散本征值嘲。1 9 6 9 年，l a x & p h i l l i p s 应用极值原理比较简洁地证明了文献 5 的结果旧。1 9 8 0 年，阳名珠教授和朱广田教授应用极值原理将l a x & p h i l l i p s 的结 果推广到了非均匀介质的情况，但仍要保持各向同性和单能的假设”1 。其它情况 第1 章绪论 下结果如何? 自然引起国内外专家学者的密切关注”侧。 由于动态中子迁移方程解的渐近行为取决于方程所确定的迁移算子的占优 本征值，而占优本征值的存在性研究是一个重要的难题。1 9 7 8 年，阳名珠教授 和朱广田教授证明了含空穴的任意非均匀、各向同性、连续能量的有界凸体中 的中子迁移问题所确定的迁移算子的占优本征值的存在性嗍；1 9 8 1 年，阳名珠 教授和朱广田教授借空间的算子理论，对极为一般的迁移模型一含空穴的任何 非均匀介质中具各向异性、连续能量中子迁移方程论证了相应的迁移算子的占 优本征值的存在性”1 。1 9 9 6 年，王胜华教授研究了板几何中广义边界条件下一类 具各向异性、连续能量、非均匀介质的迁移算子的谱，得到了该迁移算子的占 优本征值的存在性等问题”。 迁移理论中的数学问题的研究由前期的以近似解法为主转入到应用现代泛 函分析的算子理论对他们进行统一的、整体的所谓构造性分析，得出了许多新 的结果。近年来，迁移算子谱分析研究在迁移方程解的构造性理论和应用领域 方面有着丰富的研究成果。1 9 8 5 年，v o g i t i 讨论了相应的迁移算子产生的半群 展开式余项的紧性问题，并得出了本质谱的一些结果“1 1 。1 9 9 2 年，m o k h t r a r & k h a r r o u b i a 在一般的b a n a c h 空间中讨论了一类抽象c a u c h y 问题解的大时间 渐近行为“。1 9 9 3 年，l a 护a c h k 讨论了板几何中一类具非对称散射裂变核的迁 移算子的谱分析“”；1 9 9 9 年，l a t r a c h k 讨论了带抽象边界条件的单能，介质 均匀、各向同性的一维迁移算子的谱性质，得出了如果边界算子是有界正的。则 半群是不可约的“”；2 0 0 0 年，l a t r a c h k 在文献 1 4 1 中对迁移算子产生的半群的 紧性进行了分析，并得到了非线性有界值问题的解的存在性“”。2 0 0 0 年， l a t r a c h k a n d d e h 配l a 在f ( 1 p o 。) 空间中证明了迁移算子彳在相对严格单 一扰动下的本质谱的不变性“”；2 0 0 1 年。l a t r a c h ka n dd e h i c i a 在p ( 1 p 。) 空间中研究了板几何中具完全反射和周期边界条件各向异性、介质均匀、单能 的迁移算子的谱，证明了这类迁移算子产生c n 群和该群d y s o n p h i l l i p s 展开式 的二阶余项尼( f ) 的紧性“”。2 0 0 3 年c m o h a m e da n dl a t r a c h k 应用构造算子的 方法用比较简洁的证明了文献 1 7 的结果，从而得出了该c 半群的谱性质“”。 2 0 0 5 年，王胜华教授，研究了板几何中周期边界条件下一类具各向异性、连续能 量、均匀介质的迁移算子的谱分析，证明了这类算子产生g 群和该群的 d y s o n p h i l l i p s 展开式的二阶余项是紧的，得到了该迁移算子的谱在区域r 中仅 由有限个具有限代数重数的离散本征值所组成，并证明了迁移算子占优本征值 2 第1 章绪论 的存在性等结果m 】。 本文的结构为：第一章绪论：第二章在口( 1 p ) 空间研究板几何中广义 边界条件下一类具各向异性、连续能量、非均匀介质的迁移方程，证明了该迁 移算子彳产生c n 半群和该半群的d y s o n p h i l l i p s 展开式的二阶余项在 f ( 1 p ) 空间上是紧的和在空间是弱紧的，得到了迁移算子在区域r 中仅 有有限个具有限代数重数的离散本征值组成，并证明了该算子彳的占优本征值 的存在性等结果；第三章在r 空间研究了板几何中周期边界条件下一类具各向 异性、连续能量、均匀介质的迁移方程，证明了该迁移算子4 在带域只。( a ) 中无 复本征值和由有限个具有限代数重数的实离散本征值组成等结果。 第2 章一类具广义边界条件的迁移算子的谱 第2 章一类具广义边界条件的迁移算子的谱 2 1 引言 近年来，对迁移方程解的渐近性态和迁移算子的谱分析研究有许多工作。 l a t r a c h ka n dd | e h i c i a 在文献 1 7 】中研究了板几何中具完全反射边界条件粒子 单能的迁移方程，在一定的条件下( 如要求盯( ) = 盯( 一) 等) ，证明了其相应的 迁移算子产生g 群和其d y s o n p h i l l i p s 展开式的二阶余项是紧或弱紧的。文献 f 2 0 在r 空间对板几何中周期边界条件下具各向异性、连续能量、均匀介质的迁 移方程进行研究，去掉了文献 1 7 中要求总碰撞率满足的对偶性条件，证明了其 相应的迁移算子产生c n 群矿( f ) o 0 ) 和其d y s o n p h i l l i p s 展开式的二阶余项是 紧的，得到了该迁移算予在区域r 中仅由有限个具有限代数重数的离散本征值组 成和占优本征值的存在性等结果。文献 2 1 1 研究板模型中一类带广义边界条件具 各向异性、单能、均匀介质的迁移算子4 的谱，证明了其生成的c n 半群为不可约 半群及迁移算子一的一些谱的性质。文献【2 2 】又将文献 2 0 的些结果推广到 ( 1 茎p m ) 空间，但仍然保留各向异性、连续能量、均匀介质的假设。那么， 对具各向异性、连续能量、非均匀介质中的最一般的迁移方程其结果又将如何? 自然引起了人们的关注。 本章对p ( 1 p m ) 空间板几何中广义边界条件下一类具各向异性、连续能 量、非均匀介质的一般迁移方程进行研究，证明了这类迁移算予彳产生g 半群 矿( r ) 0 2 0 ) 和该半群的d y s o n p h i l l i p s 展开式的二阶余项r ( f ) ( f 2 0 ) 在 ( 1 p 。o ) 空间是紧的和在卫空间是弱紧的，并且得到了该算予彳在区域r 中 仅由有限个具有限代数重数的离散本征值组成和占优本征值的存在性等结果。 下面研究板几何中广义边界条件下的迁移方程的初边值问题： 曼竺鱼! ：二生尘：旦竺生罢兰生尘一盯( x ，) ( x ，。，r ) o t缎 + l 咖f 。七( 毛v ， ，：似1 ，：j ，) 以 ( 2 1 ) y ( x ，v ，卢，o ) = ( x ，v ，) ，缈i r - = j 丁( 卜) 4 第2 章一类具广义边界条件的迁移算子的谱 其中，函数盯( 工，v ) 和k ( x ，v ，v ：分别表示总碰撞率和散射裂变核，r 一( r + ) 为 相空间边界处飞入( 飞出) 部分，h 为正有界线性算子，即平行板的左右面上的 广义边界算子。即 妒( 一a ，1 ，) = o t ￥t ( a ，v ，) ，a t 0 , 1 ) 驴，( 口，v , a ) = 口( - a ，v ，a ) ，( - l ，o ) ( 2 2 ) 其中，口 o ，1 ) 为边界反射率，其余符号意义见文献h o ，2 0 。假设： ( d 1 ) 函数仃似v ) 和k ( x ，v , u ，v ：分别为g = - a , a x e 和d x d o 有界可测 函数，0 0 时 e “m 嘶一埘伊( x ：v ，) 出，( 一1 ，o ) ( 2 ，1 6 ) _ 黑= = 士 。e + c “如懈尹( x , v , a ) d x 1 一船玑辐惴l + 高e e 盯w v 心妒( z ：v 冲：e ( 。，1 ) ( 2 1 7 ) 1 一伽观“一忙，麟j 声 e e 鄙+ r “口舯m 矿o v ) 出 + 击j e 盯。“舯腑矿( z ：v ，冲：e ( _ 1 o ) 7 第2 章一类具广义边界条件的迁移算子的谱 吣m ) 。亩 y 驴小瓜“州六”埘+ 眇州哪卜“触i ( 2 1 8 ) 令( 由+ e 同 ，d ，- 纽铲= f 伽1 ) ，f ：样= 可x - x 一_ f 。，所以 工= 2 a n i i ，+ 工( 疗1 ) ，d x = 一l i 旃；工= 一i i f 。+ x ，d x = 一i i , l 出“ 于是( 2 1 8 ) 可化为 吣m ) = p “能州和卜擘胡们凇槲v 铱t 2 ) 。川以( 2 ) 。伽一国。 + f p l ”+ 削偕矧矽( 一陋i f “+ x ，v ，) 兹【一。+ ，v 。+ ，删】( f _ ) 西” ( 2 1 9 ) 故由( 2 1 9 ) 式，当 0 时，妒v ，) 的表达式为： y ( x , v , 1 ) 2 篆f e 啪啷酬鼻叫，蜡鹏1 烈2 撇一川f + 五v ，肋 ( 2 2 0 ) 施2 。1 p 怔帆2 肿l 扣舢( f ) 西 当t - - 0 ) ，所以由算子k 的有界性可得 定理2 2 “”设日为( 2 3 ) 所确定的广义边界算子 生成c 0 半群v ( t x t 2o ) ，且有咖。丹一p h i l l i p s 展开式 月- 1 y o ) = u ( f ) + b ( r ) j = o 则迁移算子a 在彳上 ( 2 2 4 ) j u 。o ( t ) = u r ( f l f ) = s o u ( ) k u s _ , ( t ) d s , j 1 ( 2 2 5 ) 卜( ) 2 j 謦+ 。u “) k 【，( f 2 ) k x u ( ) 置呻一一) 戤丸 r 2 0 ) = i + ，：9u ( t , ) k u ( t 2 ) k y ( r 一 - t o d h d t 2 ( 2 2 6 ) 。d g 1 1 0 2 4 二阶余项的紧性 本节主要讨论迁移算子4 产生的c 0 半群矿( ，) ( f o ) d y s o n - p h i l l i p s 展式 的二阶余项岛( f ) ( f 20 ) 的紧性。假设： ( 0 2 ) k 为正则算子，即如果k 限制在f ( d 0 ) 上是正的和紧的。 由于k 为x 上的正则算子，不妨设k 为秩一算子，仍用k 表示。即 酬毛b 脚= j k o ，b m 地v i 芦( 2 - 2 7 ) = d v j ：。口( z ) ，( v ，) g ( v ，a g q d ( x , r , 声咖 其中，口 ) r ( 卜口，口】) ，f el p ( e x 一1 ，1 】) ，g l q ( e x - 1 ，1 p ，- ，g + m ，= l ，令厅( j ) = 厂( ，) g ( ，) ，则 ( u ( f 2 ) 却 v ，) = 丢矿州如卜咧c 础v 脚d v f 。d a ( v ，) g ( v ， 8 ( 2 h a s g n ( a ) 一心+ x ) 似2 n a s g n ( a ) 一，岛+ 而v ， ( 2 2 8 ) 荪( 2 ，一p + 驷p 咖机2 一+ 1 ) 州喧喊，h 州】心) 令葺= s g n ( a ) 2 h a 一r ，+ x ，于是有 9 第2 章一类具广义边界条件的迁移算子的谱 ( x v ( t ：) 足伊) ( 五) = 萎口”e 甜州卅州_ c 州扣懈工咖。f 。g ( v 怫坝x ) 咖f 。咖1 9 ( 五) ( 2 2 9 ) + 厂扣，声v p ，) g ( y ：弦( 五，v , i s ) z i 2 。- 1 ) 。+ $ ( f 1 ，伽t “2 。i ) 。口h h ) l u l ( t 2 ) ( u ( t i ) k u ( t 2 ) k 矿) ( 五v ，a ) = c g n + k 9 1 ； l ”悖”驴蟛麟咖t o ( x o f ( v ，) g ( v ：，( v ：协t _ 姬 i 。 p 札叫啊吣p 侣，榭量西。f i o ( 2 k a s g n ( t ) 一膨+ x o g ( v 卿。( 2 3 0 ) ( o ( 2 k a s g n ( , u ) 一+ x q ，v 铱( 2 。一1 ) 。+ 鲫( ，h ) l u l t ( ( 2 h + 1 ) 。+ l 印( 弘i 珈f 1 】( f 2 ) 氟( 2 l 一1 ) 甜_ 加( ) j ) 帕2 j “) 口+ i 簪h ) l u j j ( t o 类似文献 1 7 ，由( 2 2 6 ) 可知 咒o ) = ，( k a n ) ( 2 3 1 ) n j 2 0 其中 ( 霹4p ) 妒) ( 工，v ，) = 口“i + 。戤出p 甜l ”瞎+ 州肿驴懵删d v 。f 。口( 五) 厂( v ：g ( v j 舡，+ b 9 。 l 唱静州即- 咧叫? 口懵j v w 妒c 咖- p ( 2 k a s 印) 一以+ 而) g ( v - ，v - 越j 1 。7 。 f ( v ，声y o 一- - t 2 ) 口o ) ( 2 k a s g n o a ) - a t l + 五，v - ，- ) 施( 2 一- 1 k 吲h 咖i ( ( 2 。+ 1 ) 。+ 酬f h 枷1 】( f 2 ) 蕊( 牡一i ) ，+ - p 喊，) ，) m 舢( 2 l + 1 ) 。+ 唯1 【一) ，) ，m 】( ) 定理2 3 设日为( 2 3 ) 所确定的广义边界算子，由假设( 0 2 ) ，则 是( t x t 2o ) 在l p ( d x i p o ，3 k o ( t ) z 使得当_ | ( f ) 时有 f 0 ，f 2 o ，t 。+ t 2 r ) 令工= 2 肠s 朗以) 一蹦+ 而= 2 k a s g n ( u ) 一脱+ 2 n a 一a f 2 + 工7 o ) ，且 = 亡- ( s g n ( , u ) 2 k a 一+ 2 m + 工一x ) = ( ，屯，x ，工，) ，d = d 又令 ( v ，u ) = 厂( v ，。) g ( v ，) ，可得 第2 章一类具广义边界条件的迁移算子的谱 ( 以p ) 妒) ( 五v ，) = 口“i bd t l d t 2 p 辞吲印+ i 州p c 州川埘d v 厅( v - ，b ，f 2 ，x ，妒，) ) 出 詈工咖焉霸螂w 腓：制( 即一一例“，l 州 厂( v ，) 臼( 五) f g ( v 甘。) d 。o ( 2 k a s g n u ) 一y ，2 ，x ，x ，) + 五) 以忙州州2 脚叫m 坞 咖m 以卑“2 肿i m ( 2 一p “ ，。，2 + ，咖m 以j ，。巾( 乞) 局“2 - 1 ) 4 + 酬n ) 月础( 2 k + 1 ) a + a g “) j ) 加瓴) 再令彤( ，) = g l g 2 ，其中 g l ：r 口( 只【一口，口】e 【一1 ，1 1 ) ，g l 妒( f ，t 2 ，x , v , 2 ) = ( y ( f 一一f 2 ) 妒) ( z ，v ，) g 2 ：f ( 芝卜口，口】e 【一1 ，1 1 ) - - f ( e “一口，口】) 6 ；妒( ，f 2 ，v ”) = 上d v “f ，g ( v ”，”切( ，f ：，工，v ”，) c 以” 钳：( 恁【哪，4 】) 寸x ( ( 誓? 力( 薯b ) = 口4 “幽啦e 静“扣+ 咧p j 二吣，删丘咖t ( v ：( r l ，f 2 ，毛x ，) 妒( 五) 厂( v ，) 出 e 嗣吲螂”帕w 0 ( 2 妇蹭毗) 一肌f 2 ，碱) f 1 + 洲协x ， j ( 2 一一l 州2 一n 一，h + ，) ) l u ( t t , t 2 j 扯( 2 一+ 1 ) 。+ 2 n a - j u 以j ) b + ，) ) p ，巾( f 2 ) 五“2 i l l ( ，) j 聃小( 2 i + 1 ) d + 州u ) x ) l # l l ( ) 因为g l ，g 2 均为是有界算子，所以要证明础n l g i 正n 嘭( f ) 为紧算子即 可。设伊f ( 尾 叼，口】d ，则 0 q ? 伊旺se 1 i i 如幽如上咖出乞1 八h ) 嵋井坝”， 一移( 抑恻。坂v i ，尹“，f 2 ，x ，1 ，r 凼撕 其中 1 2 第2 章一类具广义边界条件的迁移算子的谱 朋j = 口一+ i p 井阿扣) + l 州p c 口v 眦口( 葺) o ( 2 k a s g n ( ) 一( ，f 2 ，工，x + ，) f 1 + 五) 五( ( 2 。一i ) 。+ ( 2 舢卜n 山一，) b + ，咖( 。，：，斗( ( 2 “) 【2 n a - p u 山一，胡h + ，) 伽“也一，巾( f 2 ) 五“2 一】) 种咧f p 矽m “2 l + 1 m + 霉妇扛影娜( ) 于是有 雠p 弘m l i d q d t 2i e d v o d x t ；1 厂( v ，) e 甜e 州妇- j ，舟w 矗( v t ，矿( ，岛，r ，v ，rd x d v d 由假设( d 1 ) 得 胁弘m 凼必p p 1 厂( v ，俐 ( 2 3 3 ) p 井l “+ c 口埘。矗( v j ，缈( ，f 2 , x , v si 出d 、础 于是( 2 3 3 ) 可化为 l l g 警妒旺m 丘il 砒如咖l d r ：t ；1 厂( v ，弦曲吐矗( v 。，声妒( ，f 2 ，0 ，v 3 1 d r d v d u 即得 i l g i n 。, k i k p 肘丘il 以如上咖。a k 一f ( v ，卢) p 1 2 ( v ： 妒( ，f 2 ，v 1 1 d r d a , d t 其中，m 为常数。延拓函数矗使它在e 【一l ，1 】外为0 ，延拓函数妒使它在见 卜口，4 三夕f 为0 ，则 p “z 矗( v ：t ( f 1 ，f 2 ，x ，一，) ) 工1 ( r ) 由不等式性质得 雠g n d 2 ，ps m 曼i f ( w ) r d v d u l 。h ，小。1 ( v ，( t l ，r 2 ，x ，矿，) ) 伊“，f 2 ，v 地出d k + d v r a k 所以，由y o u n g 一不等式可得 i i 础瞄眦删】) 帅呐 其中，e 。为常数，这说明连续依赖函数厂f ( e 卜1 ，1 】) 和h p ( e r 2 ) 。 第2 章一类具广义边界条件的迁移算子的谱 因此，利用具有紧支集的连续函数按l 1 ( 或f ) 范数逼近函数厅( 或厂x 知础 是具有界核的积分算予按一致拓扑收敛的极限，故q 在p ( d ) ( 1 吼( 本质谱型) 。由定理2 3 ，有 定理2 4 条件同定理2 3 ，则由b 生成的g 半群u ( t x t 0 ) 和由a 生成 y ( f ) o 0 ) 有相同的本质谱型吐；f 由迁移算子a 的至多可数个具有限代数重数 的离散本征值所组成。 证明当r e 3 | i k i | - 盯时， ( 五，一彳) 。- ( 五l - s ) 一t ( ，一b ) 。k 】”( 一口) 一1 则( 甜一彳) - 1 - ( a , 1 - b ) - 1 是x 上的紧算子，则由k a t o 引理知a m ( a ) = d o ( b ) ，从 而c 0 半群u ( f ) ( f 0 ) 和c o 半群矿o o ) 有相同的本质谱型q ；当r e 五 一盯时， 根据g o h b e r g k r e i n 定理和谱映象定理知，区域r 由迁移算子彳的至多可数个离 散本征值所组成。 定理2 5 设r e 五= l 陋卜盯，则( 彳) 妒，且存在实数届c f 为算子4 的本征值。 证明设r e a = l i k i i - 仃，则( ，一b ) 。1 是x 上的有界线性算子，因为 【，一( i l l - b ) 1 吲- i = ( i l l - b ) 。矸 ( i l i - a ) - 1 = 【( ，一口) ( ，一( ，一b ) - 1 p 】- = ，一( i l l 一曰) “k 】“( i l l - b ) “ 所以( d i 一一) 。1 也是x 上的有界正算子。从而可知 r ( i l ) 2 ，( 易( 彳) ) 为彤( 彳) 。( i l i 一彳) 。的本征值，相应地有非负本征函数，即 r ( i l ) 2 如( 爿) 2 ( i l l 一一) - 1 所以有( i l - 灭i 习。4 。令属2 一天i _ 则风是彳的本征值若取和，满 1 4 第2 章一类具广义边界条件的迁移算子的谱 足： i l k i i 一盯一页1 万 一页1 历2 成茎0 k 卜盯，一盯 o ，( f l o z - b ) 。k 抄卜- i 妒i o ，a , e ，所以 ( ，o i - b ) 。k i l i 妒i = 0 即：a i , t - - 成m 。由文献 1 1 可知：岛+ 泐e fo 忉，则当n 充分大时， 与文献 1 1 中的定理5 矛盾，故尻为a 的占优本征值。从而此定理获证。 注：在完成本章之后，我们己将本章的结果推广到一类具反射边界条件下具各 向异性、连续能量、非均匀介质的迁移方程情况汹1 。该方程的初边值问题为： 曼坐q ! ：! j 丝尘：_ 旦竺垒! ；! 二丝盟一盯( x ，) ，r ) o t盘 + j 咖j = ，七( 工，v ，v ，v ，g , t ) d k t ( x ，v ，0 ) = ( x ，v ，) ， r - = 日( h ) 其中，函数a ( x ，v ) 和k ( x ，v ，从v ：分别表示总碰撞率和散射裂变核，r ( r + ) 为 第2 章一类具广义边界条件的迁移算子的谱 相空间边界处飞入( 飞出) 部分，h 为正有界线性算子，即平行板的左右面上的 反射边界算子为： 一 y ( 一口，1 ，) = g y ( 一口，v ，一) ，z ( o ，1 )l ；f ，u - ) = ( d ，v ，) ，( 0 , 1 ) 其中，i t 【o ，1 ) 为边界反射率，其余符号意义同文献 1 0 ，2 0 。我们通过假设 ( q ) 函数盯( x ，v ) 和k ( x ，v ，u ，1 ， 分别为g = 一口，口】e 和d x d o 有界可测 函数，0 一，则k ( 2 1 一占) k ，k ( a i 一切。足，k q ，一动。k 都 是石上的紧算子。其中f 为置的共轭算子。 证明先证k ( m b ) - 1 k 的紧性。由( 3 1 2 ) 式和广义h o l d e r 不等式知 j d x d 叠耐脚c d v 。和”l 君j ( t k ，工：，鼻 # ) f 峨，则( 甜一曰) - 。k 是z 上的紧算子。 证明对任意的沙x ，有 l ( ( 五，一b ) v ，妒 陶( r e ( m - b ) v ， i r e f ：西r 【击，f 1 ，d ( a + 盯( v ) ) i v ( x ，v ，) 1 2l l i c , l l v ( x ( r e z + a o ) 2 r 。j 一。西吖e 击7 j 一1 d ( a + 盯( v ) ) i ，v ，) 1 2 2 所以有 ( r e g + o r o ) l i ( z 1 - b ) “ 矽1 1 2 纠( k v ，( g i - b ) 。k v ) l - f k i f 吼 c p 口) 。 定理3 4 对任意的实数 一c r 0 ，有g p 是x 上的正定