（应用数学专业论文）三次样条空间中的正交基.pdf

摘要 摘要 在样条空间中，b 样条曲线是一种广为使用的样条曲线，是目前自由曲线、曲 面构造的主流方法之一，b 样条方法是c a g d 技术重要的理论基础和曲线曲面造型 的重要工具 但是，b 一样条基不是正交基这就给b 样条曲线的使用带来了一定的局限性b 样条空间到目前为止还没有一组正交基为了弥补这个缺憾，本文针对3 次样条空 间中的正交基问题展开讨论，并对重节点的情况进行了初步讨论 对一个空间中的一组基采用最常用的g r a m s c h m i d t 正交化方法，就可以得到 相应的正交基形式但g r a m s c h m i d t 方法通常需要多次的积分运算，计算相对繁 琐，并且结果比较麻烦本文采用的方法十分简洁地给出了3 次样条空间中的一组 正交基的表达式 本文的主要工作与创新如下： 第一，基于b 样条基的良好性质，本文没有直接在节点向量上构造正交基，而 是分步嵌节点进行令初始状态为只有两个端点，每一次嵌入一个节点，构造一个 正交基，以此得到最终样条空间中的正交基 第二，为了构造正交基，首先定义一组辅助函数一6 次b 样条基函数的线性组 合本文细致分析了这组辅助函数的性质，然后利用微分形式给出了3 次样条空间 中正交基的表达式对重节点的情况也作了讨论分析 第三，利用正交基和b 样条基之间的特殊关系以及两组基的性质，导出了正交 基与b - 样条基的相互转化关系，克服了矩阵求逆( 广义逆) 的困难 第四，利用正交基，基于代数基转换方法，在厶范数空间下，对b 样条曲线进 行了一次降多阶的最小二乘逼近这种方法直接求得逼近曲线的控制顶点，计算简 单 关键词：b 一样条基，正交基，基转化，降阶逼近 a b s t r a c t i ns p l i n es p a c e ，t h eb s p l i n ec u l n ei sak i n do fq u i t ep o p u l a r s p l i n ec u r v e ，a n di ti s o n eo fm a i nm e t h o d so fc o n s t r u c t i n gf r e ef o r mc u r v e s u r f a c ea tp r e s e n t ，a sw e l l ，i ti sa v e r yi m p o r t a n tt e c h n i q u ea n ds i g n i f i c a n tt o o li nc a g ds y s t e m h o w e v e r , t h eb - s p l i n eb a s i si sn o to r t h o g o n a l ，t h i st h e s i sd i s c u s s e st h eo r t h o g o n a l b a s i si n3 - d e g r e es p l i n es p a c e u s u a l l y , ab a s i si nas p a c e , n o to r t _ h o g o n a l ，w i l lb et r a n s m i t t e dt oa no r t h o g o n a lb a s i s b yg r a m s c h m i d to r t h o g o n a lm e t h o d b u tg r a m - s c h m i d tm e t h o dn e e d si n t e g r a l c o m p u t a t i o nm a n yt i m e s ，a n dt h er e s u l ti sq u i t et r o u b l e s o m e i nt h i st h e s i s ，w ep r o p o s e as t r a t e g yt oc o m p u t ea no r t h o g o n a lb a s i si np o s s e s s i o no fe l e g a n tr e p r e s e n t a t i o ni n 3 - d e g r e es p l i n es p a c e ，a n da n a l y s e st h ec a s eo f m u l t i - k n o t s t h i st h e s i sf o c u s e so nt h ep r o b l e m sa sf o l l o w s ： f i r s t l y , t h eo r t h o g o n a lb a s i si sc o n s t r u c t e ds t e pb ys t e p ，n o tw h o l l yo b t a i n e da t o n et i m e i n s e r t i n go n l yo n ek n o t ，o n ec o r r e s p o n d i n gb a s i sc o u l db es t r u c t u r e d i nt h i s w a y , t h ew h o l eb a s i so v e rs p l i n es p a c ew i l lb eo b t a i n e di nt h ee n d s e c o n d l y , ag r o u po fa s s i s t a n tf u n c t i o n s ，w h i c ha r e l i n e a rc o m b i n a t i o no f 6 - d e g r e eb s p l i n eb a s i s ，a r ed e f i n e dp r e v i o u s l yi no r d e rt oc o n s t r u c tt h eo r t h o g o n a l b a s i s t h et h e s i sa n a l y s e st h e p r o p e r t i e so ft h ea s s i s t a n tf u n c t i o n sa n dp r e s e n t s 3 - d e g r e eo r t h o g o n a lb a s i si nt h ed i f f e r e n t i a lf o r m n e x t ，t h et r a n s f o r m a t i o nm a t r i c e sb e t w e e nb - s p l i n eb a s e sa n do r t h o g o n a lb a s e s a r ed e r i v e df r o mt h ep r o p e r t i e so ft h et w ob a s e s ，e s c a p i n gt h ed i f f i c u l t i e si nt h e p r o c e s so f g e n e r ms o l u t i o no f t h ei n v c r s em a t r i x f i n a l l y , a p p l y i n gt h eo r t h o g o n a lb a s i st od e g r e e - r e d u c t i o na p p r o x i m a t i o no rb s p l i n e c u r v e s ，a d o p t i n gl e a s ts q u a r em e t h o dw i t hr e s p e c tt o tn o r m s ，t h et h e s i sp r o p o s et h e a l g o r i t h mo ft h eo p t i m a lm u l t i d e g r e er e d u c t i o no ft h eb s p l i n ec u r v e s t h ea l g e b r a i c a p p r o x i m a t i o na l g o r i t h m sn o to n l yc a no b t a i nt h ec o n t r o lp o i n t so ft h ea p p r o x i m a t i o n c u r v e sd i r e c t l y , b u ta l s os i m p l ea n ds t r a i g h t f o r w a r d k e y w o r d s ：b s p l i n eb a s i s ，o r t h o g o n a lb a s i s ，b a s i st r a n s f o r m a t i o n ，d e g r e er e d u c t i o n 浙江大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1c a g d 中自由曲线曲面的概述 在1 9 7 4 年召开的u t a h 会议上，b a r n h i l l 和r i e s e n f e l d “1 首次使用了计算机辅助 几何设计( c a g d ：c o m p u t e r - a i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ) 这个名词随之，以几何造型 方法为主体的c a g d 开始以一门独立的学科出现 c a g d 主要研究在计算机图形图像环境下对曲线曲面的构造、逼近、插值、 拟合、求交和重建等原理和算法其核心问题是计算机表示，即既要能适合计算 机处理，又要方便有效地满足几何设计的需要其核心任务是要提供工业产品几 何形状的数学描述，建立产品外形的数学模型，通过计算机对产品外形进行描 述、修改和控制，并依靠图形显示技术实现曲线曲面的计算机辅助设计曲线曲 面的构造、表示和逼近是计算机辅助几何设计的主要任务 已知曲线曲面或能用数学方程表示出来的曲线曲面，我们称之为规则曲线曲 面，如圆、柱面、圆锥面，可以用隐函数或二次方程表示而不能用二次方程表 示出来的曲线曲面称为自由曲线曲面( f r e e f o r mc u r v e s u r f a c e ) c a g d 的首要任 务就是建立它们的数学模型 曲线曲面造型技术起源于二战时汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺， 由c o o n s 、b z i e r 等大师于二十世纪6 0 年代末、7 0 年代初奠定其理论基础”1 最早在1 9 4 6 年，由美国数学家s c h o e n b e r g 船1 提出插值样条函数来解决插值 问题，构造参数连续的插值曲线曲面虽然他的工作在当时没有得到广泛认同， 但是他的研究工作无疑是样条函数发展史上一项奠基工作 1 9 6 3 年，美国波音( b o e i n g ) 飞机公司i 约f e r g u s o n “3 首次提出将曲线曲面表示 为参数的矢函数方法，并引入三次参数曲线，构造t f e r g u s o n 双三次曲面片 这种表示方法具有几何不变性、易于坐标变换等优点，从此曲线曲面的参数形 式成为形状数学描述的标准形式1 9 6 4 年，美国麻省理工学院( m i t ) 的机械工程 教授c o o n si 入了超限插值的概念，给出了一种具有一般性的曲面描述方法“。1 c o o n s 曲面一旦确定了边界曲线，就只能通过改变扭矢进行有限的变形，因而存 在形状控制与连接问题 1 9 6 2 年，法国r e n a u l t 汽车公司的b d z i e r 提出一种由控制多边形设计曲线的 浙江大学硕士学位论文 新方法”1 ，并以此为基础建立了著名的u n i s u r 自由曲线曲面设计系统这种方 法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计 向前推进了一大步，奠定了参数曲线曲面的计算机辅助设计基础但是由于当时 b 6 z i e r 提出的曲线是通过高阶导数来表示的，其定义比较奇特，让人难以接受 经过深入的研究，在1 9 7 2 年，f o r r e s e t 指出b 6 z i e r 曲线可以通过b e r n s t e i n 基和控 制顶点的线性组合来定义”1 ，其形式简洁明了从7 0 年代中期开始，国内对 b 6 z i e r 方法也做了大量的卓有成效的研究”1 “，如文献“42 “引进几何不变量的方 法，彻底解决了平面三次参数衄线的分类和控制问题。他们的工作对c a g d 作出 了重要贡献，使b 6 z i e r 方法较好地解决整体形状控制问题，成为经典自由曲线曲 面绘制方法之一，为参数曲线曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础但 b 6 z i e r 方法仍存在拼接问题和局部可调性问题 6 0 年代，由于科学技术的发展，s c h o e n b e r g 在1 9 4 6 年提出的样条函数被 广泛应用并在理论上逐步完善，成为c a g d 中的主要的数学工具f 2 1 为了解决 b 6 z i e r 方法存在的连接和局部修改问题，到1 9 7 2 年，c o x 和d e b o o r 总结出了 b 一样条的一种标准算法”2 2 ”；1 9 7 4 年t 3 0 r d o n 和r i e s e n f e l d 又把b 样条理论应 用于形状描述，最终提出了b 样条方法r z 4 2 5 这种方法继承了b 6 z i e r 方法的一 切优点，克服了b 6 z i e r 方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又 在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问 题得到较好解决1 9 8 0 年，b o e h m “”和c o h e n 等人o ”给出了b 样条曲线的节点 插入技术，p r a u t z s c h 等人又发展了b 样条曲线的升阶技术 随着现代工业的迅速发展，b 样条方法显示出明显不足，如不能精确表示 圆锥截线及初等解析曲面，而圆弧段等在机械设计和加工等方面都是极其基 本和常用的：同时b 6 z i e r 样条和b 样条两种设计手段并存的局面，使得产品几何 定义不唯一，曲线曲面没有统一的数学描述形式，容易造成生产管理上的混乱 于是人们希望找到一种统一的数学方法1 9 7 5 年，美国s y r a c u s e 大学的v e r s p r i l l e 在他的博士论文中首先提出有理b 样条方法口t i l l e r 论述了有理b 样条曲线曲 面的具体应用。”此后，p i e g l 和t i l l e r 等人系统地研究了有理b 样条曲线曲面的 构造和控制问题”3 ”由于他们的出色工作，至2 0 世纪8 0 年代后期，非均匀有理 b - 样条( n u r b $ ：n o n u n i f o r mr a t i o n a lb - s p t i n e ) 方法成为现代曲线曲面造型中 最为广泛流行的技术 n u r b s 方法的突出优点是：既有b - 样条曲线形状局部可调及连续阶数可调 的优点，又兼有有理b 6 z i e r 曲线可精确表示二次曲线的特性；可以精确地表示二 次规则曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示规则曲线曲面与参数曲线曲 2 浙江大学硕士学位论文 面；具有可影响曲线曲亟形状的权因子，使曲线曲面形状更易于控制和实现； n u r b s 方法是非有理b 样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理b 一样条 曲线曲面的性质及其相应算法也适用于n u r b s 曲线曲面，便于继承和发展 由于n u r b s 方法的这些突出优点，1 9 9 1 年国际标准化组织( i s o ) 颁布了关于工 业产品数据交换的s t e p 国际标准，把n u r b s 作为自由曲线曲面的唯一定义。” 而国际著名的c a d 软件公司也把造型系统首先建立在n u r b s 的数学模型上从 而使n u r b s 方法成为曲线曲面造型技术发展趋势中最重要的基础样条理论和 方法成为c a g d 技术的重要理论基础和核心内容。 如今经过四十多年的发展，曲线曲面造型技术形成了以非均匀有理b 样条 参数化特征设计( p a r a m e t e r i z e da n dc h a r a c t e r i s t i cd e s i g n ) 和隐式代数曲线曲面 表示这两类方法为主体，以插值( i n t e r p o l a t i o n ) 、拟合( f i t t i n g ) 、逼近( a p p r o x i m a t i o n l 这三种手段为骨架的几何理论体系”1 从六十年代c a g d 起步，至今样条理论 和方法已成为c a g d 技术的重要理论基础和核心内容 综上所述自由曲线曲面造型技术是c a g d 的核心问题，b 6 z i e r 样条和b 样条则是几何设计的重要手段n u r b s 由于数学形式的统一性成为c a d c a m 的标准随着计算机技术的飞速发展和工业设计的迫切需求，我们这门学科还将 继续取得更大的成就 1 2 历史上的正交函数 正交函数不仅在数学理论上发挥着很重要的作用，而且在滤波、线性系统、 量子场论、信号处理、药学等方面有着广泛的实际应用价值”1 它的发展历史 还要从勾股定理说起 勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本 定理所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的 平方勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯( p y t h a g o r a s ) 定理，相传是古希腊数学家 兼哲学家毕达哥拉斯于公元前5 5 0 年首先发现的 中国古代对这一数学定理的发现，远比毕达哥拉斯早得多中国最早的一部 数学著作周髀算经的开头，记载着周公与商高( 公元前1 1 0 0 年左右的西周 时期) 的一段对话商高说：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五”以后 人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，这就是著名的勾股定理关于 勾股定理的发现，周髀算经上说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也” 3 浙江大学硕士学位论文 这里“此数”指的是“勾三股四弦五”。这句话的意思就是说：勾三股四弦五这 种关系是在大禹治水时发现的 勾股定理揭示了“正交( 垂直) ”的重要性后来的p a r s e v a l 等式则推广了 勾股定理 维向量空间r “中的勾股定理： 设，r “，m ，2 2 ，是r ”的一组基，则f = 丑2 1 + 五“2 + + 厶特别当 这组基为正交基时，有i 州2 - - g + , q + + 嚣 函数空间研o ，1 】中的勾股定理： 厂l 2 0 ，1 】，“：，是一组完备标准正交基，则 f - - - - - 量1 i + 如“：+ ，且有l 厂1 2 = 智+ 正+ ， p a r s e v a l 等式揭示了信号正交分解能量不变性的物理本质；从数学上说，这是范 数不变性的体现 1 9 世纪八十年代法国数学家及物理学家f o u r i e r 建立了f o u r i e r 分析理论的 基础，是f o u r i e r 级数( 三角级数) 的创始人在区间( 万，石) 上的f o u r i e r 三角函 数系 1c o s x s i n xc o s 2 xs i n 2 x 面i 万了i 。 是标准化的正交系统，它是历史上最早、最重要的正交系之一 f o u r i e r 变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密 码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用，如在信号 处理中，f o u r i e r 变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量f o u r i e r 变换1 0 0 年历史告诉人们，从空域( 时域) 到频域的转换具有重要意义小波的出 现，被认为是f o u r i e r 变换的革命性的发展在信号处理领域，正交变换之所以 得到如此广泛的应用，就在于上述物理背景和应用的数学本质 在数学上，人们始终关心正交性的研究 4 浙江大学硕士学位论文 从2 0 世纪初开始，许多数学家对正交完备函数系进行了一系列的研究工作， 取得了新的发展1 9 1 0 年，匈牙利数学家a h a a r 定义了一个正交完备函数系， 称之为h a r r 函数系1 9 2 2 年，德国数学家h r a d e m a c h e r 提出了另一个正交函 数系r a d e m a c h e r 函数系，但它不是完备的于是，1 9 2 3 年美国数学家j l w a l s h “7 1 将不完备的r a d e m a c h e r 函数系加以完备化，提出了一个标准正交完备函数系一 w a l s h 函数系事实上它是w a l s h 函数系的一个子集 7 0 年代初期，在美国海军研究实验室第一次召开了国际性的w a l s h 函数理 论和应用的讨论会，并发表了第一批研究工作的报告由于半导体技术的进步， 大规模集成电路出现，w a l s h 函数的实用价值被重视，在信号处理、图像处理、 通信等众多领域中发挥了重要作用“ 在多项式空间上，人们对正交多项式系的研究也从来没有间断过 1 8 世纪，法国数学家l e g e n d r e 提出了著名的l e g e n d r e 多项式，后用r o d r i g u e s 公式定义为： in ( 垆志警( 删，l ，2 ，) 是关于权函数p ( x ) = 1 正交多项式序列 它在理论和实际应用中都发挥着重要作用 4 p s 0 1 b 6 z i e r 曲线是以b e m s t e i n 基 为基础构造出来的，是c a g d 的最基本的造型技术之一但b e m s t e i n 基不是正交 的，故在多项式空间中，l e g e n d r e 多项式成为一组正交基，且文献“”给出了这两 组基之间的转换矩阵e c k ”钉利用l e g e n d r e 多项式对b 6 z i e r l 由线降阶 1 9 世纪，俄国数学家c h e b y s h e v 从研究机械原理出发，研究了用多项式逼 近连续函数的问题，建立了偏离零最小函数的专门理论，他为此构造的著名的 c h e b y s h e v 多项式文献5 3 “1 利用c h e b y s h e v 多项式对曲线降阶，取得较好的效 果 1 9 世纪中后期，法国数学家l a g u e r r e 。”提出l a g u e f r e 多项式就是l a g u e r r e 微分方程x y + ( 1 一x ) y 7 + r a y = 0 的解它在谐波方面有着广泛应用 s t , s s 正交多项式还有j a c c o b i 多项式，h e r m i t e 多项式等等 2 0 世纪8 0 年代，齐东旭与冯玉瑜提出了一个正交完备系“u - 系统”，在当时 给出了较完整的理论基础“在文献”中，他们又把h a r r i 函数系和w a l s h 函数 5 浙江大学硕士学位论文 系推广到三角域上。最近，文献“1 又在u 系统的理论和应用方面相继做了一些 工作，取得了较为理想的效果，表明了u 系统的应用潜力 在c a g d 造型方面，正交函数也有所发展 2 0 世纪末至2 1 世纪初，人们相继提出了一些新的曲线曲面的造型技术和模 型，并且在相应的空间上构造了正交基 z h a n gj w “”与c h e r t q y ，w a n g g z “7 1 先后提出并研究了基于混合函数空间 瓦= s m t ，c o s t 1tf 2 ，严2 ) 的c b 6 z i e r 模型，由于c b 6 z i e r 的非正交性，文献”8 1 构造了一组拟l e g e n d r e 正交基，并给出了c b 6 f i e r 基与拟l e g e n d r e 正交基之间 的转换矩阵 随后，丁敏等“”在c b 6 z i e r 模型的基础上提出了一个曲线构造的新模型一 基于混合空间= l ，t ，r 2 ，t n - 4 , s i n t ，c o s t ，s i n 2 t ，c o s 2 f ) 的t b 6 z i e r 模型，为了弥补 t _ b 6 z i e r 基不是正交基的这个不足，文献1 在该空间中构造了一组拟l e g e n d r e 正交基，使得b 6 z i e r 系统中的一些问题可以迎刃而解 文献”构造了代数双曲三角函数空间中的一组正交基等等 b 一样条方法具有表示设计自由型曲线曲面的强大功能，是目前自由曲线、曲 面构造的主流方法的主流方法之一，b 样条方法作为c a g d 技术重要的理论基 础和曲线曲面造型的重要工具，其重要地位显而易见在样条空间中，以b 样条 基为基础构造出来的b 样条曲线是一种广为使用的样条曲线，既拥有b 6 z i e r 曲 线的几何性质，又拥有局部形状可调和连续阶数可调等b 6 z i e r 曲线所没有的特 性可遗憾的是，b 样条基并不是正交基基于样条空间中还没有一组正交基， 因此本文尝试构造了3 次样条空间中的一组正交基，希望它能够弥补b 样条基 函数的不足，成为c a g d 系统中一个有力工具，得到广泛应用 1 3 本文主要内容 本文主要在3 次样条空间中利用b 样条基函数的性质，创造性地构造一组 正交基，该基的形式简洁，并且给出了它与b 样条基之间的转换矩阵，在b 样条模型中可以得到诸多应用 各章内容安排如下： 第一章首先对c a g d 作了简要介绍，综述了自由曲线曲面造型发展历史和 研究概况，接着介绍了历史上的一些典型的正交函数系，多项式空 6 浙江大学硕士学位论文 问中的著名正交多项式以及c a g d 系统中一些模型的正交基形式 第二章 在单节点向量空间中，根据b 一样条基的性质，创造性地提出了对节 点向量依次嵌节点的方法，在此基础上利用样条空间中已有的一组非 b 一样条基函数的性质，采用微分的形式构造了样条空间中的一组正交 基，并讨论了其性质 第三章对重节点的情况采用相同的方法进行讨论，在具有重节点的节点向量 上构造了3 次样条空间中的一组正交基，并讨论了其性质 第四章根据正交基的正交性，b 样条基嵌节点前后基的变换，以及求导变换 推导出正交基和b 样条基的相互转化关系 第五章介绍了历年来国内外学者对b 样条曲线降阶所作的研究成果，接着 基于基转换的代数方法，在工2 范数意义下，利用正交基给出一种b 样条曲线一次性降多阶的新方法 第六章总结了全文的工作与创新，并指出了将来的研究方向 7 浙江大学硕士学位论文 第二章三次样条正交基的构造及性质 2 1 预备知识 正交基在最小平方逼近问题、数学物理方法、积分近似计算理论等许多数学 问题中具有广泛的应用并且三次曲线的变量少，容易控制，在实际应用中有很 大的优势 在样条空间中，以b 样条基为基础构造出来的b 样条曲线是一种广为使用 的样条曲线，既拥有b 6 z i e r 曲线的几何性质，又拥有局部形状可调和连续阶数 可调等b 6 z i e r 曲线所没有的特性可遗憾的是，b 样条基并不是正交基基于样 条函数还没有一组正交基，因此本文尝试构造了这样一组正交基，讨论它的性 质，希望它能成为c a d c a m 系统中一个有力工具，得到广泛应用 先来回顾一下b 样条基函数的定义和性质 定义2 1 给定参数f 轴的一个分割 ) ”i = - - 。o ，。f = o ，1 ，下列递推方法所确 定的m 。( f ) 称为相应于该分割的七次( 后+ 1 阶) b 一样条基函数“”： 嗽，= 骺甏臻 w ) 2 丢专) + “t j + * + l - t ，n 一纠( f ) 娩1 这里规定，凡出现0 0 的项均为0 ，t = t ) + t o 称为节点序列，称为节点 本文将会用到b - 样条基函数以下的一些性质： 1 1 正性和局部支柱性 哪，= 芒：鬣黝： 2 ) 权性 m j ( f ) = ( f ) = 1 ，t ( t k ，+ 。) ，k n 3 ) 降阶性质 8 浙江大学硕士学位论文 e a t ) = 去胁去j v t + l , k - i ( t ) 4 1 线性无关性质 在区闻( 气，+ 。) 上有定义的露次b 一样条基函数 0 ，；( o ，】，。( f ) ，m ，。( ) 是线 性无关的 b 一样条基函数还有许多其它的良好性质，在这里就不一一介绍了许多文献 “2 1 已经研究地很深入了 基于b 一样条基函数不是正交基，本文将研究在3 次样条空间中的一组样条 i f 交基在一个空间中正交基并不是唯一的，并且构造的方法也不是唯一的最 常用的方法就g r a m s c h m i d t 正交化方法，但g r a m s e h m i d t 方法通常需要多 次的积分运算，相对繁琐，应用不是很广本文将采用一种新的方法来构造正 交基 本章只考虑单节点向量的情况即对于给定区间【a , b 】上的一个分割 口= t o t 2 t m 0 “= 6 ，本文要在3 次样条空间中构造一组正交基显然 在【日，b 】上有定义的3 次b 一样条基函数有m + 4 个，但首尾几个不是完全定义在 【a , b 】上的为了研究的方便性，我们将端点a ，b 分别设为4 重节点，那么这m + 4 个3 次b - 样条基函数就完全由 口，刎上的这个分割所确定了 为了方便导出简洁的表达式，我们作如下的符号约定： ( 1 ) 不2 g 三竺：垒三g ，t l ，如，气，乏三垒三查三垒) 特别地写= g 兰垡亏坚三g ，皂三! i ! 三垒 f a = t o o s 歹- 3 ( 2 ) 瓦= 扩1 ：，其中学】- 一，4 - j - k + 3 ，即把瓦的节点重新编了一下 【b = t k + 1k + 4 j k + 7 号码： f o岛b气t 2t kt k + lt k “t k + lt k “ j ， 上j ，山j ，上上j ，山j ，山 妒髫，掣垆以以托以娼 ( 3 ) ：。( ) 表示定义在霉上的第，个k 次b 一样条基函数 9 浙江大学硕士学位论文 i ；l ，2 , - - - m ；j = o ；1 ，2 ，f 一七+ 6 ( 4 ) q 。表示定义在节点向量瓦上的3 次样条空间( i = l ，2 , - - 研) 显然有 q ；= s p a n 1 ，t ，f 2 , t 3 ，( t - t o ，( t - t 2 ) ，( f 一) ： 2 2 辅助函数f a t ) 的性质 有了以上准备工作，为了构造正交基先定义一组辅助函数五( f ) 定义2 2 尻= 墨= l1 磁，( )畦，( ，1 ) 0 1 o 哦，( f 2 )噱( f 2 ) 00 k ki n k 瓴一：) n ”k 纯一：) 畦，瓴一：) 吆，纯一：) h = lh - 2h = k 一1 k + 1女+ ik + li + 1 n k ( t k 一。) n k ( 联。，纯一，) n ”k ( t k 一。) o a k = 鼠心， 一妒 仇= ( 弘m 丢3 吆， o 哦，( 乞) ， 1 0 ，芝吆，( “) 7 h - o ( 2 1 ) ( 2 2 ) 浙江大学硕士学位论文 鲍( ，) 。( 椎o 盘( f ) ( f ) ) ，x 。- - ( 1 ，一i 仇，t 则在【o ，b 】上，辅助函数a ( t ) 的定义式如下 五( t ) = u a t ) z , ， k = l ，2 ，m ( 2 4 ) 石( f ) 是由定义在节点向量t k 上的6 次b - 样条基函数线性构成的，因此具有很 多与b - 样条基相似的性质它的构造貌似复杂，通过仔细观察发现f k ( t ) 的构造其 实也很简单，下面来介绍一下它的相关性质 ( i ) 系数磊，4 ，仉的性质 舭是方程( 仇4 ) x = 0 的一组解 证明 定义在节点向量 q ) 上的b - 样条基函数m j ( f ) 有以下积分公式 sn | k ( u ) a u = 差箐m n t u l l i m i k - 1 1 对式( 2 1 ，2 2 ) 应用上述公式得到 4 = 7 l n k 。b ( t ) d t 辩6 ( t ) d t 辩b ( t ) d t tl f n i 6 ( t ) d t 牲6 q ) a t 辩6 ( t ) d t k + 1k jh “ ln k j 6 ( t ) d tln k 。6 ( t ) d t ln ：6 d t 并且根据( 2 3 ) 得到 证毕 仇= 7 ( r l k4 ) 氟= ( r h4 ) ( 1 ，一4 1 仇) 7 = 0 b j 雌。( f ) 西 辩6 ( t ) d t i h ln ( t ) d t 浙江大学硕士学位论文 ( i i ) 端点性质 髭”( 口) = 刀力( 6 ) = o ，= o ，1 ，2 证明 因为节点向量瓦中端点4 ，6 均为4 重节点，故b - 样条基函数n 。k 。( r ) 在口，b 处是三重零点从而五( f ) = 以( f ) 以在口，b 处也是三重零点 证毕 ( i i i ) 积分性质( 1 s k m ) j f a t ) a t ：0 以( t ) d t = 0 五( t ) d t = 0 b i f a t ) a t = 0 岛 j 五( t ) d t = 0 f i 五( o a t = 0 一 i f ( t ) d t = 0 i i f 五( t ) d t = 0 五( t ) d t = 0 即f a t ) 在【盯，6 以及部分小区间 n ，t 1 ，【 ，t d ，阮。一。】，吮- p 加上的积分都等于0 如图1 所示 证明根据定义2 2 得到 ( 仇a k ) = 7 她6 ( t ) d t f j n 。k ，6 ( r ) a t 钿 fn g , 。( t ) d t 由定义以及( 2 4 ) 得 l 矗( t ) d t l ，k ( t ) d t j i 五( f ) 西 b 哦。( r ) 出 f 吨( f ) 廊 铀 fn ；：6 ( t ) d t 沁( t ) z i d t t i i p k 吣x k 出 k 4 a a t ) z 。d t 1 2 b l n ：。d t b 辩6 ( t ) d t k 4 j 屹o ) 出 =7 = l ，( 仉4 ) 觑= o k ( t ) d t 沁( o a t f h f u a t ) d t 浙江大学硕士学位论文 化简可得( i i i ) 的积分性质 证毕 八_ v 5 1 化i j | v i i i i 01235 ( c ) 1 0 5 0 m ，5 删八 一i v 彻 5 l i 工叭： 一；八 、1 、 | i - l 012345 ( d ) 图i 辅助函数f a t l 的示意图 图中虚线以示辅助函数在小区间上积分为零( a 卜( d ) 对应的节点向量为 z = 0 , i ，5 ，乏= o ，2 5 ，霉= o ，1 ，2 , 3 ，5 ，互= 0 , i ，2 ，3 ，4 , 5 从a ( t ) 以上的性质得到它是6 次b - 样条基函数的线性组合，并且满足在区 间 口，】， f 1 ，t d ，【。t k 一】n + b 】上的积分都等于0 2 3 正交基“( r ) ) 的构造 因为在一个空间中正交基并不是唯一的，因此构造的方法也不是唯一的一 1 3 2 1 0 1 2 昵 们 。 们 们 3 2 ， 0 1 2 3 2 1 0 1 2 浙江大学硕士学位论文 般来说，正交化常用的方法就是o r a m - s c h m i d t 正交化方法，但是该方法很烦琐， 通常需要多次的积分运算，而且这样构造出来的正交基不一定有良好的性质， 本文下面采用一种新的构造方法 定义2 3 厶( f ) = 1 ， 以( f ) = - 2 t + a + b ， 以o ) = ( 6 一f ) 2 4 ( b 一，) ( f 一口) + ( f 一口) 2 ， j 3 ( t ) = ( 6 一f ) 3 9 ( b 一，) 2 ( f 一口) + 9 0 一口) 2 ( 6 一r ) 一( f 一口) 3 ， 删= 学扣4 ，5 ，刖3 ， 其中，f a t ) 由定义2 2 所定义正交基如下图所示 2 15 1 0 5 0 0 j 0 0 ) 5 图2 正交基示意冒( 初始状态) 1 4 浙江大学硕士学位论文 图3 正交基示意图( 嵌入四个节点) 下一节将给出向量组 j k ( t ) ) 的一些性质及其证明 2 4 正交基( f ) ) 的性质 为了证明( f ) ) 的正交性质，先来证明它的线性无关性质 2 4 1 向量组( f ) ) 的线性无关性 显然 厶( r ) ，以( f ) ，以( f ) ，j a t ) 是线性无关的下面证明 正( ，) 筌是线性无关的 引理2 1 对于1 k 脚，以+ 3 ( r ) 是属于空间瓯c q m 的，不属于空间q h 证明 由g 的定义显然有qc q 。 根据定义2 1 知以。( r ) = d 3 瓦f , 广( t ) ，五( f ) 为瓦上的6 次b 样条基函数的线性组合， 那么由b 一样条基的求导公式可以得到以+ ，( r ) 为五上的3 次b 样条基函数的线性 组合，即以+ ，( f ) q 。= s p a n n o , ，) ，( 力，a 幺”( f ) j ，以+ ，g ) 芒q 。 证毕 1 5 浙江大学硕士学位论文 定理2 1 向量组 磊( f ) ，0 ) ，屯+ ，( f ) 是线性无关组 证明采用数学归纳法 根据线性代数的知识可得( f ) 4 ( 0 ，以( f ) ，( f ) 是线性无关的，现假设当 1 7 时， 以( f ) ，( 1 ) ，j k + ，( f ) 是线性无关的，下面证明 j o ( o ，正( f ) ，j k + 。( f ) 也 是线性无关的由引理2 1 知( f ) ，( f ) ，以+ ，( f ) 是属于空间q 的，而以+ 。( f ) 是属 于空间q 。的，因此以+ ( r ) 不能被 厶( r ) ，4 ( 0 ，以+ ，( f ) 线性表出 假设 厶( f ) ，正( f ) ，以+ 。( f ) ) 是线性相关的，则存在一组不全为零的实数使得 q 以( f ) = o ，显然a k + 。o 不妨设第一个不为零的系数是q ，那么有 i = o k + 3， 以+ 。( f ) = 一( q 以( r ) ) 吼+ 。 即以+ 。( f ) 能被“( f ) ，( f ) ，以+ ，( f ) ) 线性表出，矛盾因此假设错误，从而 “( f ) ，( f ) ，以+ 。( f ) ) 也是线性无关的 因此向量组 厶( ，) ，正( f ) ，厶。( ，) 是线性无关组 证毕 定理2 2 对于1 | j 肌，q i = w a n d o ( t ) ，4 ( 0 ，以+ 3 ( f ) 1 证明 由于o 。= 妒册 畦，( f ) ，k ，( f ) ，畋”( f ) ，i 坟d i m q 。= 七+ 4 ，由引理2 1 和 定理2 1 可得 山( f ) ，4 ( 0 ，以+ ，o ) ) 空间q 的k + 4 个线性无关函数，从而得证该 向量组也是这个空间的一组基 证毕 2 4 2 向量组“( ，) ) 的正交性 为了证明 z o ) 并”的正交性，先引入三个个引理。 引理2 2 z ( r ) 。3 在 口，剀上是正交的 证明根据分步积分原理容易计算得 1 6 浙江大学硕士学位论文 同理可证 证毕 l ( f ) 矗( f ) 西：( - ，+ ( 4 + 咿) e ：o f z ( f ) 矗( f ) 西= ( - ，+ ( 4 + 咿觉= o f j ：( o j o ( t ) d t = j j 3 ( t ) j o ( t ) d t = o ； b f j , ( t ) j j ( t ) d t = 0 ，f ，j = l ，2 ，3 ，f _ ， 引理2 3 设厂( r ) 是一个6 次多项式函数，令，o ) = _ d 3 扩f ( t ) ， ( 1 ) 如果，( ，) 那么，( ，) 与l ，t ，t 2 在 口，6 】上是正交的，即 b j j ( t ) t 。d t = o ，i = o ，1 ，2 ； a ( 2 ) ! t i