（应用数学专业论文）生物降解模型解的渐近特征.pdf

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d e p e n d e n t s o l u t i o i lt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs t e a d y - s t a t es o l u t i o n s t h ea s y m p t o t i c b e h a v i o ro f t i m e - d e p e n d e ms o l u t i o m 2 k e y w o r d s ：b i o d e g r a d a t i o n , a s y m p t o t i cb e h a v i o r , u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n , s o b o l e vs p a c e ，l c r a y - s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m , s t e a d y 眦s o l u t i o n 山东大学硕士学位论文 第一章s o b o l e v 空间及上下解方法 1 1s o b o i e v 空间 那些具有亘剑k r 厂义导效的函致的全体记为 日( 口西) = 陟g 1 厂“g ) 厶q j k = 0 1 2 上j 显然h ( 口占) 是一线性空间若再定义内积和模分别为 o ，v k = 窆p 缸铲) d r 阶医胪d x y 2 = 阿“计删可删： 日( 口，6 堤完备的内积空间并称之为岛6 d 跆v 空间，通常也用到s 曲d 伽空间 研( 口占) 它的定义是日：( 口占) = l 厂g l 几) e 日( 口占) ，( 口) ；厂( 6 ) = o j 可以证明 日( 口士) 是一个完备的内积空间，即是一个h i l b e r t 空间对于高维区域有关经典导 数推广为广义导数的途径以及有关s o b o l e w 空间的定义方式都可以将一维有关问 题的讨论平行推广到高维区域记高维区域 q c 胄4 ，西= q u 豫x = b 。，乇，屯矗) 口= 缸l ，口2 ，口。l l 口i = 口l + 口2 + + 口。 。q = 掣 州= 焉丢 岛”d k 。 出) = 伊胪伊娴 在高维区域的有关问题中g r e e n 公式 ， 出銮銮：要主：墨薹蚤 = 一毒斌+ 如c o s o ，皿舯e g ( q ) 是实现变分形式转换为微分方程形式，实现微分方程弱解和经典解转换的关 键，所以用g 吼公式推广导数的概念，设nec 4 ( q ) 那么下列关系式显然成 v 挚一詈训v ( q ) ，加，一 j v 争舢卜弘器撕c 蛆，一 v d ? 凼= ( - l 一 u d 4 v d x ，v v g 心l 若使上面各式在积分意义下成立即可把连续可微的概念推广到较弱的情形 定义3 对函数“e 上2 ( q ) 若存在g 。工2 ) 使得 v 譬。出= ( - 1 y 卅p 。诎，v v e g ( q ) 成立则称& 是”的口阶广义导数且记为2d ：依一维s o b o l e v 空间的定 义可以直接定义 日= l 厂b 1 吖e 厶怫陋删。封。4 卅2 对 日：( q ) = 矿b l 厂b ) 日( 磷几1 = 0 】 具体的对二维区域的情形当，g ) 日2 ( q ) 时，有 吩妙陋婚p + 2 卜 州p 盼( 酚斛+ ( 射+ 圈2 卜 在前面我们利用广义导数直接定义了s 。b o l w 空闻和日( q ) 和 础( q ) 由s o b o l c v 空间的日( q ) 定义我们可以很容易的验证一个函数是否属于 4 当奎奎兰要主耋兰鎏耋一 日( q ) 由6 d 脚空间矽心) 的定义，又可以用每 c c ( q ) 来逼近和研究，这些 都给研究和应用s o b o l “空间带来很大方便，另外由于s o b o l e v 空间中的模表示了 某种能量所以在s o b o l e v 空间中研究数学物理问题也就相当于从能量角度研究数 理问题它更具有广泛和深刻的价值所以s o b o l c v 空间在应用数学范围内被广泛 应用 1 2 上下解的方法 上下解的方法又称比较方法，最初是应用于讨论椭圆型边值问题的上下解的 方法，它倚赖于能否找到上下解一旦找到上下解不仅证明了边值问题解的存在性， 而且还得到解的估计式 我们先给出椭圆性边值问题的l t 较方法进而应用到我们的抛物型初边值问上 因此我们先考虑半线性椭圆性边值问题： l u = 厂b ，) ，0 啪 b u - s ( x ，融施) ( 1 2 1 ) 其中分别由下式给出 船孛劓去+ 喜詈艇q ) ( 1 d 占“= 口景+ 6 陬g 勰) ( 1 2 ) 且满足 i l 是f h ( i 1 冶出，一工是q 上的一致椭圆算子，a q c 2 ” 2 a 。g ) 包g ) ，七) c 4 每l ( o 口 1 l 3 b m 0 2 ) 给出，bg ) ec 1 ”( 破1 6 g ) o ，g g ) c 2 ”( 弛) g ( x ) 延拓到q 内部成为雪( x ) 使得雪( x ) e c 2 ”( 五) 且雪( 力= 譬( 力( x e a q ) 定义：西ec 2 ( 磊) 叫做( 1 2 1 ) 的上解，若 山东大学硕士掌位论文 - _ i _ _ _ i _ i i - l l l _ - _ l l l l i _ l _ - - - i _ l _ _ _ _ _ _ - l _ - - 上面i 毛刃 ( x e q ，b 自g ( 功( x e a q ) gec 2 ( 矗) 叫做( 1 2 1 ) 的下解 若l u 厂( x ，g ) eq ) 砚sg ( 工) a q ) 下面利用上下解构造( 1 2 1 ) 的解 定理设玩 f 分别是( i 2 1 ) 的上下解，西21 f q ) ，m 2n i i t l u o 对v ( x ，”) ，o ，v ) 乍孬k ，m 】有 矿( x ，) 一f ( y ，v l 七l z 一叫4 + k 一训则( 1 2 1 ) 存在一个解( z ) c z ”( 两且满足 g ( x ) ”( x ) 齑( 曲 证明：任意给定斟，西) ，x e q 对，( x ) e 【m ，m j 则线性问题 倦嚣八毛有唯嘲甜啊础定义刊啪轩= h 问题变成了证明r 存在不动点，分以下几步， 1 ) 证明算子丁单调不减，若 f ( 力s 一肛s 莳( 力则 u ( x ) 2 l = t y , s 毛- - t y 2 西( 令w 篁：2 一毛则 f q + 盂p = 厂g ，y 1 ) - f ( x ，y 。) + 足( y ：- y ，) o 1 驯。= o 又知w o 既巩s 巩同样地令 = 毛- u ，则 0 + 足卜= 厂g ，y 1 ) 一f ( x ，g ) + k ( 儿一 f ) o 驯m = o 于是v 2 0 ，即g 毛同理可证z 2 s 厅 6 2 ) 构造点点收敛的单调序列 按如下方式构造迭代序列 与h = 托，1 1 2 = 7 k ，= z k i ， v l = 砘，v 2 = t v ，= n 卜l ， 因为u i 前面已经证明g sv i = t u 疗= m 茸由t 的单调不减性归纳地证得 掣sv 一s 五因为g 蚝s 莳j 昕以翌死i = “2 7 露；l l 翌， 于是由 归 纳法得到 ”。甜。同理可证v s v 。 因此 u 一s 1 _ s s 地s ms 莳 因为 l ， v 。 是单调有界序列，所以它们逐点收敛，记 舰2 “，罂2 v 于是馨可订厅 3 ) 证明却，v 均是7 i 的不动点且属于c 2 + 口( 两我们将利用一个事实，若 q ( x ) 在c ”( 动中有界，又舰o ) = 烈工) ( 工西逐点收敛) ， 则对o 材 哟 由嵌入定理得h i 。sc i 队l 。， c m ：，s 鸩 再由s c h a t u i e r 估计得 卜。i ：。s c i 厂g ，“。1 。+ 七k ，。i 。+ 吲：。】s m 又因为1 i r a = 虿所以百c 2 ”( 孬) ，l i 巴m k 一司2 。= o ，其中0 u m a x 辟岫u o ( x ) ，似，膏) 假定( d ) 1 ) 4e f ( 珥) 且存在正常数d ，d 使d i 玎s 见( f ，工，p 屿s d i 矸 2 ) 存在正常数工d 使 慨棚吲p ：) l 怪慨p ) - 毒，：扣砒刊 2 2 1 引理假定c 4 ( 珥) 且假定0 x 七x h 。l ，勋。中x d ) ( g ) 都已完成，那么问 题2 1 1 有唯一的解i l ( f ，力ec 。+ 砧夸( 缉) 且满足 i ( ，对l ：。sc l g ( ，毛l + 耖( f ，工) l + i ( 工) l 。 证明：这是个带有系数的在c 。中非线性问题及在c 2 ”中带有初边值的闯 题因此，有唯一解砸，0 且满足上不等式 山东大学硕士学位论文 _ l _ _ i _ _ i i i i _ _ i _ _ _ i l _ _ _ - l l i - l - _ - - _ - _ _ l _ _ i l _ _ l l l _ - 第三章模型解的渐近特征 3 1 解的存在唯一性 对于非线性抛物型方程有很多方法去证明存在唯一性比如像l y a p n o u v 函 数，i n v m i a n ts e t 方法，l e r a y s c l 丝u d o r 不动点定理。我们选用l 七t a y h 跚d 盯 不动点定理去证明问题2 1 1 的解的存在唯一性 首先我们定义 ： ：“毫c 4 ( q ，) o s s m ，“( o ，x ) ：g ) ，= 0 ( ，工) ：o s ”( f ，工) s 肘，( r ，工) c 4 ( q ，) ，g ) = 咄) 任给，e 由引理2 2 1 ，我们有嘶，0 e c 2 。号q ，l 这显示出p ，e c 2 ”。专陋，】 考虑下面的系统： 警告p 筹卜筹地小q r 带有初边值，这里 p ，一错考 ( r 小q r 鲁告喘卦g ( f m 小q ， ( f ，工) = 甲( f ，工，工) e 晶扇( o ，善) = 1 1 0 g l 工q 引理3 1 1 存在唯一解“ec 2 坩。专q r ) 对于问题2 1 l 存在常数肘2 使 肛l 。一畸ms 肘： 证明：既然2 1 1 是一个带有系数的c m 哼( q ) 的线性问题，而且 b ，o ) c 4 盼，】来自与假定c 厂净v e 日安下来问题2 1 1 有唯一解 材( f ，x ) c m ( q r 狙 i i 。一吒i o r sc i 矿o g ，v c ；，+ p “l 一嘈珥+ k g 。t - 嘈佃r ，l 由假定，工。一i o r l 。我们可以很容易的推出存在一个正常数 似使 由假定陋l c 一峙l q r 】s 2 令m = m 一+ 2 那么e c ， 由引理当3 1 l 我们可以定义一个算子t ：f - f ，t v = 引理3 1 2 我们定义的算子是有界的紧的连续的一一一一 一 证明：由假定( g ) 及 事实上v 成们有g ( ，x , v ) e 上，位，邀隐含着砸，0 叫。心，) 及 批，j ，伊l 珥) n ，口= i 一，由嵌入定理，我们有t 。s c 令v 由引理3 2 1 给出，考虑下面的系统 一珈恸斟& 筹以圳 毋( x ) = ( 砖 这里，p 一等誓 引理3 2 2 假定足够小且引理3 2 1 的条件满足。那么问题( 2 1 1 ) 至少有一 个解“e 。 证明：我们应用上下解的方法去证明引理，令- j ，d ，是两个函数且满足 0 s 0 ，s i 且有 一言卜砧刳咱警矿珊， 一* m 刳一a 筹， 一小k 见，等卜署护掣，班鲜， 2 一爿叭，剥他警， 一言等卜筹护删“霸 一融q ，矧一只警 一彰”( x ) ”( x ) 2 毋，( 工) 工e i ，q ；一一 一 那么i 与虬是j 吲题( 2 1 1 ) 肋上f 解，令磁。c l c 2 彳且玩= 0 ，这里c l ，c 2 及而 都是待定鼽从的假定及引乳- 我们桃i 及高掣c ，j | 孵是有上界的。 假定： 2 g 卜陪啪一几归 2 g 卜皤咖川一凡归 2 g 卜怯帆驴风 ) c ( c , - c ：# 撼毒臻叶 c l c 2 砰n 黔妊o ) ，七= l ，2 ，3 如果我们先令而足够小，g 足够大，那么这些不等式成立，这意味着问题( 2 1 1 ) 至少有一个解6 e ，证毕 ， 由引理3 1 1 3 1 2 我们可以定义一个算子疋：岛一b ，瓦( b ) = 略 引理3 2 3 算子是连续的且是紧的。 证明：很容易看到疋是紧的，我们主要证明瓦是连续的： 1 7 山东大学硕士学位论文 令v m v 2 se e s 且矗。，i ；l 2 ；那么 一言佤等 嗍警矿瓴 =一等瓦8hl,pi,一毒喘豺旭)一而瓦一瓦i 硼虿j 邓怫叱 里k = 1 , 2 ，3 ；，t 1 0 那么我们有 告p 几，毪刊啊s 笔矿， + 毒”p l ) 刮气训謦卜r p 也謦 嵋：一篇掣峨c 工志一志詹 af k 。( 工) a ( 啊，一也，) 1 缸，【z ( v l ，)良，j 毗- g ( 矾) + ( 志丽- ：川l 旦叭f 州x 鲁 * x ，刳毒一而i ) 由简单的计1 f - 我们得到 也吨，毒( 焉掣垮鹏，刮2 出 e ( _ i ，i ，一h ：，) ( g ( 毛) 一g ( 工，v 2 ，) s f e ( 啊，一如，) 2 出+ e ( v “一v 2 ，) 2 出 魄吨惦一志卜鲁出 c 若高剖k 2 舢帆划凼 一当奎銮兰塑圭兰簦笙奎 上 吆，毒一志弦等s 百2 k 脚，脚”埘蠡 合并这些不等式我们有： 夥( 屯，一岛，) 4 2s 创k 一 2 ，1 2 + e h ，一也，1 2 i l 扩p ：，1 2s 叫k 一也，1 2 + e i ，i s - - v 2 j 2 因此下面的不等式成立： 一( 稚叫 毒( d ：”似a ，) 旦垒笔垃】2 d 量f v ( 罐，一蟛1 2 斑 上( 蟛一碟) ( 厂仙( x , u i ，) - f 佧“) 盗眯稚，一磋珈2 + e 慨。一2 ， 批吨- ) 毒伽h ) 一硝伽“) 訾出 s p 扣( 1 。l s - - i 。) 1 2 + 8 ，一 2 ，1 2 ) + c i | ，。一，：，l z j e 吧：从”弘材；：) 警凼 s 帆一盯+ v i , - - v 2 s 1 2 j + c l 。( t ) 攀( t1 2 因此我们有： 0 v ( 一u 2 , ) m 2s 机，一也，8 2 + c k 。一u 2 , 1 2 + 帆一v ：，1 2 ) 因为( 1 ，- - t 2 ，m 抛= o ，那么 阮，- u 2 ，8 2s 写l 取封。一心，) | f 2 令占足够小那么我们有： 弘。，- - 1 4 2 ：旷+ 帆一k 1 2sc 5 v 扩v ：，5 2 这就说明依凰) 的标准正是连续的；证毕 利用引理3 2 l 3 2 3 及s c h a u l d c r 固定点定理我们有下面的定理： 定理3 2 4 假定足够小以至于引理3 2 1 的条件都满足，那么问题( 2 1 1 ) 有 唯一解e c 2 ”( - ) 山东大学硕士学位论文 证明：既然是紧的、连续的t 且l ( e ) ee hs c h a r d c r 固定点定理可知。 对问题( 2 1 1 ) 至少存在一个解，有唯一解也是成立的，因x oe h 问题( 2 1 1 ) 可知是足 够小的 3 3 解的渐近性 令q = ( 0 ，) q 州，利用上一节的结果我们有： 定理3 3 1 令足够小且定理3 1 3 的条件满足，那么问题( 2 1 1 ) 有唯一的一 致有界的解 定理3 3 2 假定定理3 3 1 的条件都满足且“，虬是问题的解，那么存在正的常 数c 与使 弘一九0 + 肛一u l c e 。c p - p 砜牮一旦a x , 伽k ，笔刹一只鼍竽 铲小 训小毒陋唧，蚓地嘞，等 ；e ( “，“，) 把不等式两边相乘“( “一“! 并在q 上积分： j * 训d l u m 一1 2 + d i v ( a ( k ) u ，( t ) | 1 2 s 啦壮一1 2 + e l 旷( 卯) 1 2 ；c l l l f 叫8 2 + f i v ( _ i l 一也0 2 + 卜虬8 2 既鼽一等考+ 去考 等坠告驰，+ 怯一志) ( 甜)钙。、【声( “) ( 虬) j 扣栌毒瞄掣 叫u 叫训小毒嗡一矧驰，刳 因此归一p , 1 2s c | v ( h 一 j ) 0 2 + 肛一虬1 2 j 丢丢肛一九1 2 + 鲁护( 一九) 0 2s 水一以8 2 + c 陋一虬r 扩”( f ，x ，甜) 一厂耻( x ，材，h 1 2sp l | l ，一h ，1 2 k 咖焉p 槲见， 锯吼砌叫b 剜2 啦k l ( t , x , p ) - 佻硝 s c i i p 一见酽 圭丢缸一虬1 2 + | | j l 一吃1 2 + 卅l v 一虬埔2 + 鲁8 v ( 一以) 1 2 - c 巾u 叫1 2 + 4 1 v ( h 一 j ) l | 2 + c ：l l h 一九1 2 + e l l 叫1 2 上述不等式隐含着当足够小，我们能找到一个正常数c 使 丢缸叫h 一一九8 2 ) + c ，0 2 + o 打一以0 2 s o 己t t l l 拘! i ! i 果： i , , - u 4 w ：( q ) 协一 ，i 以( q ) sc 且由s o b o l c v 插入定理得：存在正常数b ，使 恤一虬i 。+ 怕一t i 。s c e 印 _ 犀) 山东大学硕士学位论文 - - m i ii i _ - - _ _ - 结束语 近年来，地下水被有毒化合物的污染已变成了人们普遍关心的问题在普通的 土壤状况下大量的有机化合物在当营养存在可以被自然的生物降解。从而可以通 过引入分解的氧和其它营养物进入到耗尽养料的地方来提高土壤的质量。这个过 程称为生物存储过程这已显示了巨大的潜力作为一个有效的重复利用的技术， 不论是在实践领域还是在实验研究中，最近都取得了一定的成绩。 本文给出了合适的数学模型，并研究了解的性质，这无论是在理论研究中还 是在实际应用中都有着重要的作用。 当銮銮：至圭兰簦笙耋 b i b l i o g r a p h y nh u a n gsxa n dx i ech a s y m p t o t i cb e h a v i o u ri na r e a c t i o n - d i f f u s i o n s y s t e m a c t am a t hs c i1 8 ( 1 ) ( 1 9 9 8 ) 5 7 - 6 2 2 1 h u a n gsxa n dx i echa s y m p t o t i cb e h a v i o u ro fs o l u t i o n si nam o d e l o f b i o d e g r a d a t i o n a c tm a t h a p us c iv o l2 1n o4 ( 1 9 9 8 ) 5 7 9 5 8 8 0 nc h i n e s e ) 一3 ) h u a n gs xa n dx i ec ha s y m p t o t i cc o n v e r g e n c ei na r e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e m a r i s i n gi nm o d e l i n go f b i o d e g r e d a t i o n ( s u b m i t t e d ) 4 ) x i echh etpa n db a igh e x i s t a n e ea n di n v a d a n c ef o rc o n v e c t