（概率论与数理统计专业论文）由一般鞅驱动的倒向随机微分方程及其应用.pdf

山东大学博士学位论文 由一般鞅驱动的倒向随机微分方程及其应用 李娟 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 摘要 线性倒向随机微分方程是由b i s m u t 于1 9 7 8 年 1 首次提出的p a v d o u x 和p e n g 2 在1 9 9 0 年获得非线性倒向随机微分方程在l i p s c h i t z 条件下解的存 在唯一性定理著名的经济学家d u f f l e d ，e p s t e i n l 3 在1 9 9 2 年也独立地引进 了一类倒向随机微分方程，以刻划递归效用函数随后，许多学者进一步研 究倒向随机微分方程及其在数理金融、随机控制、偏微分方程、随机微分对 策和经济等领域的应用( 例如 4 】一 1 2 等) ，从而进一步发展了倒向随机微分方 程现在倒向随机微分方程理论不仅被广泛地认为是研究金融数学( 例如， 期权和衍生证券定价问题) 的重要工具，而且也是研究随机控制、随机对策 和非线性偏微分方程解的概率表示问题等的有效工具经典的倒向随机微分 方程理论中是以布朗运动为干扰源的，而布朗运动是一种非常理想化的随机 模型。致使经典的倒向随机微分方程的应用受到很大的限制在x i af 1 3 1 中 考虑带随机测度的倒向随机微分方程，只是在( 1 3 】中要求的条件比较强，不 易验证本文中，我们证明了以一般鞅为干扰源的倒向随机微分方程解的存 在唯一性，对经典的倒向随机微分方程进行了实质性地推广在以上一般连 续鞅的框架下，我们还研究了经典的倒向随机微分方程理论中的一些基础性 的并且有很强的应用前景的问题，获得了由一般鞅驱动的正倒向随机微分方 程解的存在唯一性定理( 定理1 3 5 ) 、比较定理( 定理1 3 6 ，定理1 3 8 ) ，由一般 鞅驱动的倒向随机微分方程的单调极限定理( 定理2 3 4 定理2 3 6 ，定理2 5 5 ) 和非线性d o o b m e y e r 分解定理( 定理2 5 3 ) ，以及由一般鞅驱动的倒向随机微 分方程的反射解存在唯一性的定理( 定理3 3 7 ) 等重要结果 另一方面，从1 9 9 4 年t a n g 和l i 【3 8 】讨论了由布朗运动和泊松过程混合驱 动的倒向随机微分方程，即带跳的倒向随机微分方程，以来，关于带跳的倒 向随机微分方程的研究发展也很迅速，例如【l s ， 3 5 坤9 ， 4 0 】等与经典的倒 向随机微分方程相比，它更适合于描述经济领域中的各种突发现象在p e n g 4 1 中，利用经典的倒向随机微分方程对一大类二阶拟线性抛物型偏微分方 程系统的解提供了一个概率解释，这一结果将著名的f e y n m a n k a c 公式推广 到了非线性情形( 该方向进一步发展，见 4 2 】_ 【4 9 】等) 而在最优控制问题中， 动态规划原理又是一种很重要的方法众所周知，在经典框架下，h j b 方程 的可解性是一个难题，在二十世纪九十年代c r a n d a l l m c 和l i o n s p l 提出了 山东大学博士学位论文 粘性解的概念( 具体参见c r & n d a l l ，m c ，i s h i i i ，l i o n s p l 5 0 1 以及所引参考文献) 解决了这一难题借助于粘性解，在 2 4 2 中彭研究了经典的倒向随机微分 方程的随机优化理论，利用得到的动态规划原理，证明了一类推广的h j b 方程( 只带微分算子) 的粘性解的存在性在b a v l e s g ，b u c k d a h n r ，p a r d o u x e 【4 0 中则研究了带跳的倒向随机微分方程，得到一类带积分一微分算子的偏 微分方程，证明了其糙性解存在唯一近几年来，关于经济学和金融学的研 究发现了由倒向随机微分方程导出的递归效用函数是刻划投资者对风险的 度量的重要指标，见【3 ， 1 1 】， 1 2 1 ，【5 1 】， 5 2 等本文研究带跳的倒向随机微分方 程的随机优化理论，通过倒向随机微分方程定义一个递归效用函数型的指标 泛函，对它关于控制取上确界得到一个值函数，首先得到动态规划原理( 定 理4 4 4 ) ，而后和用它证明一类推广的带积分微分算子的h j b 方程的粘性 解的存在性，即相应的值函数就是其粘性解( 定理4 5 5 ) 接下来我们证明了 这类h j b 方程的粘性解的唯一性( 定理4 6 ，3 ) ，与存在性定理的证明一样，唯 一性定理的证明也需要很强的技术性，所得的结果是对p e n g 【2 4 ，【4 2 】，b a x l e s g ， b u c k d a h n r ，p a x d o u x e 4 0 1 ，p h a m h 5 3 中的结果的非平凡的推广在第四章第 二节中，我们还首次系统地讨论了带跳的倒向随机微分方程的比较定理，在 第七节中具体计算出一个例子，求出值函数，即得到一类h 。j b 方程的解 综上知，本文从内容上实质分为两部分： 第一部分内容研究由一般鞅驱动的倒向随机微分方程及其相关理论，以 及它们的应用； 第二部分内容研究带跳的倒向随机微分方程及其应用。 具体安排如下： 第一部分内容：由第一章到第三章组成，研究由一般鞅驱动的倒向随机 微分方程及其相关理论。在第一章中，我们考虑下面的由一般鞅驱动的倒向 随机微分方程： r j d y t = ，( ，弘，z t ) d ( m ) t z t d m t ，0 tse 1 q 驯 这里( y ，。) 取值于r “r “本章分为两节。显然，若鞅舰取为布朗运动鼠， 则( m ) t = t ，方程( 1 2 1 ) 就变为经典的倒向随机微分方程在第一节中，我们 采用压缩映像方法证明上述方程在l i p s c h i t z 条件下存在唯一解( 定理1 2 3 ) ： 定理1 2 3 若( h 1 2 1 ) 一( h 1 2 4 ) 成立，则存在唯一一对解( y t ，z t ) o t t c mx k 满足方程( 1 2 1 ) ，并且e fs u p 觚1 2 】 + o o o t t 并举例( 例1 2 1 ) 说明为经典的倒向随机微分方程地推广 i i 山东大学搏士学位论文 d z t = b ( 关t , x t , y z t , z t ) d _ ( m ) _ t + a 溅( t , x t 融矧嘲乩， 采用h u 稚p e n gf t 5 】泽的革灞往条件，和厢连续。陡方法，证孵其解存在噍一 ( 定理1 3 5 ) ： 定理1 3 5 若h 1 3 ，1 ) ，( 辩1 3 3 ) 戒立，蚕l 菠髑商隧辊鼗分方程1 3 。1 ) 存农难 一解( ，y ，z ) c m e mxc m 我靛还潺硬了援翅角羧规微分方程1 3 1 ) 的比较定理定瑷1 3 。6 ，定理 1 3 8 ) ，( 并举例说明( 例1 3 2 ，例1 3 3 ) ) ，推广了w u 2 7 中的相应结论 在第二肇中，我们在第一章的基础上，研究融一般鞅驱动的倒向随机微 分方程的单满极限宛理和非线性d o o b - m e y e r 分解定理，推广了p e n g 3 0 】审的 相应结论举章还蓠次研究了g 一上鞅的溉则性本章分为六节在第一节 串，罄先绘繇分绍；在第二带牵，给窭饔锯籍识；在第三带孛考虑连续懿扩 上解的单调极限定理( 定理2 3 4 ，定理2 3 6 ) ： 宠理2 3 4 ( h 2 。3 i ) ，( h 2 。3 。2 ) 成立，烈建豹投隈y e 可竣髯残形式2 3 3 ) ，其 中9 c 吖为卖在c m 中的弱极限，魂为在厶中的弱极限，a t 为椰在 三2 ( q ，野，p ) 中的弱极限，并且( 盈) 为一个右连左极平方可积的增过程，黩a 为可料的遂一步，对v p 1 ，2 ) ，( z i ) o t r 程玉申强收敛于池) ，邵： 广r 撞n 霆f | 一麓| d 五f = o ，v p 蒜【1 ：2 ；。( 2 3 4 ) j 0 定理2 3 ，6 假设瞒数9 满足( h 2 2 ，2 ) 1 ( ) 满足( h 2 3 1 ) ，令( 扩，g ! ) 为倒向随 祝徽努方程( 2 3 1 0 ) 的解。辩采( 叠) 递增救敛予溉) ，虽e s u p 隆| 2 l + ，掰 0 黜g ( y ) 也是一个g 一上解，即存在一个眩) 0 和一个右连左极平方w 积增过程 ( ) 嫠得一对( y ，z ) 为下列饿离随梳微分方程的解： ，t， 辍= y t 十7g ( s ，轴，z s ) d ( m ) 。+ 由一矗t f 每d 辐，0 s t ( 2 3 。1 1 ； j t，t 其中( 施) 为( i ) 在c 知中的弱檄限( 或相应的，( ) 在中的强极限，p f 1 ，2 ) ) ， 虽辩每个f ，( 鱼) 秀( 捶) 在2 辫，五，p ) 孛懿弱寝限，惹f 鱼) 为霹辩静 在第四节中得到关于解( ，z ) 有限制的最小扩上解的存在唯一性( 定理 2 4 。3 ；，势攀铡说臻标猿覆设存在戆必要性铡2 。4 。1 ，镄2 4 。2 ) ；在筹嚣带孛 纛骤 非线性d o o b - m e y e r 分解定理( 定理2 5 3 ) ： i i i 山东大学博士学位论文 定理2 53 假设y t l 2 ( n ，r t ，p ) ，函数g 满足( h 2 2 2 ) 令( k ) 为 0 ，卅上强 意义下的一个右连续的g 一上鞅，且有e s u py 2 】 + o o ，则( k ) 为【o ，别上的 0 g 。 一个g 一上解，即存在唯一一个右连左极增过程a ，且a o = 0 ，e 衅 0 0 ，a 为 可料的，使得m ) 和下列倒向随机微分方程的唯一解( y t ) 重合： f tf t 挑= y t + g ( s ，y s ，知) d ( i 订) 5 中a t a t 一奄d m , ，t 0 ，t 】 ( 2 5 1 ) 同时也给出右连左极的扩上解的单调极限定理( 定理2 5 5 ) ： 定理2 5 5 令( y i ) 为 0 ，t 】上的一个右连左极g - 上解( 或g 一上鞅) 序列， 且单调上升收敛于( v ) ，并有e 【s u p 印 + o o ，则( y ) 本身也是一个右连左极 o s t s t g 一上解( 或9 一上鞅) 在最后一节中讨论9 一上鞅的正则性，得到定理2 6 4 在第三章中，仍借助于“惩罚方法”研究由一般鞅驱动的倒向随机微分 方程的反射解问题及其应用本章分为三节在第一节中，首先给出介绍； 在第二节中，给出必要的预备知识；在第三节中，证明反射性倒向随机微分 方程( 3 2 1 ) 解存在唯一( 定理3 3 7 ) ： 定理3 3 ，7 令( ，s ) 为满足( h 3 2 1 ) 的三元组，则与( ，s ) 相联系的反 射性倒向随机微分方程( 3 2 1 ) 存在唯一解 在第四节中，利用反射性倒向随机微分方程，给出在混合随机控制中的 应用( 定理3 4 1 ) 在本节中主要巧妙地利用改变测度来得到结论 第二部分内容：由第四章组成，研究带跳的倒向随机微分方程的随机优 化理论与推广的h j ，b 方程的粘性解本章分为七节在第一节中，首先给 出介绍；在第二节中给出必要的预备知识；在第三节中讨论不受控的带跳的 正倒向随机微分方程，为下一节做准备；在第四节中讨论受控的带跳的正倒 向随机微分方程在1 4 节中，所得结论推广了【2 4 i 中彭在经典情形中的相 应结论系统状态由下面的n 维随机微分方程来描述： 僻d x t s & 。；。冀船鲫，叫蚺巾捌矗”池胭h 丘焉湘( 舭) ， j ( t ，z ； ( ) ) ：= 一”i 矧，( 4 4 8 ) 山东大学博士学位论文 其中坷矗”由下面的倒向随机微分方程来定义 | 一d 矗”= ，x 。t ；v ，y 。：, c v ，墨露”，是嬲2 ；” z ) g # ) a ( 出) ，) 如 一舞矗”d b 。一厶g l ，圳( z ) 费( d 8 ，d z ) ， ts 8 曼t ， ( 4 4 + 6 ) l砰。”一圣( 霹矗”) ， 洼f 2 4 ， 4 0 i ，| s 3 】中三释不弱瓣结暴均势我嬲豹特殊壤提；蓑方程( 4 。4 。1 ) ，( 4 t 4 + 6 ) 中不含跳，即只以布朗运动为干扰源，则为 2 4 】中研究的内容；若b ，吼m ，中 不舍”，即不带控制，则为1 4 0 】中研究的凑容；丽在蹲3 】中，p h a m 。h 相当于只 研究在倒向随税微分方程中取，；，涵，一，) 定义值函数 涵。) # e s ss u pj ( t ，；”，；。 ( 4 4 。1 0 ( ) e u 则得到动态规划原理( 定理4 , 4 ，4 ) ： “( 。，z ) = 。船g 蚶t , x 十；v d 阻( 坑x 臻”) j _ ( 4 伽) 雀第五节年拜第六节串诞疆了“( t ，。) 为下霹推广酶h - j 。b 方程的唯一瓣秸往解 ( 定理4 5 5 ，定理4 6 3 ) ： f 骶z ) + 浮a 龇。) + 即阶) + 巾焉“， d u 口秘，g ，。；，o # ( ，。；，口) = 0 ，v ( t ，。) 羚，? ) 帮， ( 4 5 1 ) 【。( t ，。) 。西扛) ，v 。r n 其中田为一个线性二阶微分辫子，寇义为： a ；缸( ，。) = r ( 妄。r 盯，( t ，善，w ) d 2 鞋秘，童) + b ( t ，互，掣) d u ( t ，。； 础为一个积分* 微分算子，定义为： 嚣；( ，。) 一f 陋擘，# + 7 0 ，嚣，口，= ) j 一让器，。) 一7 ( 舌，。，”，# ) t d u ( t ，$ 麓a 如) ； 四为一个积分箕子，定义力： a “0 ，茁) 拦f t 上( t ，茁+ 7 ( t ，搿， ，名) ) u ( 亡，霉) 】f ( z ) a ( d 岩) 程第七带孛给滋在金融率翦瘦雳，具体计算了一个镄子，求出值函数，郎簿 相应的h - j b 方程的粘性解 关键词：傻离薅撬疆分方程；麓部获；p o i s s o n 过程；糟往解+ 山东大学博士学位论文 b a c 王( w a r ds t o c h a s t i cp i f f e r e n 絮i a l e q u a t i o n s d r i v e nb yt h eg e n e r a l m a r i i n g a l ea n dt h e i ra p p l i c a t i o n s i n s t o fm a t h z & s y s s c i ，s h a n d o n gu n i v 。，j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t t h el i n e a rb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( b s d e ) w a nf i r s tp r o p o s e d b yb i s m u ti n1 9 7 8 1 1 p a r d m l xa n dp e n g 2 】f i r s ts o l v e dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s t h e o r e mo ft h es o l u t i o no ft h en o n l i n e a rb s d eu n d e rl i p s c h i t zc o n d i t i o ni n1 9 9 0 t h e f a m o u se c o n o m i s td u f f l e d ，e p s t e i n 。l 3 la l s op r o p o s e da t y p eo fb s d ei n d e p e n d e n t l y i n 1 9 9 2t oc h a r a c t e r i z et h er e e u r s i v eu t i l i t yf u n c t i o n f r o mt h e no n ，m a n yp e o p l em a k e f u r t h e rs t u d yo nb s d ea n di t sa p p l i c a t i o n si nm a t h e m a t i c a lf i n a n e e , s t o e h a s t i cc o n t r o l ， p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( p d e ) ，s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a lg a m e sa n de c o n o m y ( f o re x a m p l e 4 1 一 1 2 1 e t e ) ，w h i c hd e v e l o pb s d e f u r t h e r n o wt h et h e o r yo fb s d ei sn o to n l yw i d e l y c o n s i d e r e d 鑫st h em a i nt o o lo fs t u d y i n gf i n a n c i a lm a t h e m a t i c s ( f o re x a m p l e ，t h ep r o b - l e mo f p r i c i n go fo p t i o n sa n dd e r i v a t i v es e c u r i t i e s ) b u ta l s ot h ee f f i c i e n tt o o lo fs t u d y i n g s t o c h a s t i cc o n t r o l ，s t o c h a s t i cg a m e s ，t h ep r o b l e mo f p r o b a b i l i s t i er e p r e s e n t a t i o no fs o l u t i o n so fn o n l i n e a rp d ea n ds oo n t h ec l a s s i c a lb s d ei sd r i v e nb yb r o w n i a nm o t i o n ，b u t b r o w n i a nm o t i o ni sa ni d e a ls t o c h a s t i cm o d e lw h i c hr i s t r i c t st h ea p p l i c a t i o n so ft h e c l a s s i c a lb s d e x i a 1 a 1c o n s i d e rf u r t h e rb s d ew i t hr a n d o mm e a s u r e ，b u ti nf 1 3 1t h e c o n d i t i o ni s s t r o n gw h i c hi sv e r yd i f f i c u l t t ov e r i f y i no u rp a p e r ，w es t u d yt h eb s d e d r i v e nb yt h eg e n e r a lm a r t i n g a l ea n dg e n e r a l i z et h ec l a s s i c a lb s d e e s s e n t i a l l y u n d e rt h e f l a m eo ft h ea b o v eg e n e r a lc o n t i n u o u sm a r t i n g a l e ，w ef u r t h e rs t u d ys o m eq u e s t i o n so ft h e c l a s s i cb s d ew h i c hi sf u n d a m e n t a la n dh a v eas t r o n gh o p eo fa p p l i c a t i o n s 。g e tt h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e mo ft h es o l u t i o no ft h ef o r w a r d - b a c k w a r ds t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( f b s d e ) d r i v e n b yt h eg e n e r a lm a r t i n g a l e ( t h l ，3 。5 ) 、t h ee o m p a r - i s o nt h e o r e m ( t h l 3 6 ，t h l 3 8 ) ，t h em o n o t o n i cl i m i tt h e o r e m ( t h 2 3 4 ，t h 2 3 6 ，t h 2 5 5 ) a n dt h en o n l i n e a rd o o b - m e y e rd e c o m p o s i t i o nt h e o r e m ( t h 2 5 3 ) o ft h eb s d ed r i v e nb y t h eg e n e r a lm a r t i n g a l e ，a n dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e mo ft h es o l u t i o no ft h e r e f l e c t e db a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( r b s d e ) ( t h 3 3 7 ) a n ds oo n o nt h eo t h e rh a n d ，s i n c e t a n g a n d l i i a s c o n s i d e r e db s d e d r i v e nb yb o t hb r o w n i a n m o t i o na n dp o l s s o np r o c e s si n1 9 9 4 ，w h i c hi st h eb s d ew i t hj u m p ，t h es t u d yo fb s d e v i 山东大学博士学位论文 w i t hj u m pd e v e l o p e dr a p i d l y ，f o re x a m p l e 【1 8 ，【3 5 【3 9 】， 4 0 a n ds oo n c o m p a r e dw i t ht h e c l a s s i c a lb s d e ，i ti sm o r el i k e l yt od e s c r i b ea l lk i n d so fe r u p t i v ep h e n o m e n ai ne c n o m i c f i e l d s i n c 4 s j ，p e n gg o tt h ep r o b a b i l i s t i cr e p r e s e n t a t i o nf o rat y p eo fs y s t e m so fs e c o n d o r d e rq u a s i l i n e a rp a r a b o l i cp d e ，w h i c hg e n e r a l i z e dt h ef a m o u sf e y n m a n k a cf o r m u l at o t h en o n l i n e a rc a s e ( a b o u tt h ef u r t h e rd e v e l o p m e n t si nt h i sa s p e c t ，r e f e rt of 4 2 h 4 9 】) t h e d y n a m i cp r o g r a m m i n gp r i n c i p l ei s av e r yi m p o r t a n tm e t h o di no p t i m a lc o n t r 0 1 a sw e k n o w ，i ti sv e r yd i f f i c u l t t os o l v eh - j be q u a t i o ni nt h ec l a s s i c a lf r a m e i ns 9 9 0 sc r a n - d a l l m ca n dl i o n s p li n t r o d u c e dt h ed e f i n i t i o no fv i s c o s i t ys o l u t i o n ，w h i c hs o l v e dt h i s d i f f i c u l t y ( s e e 5 0 i nd e t a i l ) w i t ht h eh e l po fv i s c o s i t ys o l u t i o n ，p e n g ( 2 4 ， 4 2 1 ) s t u d yt h e s t o c h a s t i co p t i m i z a t i o nt h e o r yo ft h ec l a s s i c a lb s d e a p p l y i n gt h ed y n a m i cp r o g r a m m i n gp r i n c i p l eh eg o t ，h ep r o v e dt h ee x i s t e n c eo fv i s c o s i t ys o l u t i o n o fat y p eo fg e n e r a l i z e dh - j - be q u a t i o n ( j u s tw i t hd i f f e r e m i a lo p e r a t o r ) b a r l e s g ，b u c k d a h n ra n dp a x d o u x e 4 0 e o u s i d e r e dt h eb s d e w i t hj u m pa n dp r o v e dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f t h ev i s c o s i t ys o l u t i o no fat y p eo fi n t e g r a l d i f f e r e n t i a lp d e d u r i n gt h er e c e n ty e a r s ，t h e r e c u r s i v eu t i l i t yf u n c t i o nw h i c hi sd e d u c e db yb s d ea ts t u d y i n gt h ee c o n o m i c sa n dt h e f i n a n c ei sa ni m p o r t a n ti n d e xs c a l i n gr i s k ，r e f e rt o 3 1 l 】j 1 2 】， 5 1 ， 5 2 e t c ，i nt h i sp a p e r w es t u d yt h es t o c h a s t i co p t i m i z a t i o nt h e o r yo ft h eb s d ew i t hj u m p w ed e f i n ea ni n d e x f u n c t i o n a lb yb s d ew h i c hi ss i m i l a rt ot h er e c u r s i v eu t i l i t yf u n c t i o na n dg e tav a l u e f u n c t i o na f t e rt a k i n gs u p p e r i u mo v e rc o n t r o lo fi t f i r s tw eg e tt h ed y n a m i c p r o g r a m m i n g p r i n c i p l e ( t h 4 4 4 ) ，t h e nb y u s eo fi tw ep r o v et h ee x i s t e n c eo ft h ev i s c o s i t ys o l u t i o no fa t y p e o ft h e g e n e r a l i z e di n t e g r a l - d i f f e r e n t i a lh j be q u a t i o n ，i e ，t h ev a l u e f u n c t i o ni st h ev i s c o s i t ys o l u t i o n ( t h 4 5 5 ) a f t e r w a r d s ，w ep r o v et h eu n i q u e n e s so ft h ev i s c o s i t ys o l u t i o no f i t ( t h 4 6 3 1 i tn e e dm o r et e c h n i q u e sj u s tl i k et h ep r o o f o f e x i s t e n c e t h ec o n c l u s i o n w e g e t i st h en o n t r i v i a lg e n e r a l i z a t i o no f p e n g 2 4 ， 4 2 】，b a r l e s g ，b u c k d a h n r ，p a r d o u x e 1 4 0 ，a n d p h a m h 5 3 i ns e c t i o n2o fc h a p4 w ef i r s t d i s c u s st h ec o m p a r i s o nt h e o r e mo fb s d e w i t hj u m ps y s t e m a t i c a l l y i ns e c t i o n7 ，w ec o m p u t e0 5 2e x a m p l ec o n c r e t e l ya n dg e tt h e v a l u ef u n c t i o nw h i c hi sa l s ot h es o l u t i o no ft h ea c c o r d i n gh - j be q u a t i o n f r o mt h ea b o v e ，i nf a c tt h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot w o p a r t sa c c o r d i n g t ot h ec o n t e n t s t h ef i r s tp a r ti st os t u d yt h eb s d ed r i v e n b y t h eg e n e r a lm a r t i n g a l ea n dt h er e l a t e d t h e o r i e sa n di t sa p p l i c a t i o n s ； t h es e c o n dp a r ti st od i s c u s st h eb s d ew i t hj u m p sa n di t sa p p l i c a t i o n s w e a r r a n g ei t a st h e f o l l o w i n g ： t h ef i r s tp a r ti sc o n s i s t e do f c h a p s ，c h a p 2a n dc h a p 3 w em a i n l ys t u d yt h eb s d e d r i v e nb yt h eg e n e r a lm a r t i n g a l ea n dt h er e l a t e dt h e o r i e s i nc h a p s ，w ec o n s i d e rt h ef o l - v i i 山东大学博士学位论文 l o w i n gb s d e d r i v e nb yt h eg e n e r a lm a r t i n g a l e ： r 呐卜“屯弘引似蚴c “越，o 坯z( 1 2 i 打：f w h e r e ( ，z ) t a k ev a l u e si nr ! xr n _ x d o b v i o u s l y , i fm t 2 b t ，t h e n ( f ) 。t , t h ee q u a t i o n ( 1 2 1 ) b e c o m e s t h ec l a s s i c a lb s d e t h i sc h a p t e ri sd i v i d e di n t ot w os e c t i o n s i ns e e - t i o n l ，w ea d o p tt h ec l a s s i c a lm e t h o d st op r o v et h ea b o v ee q u a t i o n se x i s tu n i q u es o l u t i o n u n d e rl i p s c h i t zc o n d i t i o n ( t h l 2 3 ) ： t h e o r e r u l 23i f ( h 1 2 1 ) 一( h 1 2 4 ) h o l d ，t h e nt h e r ee x i s t sau n i q u ep a i ro fs o l u t i o n ( y t ，盈) o 茎f 茎t c a f c 0s a t i s f y i n gt h ee q u a t i o n ( 1 2 1 ) ，a n de s u pl 玑1 2 1 + o 。 a n da l s og i v ea ne x a m p l et oe x p l a i nt h eg e n e r a l i z a t i o n i ns e c t i o n2 ，w ec o n s i d e rt h ef b s d ed r i v e nb yt h eg e n e r a lm a r t i n g a l e ： f ld z t = b ( t ，z t ，y t ，z t ) d ( m ) t 十口( t ，x t ，y t ，z o d 舰 l 一d y = ，( t ，。 ，y ，z t ) d ( m ) f 一魂d 必 ( 1 3 t 1 ) l lx 0 = n ，y t = g ( z r ) w ea d o p tt h em o n o t o n i cc o n d i t i o ni nh ua n d p e n g 1 5 t op r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e - n e s so ft h es o l u t i o no f e q u a t i o n ( 1 3 1 ) b yc o n t i n u a t i o nm e t h o d s ( t h l 3 5 ) ： t h e o r e m1 3 5 s u p p o s e ( h 1 3 1 ) ，( h i 3 3 ) h o l d ，t h e nt h ef b s d e ( i 3 1 ) h a su n i q u e s o l u t i o n ( 正，9 ，z ) m 彳0 w e p r o v et h ec o m p a r i s o nt h e o r e mo fe q u a t i o n ( 1 3 1 ) ( t h l3 6 ，t h l38 ) w h i c hg e n - e r a l i z e sw u 2 7 ，a n da l s og i v et w oe x a m p l e s ( e x a m p l e l 3 2 ，e x a m p l e l 3 3 ) i nc h a p 2 ，o nt h eb a s i so fc h a p l ，w es t u d yt h em o n o t o n i cl i m i tt h e o r e ma n dt h e n o n l i n e a rd o o b - m e y e rd e c o m p o s i t i o nt h e o r e mo ft h eb s d ed r i v e nb yt h eg e n e r a lm a r t i n g a l ew h i c hg e n e r a f i z ep e n g 3 0 t h i sc h a p t e ri sd e v i d e di n t o6s e c t i o n s i ns e c t i o n1 , w e f i r s tg i v ei n t r o d u c t i o n ；i ns e c t i o n2 w eg i v et h en e c e s s a r yk n o w l e d g e ；i ns e c t i o n 3 , w ec o n - s i d e rt h em o n o t o n i cl i m i tt h e o r e mo ft h ec o n t i n u o u sg - s u p e r s o l u t i o na n dg e tt h em a i n t h e o r e m s ( t h 2 3 4 ，t h 2 3 6 ) ： t h e o r e m2 3 4 a s s u m e ( h 2 3 1 ) ，( h 2 ，3 2 ) h o l d t h e nt h el i m i t ) o f ( 轨i ) h a saf o r m ( 2 3 3 ) ，w h e r e ( 9 7 ) c mi st h ew e a k l i m i to f ( g oi nc m ，( 忍) i st h ew e a kf i m i to f ( q ) k ，( a t ) i st h ew e a kl i m i to f ( a ；) i nl 2 ( q ， ，p ) ，a n d ( a f ) i sar c l l s q u a r e - i n t e g r a b l e i n c r e a s i n ga n dp r e d i c t a b l ep r o c e s s ，f u r t h e r m o r e ，f o ra n y p 【1 ，2 ) ，( z ；) o sc s 丁s t r o n g l y c o n 山东大学博士学位论文 v e r g e st o 慨) i n ，t h a ti s ；l ，i r a 。e n 1 4 一z e l p d m ) t ；o ，v p ( 1 ，n 1( 23 ，4 ) t h e o r e m2 3 6w ea s s u m et h a tgs a t i s f i e s ( h 2 2 2 ) ，a n d ( a 0s a t i s f i e s ( h 2 3 1 ) l e t ( y ，) b et h es o l u t i o no fb s d e ( 2 3 t o ) i f ( 蛾) i n c r e a s i n g l yc o n v e r g e st o ( y t ) w i