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中国科技大学 一九九七年招收硕士学位研究生去学考试试题 试题名称：固体物理 一 很多元素晶体具有面心立方结构，试 1 绘出其晶胞形状，指出它所具有的对称元素 2 说明它的倒易点阵类型及第一布里渊区形状 3 面心立方的 Cu 单晶（晶格常熟 a=3.61）的 x 射线衍射图（x 射线波长1.54）中， 为什么不出现（100） ， （422） ， （511）衍射线？ 4 它们的晶格振动色散曲线有什么特点？ 二 已知原子间相互作用势 nm r rr U += )( ，其中，m,n 均为0 的常数，试证明此 系统可以处于稳定平衡态的条件是 nm。 三 已知由 N 个质量为 m，间距为的相同原子组成的一维单原子链的色散关系为 2 sin 4 2 1 qa m = 1 试给出它的格波态密度( )g，并作图表示 2 试绘出其色散曲线形状，并说明存在截止频率 max 的意义 四 半导 体材 料 的 价带 基 本 上填满 了 电子 （ 近 满带 ） ， 价 带中 电 子 能量 表 示 式 ，其中能量零点取在价带顶。这时若处电子被激 发到更高的能带（导带）而在该处产生一个空穴，试求此空穴的有效质量，波矢，准动量， 共有化运动速度和能量。 （已知， ( )(10016. 1 234 JkkE=cmk 6 101= sJ = 34 10054. 1h 2 3 35 101095 sw 0 . 9 cm =m） 五 金属锂是体心立方晶格， 晶格常数为5 . 3=a ，假设每一个锂原子贡献一个传导电子而 构成金属自由电子气，试推导时，金属自由电子气费米能表示式，并计算出金属锂 费米能。 （已知） KT0= J 19 10eV602. 11= 六 二维自由电子气的电子能量表达式是 ( ) m k m k kE y x 22 22 22 h h += 当 方向有磁场入射时，电子能量本征值将为一系列 Landau 能级。Landau 能级是高简并度 分立能级，试导出其简并度。 z k 中国科学院 1997 年硕士研究生入学试题参考答案 一 （每题 5 分，工 20 分） 1 晶胞如图： 对称元素：3 个立方轴，4 个 3 次轴，6 个 2 次轴，1 个一次轴，一个中心反映。 2 倒易点阵为体心立方点阵，第一布里渊区为截角八面体。 3 面心立方结构的消光条件不允许出现奇偶混杂的面指数，所以（100） ， （110）衍射线不 出现，又因为衍射条件要求d2，所以，74. 0 )422( =d，09. 0 )511( =d，不符合衍射 条件，不出现衍射峰。 4 只有 3 支声学振动，没有光学支。在100和111方向，两支横声学波是简并的。 二 解：满足稳定态的条件 ( ) ( ) 0)( ) 1() 1( , 0, 0 2 0 2 0 2 0 2 2 2 2 = + + + = = + mn r m r nn r mm dr rud dr rud dr du mnm 所以 nm。 三 解：1 根据态密度定义可以给出 ( )dq L dg 2 = （这里 LNa） 一维原子链应考虑正负两支 g（） 所以 ( ) dq dL dq dL g = 2 2 将 2 sin 4 2 1 qa m = 代入得： 2 1 22 )( 22 cos 2 = mm aqaa dq d m 得：( )()2 1 22 2 = m N g，其中 m m 4 = 2 截止频率是只有频率在到m 之间的格波才能在晶体中传播，其它 频率的格波被强烈衰减，一一维单原子 晶格看作成低通滤波器。 四 解： 0 2 2 2 6 . 0 m k E me= = h 所以，空穴的有效质量为： 0 6 . 0 mmm eh = 空穴波矢：cmkk eh 6 101= 空穴准动量： cm sJ kh = 28634 10105410110054. 1h 空穴速度为：()scmk dk dE v k 634 1093. 110016. 12 11 = hh 空穴能量： ( )JkEEh 22 10016. 1 = 五 解：按自由电子气模型，能量 EEdE 之间的电子数为 ( )dEEfE mV dN 2 1 2 3 22 2 4 2 = h 在时 KT0= 1)(=Ef 当 F EE 故 = 0 0 2 1 2 3 22 2 4 2 F E dEE mV N h 2 3 0 2 3 22 2 3 1 F E m = h 令 V N n =，得：()3 2 2 2 0 3 2 n m EF h = 锂晶体电子浓度 () 322 3 8 1066 . 4 105 . 3 1 cmn= = 所以()eVn m EF72 . 4 3 2 3 2 2 2 0 = h 六 解：( ) m k m kk kE t yx 22 22 2222 h hh r = + =，等能面是一个圆，其半径 h mE kt 2 = 园内状态数( ) () A mE k A EN t = 2 2 2 2 2 h 单位面积1=A时，二维自由电子气能态密度 ( ) ( ) 2 h m dE EdN EG= 在 kz方向磁场作用下，自由电子气凝聚成 Landau 能级， c nEh += 2 1 ，能 级间距为 c h，故能级简并度 c m D h h = 2 ，代入 m eB c =，得： h eB D = 中国科学院 1998 年硕士研究生入学试题 固体物理 一 简要回答以下问题（20 分） 1 试绘图表示晶体的结晶学原胞、布拉菲原胞、基元和固体物理学原胞。 NaCl 2 已知三维晶体原胞的体积为 ，试推导给出倒格子原胞的体积 *。 3 假设晶体的及Cl原子的散射因子分别是和试求其结构因子 CsClCs Cs f Cl f()hklF 4 试以立方晶体为例列出黄昆方程，并做定性解释。 二 试求一维双原子链复式格子晶格振动的色散关系，并绘图表示之。 三 试列举晶体中的各种缺陷，并做简要说明。 四 试求三维晶体量子热容表达式。 五 试根据近满带情况下电子在电磁场中的运动规律，给出“空穴”的完整定义。 六 试推导 0K 极限情况下金属中电子费米能量的表达式。 0 F E 七 试推导给出金属中电子的量子统计速度分布公式。 中国科学院 1999 年硕士研究生入学考试 固体物理学试题 一 试对晶体进行分类： 1 从晶体几何对称性出发分类 2 从晶体结合出发分类 二 简要回答如下问题 1 试绘图表示二维正方格子的第一、第二、第三布里渊区，并做解释。 2 简述晶格中电子散射的微观过程。 三 试绘图表示金刚石晶体的结晶学原胞，布拉菲原胞，基元和固体物理学原胞。 四 试求一维单原子链线形晶格振动的色散关系，并绘图表示之。 五 简述德拜模型，并推导出三维晶体晶格振动频谱密度( )f的表达式。 六 试对晶体中的位错及其性质进行简单描述。 七 试从波恩卡曼边界条件出发，求出三维k 空间电子状态分布密度。 八 试推导近自由电子近似金属电子的能态密度( )EN，并绘图表示其变化趋势。 九 试从能带理论出发解释导体，绝缘体和半导体的区别与联系。 十 试给出长光学横波与电磁波耦合模的色散关系，并进行初步解。 中国科学院中国科学技术大学 2000 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷 科目：固体物理学 一 填空 1 晶体中原子排列的最大特点是_。 非晶体中原子排列的最大特点是_。 准晶结构的最大特点是_。 2 晶体中可以独立存在的 8 种对称元素是_。 3 半导体材料和Ge单晶的晶体点阵类型为_， 倒易点阵类型为_，第 一布里渊区的形状为_，每个原子的最近邻原子数为_。 Si 4 某晶体中两原子间的相互作用势( ) 126 r B r A ru+=，其中和AB是经验参数，都为正 值，r为原子间距，试指出_项为引力势，_项为斥力势，平衡时最近邻两原 子间距=_，含有 N 个原子的这种晶体的总结合能表达式为：_。 0 r 5 研究固体晶格振动的实验技术有： _， _， _， _ 等。 二 已知 N 个质量为间距为的相同原子组成的一维原子链， 其原子在偏离平衡位置ma时 受到近邻原子的恢复力=F（为恢复力系数） 。 1 试证明其色散关系 2 sin2 qa m =（为波矢） q 2 试绘出它在整个布里渊区的色散关系，并说明截止频率的意义。 3 试求出它的格波态密度函数( )g，并作图表示。 三 1 假设某二价元素晶体的结构是简立方点阵。试证明第一布里渊区角偶点 aaa ,的 自由电子动能为区边中心点 0 , 0 , a 的三倍。 2 若二价元素晶体的能隙很小，试说明它不会是绝缘体。 四 用紧束缚方法处理晶体态电子，得到其能量表达式为 s ( )() += l l R Rik ls eRJEkE 0 其中为常数， 0 E() l RJ称重叠积分（小于零） 。 1 在最近邻近似下，求出x方向格常数为，方向格常数为（）的二维矩形 晶体s态电子能量表达式。 aybba 2 求出态晶体电子能带宽度。 s 3 分别求出能带底电子与能带顶空穴有效质量张量。 五 N 个原子组成二维正方格子，每个原子贡献一个电子构成二维自由电子气，电子能量表 达式是 ( ) m kh m kh kE y x 22 22 22 += 1 推导二维自由气的能态密度公式。 2 此时在垂直于正方格子方向射入一磁场 B，自由电子气能级将凝聚成 Landau 能级， 问该能级的简并度是多少？ 一 填空 1 晶体中原子排列的最大特点是长程有序长程有序。 非晶体中原子排列的最大特点是长程无序、短程有序长程无序、短程有序。 准晶结构的最大特点是有5 次对称性次对称性。 2 晶体中可以独立存在的 8 种对称元素是：1 次轴，次轴，2 次轴，次轴，3 次轴，次轴，4 次轴，次轴，6 次轴，次轴，1 次反轴（中心反演） ，次反轴（中心反演） ，2 次反轴（或说对称面） ，次反轴（或说对称面） ，4 次反轴次反轴。 3 半导体材料和单晶的晶体点阵类型为SiGe面心立方面心立方，倒易点阵类型为体心立方体心立方，第 一布里渊区的形状为截角八面体截角八面体，每个原子的最近邻原子数为4。 4 某晶体中两原子间的相互作用势( ) 126 r B r A ru+=，其中A和B是经验参数，都为正 值，r为原子间距，试指出项为 6 r A 引力势， 12 r B 项为斥力势，平衡时最近邻两原子间距 = 0 r 6 11 2 = nB A B mA mn ， 含有 N 个原子的这种晶体的总结合能表达式为：( ) = N j ij ru N E 2 。 5 研究固体晶格振动的实验技术有：Raman散射散射;Brillouin散射；红外光谱；散射；红外光谱；XRay非弹性非弹性 散射；热中子非弹性散射；超声波测量等散射；热中子非弹性散射；超声波测量等。 （任写 4 个都可） 二 已知 N 个质量为间距为a的相同原子组成的一维原子链， 其原子在偏离平衡位置m时 受到近邻原子的恢复力=F（为恢复力系数） 。 1 试证明其色散关系 2 sin2 qa m =（为波矢） q 2 试绘出它在整个布里渊区的色散关系，并说明截止频率的意义。 3 试求出它的格波态密度函数( )g，并作图表示。 解：解：1 原子运动方程原子运动方程 () nnnn m 211 2+= + 代入格波解代入格波解 ()naqti nq Ae = 得色散关系得色散关系 2 sin2 qa m = 2 第一布里 渊区边界 第一布里 渊区边界 a o a m m称截止频率，表示只有频率在称截止频率，表示只有频率在 0m 之间的格波才能在晶体中传播。晶体好像 是一个低通滤波器 之间的格波才能在晶体中传播。晶体好像 是一个低通滤波器m的波不能在晶体 中传播 的波不能在晶体 中传播 ( )g 3 ( )() 2 1 22 21 = m N dq d L g m 三 1 假设某二价元素晶体的结构是简立方点阵。试证明第一布里渊区角偶点 aaa ,的 自由电子动能为区边中心点 0 , 0 , a 的三倍。 2 若二价元素晶体的能隙很小，试说明它不会是绝缘体。 解： 对自由电子来说， 角偶点的动能为：解： 对自由电子来说， 角偶点的动能为： 2 2 222 2 1 3 22 = + + = amaaam E hh 侧面中点的动能为：侧面中点的动能为： 2 2 2 2 = am E h 3 2 1 = E E 2 如果能隙很小，简单立方点阵如果能隙很小，简单立方点阵100方向和方向和111方向能带相互交迭，这使得两个能带 都未填满，在外电场作用下可以导电，虽然电导率不为金属，但不会是绝缘体。 方向能带相互交迭，这使得两个能带 都未填满，在外电场作用下可以导电，虽然电导率不为金属，但不会是绝缘体。 四 用紧束缚方法处理晶体态电子，得到其能量表达式为 s ( )() += l l R Rik ls eRJEkE 0 其中为常数， 0 E() l RJ称重叠积分（小于零） 。 1 在最近邻近似下，求出x方向格常数为，方向格常数为（）的二维矩形 晶体s态电子能量表达式。 aybba 2 求出态晶体电子能带宽度。 s 3 分别求出能带底电子与能带顶空穴有效质量张量。 解：解：1 只考虑最近邻只考虑最近邻 ), 0(),0 ,(baRl= bkJakJJE JJeJeJeJeEE y s x ss s c s bik s bik saiksaik s yy xx cos2cos2 210, 0 2211 += += 2 0= yx kk sss s JJJEE 210, 0底 22+= a kk yx = sss s JJJEE 210 , 0顶 22+= 能带宽度能带宽度 )(4 21底顶 ss JJEE+= 宽度宽度 () ss JJ 21 4+ 3 能带底能带底0= yx kk， 2 210 , 0 cos2cos2bkJakJJEE y s x ss s += 2 1 2 2 2 2 2aJk E m s x x h h= = 2 2 2 2 2 2 2bJk E m s y y h h= = 带底电子有效质量张量带底电子有效质量张量 = 2 2 2 2 1 2 * 2 0 0 2 bJ aJ m s s e h h 同理能带顶同理能带顶 a kk yx = 带顶空穴带顶空穴 = 2 2 2 2 1 2 * 2 0 0 2 bJ aJ mm s s eh h h 五 N 个原子组成二维正方格子，每个原子贡献一个电子构成二维自由电子气，电子能量表 达式是 ( ) m kh m kh kE y x 22 22 22 += ( ) 1 推导二维自由气的能态密度公式。 2 此时在垂直于正方格子方向射入一磁场 B，自由电子气能级将凝聚成 Landau 能级， 问该能级的简并度是多少？ 解：解：1 对于自由电子气来说：对于自由电子气来说： m k m k m k kE t y x t 222 22 22 22 h h h =+= dk m k dE t 2 h = ( ) () () ttdk kdEEg 2 2 1 2 2 = 所以所以 ( ) 2 h m Eg= 2 简并度简并度 h h h h h eB m eBmm D c = 22 中国科学院中国科学技术大学 2001 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷 试题名称：固体物理 一 简要回答以下问题： 1 某种元素晶体具有六角密堆结构，试指出该晶体的布拉菲格子类型和倒格子类型 2 某元素晶体的结构为体心立方布拉菲格子，试指出其格点面密度最大的晶面系的密勒 指数，并求出该晶面系相邻晶面的面间距。 （设其晶胞参数为 a） 3 具有面心立方结构的某元素晶体，它的多晶样品 x 射线衍射谱中，散射角最小的三个 衍射峰相应的面指数是什么？ 4 何谓费米能级和费米温度？试举出一种测量金属费米面的实验方法 5 试用能带论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点 二 回答以下问题： 1 阐述晶格中不同简正模式的格波之间达到热平衡的物理原因。 2 晶格比热理论中德拜近似在低温下与实验符合的很好，物理原因是什么？ 3 晶体由 N 个原子组成，试求出德拜模型下的态密度、德拜频率的表达式，并说明德拜 频率的物理意义。 三 设有一维双原子链，两种原子的质量分别为M和，且，相邻原子间的平衡间 距为，只考虑最近邻原子间的相互作用，作用力常数为 mmM a，在简谐近似下，考虑原子沿 链的一维振动： 1 求格波简正模的频率与波矢间的关系( )q 2 证明波矢q和m a q +（其中为整数）描述的格波是全同的 m 3 在的极限情形， 求色散关系mM ( )q的渐进表达式。 ky 简单布里渊区 kz kx X M Z S R 四 推导简立方晶格中由原子 S 态( )r s 形成的能带： 1 写出描述 S 态晶体电子波函数的 Bloch 表达式 2 写出在最近邻作用近似下，由紧束缚法得到的晶体 S 态电 子能量表达式 ( )kE 3 计算如图 ，X，R 点晶体电子能量 4 指出能带底与能带顶晶体电子能量，其能带宽度等于多 少？ 5 画出原子能级分裂成能带示意图。 五 金属钠是体心立方晶格， 晶格常数a=3.5， 假如每一个锂原子贡献一个传导电子而构成 金属自由电子气，试推导 T=0K 时金属自由电子气费米能表示式，并计算出金属锂费米能。 （=1.0510-34Js，m=9.110-35Ws3/cm2，1eV=1.610-19J） 中国科学院中国科学技术大学 2001 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷 试题名称：固体物理 一 简要回答以下问题： 1 都为简单六方格子 2 110, a 2 2 3 111;200;220 4 费米能级是被电子填充几率为 1/2 的能级，即() 2 1 = F Ef，或说 EF是 k 空间占有电子 或不占有电子区域分界面处的能量。 费米温度是相应于费米能级的温度 B F F k E T =。 测量方法有回旋共振，德哈斯范阿尔芬效应等。 5 绝缘体是全部低能带都充满了电子，且最高的满带（价带）和更高的允许带（空带） 之间相隔着一个很宽的禁带，而满带电子是不导电的。 导体则是有一个部分填充的能带 （又称导带） ， 而导带电子在外电场作用下是可以产生 电流的。 半导体和绝缘体相似，但禁带的宽度较小，有可能使能带填充情况有所改变，使导带 中有少量电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性。 二 回答以下问题： 1 阐述晶格中不同简正模式的格波之间达到热平衡的物理原因。 答：是非简谐相互作用导致不同模式之间的耦合达到热平衡。 2 晶格比热理论中德拜近似在低温下与实验符合的很好，物理原因是什么？ 答：温度降低，高频模对比热的贡献减小，因而在低温下，主要是低频模（长波）对比热起 贡献，Debye 模型更接近于低温情形，所以符合好。 3 晶体由 N 个原子组成，试求出德拜模型下的态密度、德拜频率的表达式，并说明德拜 频率的物理意义。 答：Debye 模型 qvs= vs是弹性波速度 一维情形下，( ) 3 2 2 2 s v V dq d L g = 在忽略三支模式差别的情形，三维情形( ) 3 2 2 2 3 s v V g = 根据定义， ( )Ndg m w 3 0 = 可以给出德拜频率()3 1 32 3 1 32 6 6 nv V Nv s s mD = =， 即晶体中所允许模式的最高 频率。 三 设有一维双原子链，两种原子的质量分别为M和，且，相邻原子间的平衡间 距为a，只考虑最近邻原子间的相互作用，作用力常数为 mmM ，在简谐近似下，考虑原子沿 链的一维振动： 1 求格波简正模的频率与波矢间的关系( )q 2 证明波矢和qm a q +（其中m为整数）描述的格波是全同的 3 在的极限情形， 求色散关系mM ( )q的渐进表达式。 解：参照黄昆，韩汝琦固体物理学3.3 节 1 () () = = + + nnnn nnnn m 2221212 121222 2M 2 令 ()aqnti n naqti n BeAe 12 12 2 2 , + + = ky 简单布里渊区 kz kx X M Z S R 代入求解后得： () + + = 2 1 2 2 2 sin 4 11aq Mm mM mM Mm 2 由于因子，因而（q）具有周期性aq 2 sin a 3 时 mM aq M aq M m m 2222 sin 2 ,sin1 2 + 四 推导简立方晶格中由原子 S 态( )r s 形成的能带： 1 写出描述 S 态晶体电子波函数的 Bloch 表达式 2 写出在最近邻作用近似下，由紧束缚法得到的晶体 S 态电子能量表达式 ( )kE 3 计算如图 ，X，R 点晶体电子能量 4 指出能带底与能带顶晶体电子能量，其能带宽度等于多少？ 5 画出原子能级分裂成能带示意图。 解：1 ( )() = ns Rik s Rrecr n 2 ( ) = = 最近邻 0 )( s s R Rk ss eRJJkE 3 简单立方晶体六个近邻格点为（a，0，0） ， （0，a，0） ， （0，0，a） 4 把近邻格矢 Rs代入 E（k） ，得到： ( )coscos(cos2 10 akakakJJkE zyxs += 点，(0 , 0 , 0)=k 10 6JJE s = X 点， =0 , 0 , a k 10 2JJE s X = R 点， = aaa k , 10 6JJE s R += J0 12J1 点为带底，R 点为带顶，能带宽度为 12J1 五 金属钠是体心立方晶格， 晶格常数a=3.5， 假如每一个锂原子贡献一个传导电子而构成 金属自由电子气，试推导 T=0K 时金属自由电子气费米能表示式，并计算出金属锂费米能。 （=1.0510-34Js，m=9.110-35Ws3/cm2，1eV=1.610-19J） 解：( )dEEfE mV dN = 2 1 2 3 22 2 4 2 h ， ，KT0=( )() F EEEf= , 0 所以 2 3 0 2 3 22 2 1 2 3 22 2 3 1 2 4 2 F E m dEE mV N = = h h V N n =，得()3 2 2 2 0 3 2 n m EF h = 锂晶体电子浓度 () 322 3 8 1066 . 4 105 . 3 1 = =cmn 所以 ()eVn m EF72 . 4 3 2 3 2 2 2 0 = h 中国科学院中国科学技术大学 2002 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 试题名称：固体物理 一 某元素晶体具有面心立方结构，其晶胞参数为 a 1 在直角坐标系中写出其相应布拉菲格子一组形式较对称的基矢，由此求出其倒格子的 基矢，并指出倒格子是什么类型的布拉菲格子。 2 对该晶体的粉末样品，用波长为的单色 X 射线照射时，观察到一系列衍射峰，分别 对下面两种情况，求散射角小的二个衍射峰的布拉格角（用和的公式表示） ： a 1）该晶体每个基元只含有一个原子 2）该晶体具有金刚石结构。 3 什么叫能带论？说明晶体大小的差别并不影响能带的基本情况。 4 为什么说晶体原胞中电子数目若为奇数，相应的晶体具有金属导电性？ 5 当磁场方向沿1，1，1方向时，银的 de Hass-Van Alphen 效应中磁化率振荡出现两个 周期，其原因是什么？ 二 对惰性元素晶体，原子间的相互作用常采用勒纳-琼斯势 ( ) = 612 4 rr ru 其中和为待定常数，r为两原子间的距离 1 试说明式中两项的物理意义以及物理来源 2 证明平衡时的最近邻原子间距与 0 r之比为一与晶体结构有关的常数 三 1 有一维双原子链，两种原子的质量分别为M和，且，相邻原子间的平衡间 距为a，作用力常数为 mmM 。考虑原子沿链的一维振动： 1）求格波简正模的频率与波矢间的关系( )q 2）证明波矢和qm a q +（其中为整数）描述的格波是全同的 m 2 常用热中子与晶格振动的非弹性相互作用来研究晶格振动的色散关系( )q， 请简要叙 述其基本原理。并明确说明实验中测量哪些量，以及如何由此得出色散关系(q) 四 半金属交叠的能带为 ( )( )mm m k EkE18 . 0 , 2 0 1 1 22 11 = h ( )()()mmkk m kEkE06 . 0 , 2 2 2 0 1 2 022 =+= h 其中为带 1 的带顶，为带 2 的带底。交叠部分( )0 1 E() 02 kE( )()eVkEE1 . 00 021 =。由于 能带交叠，能带 1 中的部分电子转移到能带 2，而在能带 1 中形成空穴，计算时费 米能级的位置。 KT0= 五 铜的密度为 8.3103kg/m3,电阻率为 1.5610-8m，原子量为 63，假定一个铜原子放 出一个价电子构成自由传导电子， 试求其平均自由时间， 迁移率以及在 1.0V/cm 电场作用下 的平均漂移速度。 （电子质量 m=9.1110-35Ws3/cm2,电子电荷 e=1.610-19AS,阿佛加德 罗常数 6.021023/mol.） 中国科学院中国科学技术大学 2002 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 试题名称：固体物理 一 某元素晶体具有面心立方结构，其晶胞参数为 a 1 )( 2 1 ji a a+= )( 2 2 kj a a+= )( 2 3 ik a a+= ()kji aaaa aa b+= = 2 14 )( 2 321 32 1 ()kji aaaa aa b+= = 2 14 )( 2 132 13 2 ()kji aaaa aa b+= = 2 14 )( 2 213 21 3 该倒格子为体心立方布拉菲格子 2 上述倒格子中最短的三个倒格矢为晶胞顶点到体心，立方体的边和面对角线。长度 k 为 a 4 2 3 ， a 4 ， a 4 2 ，由衍射条件：sin2kK =可得，其中 k 为 X 射线的波 矢。 1） aak K 2 332 42 sin 1 =， aa = 4 22 1 sin 2 （消失） 2） 几何结构因子 () () 1 4 1 2 2 lkhni j lkhni hkl effeF jjj + + += 衍射线强度 () += lkh n fFFI hklhklhkl 2 cos12 2 相应立方体边的倒格矢（110）的衍射消失。 aa 2 4 2 4 sin 2 = 所以，散射角最小的两个衍射峰的布拉格角为 a 2 3 sin 1 =和 a 2sin 2 = 3 固体能带理论是一个固体量子理论，他为阐明许多晶体的物性提供基础，成为固体电 子理论的重要部分，晶体大小并不影响其晶格势场，所以不影响能带的基本情况 4 一条能带允许有 2 倍原胞数目电子占据， 原胞中电子数目为奇数， 必有未填满的能带， 相应的晶体具有金属导电性。 5 原因是银的费米面具有两个极值截面，所以会出现两个振荡周期。 二 对惰性元素晶体，原子间的相互作用常采用勒纳-琼斯势 ( ) = 612 4 rr ru 其中和为待定常数，r为两原子间的距离 1 第一项的排斥作用力，当原子间电子云明显交迭时，产生强烈的排斥作用，它起源于 泡利原理。第二项为范德瓦尔斯相互作用能，原子靠它相互吸引，它是一种瞬时电偶极矩的 感应作用。 2 ( ) = jjj ij rr N ru N U 612 4 22 设最近邻距离为 r， ijij rr= ，令 = j n ij n A 1 与晶格结构有关的常数。 = = 6 6 12 12 612 4 2 4 2r A r A N rr N U jj 由0= dr dU 得 6 1 6 120 2 = A Ar 三 1 有一维双原子链，两种原子的质量分别为M和，且，相邻原子间的平衡间 距为a，作用力常数为 mmM 。考虑原子沿链的一维振动： 1）求格波简正模的频率与波矢间的关系( )q 2）证明波矢和qm a q +（其中为整数）描述的格波是全同的 m 解：1 见黄昆，韩汝琦固体物理学 ，3.3 章 () + + = 2 1 2 2 2 sin 4 11aq Mm mM mM Mm 2 由上式( )qm a q = + 相因子： () () = = + + + imqaqni m a qani naqi m a qnai eee ee 12 12 2 2 考虑到 aq m A B cos2 2 2 =，以及 + = + aq aq m a q cos cos cos m 为偶取上式，m 为 奇取下式。因此，对标号为（2n+1）的原子，相因子也具有周期性 2 常用热中子与晶格振动的非弹性相互作用来研究晶格振动的色散关系( )q， 请简要叙 述其基本原理。并明确说明实验中测量哪些量，以及如何由此得出色散关系( )q 。 答：格波振动引起中子的非弹性散射，即吸收或反射声子，此过程满足能量守恒关系和准动 量守恒关系： ( )q M p M p nn h= 22 22 n Gqpp r h r h rr += 对给定的入射中子的动量和能量 E，测量不同散射方向中子的能量 E，利用上述二 守衡关系即可确定格波的波矢以及声子的能量 p r q r ( )qh 四 半金属交叠的能带为 ( )( )mm m k EkE18 . 0 , 2 0 1 1 22 11 = h ( )()()mmkk m kEkE06 . 0 , 2 2 2 0 1 2 022 =+= h 其中为带 1 的带顶，为带 2 的带底。交叠部分( )0 1 E() 02 kE( )()eVkEE1 . 00 021 =。由于 能带交叠，能带 1 中的部分电子转移到能带 2，而在能带 1 中形成空穴，计算时费 米能级的位置。 KT0= 解：能态密度( ) () 2 1 3 2 3 * 2 4E m Eg h = 能带 1.E 轴下为正；能带 2.E 轴上为正 pn +=1 . 0 对能带 ( )kE1 () () 2 3 2 3 * 1 2 1 3 2 3 * 1 2 4 p mE m p= h 同样，能带 ( )kE2 () 2 3 2 3 * 2n mn 得到 =+ = 1 . 0 21 pn np mm 故 eVeV mm m pn 025. 0,075. 0 21 2 = + = 五 铜的密度为 8.3103kg/m3,电阻率为 1.5610-8m，原子量为 63，假定一个铜原子放 出一个价电子构成自由传导电子， 试求其平均自由时间， 迁移率以及在 1.0V/cm 电场作用下 的平均漂移速度。 （电子质量 m=9.1110-35Ws3/cm2,电子电荷 e=1.610-19AS,阿佛加德 罗常数 6.021023/mol.） 解： () scmv scm ne s ne m cmn d / 5 . 50 / 5 . 50 1087 . 2 /1093 . 7 10022 . 6 63 3 . 8 2 14 2 32223 = = = = r 中国科学院中国科学技术大学 2003 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 试题名称：固体物理 一 简要回答以下问题 1 晶态，非晶态，准晶态在原子排列上各有什么特点？ 2 晶体中可以独立存在的对称元素有哪些？ 3 可以测定晶格振动色散关系的实验方法有哪些（至少回答 3 种）？ 4 晶体中的位错线有几种类型？各有什么特点？ 5 为什么 NaCl 晶体对红外光的反射率与波长关系曲线中会出现一个平缓的峰值区？ 6 晶体中原子结合力的类型有哪些？ 7 由N个原子组成的半导体材料硅晶体。 试问该晶体中一个能带最多可填充多少个电子？ 8 比较宽度不同的两个能带说明宽能带中的电子共有化运动程度高。 9 晶体中电子遭受散射的物理实质是什么？如何说明晶体电子具有很长的（大约几百埃） 的自由程。 10 软 X 射线发射谱是获得晶体电子能态密度信息的重要实验，有如图（a）和（b）所示 的实验结果，试指出哪一个代表非导体的能态密度，为什么？ 二 已知铝（Al） ，铜（Cu）等金属晶体具有面心立方结构 1 试绘出其晶胞形状，指出其原子排列的最密排面 2 说明它的倒易点阵类型和第一布里渊区的形状 3 使用波长等于 1.54 的 X 射线照射铜晶体（晶胞参数 a3.61） ，说明其 X 射线衍射图 中为什么不出现（100） ， （110） ， （422）和（511）衍射线的原因 4 绘出其晶格振动色散关系的大致形状，指出其有何特点？ 三 有 N 个原子组成的体积为 V 的晶体，在德拜（Debye）近似下，设其声速为，试求出： 1 晶格振动态密度函数( )g，并绘出( )g和q的关系曲线 2 德拜频率和德拜温度，并简述其意义。 四 设晶格常数为 a 的一维晶体 1 写出其 s 态晶体电子状态波函数 Bloch 和 2 在最近邻作用近似下，由紧束缚法求出晶体 s 态电子能量 3 指出带底和带顶的位置，并画出其第一布里渊区晶体能带图 4 求出能带宽度并示于能带图上 5 求出晶体能态密度表达式 6 导出带底电子的有效质量 0 1 2 3 eV （b） （a） 0 1 2 3 eV 234 1005. 1sW = h 7 若带顶出现空穴，试求其有效质量及公有化运动速度 8 为什么说空穴总出现在能带顶附近？ 五 已知钠晶体是体心立方机构，晶格常数 a4.3，若其电阻率为 4.310 6cm，钠晶体 的电子又可看做自由电子，试计算钠晶体电子的驰豫时间以及费米面上的平均自由程。 （电子质量 m9.1110 35Ws3/cm2, 电子电荷 e1.610 19AS， 普朗克常数 ） 。 中国科学院中国科学技术大学 2003 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 试题名称：固体物理 一 简要回答以下问题 1 晶体：原子排列长程有序 2 晶体中可以独立存在的对称元素有：1，2，3，4，6，m，4，i 3 可以测定晶格振动色散关系的实验方法有：非弹性 X 射线散射，中子非弹性散射，拉 曼散射，布里渊散射，超声技术等。 4 晶体中的位错线有：刃位错：位错线垂直于滑移方向 螺位错：位错线平行于滑移方向 5 因为离子晶体中，长光学纵波产生宏观极化，使纵波振动频率 LO 大于横波振动频率 TO ，于是在 LOTO 方向形成一个禁区。所以它对红外光的反射率与波长关系曲线中会 呈现一个平缓的峰值区。 6 晶体中原子结合力的类型有：离子型，共价型，金属型及范德瓦尔斯结合力。 7 一