力学竞赛个人试题解答.pdf

力学竞赛试题参考答案（个人赛，笔试） 满分：120 分 时间：3 小时 第一题（15 分） 已知正方体ABCDEFGH边长为a。重量为W的均质薄板ABCD由 6 根不 计重量的细杆支撑。薄板内作用有力偶M，方向如图。试求解各杆内力 (1, 2,6) i S i ，要求所有方程中各杆内力出现且只出现一次出现且只出现一次（设拉力为正） 。 参考解答：s3 为 5 分，其它每个解 2 分。 仅含 1 S的方程为：0 FH m 1 2 0 2 Sa 1 0S 仅含 2 S的方程为：0X 2 2 0 2 S 2 0S 仅含 3 S的方程为：0 AI m 3 2221 0 2222 SaMWa 5 A B C D E F G H 2 3 4 6 1 x y z W M 3 1 2 M SW a 仅含 4 S的方程为：0 AE m 4 2 0 2 SaM 4 2M S a 仅含 5 S的方程为：0 AF m 5 2221 0 2222 SaMWa 5 1 2 M SW a 仅含 6 S的方程为：0 BF m 6 2 0 2 SaM 6 2M S a 第二题（15 分） 小明想自己设计一个机械装置。已知主动输入轴的转速为 0 360 / h（每 小时转一圈） ，希望输出轴的转速为30 /h。他利用 4 个齿轮，齿轮 I 固结在 主动轴上，齿轮 II 和 III 固结，齿轮 IV 与输出轴固结。 （1）写出四个齿轮半径之间的关系。 （2）小明发现，如果让输出轴与输入轴共轴，他就可以做出钟表了。如果所有 齿轮的最小齿数大于等于 8，则四个齿轮的最小齿数分别是多少？ 参考解答： （1）5 分 0I ，定轴转动，有 2 1 I II r r IIIII ，定轴转动，有 4 3 III IV r r 因为12 I IV ，所以 24 13 12 IIIIIII IVIIIIIIV r r r r ，即 2 4 1 3 12 r r rr （2）10 分（2 种可能的解） 如果要共轴，除了要满足 2 4 1 3 12 r r rr ，还要满足 1234 rrrr（2 分） ，考虑到齿数 8 i z 且均为整数，且与半径成正比，则有 24 13 12 zz zz ， 1234 zzzz。很明显 12 可以分解为 1*12,2*6,3*4 等，类比于2abab，即在乘积一点时，两数越 接近其和越小，所以取 12=3*4. 如果 24 13 3,4 zz zz ，则 13 45zz，因此解为 13 5 ,4zk zk， 24 15 ,16zk zk，取 k=2，则满足条件的最小齿数分别为： 1234 10,z30,8,32zzz（每个 2 分） 如果 24 13 4,3 zz zz ，则有 1234 8,z32,10,30zzz 第三题（30 分） 这是一个特殊的哑铃碰撞试验，已知哑铃两边的均质小球质量均为 10kgm，半径均为10cmr ，两球心距离为4r，中间用不计质量的刚性杆连 接。其中A球与地面的碰撞恢复系数为 A e，B球与地面的碰撞恢复系数为 B e， 且有10 AB ee。 假设地面水平光滑，重力加速度 2 10m/sg ，不考虑空气阻力。初始时刻哑 铃水平静止且A球在B球的左边（如图） ，与地面碰撞前一瞬时两球的质心速度 均为 0 u。 ABAB （1）哑铃在第一次水平与地面碰撞时，两小球与地面的碰撞冲量分别是多 少？ （2）试分析下面情况所需要的参数条件：哑铃四次碰撞地面时两小球都同 时接触地面，且第一、三次碰撞时A球在B球的左边，第二、四次碰撞时A球在 B球的右边。 参考解答： （1）10 分 碰撞前 10 uu ， 1 0 设碰撞后质心速度为 1 u ，角速度为1 。有 11 2 1 2 () 2(4)2() AB AB m uuSS JmrSSr （2 分） 其 中 碰 撞 点 的 速 度 为 11AA ue u ， 11BB ue u ， （ 2 分 ） 由 几 何 关 系 1 112( ) AB uee u ， 又根据运动学关系有： 11 ()/4 AB ee ur （已知 AB 两点速度和距离） 代入后有 1 22 1 (2) (4)()/(2 )() ABAB ABAB mee uSS Jmree urSS 解出 2 1 1 2 2 1 1 2 () (1) 20 () (1) 20 AB AA AB BB mreeu Sme u r mreeu Smeu r （6 分） （2）20 分 第 1 次碰撞前 10 uu ， 1 0 ， 11A uu ， 11B uu 第 1 次碰撞后， 11AA ue u ， 11BB ue u ， 1 112( ) AB uee u ， 11 ()/4 AB ee ur 第2次 碰 撞 时 如 果 还 是 两 球 同 时 着 地 ， 有 2 1 12 yu tgt ， 11 2/()/ AB tugee ug 222 1 111 () 2 4 AB eeu tk rg （2 分） 2 1 1 22 4(21) () AB rgk u ee （2 分） 第 2 次前： 1 2112( ) AB uuee u ， 211 ()/4 AB ee ur 21AA ue u ， 21BB ue u 第 2 次后： 2 21AA ue u ， 2 21BB ue u ， 22 1 212( ) AB ueeu ， 22 21 ()/4 AB eeur 第 3 次碰撞时如果存在，有 2 1 22 yu tgt ， 22 21 2/()/ AB tugeeug 442 1 222 () 2 4 AB eeu tk rg （2 分） 2 2 1 44 4(21) () AB rgk u ee （2 分） 第 3 次前： 22 1 3212( ) AB uueeu ， 22 321 ()/4 AB eeur 2 31AA ue u ， 2 31BB ue u 第 3 次后： 3 31AA ue u ， 3 31BB ue u ， 33 1 312( ) AB ueeu ， 33 31 ()/4 AB eeur 第 4 次碰撞时如果存在，有 2 1 32 yu tgt ， 33 31 2/()/ AB tugeeug 662 1 333 () 2 4 AB eeu tk rg （2 分） 2 3 1 66 4(21) () AB rgk u ee （2 分） 本质上，需要满足 3 66 4(21) () AB rgk ee 2 44 4(21) () AB rgk ee 1 22 4 (21) () AB rk ee （2 分） 有多组解（任意一组均可以，每个参数 1 分共 6 分） eA eB K1 K2 K3 U0 第 1 组 解 0.7559 0.3780 3 2 1 14.3266 第 2 组 解 0.8414 0.2641 4 3 2 13.3113 第 3 组 解 0.8807 0.2065 5 4 3 13.7331 第 4 组 解 0.9040 0.1702 6 5 4 14.3963 即第一次碰撞时的初速度 u0、两球的碰撞恢复系数 eA，eB、在空中转动的圈数 k1，k2，k3 均有关联。 第四题（20 分） 铸铁试件压缩破坏实验如图所示，如已知破坏面上的摩擦系数，假设铸铁 破坏方式是剪断，求破坏面的法线n与x轴的夹角。 参考答案： 设 s 为铸铁的极限切应力。 考虑试件下部的平衡， 当单向压缩应力AP 0 由零逐渐增大，最大切应力发生在 0 45的斜面上（3 分） ，初始时， s 245cos 0 02 0max ，当 s 2 0 时，试 件即发生细观破坏，但由于摩擦力的阻止，不产 生宏观错动（3 分） 。 当 0 继续增加， cossin,sin0 2 0 （其中 0 是单向 压应力大小的绝对值） ， 试件各点最大切应力已超 过 s ， 最终出现宏观错动。 这时有 s ， 即 2 00 sincossintan s ，其中arctan为摩擦角。 （3 分） 同类项合并后， 2 0 sincossintan s 。显然，最先出现错动的是 2 sin cossintan取最大值的方向，它满足 2 (sincossintan )0 d d （1） （3 分） 2 2 2 (sincossintan )0 d d （2） （3 分） 由（1） ，c o t 2t a n ，即 42 （5 分） 显然，值满足（2）式。 第五题（20 分） 相同的三只筷子认为是等直杆，每只筷子的一端搁在桌面上，另一端搁在另 一只筷子的中点处。用力将一个交叉点向下压。求证该点的位移是其它交叉点位 移的一倍半。 参考解答： 设力的作用点（交叉点 1）的位移为x，其余两个交叉点 2、3 的位移分别 为zy,，这三个交叉点处筷子间相互作用力相应地是ZYX,，设下压的力为P。 由筷子 A，B 的平衡条件得（力矩平衡） ZY YX 2 2 （2 分） （2 分） 由筷子 C 的平衡条件得 20PXZ（2 分） 解之，得 842 , , 777 XPYPZP （6 分） （1） 单位力作用在简支筷子中点时，由弯曲理论得该点的位移为)48( 3 EIl， 三个交叉点间的位移协调条件为 Xyx Yzy Zxz 2 1 2 1 2 1 （6 分） （2） 解（2）式，得 333 1288 , , 728742742 PlPlPl xPyPzP EIEIEI 从而 2:2:3:zyx。 （2 分） 第六题（20 分） 均质矩形薄板，质量12m，边长3a ，1b ，O 点为矩形的对称中心。 设薄板对 O 点的转动惯量为 O J， 其在坐标系 11 1 Ox y z中用矩阵 1O J表示， 在坐标系 222 Ox y z中用矩阵 2O J表示。 （1）求出 1O J； （2）类比材料力学中“应力圆”的图解分析方法，用作图的方法求出 2O J中的 各元素，并作简要说明。 解： （1）6 分，每个主转动惯量 2 分。 2 1 2 11 22 1 0000300 1 0000010 12 0000004 x Oy z Ja JJmb Jab （2）14 分。 坐标系在 xy 平面内转动时，与 z 轴有关的转动惯量和惯性极不变。 （2 分） 类似材料力学中“应力圆”的图解方法（之所以能这样做，是因为两者从数学角度看都 是矩阵变换，所以处理的方法可以类似） ，新的转动惯量矩阵中的元素可以这样求：以水平 轴表示转动惯量，竖直轴表示惯性极。在水平轴上以 A 点表示 1x J，以 B 表示 1y J。C 为 A、 B 的中点。以 C 为圆心，二分之一的 AB 长度为半径，画出“转动惯量圆” 。将 A 点绕 C 点 逆时针转动2到A点，A的横坐标值就表示了新坐标系中的转动惯量 2x J，纵坐标值表 示了惯性极。 （思路 4 分） 但是注意到理论力学中惯性极的定义中有负号，而材料力学中 x 为正号，因此 xyA Jy 。 （同样 B 点绕 C 点转到B点，注意到材料力学中 y 为负号，因此有 yxBxy JyJ） 。 由于 C 点坐标为（2，0） ，圆的半径为 1，60，因此得到（与 x、y 有关的每个非 零