初一数学竞赛题《线段与特殊角》答案.pdf

初一数学竞赛 线段与特殊角 练习精选 1 线段与线段与特殊特殊角角(2)答案答案 姓名_日期_ 1. ABC 中，A 是最小角，B 是最大角，且 2B=5A，若B 的最大角是 m，最小 角是 n，求 m+n 的值。 【1 解】由已知得 A C B，另外三角形三内角和为 180，故 A+B+C=180，都化为关于B 的不等式有： 2A+B180A+2B 将A=2B/5, 代入上述不等式，得到 9B/518012B/5，解得：75 B 100, 依题意 m=100，n=75， 故 m+n=175 2. 如图 28-4， 求 A+C+D+F +G+I+J+L （B+E+H+K） 的大小， 这里B 指ABC，其他类推。 【2 解】方法 1：连接 AC，DF，GI，LJ， 构成八边形 ACDFGIJL， 其内角和=(82)180, 减去 4 个三角形 ABC，DEF，GHI，JKL 的内角和， 就是所求。 结果为 （64） 180=360 方法 2：连接 BE，EH，HK，KB， 构成 5 个四边形，四边形的内角和为 360， 后面省略。 3. 如图 28-5, 在ABC 中，AB=AC，D、E、F 分别在 AB、BC、CA 上，且 DE=EF=FD，求 证：DEB= 1 2 （ADF+CFE） 【3 证明】设DEB=1，ADEB=3，CFE=2， 三角形外角定理：1+60=2+C A B C D E F G H I J K L 2 3 1 F CB A E D R P Q C A B l E O A DC B 图 28-6 图 28-7 图 28-5 图 28-4 初一数学竞赛 线段与特殊角 练习精选 2 12=C60， 同样，3+60=1+B 13=60B 两式相加，得到： 21（2+3）=CB， 又 AB=AC，所以B=C， 故 21=2+3 4. 在图 28-6， ABC 中， AB=AC， A45， 点 P、 Q 分别在 AC、 AB 上， 且 AP=PQ=QB=BC AQ，求A 的大小。 【4 解】以 Q 为圆心，QP 为半径作圆，交 AC 于点 R 和 P，即完成在 AC 上找一点 R， 使得 QR=QP，设A=x， AP=PQ， QPC=2x， QR=QP，QPR=QRP=2x， BQR=A+QRA=3x， QR=QP=QB，QBR=QRB=(1803x/2) BRC=A+QBR=(180x/2) 在等腰三角形 ABC，C=(180x/2)，故C=BRC，BR=BC， 从而 BR=BQ=QR，三角形 BQR 为等边三角形，故 3x=60，x=20. 5. 已知：如图 28-7，ABC 中，l 是C 的外角平分线，过 AB 的中点 O 且平行于 l 的直线交 AC 于点 E，已知 AC=7，BC=4，求 CE 的长 【5 解】过 B 作 BGl，交 AC 于点 G， GBC=HCI（两平行线，同位角相等） ， BGC=HCG（两平行线，内错角相等） ， 所以 GBC=BGC，CB=CG=4， O 为 AB 的中点，且 OElBG， OE 是ABG 的中位线，AE=EG=(1/2)AG AG=AC-CG=7-4=3，故 EG=(3/2)， CE=CG+GE=4+(3/2)=5.5； 6. 在 4 点和 5 点之间，时针与分针在何时 （1）成 120， （2）成 90 l G E O A DC B I H 初一数学竞赛 线段与特殊角 练习精选 3 【6 解】 （1）4 点钟时，时针与分针成 120，问题是求 4 点到 5 点之间， 同样时间内，分针所转角度是时针的 12 倍，故问题转化为： 分针追击时针，并超过时针 120，设这时，时针旋转了 ， 则分钟旋转了 12，有角度关系得方程： 12 =120+120， = 240 11 ， 而 时针每分钟转 0.5，所以时间为 240 11 2= 4807 =43 1111 分钟 （2）成 90，第一次是分针与时针角度慢慢缩小，从 120变成 90， 假设这时，时针旋转了 ，则分针转了 12，两者之间夹角为 90， 12012+=90，解得 = 30 11 ， 此时 时针旋转角度换算成时间为 30 11 2= 605 =5 1111 分钟。 第二次是分针继续以 12 倍于时针的速度继续旋转， 直到超过时针， 并与时针成 90夹角， 这时，如果设时针旋转了 ，则分针转了 12，两者之间夹角为 90，有方程： 12=120+90，解得 = 210 11 ， 此时 时针旋转角度换算成时间为 4202 =38 1111 分钟。 7. 将一个等腰三角形 ABC 划分为两个较小的等腰三角形，问这样的ABC、有几种形状？ 并将所有形状都列出来。 【7 解】 一、设等腰ABC(AB=AC)被分成ABD 和BCD。 因为 D 为 AC 上一点，所以 AD90, 这时ADBAD, (中，大角对大边） 故 如果ACD 是等腰三角形，则只有 DA=DC， C=DAC。 假设ABD 是等腰，因为 AB=AC，ACAD , AB AD , 则有如下两种情况：BA=BD，或 DB=DA （a）BA=BD 时，BDA=BAD，而BDA=2C， BAC+B+C=180， 3C+C+C =5C=180, C=B=36, BAC=108. (黄金ABC) （b）DB=DA 时，B=BAD，BDA=2C 2B+BDA=180， 2C+2C =4C=180, C=B=45, BAC=9. (等腰 RtABC，与（1）一致) A B C D 初一数学竞赛 线段与特殊角 练习精选 5 综上所述，ABC 有两种情况：(108,36,36),(90,45,45) 总结总结：所求等腰所求等腰ABC 有四种可能有四种可能，三个内角分别为三个内角分别为： 1. 等腰直角三角形等腰直角三角形（90,45,45), 2. 黄金三角形黄金三角形（108,36,36） ，） ， 3. 黄金三角形黄金三角形（36,72,72） ，） ， 4. 特殊三角形特殊三角形（(180/7)，(540/7)，(540/7)） 。） 。 8. 如图 28-9， 设ABC 内有一点 M， MBA=30， MAB=10， 又ACB=80， AC=BC， 求AMC 【8 解】作CAM 的角平分线，交 BM 的延长线于点 E， 因为 EBA=EAB=30，所以 EA=EB； AEC 和BEC 中 CA=CB，CAE=CBE=20，EA=EB， AECBEC （SAS） ACE=BCE=ACB/2=40， 因为 EMA=MAB+MBA，所以 EMA=40， AEC 和AEM 中 CAE=MAE=20，AE=AE，ACE=AME=40 AECAEM （AAS） AC=AM， ACM=AMC=(180-CAM)/2=70， AMC=AMC-AME=70-40=30 9. 如图 28-10，已知ABC 中，AB=AC，A=20，D 在 AB 内，且 AD=BC，求DCA 【9 解】以 AD 为边长作正三角形 ADE（如图） 。 连接 CE，有 AD=AE=DE=BC，EAD=AED=EDA=60， 在ABC 和CAE 中，有 BC=AE，BCA=EAC=80, AC=AC ABCCAE (SAS) CE=AB=AC, AEC=B=80, ACE=BAC=20 DEC=AEC-AED=20=DAC 在DCA 和DCE 中，有 CA=CE，CD=CD, DE=DA DCADCE (SSS) DCA=DCE=(1/2)ACE=(1/2)20=10 10. 如图 28-11， 求图中A+B+C+D+E 的大小。 【10 解】连接 BE， E C M A B 图 28-9 图 28-10 E D C A B 初一数学竞赛 线段与特殊角 练习精选 6 CDF 中，C+D+CFD=180 （1） ABE 中，A+(ABF+FBE)+(AEF+FEB)=180 （2） BEF 中，BFE+FBE+FEB=180 （3） 对顶角相等，得到 CFD=BFE， 以上两式相加， （1）+（2）得到： A+ABF+C+D+AEF+(CFD+FBE+FEB)=360 （4） 将（3）代入（4）式， A+ABF+C+D+AEF=180 【1 另解】 解：设 DE 与 AB 交于点 G，BC 与 DE 交于点 F，如图。 由三角形外角等于不相邻的两个内角和，得到： AFE 中，1=A+E， （1） FCD 中，2=C+D， （2） 由三角形三内角和为 180，得到： BGF 中，180=2+1+B， （3） 以上三式相加， （1）+（2）+（3）得到： A+B+C+D+E=180 11. 如图 28-12，ABC 中，B=18，C=36，求证：BCAC为ABC 外接圆半径。 【2 证明】设ABC 的外心为 O，则 OA=OB=OC=r， 连接 OC、OA、OB，OA 与 BC 相交于点 E。 设OCB=OBC=1， 因为 OC=OA， OCA=OAC=36+1， 同理 OA=OB， OAB=OBA=18+1， 在等腰OAC 中，顶角AOC=180-2OCA=108-21， 同理，AOB=180-2OBA=144-21， 在等腰OBC 中，COB=180-21 由 AOC+AOB=COB 得到 108-21+144-21=180-21， 故1=36，OCA=OAC=72，AEC=BEO=72，AOB=72， 即 CA=CE，BE=BO，故 BC-AC=BC-CE=BE 为外接圆半径。 【2 另证】 证明：延长 CA 到 E，使得 BE=BC，则 E=C=36，ABE=90， 图 28-11 1 2 G F A B C D E F A B C D E 图 28-12 1 1 E O A C B 初一数学竞赛 线段与特殊角 练习精选 7 取 AE 的中点 D，则 DE=DB=AD，EDB=108 作ABC 的外接圆的圆心 O，则 OC=OB 为外接圆半径， DAB=ACB+ABC=弧 CAB 所对圆周角 =(1/2)弧 CAB 所对圆心角 即 COB=2DAB=108=EDB， 又 BE=BC，所以COBBDE， OC=BD=AD； CDB=72，CBD=90+18-36=72 CDB=CBD， CD=BC， 所以 BC-AC=CD-AC=AD=OC，即 BC-AC 是外接圆半径。 12. 如图 28-13， 已知ABC 中， A=100， AB=AC， 延长 AB 至点 D， 使 AD=BC， 求BCD 【3 解】最经典解法，作辅助线：过 BC 外ABC 外作正BCE，BC=BE=CE； 显然 ABEACE （SSS） BAE=CAE=(1/2)BAC=50， BEA=CEA=(1/2)BEC=30， ABE=ACE=100， 在ACD 和CAE 中， AC=CA，AD=CE，CAD=ACE=100， ACDCAE （SAS） ACD=CAE=50， BCD=ACD-ACB=50-40=10 【3 解】关键是 如何用已知条件 AD=BC？ 作辅助线：DEBC，且 DE=BC=AD（即作平行四边形 BDEC）; 连接 CE，CD，在 DE 上截取一点 F，使 EF=CE=DB，连接 AF; 因为 BAC100，ADE=ABC=(180-100)/2=40; CBD=CED=180-ADE=140， 因为 DE=AD，DAE=AED =(180-40)/2=70， CAE=BAC-DAE=100-70=30， AEC=CED-AED=140-70 =70=AED，EF=CE，AE=AE; AEFACE （SAS）; AF=AC，FAE=CAE=30， FAC=FAE+CAE=60 AFC 为等边三角形，FC=AC=AB=AF; DF=DE-EF=BC-DB=AD-DB=AB=FC; DCF 为等腰三角形，CDF=DCF； 因为 BC/DE， 1 1 D E O A C B 图 28-13 40-x 4040 FE D C A B 40 40 E D C A B 初一数学竞赛 线段与特殊角 练习精选 8 BCD=CDF=DCF=(1/2)BCF=(1/2)(ACF-ACB)=(1/2)(60-40)=10; 13. 如图 28-14，已知等腰三角形 ABC，底角ABC=ACB =50，点 D、E 分别在 BC、AC 上，AD、BE 交于点 P，ABE=30，BAD=50，连接 ED，求BED 【13 解】做辅助线：延长 BE 至 F, 使 DF=DB. 连 AF, DF 并设 DF 交 AC 与 G. 因为 BAC=80, AB=AC, ABD=ACB=50. 因为 DBF=ABD-ABE=20, DF=DB, DFB=DBF=20, BDF=140. 而BAD=BAC-DAC=50=ABD, 故 DA=DB，且BDA=80. 于是ADF=BDF-BDA=60，且 DA=DB=DF, 即ADF 为等边三角形. 因为DAG=30, 所以 AG 是DAF 平分线, 也是 DF 边上的高线和中线. 因此 EG 也是EDF 中 DF 边上的高线和中线, 可知EDF 是等腰三角形, EDF=EFD=20.故 BED=EDF+EFD=40(外角等于不相邻内角和). 14. 三角形 ABC 中，如图 28-15，A=100，AB=AC，点 P 为三角形 ABC 内一点，PAC= ACP=20，求PBA 的大小 【14 解】作等边三角形 APD，则 AD=DP=AP=PC，所以 DAP=ADP=APD=60， BAD=BAC-DAP-PAC=100-60-20=20 BAD 和CAP 中， AB=AC，BAD=CAP=20，AD=AP， BADCAP （SAS） BD=PC=AP=AD， ABD=BAD=20，ADB=140， BDP=360-ADB-ADP=160， 因为 DB=DP ， DBP=DPB=(180-BDP/2)=90-80=10 故 PBA=DBP+ABD=10+20=30 15. 如图 28-16，设点 P 为三角形 ABC 内一点，PBA=10，BAP=20，PCB=30， CBP=40，求证：ABC 是等腰三角形。 【15 证明】等腰有三线合一性质。 作 AHBC，且 AH=AB。故 BAP=PAH=20， ABP 和AHP 中，有 AB=AH，BAP=PAH，AP=AP ABP 和AHP （SAS）BP=HP， 又 APB=APH=180-PBA-PAB=150， 图 28-14 20 30 50 50 30 x G F P D E C A B 图 28-15 x D P C A B 图 28-16 40 30 K G H C P A B 初一数学竞赛 线段与特殊角 练习精选 9 故 BPH=360-2APB=60，BPH 为等边三角形 延长 PH 到 K，使得 PH=HK， PBK 是 Rt，PKB=30， 且 PCB=30=PKB， B、P、C、K 四点共圆四点共圆。H 为圆心，PK 为直径。 HC=HB，又 HGBC，由等腰三角形三线合一，知道： BG=GC， 在 ABG 和ACG 中， AG=AG，AGB=AGC，BG=GC ABGACG （SAS） AB=AC 16. 如图 28-17，已知三角形 ABC 中，AB=AC，D 在 AC 上，ADB=60，E 在 BD上， ECB=30，求 AEC。 【16 解】作 AHBC，交 BC 于点 H，延长 CE，交 AH 于点 F，延长 BF 交 AE 于点 G。 故有：BH=HC，BAH=CAH（等腰三角形三线合一） 同时有: BF=CF，FBH=FCH=30，BFC=120 （1）显然易证 ABFACF （SSS） ， 因为 AB=AC，BF=CF，AF=AF， ABFACF （SSS）ABF=ACF， AFB=AFC=（360-BFC)/2=120 （2）证 EBF=ACF 因为 GFE=FBH+FCH=60=EBF+FEB ADB=60=ACF+DEC， （三角形外角公式） 且 FEB=DEC （对顶角相等） EBF=ACF （等量减等量） （3）易证 BEFCAF (ASA) 因为 BF = FC , BFE =CFA=120, EBF=ACF, BEFCAF (ASA) BEFBAF, BE =AC=AB, 故 ABF=EBF （BF 为等腰ABE 的顶角ABD 的平分线） BGAE，AG=GE（等腰三角形三线合一） 又 BFE=120=AFB=AFC， FAG = FEG=30 AEC