（理论物理专业论文）耦合duffing哈密顿系统的测度同步及相同步研究.pdf

摘要 同步是耦合非线性系统的合作行为最基本现象之一，也是物理学的一个古老的研 究课题。早期人们所研究的同步问题主要集中在各种周期系统或极限环振子的同步， 由于混沌系统具有确定性的随机不稳定性，人们一直认为在混沌系统中很难实现混沌 的同步，因而对混沌系统的同步研究只是最近十几年的事情。所谓的混沌同步，是指 两个混沌系统由于耦合的作用而各自调节其运动到一个共同行为的过程。自从1 9 9 0 年， 美国海军实验室的p e c o r a 和c a r r o l l 提出了混沌同步的概念和方法，即驱动一响应同步 提出后，推广了原有同步概念的含义，在这个方面的研究引起了人们极大的关注。测 度同步现象是耦合哈密顿系统所具有的一种集体行为，从广泛的意义上它类似耗散系 统的同步行为。它的物理图像简单明了，物理意义丰富，为保守系统的研究提供了一 个新的角度和方法。 本文主要介绍了混沌的概念，描述混沌特征的主要物理量及保守系统的混沌等。 对混沌的控制理论及方法，特别是保守系统的混沌控制理论进行了介绍和分析，阐明 了保守系统的混沌控制困难所在，给出了研究耦合哈密顿系统重要的数值算法辛算 法。通过连续矽4 模型和耦合标准映象模型，给出测度同步的基本特征。对一个新的耦 合d u f f m g 哈密顿模型的测度同步的性质进行深入研究，对系统的相同步与测度同步的 关系、裸能量和测度同步的关系、耦合系统李雅普诺夫指数和测度同步的关系进行了 深入的探讨，得出在耦合d u f f i n g 哈密顿模型中存在的测度同步特征，为我们研究测度 同步现象提供了一个新的、有益的模型和角度。同时，对高维系统的测度同步进行了 探索，分析了“复合 标准映象模型存在测度同步的可能性。 测度同步是在保守系统中发现的一种新的、类似耗散系统的同步行为，对这种同 步行为研究的还比较少，随着对测度同步的深入研究，对认识哈密顿系统的性质、量 子混沌的研究以及保守系统的混沌控制都将有十分重要的意义，这种重要性还有待于 人们在研究中进一步去认识。 关键词：测度同步哈密顿系统d u f f i n g 振子“复合 标准映象 a b s t r a c t s y n c h r o n i z a t i o no fo s c i l l a t o r s ，a so n eo fm o s tb a s i cc o o p e r a t i v eb e h a v i o ri nc o u p l e d n o n i n e a r s y s t e m s ，h a s b e e n i n v e s t i g a t e d f o rd e c a d e s e a r l ys t u d yf o c u s e do nt h e s y n c h r o n i z a t i o nf e a t u r e so fv a r i o u sp e r t o d i cs y s t e m so rl i m i tc y c l e p e o p l ea l w a y st l l i n l 【t h a t i ti si m p o s s i b l et h es y n c h r o n i z a t i o ni nc h a o t i cs y s t e m sf o rl o n gt i m e b u tt h es y n c h r o n i z a t i o n o fc h a o t i cs y s t e m sh a sa t t r a c t e dg r e a ta t t e n t i o ns i n c et h ec r e a t i v ew o r ko fp e c o r aa n dc a r r o l l i n19 9 0 t h ep h e n o m e n o no fm e a s u r es y n c h r o n i z a t i o n ( m s ) i sac o l l e c t i v eb e h a v i o ro ft h e c o u p l e dh a m i l t o n i a ns y s t e m s ，w h i c hi ss i m i l a ra sc o n c e p t i o no fs y n c h r o n i z a t i o ni nt h e d i s s i p a t i v es y s t e m , i ne x t e n s i v em e a n i n g t h ep h e n o m e n o nh a st h es i m p l ea n dc l e a rp h y s i c a l i m a g ea n dt h ee n r i c h i n gp h y s i c a lc o n t e n t , w h i c hp r o v i d e san e ww a yi ns t u d y i n go ft h e c o n s e r v a t i v es y s t e m i nt h i sp a p e r , w ei n 仃o d u c ec h a o sp h e n o m e n o n , d e s c r i b ec h a r a c t e r i s t i c sp h y s i c a lq u a n t i t y o fc h a o s ，a n dt h ec h a o so fc o n s e r v a t i v es y s t e m ，c o n t r o lt h e o r yo fc h a o s ，e s p e c i a l l yc h a o s c o n t r o lt h e o r yo fc o n s e r v a t i v es y s t e m ，i sa n a l y z e d ，a n dt h ed i f f i c u l t yo fc h a o sc o n t r o lt h e o r y o fc o n s e r v a t i v e s y s t e mi si l l u m i n a t e d t h ec h a r a c t e r i s t i c so fc h a o ss y n c h r o n i z a t i o na n d m e a s u r es y n c h r o n i z a t i o na l er e s e a r c h e db yc o n t i n u u m 汐4m o d e la n dc o u p l i n gs t a n d a r d m a p p i n gm o d e l ；t h eb a s i cc h a r a c t e r i s t i c so fm e a s u r es y n c h r o n i z a t i o na r eo b t a i n e d t h e m e a s u r es y n c h r o n i z a t i o nc h a r a c t e r i s t i c so fan e wc o u p l e dd u f f r a gh a m i l t o n i a nm o d e la r e i n v e s t i g a t e d ，t h er e l a t i o n s h i po fm e a s u r es y n c h r o n i z a t i o na n dp h a s es y n c h r o n i z a t i o n ，b a r e e n e r g y , l y a p u n o ve x p o n e n ti nc o u p l e ds y s t e m s ，a l ed e e p l yd i s c u s s e d w ef o u n d t h a tm e a s u r e s y n c h r o n i z a t i o na l s oe x i s ti nt h ec o u p l e dd u f f a n gh a m i l t o n i a ns y s t e m s i m u l t a n e o u s l y , t h e 强i ：e 楚瓣s y n c h r o r l i - z a t i o no fh i g h , d i m e n s i o n a ls y s t e m si se x p l o r e d ，a n a l y z e dt h ep o s s i b i l i t yo f m e a s u r es y n c h r o n i z a t i o no ft h ec o m p l e xs t a n d a r dm a p p i n gm o d e l m e a s u r es y n c h r o n i z a t i o ni nc o n s e r v a t i v es y s t e mi ss y n c h r o n o u sd i s c o v e r e dan e w , s i m i l a rt ot h es y n c h r o n i z a t i o no fd i s s i p a t i v es y s t e m a tp r e s e n t , t h er e s e a r c ho ft h i sk i n do f s y n c h r o n o u sb e h a v i o r i sl e s s ，雒t om e a s u r es y n c h r o n i z a t i o ni n - d e p t hs t u d y , f o r u n d e r s t a n d i n gt h en a t u r eo fh a r n i l t o r t i a ns y s t e m s ，q u a n t u mc h a o s ，a n dt h ec h a o t i cc o n t r o l s y s t e mo fc o n s e r v a t i v es y s t e m sw i l lh a v ev e r yi m p o r t a n ts e n s e ，t h ei m p o r t a n c et op e o p l ew i l l a l s ob e c o m em o r ei m p o r t a n ti nt h es t u d yf u r t h e r k e yw o r d s ：m e a s u r es y n c h r o n i z a t i o n ，h a m i l t o n i a ns y s t e m s ，d u f f m go s c i l l a t o r , c o m p l e x s t a n d a r dm a p p i n g n i 长春理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的硕士学位论文，是本人在指导教师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本 人承担。 作者签名：互避狸4 年么月且日 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“长春理工大学硕士、博士学位论文版 权使用规定”，同意长春理工大学保留并向中国科学信息研究所、中国优秀博硕 士学位论文全文数据库和c n k i 系列数据库及其它国家有关部门或机构送交学位 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权长春理工大学可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：逊 导师签名：茁珏圣煞- 逊2 年么月卫日 埠年五月之日 第一章混沌理论简介 1 1 混沌与混沌产生机制 混沌学作为一门新兴的学科，它的发展是和非线性科学的飞速发展分不开的。非 线性科学正在成为跨学科的研究前沿，在各门传统学科中，非线性问题都给本学科注 入了新的生命力。尽管自然界中绝大多数现象都是非线性的，而线性系统大多是由非 线性系统简化来的，线性规律只是物质世界的近似描写。但是，人们更习惯于以牛顿 力学为代表的确定论，因为确定论的描述更接近人们生活的地球的时空观念，也更符 合人们要追求确定法则的观念。人们已从古希腊所笃信、向往的稳定、有序世界进入 到一个以不稳定、非线性为特征的世界，这是现代科学技术发展，特别是计算机技术 的进步的必然结果。混沌学的建立，在描述自然界的确定论和概率论两大科学体系之 间建立起联系的桥梁。非线性科学已经向世人阐明，世界的本质是非线性的，人类对 复杂世界的认识得到进一步深入。在非线性科学当中，作为前沿的问题有混沌与分形、 孤粒子与孤波、斑图动力学、时空混沌、湍流等。混沌( c h a o s ) 是确定的非线性动力 系统中出现的随机现象。在现代的物质世界中，混沌现象无处不有，大至宇宙，小至 基本粒子及生活中的现象无不受混沌理论的支配。如一支燃着的香烟，受气流的影响 卷曲成一团团剧烈扰动的烟雾，向四方飘散；打开的水龙头水滴流出的运动：风中飘 扬的旗帜；气候的变化会出现混沌，数学、物理、化学、生物、天文、地震、湍流、 电子、神经元、甚至在哲学、：经济学、社会学、音乐、体育中也存在混沌现象。因此， 科学家认为，在现代的科学中普遍存在着混沌现象，它打破了不同学科之间的界线， 它是涉及系统总体本质的- i l 新兴科学。人们通过对混沌的研究，提出了一些新问题， 向传统的科学提出了挑战，加深了人类对自然、社会、工程技术、管理工程等领域中 复杂现象的认识。 自1 9 7 5 年，“混沌”作为一个新的科学名词出现以来，混沌动力学已迅速发展成 为内容丰富、应用领域广泛的- - i 新兴的交叉学科。特别是2 0 世纪8 0 年代末期，混 沌控制和同步理论的提出，更为混沌理论的实际应用打下了坚实的基础，使这门新科 学如虎添翼，应用的前景越来越广阔。在经典力学中，混沌运动是指确定性系统中局 限于有限相空间的高度不稳定的运动f 1 1 。要给混沌一个确切的定义到目前为时尚早。但 对混沌所表现出的一些特征确是公认的。混沌及分岔现象不仅在理论上得到证实，在 很多实验上也得到证实。 对于二维非线性系统来说，其吸引子是不动点或者是极限环，不会出现无规则运 动。当相空间维数大于2 时，对于时间连续的自治系统，系统随时间演化的轨道就不 仅仅是上述的几种类型，变得十分复杂，其时间的演化行为是混乱的，不规则的，其 重要标志是对初始条件敏感的依赖性，即出现了混沌【2 】。一个典型的例子就是洛伦兹模 型的建立，它是由美国气象学家洛伦兹( e n l o r e n z ) 在耗散系统中首先发现的。在 日常的观察实验中，大气运动是极不稳定的。1 9 6 3 年，洛伦兹在研究大气在温度梯度 作用下的自然对流系统时，提出了一种极其简化了的天气预报模型，这就是著名的洛 伦兹方程。该模型是一个确定性的三阶常微分方程组，其数学形式如下； j = 盯b z ) = - - x g + 搿一y ( 1 1 ) z = x y - b z 其中r 、g r , b 为常数， 紫蘑 囤卜1 洛伦兹吸引子的典型形状 由式( 1 i ) 当时间导数取零时，可得定态解。其定态满足【3 】 x ；y f p 一1 一：) = o x = i f 可 其三个定态解分别是 o ( o ，o ，o ) p 孑面，撕而，一1 ) ，( _ 瓶而_ 丽一1 ) 当r k c 0 9 7 1 6 时，横贯水平方向的最后一条 k a m 环面破裂，整体随机性开始。因此，当k 1 时，相平面是规则轨道和混沌轨道错 综复杂的混合。对于适当的参数值，标准映象( 1 7 ) 既有规则的准周期轨道又有混沌轨 道，取决于人们对初始条件的选择，为我们提供了丰富的研究对象。在图1 2 中我们 分别给出了k = o 5 ( 图( a ) ) 和k = 1 2 ( 图标准映象的相图。在图1 - 2 ( a ) 可看到绝大多数 k a l v l 环面存在着，而在图1 2 ( b ) 中，由于横贯整个水平方向( m o d l ) 的最后一条k a m 环已经破裂，代之而起的是大片的混沌轨道和分布其中的周期岛链，k a m 环只在一些 岛链附近的小区域存在。在低维哈密顿系统中，k a m 环面具有阻止混沌轨道扩散的作 用，在保守系统中这一性质非常有用，特别是保守系统的混沌控制中，通过重构k a m 环面可以控制系统的整体混沌。这对限制高能粒子储存环内的混沌扩散和t o k a m a k e 装 置中等离子体的扩散都能起到重要作用。 3 图1 - 2 标准映象不同k 值时的相国- ( 曲k = 0 5 ；( b ) k = i2 。 除了以上两个比较有代表性的模型外，混沌现象还在很多实际的系统中存在着。能 够产生混沌现象的常微分方程形式有三类，即三个以上变量的自治方程组，两个以上 变量的非自治方程组及一个以上变量的延时方程。而对于分立的映象系统来说，一维 映象中就可以出现混沌。 1 3 描述混沌特征的物理量 1 3 1 混沌运动的主要特征 对大量混沌运动的综合分析表明：混沌的主要特征有 1 内在随机性 通常人们习惯于把随机性的根源归结为来自系统外部的或某些尚不清楚的原因的 干扰作用，认为如果一个确定性系统不受外来干扰，它自身是不会出现随机性的这 称为外随机性。但是，外随机性的观点是经不起分析和实践验证的。对某些看来完全 确定的系统进行数学模拟时发现，它们能自发地产生出随机性来。天体力学中的平面 三体问题中，1 9 8 1 年天体力学家s z e b e h e l y 考虑的所谓有限制的平面三体问题就是一个 著名的例子【6 】。现在知道，只要确定论系统稍为复杂一些它就会表现出随机行为。牛顿 力学也具有内在随机性。 2 初始条件的敏感性 经典理论认为：确定性的系统( 微分方程或映射) ，只要初始条件给定( 边界条件通 常也需给定) ，方程的解也就随之确定了。但混沌现象的出现表明：初始条件的微小差 别将最终导致根本不同的现象，像映射这样的系统，初始迭代值的微小差别使得迭代 一定次数所得结果变得面目全非，也就是说初值的信息经过若干次迭代后已消失殆尽， 结果与初值没有什么关系了。对于相空间中相轨道的对初值敏感，即运动具有高度的 不稳定性：初始时两个相邻的相点，在以后的演化令两个相轨道会迥然不同，正所谓： “失之毫厘，谬以千里。”这种性质绝不是计算误差形成的，而是非线性系统的固有 特性。混沌对初始条件的敏感性质必然导致系统的长期行为是很难预测、甚至是不可 预测的结论，l o r e n z 把它称为“蝴蝶效应”。 3 伸长与折叠 传统动力学的几何实质是固定点、闭合曲线和环面。而从l o g i s t i c 映射形成混沌 的过程来看，是以不均匀的方式拉伸或压缩单位长度的线段，然后再将它对半折叠形 成的。因此，混沌具有伸长和折叠的特性，这是形成敏感初始条件的主要机制。伸长 是指系统内部局部不稳定所引起的点之间距离的扩大；折叠是指系统整体稳定所形成 的点之间距离的限制。经过多次的伸长和折叠，轨道被搅乱了，形成了混沌。6 0 年代， 斯梅尔( s s m a l e ) 把拓扑和动力系统联系起来，提出的著名的斯梅尔马蹄，揭示了混沌 的几何学本质是拉伸和折叠。 4 具有丰富的层次和自相似结构 从l o g i s t i c 映射形成混沌的过程来看，混沌绝不能等同于随机运动，混沌所在的 区域中具有很丰富的内涵。混沌区内有窗口( 稳定的周期解) ，窗口里面还有混沌， 这种结构无穷多次重复着，并具有各态历程和层次分明的特性。同时，伸长和折叠使 混沌运动具有大大小小的各种尺度，而无特定的尺度，这些都统称为自相似结构。 5 非线性耗散系统中存在混沌吸引子 混沌系统在状态空间中伸缩与折叠的无穷多次变换将形成分数维的奇怪吸引子。奇 怪吸引子在有限的相空间几何体内，混沌态的吸引子不一定填满某一有限区域，往往 是具有一些空隙或空洞，这些大大小小的空隙或空洞的存在，使吸引子具有无穷层次 的自相似结构。它对初始条件十分敏感，在参数变化时各层次的“空洞 发生填充和 移位等变化，运动是遍历的、混合的和随机的。这是整体稳定与局部不稳定相结合的 产物，通常的吸引子都有负的( 且无正的) l y a p u n o v 指数，唯独混沌吸引子具有正的 l y a p u n o v 指数，而且混沌吸引子只能用分数维来表征。 6 标度性 所谓“标度变换”通俗的讲就是放大和缩小，例如海洋中生长的一种甲壳动物鹦鹉 螺的外壳为标度不变性提供了良好的范例。混沌运动是无序中的有序态。只要数值或 实验设备精度足够高，总可以在小尺度的混沌域内观察到有序的运动形式。 7 普适性 混沌运动不是完全杂乱无章的，它也存在一些普适性的规律性。不同系统在趋于 混沌时会表现出某些共同特征，不依具体的系统方程或系统参数而改变，这种性质称 为普适性，这里主要包括两方面即结构的普适性和测度的普适性。结构的普适性指趋 向混沌过程中轨线的分叉情况与定量特征不依赖于该过程的具体内容仅与数学结构有 关。只要去研究最简单的一种模型就可以将结论用于其它同类运动过程。普适性主要 体现在混沌的几个普适常数上，如f e i g e n b a u m 常数万、标度变换因子口，是混沌的内 在规律性的体现。 1 3 2 描述混沌特征的物理量 要对混沌给出一个准确的定义为时尚早，但对混沌现象所表现出的一些特征确是 5 公认的。当我们认识并试着去描述一个事物的时候，总是希望通过一些确定性的量来 表达其内在的信息和特征。在研究混沌的过程中，人们逐渐积累了一些可以反映混沌 动力学本身不同特征的量，下面介绍在研究非线性问题以及混沌的时候常用的一些刻 划量，以此来增强我们对混沌的认识并为以后的讨论作好准备。 1 李雅谱诺夫指数 李雅谱诺夫指数( a m l y a p u n o ve x p o n e n t ) 是描述混沌的非常重要的特征量，它描 述不同初始值的轨道互相分离的平均速度，它反映的是系统长期演化的动力学行为， 这种轨道收敛或发散的比率称为李雅谱诺夫指数。它在混沌研究中是非常重要的，1 9 8 3 年格里波基证明当一系统( 非发散) 的李雅谱诺夫指数出现正值，系统将出现混沌。 在判断混沌系统的各种同步时一般也要用到系统的李雅谱诺夫指数，因此，李雅谱诺 夫指数在混沌系统随时间的演化和混沌控制及应用方面都是极其重要的物理量。下面 先以维映象来说明该量【3 1 。 考虑一维映象 毛“= f ( a ，x 。) ，x ng r ( 1 8 ) 其中厂，功是依赖参量a 的非线性函数。取两个非常靠近的初始值和+ 口进行叠 代，经过一次迭代后作泰勒展开 蜀= ，而+ 占) 一0 ，) ，k ( 1 9 ) 叠代行次后两点的距离差为 o ：n 如，x o + 占) 一f n o ，嘞) 笔纠s o ：讨o ，而) ( 1 1 0 ) ” i i - 0 这里厂打0 ，z ) 表示函数厂0 ，x ) 自己嵌套刀次。而是构成映象( 1 ) 的轨道点。对于所考虑 的对初值敏感的运动，其轨道一般具有按指数分离的性质，即 n = e 知、 这里指数z 刻化相邻轨道的分离速度。如果彳 o ， 力= ：骢吉萋l 厂缸，x ) i ( 1 1 2 ) 它表示在多次迭代中平均每次迭代所引起的指数分离中的指数。这个定义很便于数值 计算。在图1 3 中我们给出由此计算的逻辑斯谛( l o g i s t i c ) 陕象的李雅谱诺夫指数。 在刀维相空间对应有刀个李雅谱诺夫指数。设在，= 0 时，以x 。为中心，以6 x ( x 。 o ) 为半径的刀维球面向四周演化，由于向各个方向扩张或收缩的程度不同，因此，在t 时 刻此面将变为玎维的椭球面。此椭球面的第f 个坐标轴方向的半轴长为蠡( x 。，f ) ，则李 6 图1 - 3 逻辑斯谛模型李雅谱诺夫指数随参量的变化 雅谱诺夫指数兄的第f 分量z 定义为： 丑= 1 i m k 幽 ( 1 1 3 ) h 吖 i 苏i x o ，oj l 在长时间的极限下，该演化的椭球的各个主轴的平均伸长或收缩的平均速率就给出 了系统所有的李雅谱诺夫指数。把它们从大到小依次排列，就得到高维映象系统的李 雅谱诺夫指数谱。 对于常微分方程描述的连续系统，w o l f 在1 9 8 5 年提出了用轨道跟踪的方法来计算 系统的李雅谱诺夫指数【7 】，由于轨道跟踪法不易受系统的拓扑结构的影响，因此，受到 广泛的应用。需要注意的是，由于混沌运动的复杂性，只由系统在相空间的运动轨道 来判断系统是否混沌往往是不准确的。而李雅谱诺夫指数反映的是系统在相空间中模 矢量长度的变化，它反映了系统运动演化的本质特征。因此，它是描述系统混沌的重 要的物理量。对于混沌系统其至少有一个李雅谱诺夫指数应是大于零的，它给出了一 个定量判断混沌的标准，并且对耗散系统及保守系统都适用。 2 功率谱 谱分析是研究振动和混沌的一个重要手段。根据傅里叶分析，任何一个周期为t 的 周期运动x o ) 都可以展成傅里叶级数：对于非周期运动的时间函数，把其展开为傅立叶 积分，功率谱是分析时间序列和信号的常用方法之一。 所谓功率谱【8 】是对大量轨道点采样后作快速傅立叶变换所得到的谱线，它把复杂的 时间序列分解成不同频率的正弦振荡的叠加。采用功率谱方法比采用直接观测相空间 轨迹方法要好。功率谱方法可以分辨高达2 7 次谐波，观测相空间轨迹最多只可分辨2 5 次谐波。任何运动都包含一定频率结构，一个复杂的信号应该是不同频率的混合体。 周期运动在谱分析中对应尖峰；纯随机运动包含所有的频谱，因而是宽峰；混沌是内 在的随机性不能完全等同于噪声，它的行为表现为类似噪声的非周期性振荡，反映在 7 功率谱上，便是混沌的谱往往是连续谱上还叠加了一些具有一定宽度的线状谱( 宽峰) ， 这些宽峰的中心频率就是轨线绕空洞作近似周期运动的平均频率，因此，根据功率谱 可区分混沌和噪声的特征，自噪声情况下应包含各种频率。因此。频谱分析自然成为 计算机实验和实验室观测用以研究分岔与混沌的重要方法。 在实际测量中得到的往往是一定时间间隔f 的时间序列为，屯，吒，对这个序列加 上周期边界条件+ ，= x ，( j 为任意正整数) ，然后计算自关联函数， 勺2 吲善v 州 ( 1 1 4 ) 再对c ，作离散傅立叶变换，计算其傅立叶系数： 仇= 和x p 芈) a 代表第k 分量对x ，的作用，其意义代表单位频率上的能量。 而在实际工作中可以利用快速傅里叶变换，不经过自关联函数的计算，而直接求 出x ，傅立叶系数： 然后计算：p 。= a ：+ b ： 由多组伽，) 计算出一组薮 ，求平均后即逼近所定义的功率谱。为了有效地使用快速傅 立叶变换算法，序列长度聍应取2 的幂次。 在许多领域功率谱是一个可以直接测量的量，并且现在已有专门的仪器来测量各 种信号的功率谱，然后再分析信号的特征。功率谱也常用在物理系统、非线性电路、 生理过程、地震的分析。2 0 世纪6 0 年代快速傅立叶变换( 简记为f f t ) f 9 】的发明使谱分 析速度快速增长，并出现了加窗傅立叶分析、位相谱等分析方法。特别是近1 0 余年发 展起来的小波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m ) 弥补了傅立叶变换只能进行时域和频域之间的 变换，而不能同时进行时间( t ) 频率( 国) 的局域分析的不足，也就是说，它可以同 时分析信号的时间和频率的局域细节，有信号分析的显微镜之称，在分析非线性过程 中非常有用。 3 分形和分维 如果说混沌是在时间尺度内反映了世界的复杂性态，那么与它密切相关的分形则 重在空间尺度上反映了世界的复杂性态。通过对分形概念的了解，人们可从另一侧面 了解混沌。分形，英文为f r a c t a l 是分形学创始人b m a n d l b r o t 用拉丁词根拼造的单 8 、 0 n c 乩 瑚 栉 疗 词，意为细片、破碎、分数等等，他指出一个分形集具有形状、机遇和维数三个要烈1 0 1 。 维数是几何物体最基本的量之一。要确定物体或几何图形中任意一点的位置，所需独 立坐标数目，就是该物体或几何图形的维数。欧氏维数与拓扑维数的特点是集合的维 数取整数。但在现实世界中不规则的几何形态随处可见，例如云彩的边界，地表的形 状，流体的湍流、树枝、雪花等比比皆是，大自然在展示其美丽多变形态的同时，也 提出了难以回答的问题，即怎样描述复杂的自然表象。因为传统的几何语言只能处理 规则、光滑的形态，对于这些复杂的系统一般难以用整数维数来描述。因此，经典的 几何方法和计算方法已经不适合用来研究分形，需要另外的方法。科学家们一直寻找 从欧氏几何体系中解放出来的道路。经过近二十多年的努力，一个关于自然形态的几 何学，或者说分形几何学已初具雏形。它把自然形态看作是具有无限嵌套层次的精细 结构，并且在不同尺度下保持某种相似的属性，即自相似性与无标度性。分形成为描 述不规则几何形态的有力工具。为描述那些不规则形状几何形态，人们也把维数的概 念作了推广，引入了分数维数( 简称分维，f r a c t a ld i m e n s i o n ) ，郎分形维数。分形 的维数有多种定义，如拓扑维、h a u s d o r f f 维数、盒维数、容量维数、相似维数和关联 维乃至广义维数连续谱等。当集合成为规则集时，各种分维都与拓扑维一致且取整数。 混沌的吸引子与普通吸引子有重要区别，它从整体说，系统是稳定的，即吸引子 外的一切运动最后都要收缩到吸引子上；但是就局域说，吸引子内的运动又是不稳定 的：相邻运动轨道要互相排斥而按指数规律分离，对初始条件极为敏感。混沌吸引子 中往往是具有一些空隙或空洞。这些大大小小的空隙或空洞的存在，使吸引子具有无 穷层次的自相似结构。奇怪吸引子具有的特点正是典型的分数维，即其维数小于相空 间的维数。维数是空间和客体的重要几何参量。在状态空间中维数反映了描述该空间 中运动所需要的独立变量个数，而在吸引子中维数则说明了刻画该吸引子所必需的信 息量。我们在此简单给出拓扑维、豪斯道夫维数及李雅谱诺夫维数。 ( 1 ) 拓扑维 拓扑学是研究可连续变化图形的科学，而几何学是研究刚性图形的学科。把一个 图形经过连续拉伸、压缩、扭曲等形变，其所对应的仍然保持不变的维数，称为分形 的拓扑维数。 ( 2 ) 豪斯道夫维数 对分形研究的主要方法是它的许多形式的维数。首先我们看一长为三的线，若用 ， 一长为，的“尺”去量结果为尺，即( ，- ) = 兰，一。若要测量一个面积为s 的物 ， a 体，就要用，的小方块去量，其值( ，) = 与r - 2 ，而不能用长为，的“尺”去量。 ， 从数学的角度可知：对于任何一个有确定维数的几何体，若用与它相同维数的靠尺” 去量度，则可得到一个确定的数值，若用低于它维数的“尺 去量它，其结果为无 穷大，若用高于它维数的“尺 去量它，其结果为零。 9 豪斯道夫维数可按如下方式求得：一般情形，在d 维空间，考虑一个d 维客体， 沿其每个独立都放大三倍，若新客体是为原来客体的七倍，则必有七= 萨。于是该客 体的豪斯道夫维数d 表示为 “= 芒 ( 1 1 7 ) d = x t 1 1 ， 这个关系适用任何规整的几何对象。1 9 1 9 年德国数学家豪斯道夫( h a u s d o r f f _ ) 把维 数的概念推广到不限于整数，也可以为分数，这就可用来定量地表征奇怪吸引子区别 于普通吸引子的这种具有自相似性结构的特征。若一个集合的豪斯道夫维数严格大于 它的“直观 拓扑维数，那么该集合就称为分形集。所以维数为分数是分形的另一个 重要特征。豪斯道夫维数具有对任何集有意义的优点，是一种很重要的维数，但是在 很多情形下很难计算或估计它的值，实际计算中我们常用分数维的其他一些形式。 ( 3 ) 李雅谱诺夫维数 由于李雅谱诺夫指数跟系统的混动运动有密切的关系，因此它跟系统的维数也存 在一定的关系。把李雅谱诺夫指数从大到小排序，五五， 人们定义李雅谱诺夫维数【l l 】 d l = 南 ( 1 1 8 ) 其中瓯= 五 o ，其中七是保证最 o 的最大七值。事实上，对于一些系统，李雅谱 诺夫维数和容量维是相等的。 4 熵 在非线性动力学分析中，熵( e n t r o p y ) 也是很重要的一个概念。如果一个系统是混沌 系统，那么它的混沌程度究竟有多大? 运动的“熵 就可用于混沌持征的识别及其混沌 程度的整体度量。从热力学和统计物理中可知，在刻唇系统所处状态的无序性或混乱 程度来说，熵是个重要的概念。自从信息论建立以来，人们对熵的理解又大大加深 了一步，熵被赋予了新的意义。特别是柯尔莫哥罗夫( k o l m o g o r o v ) 把信息熵的概念精确 化，提出了k o l m o g o r o v 或k 熵，用来描述系统运动的混乱或无规则的程度。随着人 们对自然及社会的认识的不断深入，熵的概念应用范围越来越广，熵的定义也有所不 同。人们定义了信息熵、拓扑熵、测度熵等不同形式的熵，它们既有一定的区别，又有 一定的联系。 5 相空间中的轨道图 这种方法是根据动力学系统的数值运算结果，画出相空间中相轨迹随时间的变化 图，以及状态变量随时间的历程图f 翻。通过对比、分析和综合以确定解的分岔与混沌 现象。在相空间中，周期运动对应着封闭曲线，混沌运动对应着一定区域内随机分布 的永不封闭的轨迹( 奇异吸引子) 。利用这种方法可以确定分岔点和普适常数。运用轨 l o 道的直接观察法来研究分岔和混沌，物理图像清晰、直观，是一般比较常用的办法， 也适用一、二维映象；但缺点是分辨率较低，对有些复杂运动，研究轨道时是极其困 难的。例如有些倍周期运动的倍数是很高的，其轨道看起来似乎可能很乱，很难与非 周期运动相区别，这时可用庞加莱截面等其他方法来研究。 1 4 保守系统的混沌 哈密顿力学是经典力学的重要的组成部分，也是非线性研究的重要领域，大量的 物理、力学和天文问题的数学模型都是由哈密顿方程或拉格朗日方程描述的，其理论 内容极其丰富。人们所研究的动力系统无论是用微分方程描写的连续系统还是用映象 所描写的离散系统都可分为耗散系统和保守系统。众所周知，大量的混沌现象都出现 在耗散系统中。但任何系统，微观的考察，都是保守的f n 。保守系统是指孤立系统或受 外界确定性作用的系统。保守系统常存在一些不变量，例如系统的能量。从历史上说， 对混沌现象的研究是从保守系统开始的，最主要的代表是1 9 世纪末庞卡来对三体问题 的讨论和2 0 世纪五六十年代人们对k a m 定理的证明。对于不可积的保守系统，其在 相空间的运动及其复杂性，例如比较典型的标准映象，它就是以规则运动和混沌运动 混合的方式存在于相空间中。正是由于相空间中这种规则运动区与混沌区的交错存在， 在相空间不存在混沌吸引子，导致哈密顿系统的混沌研究比耗散系统困难的多。尽管 保守系统动力学许多奇异的性质还没有弄清楚，但对保守系统中的混沌研究有重大的 理论和实际意义。因为对哈密顿系统长期行为的研究将要回答太阳系是否稳定? 如何 避免加速器中的粒子束的弥散? 流体如何从层流转变为湍流? 哈密顿系统内在随机性 是否强到可以解释统计物理的各态历经假设等这些重要问题【_ 7 1 。而量子混沌的研究是和 经典哈密顿系统混沌紧密联系的，因此，弄清经典哈密顿系统混沌的性质对量子混沌 也十分重要f 乃j 。 1 耗散系统和保守系统 一般地，确定性系统根据其对时间是否连续可用微分方程或映象来描述。对于对 时间连续的动力学系统用微分方程来描述，而对于对时间不连续的离散系统用映象来 描述。 我们这里主要研究离散系统，其由差分方程或映象给出： x 。+ i = f ( x 。) ( 1 1 9 ) 其中x r n 。对于维映象，每次迭代，相空间的体积元d 矿= d x l d x 2 d x 收缩一个 因子i d e t j ( x ，其中j 为映象的雅可比( j a e o b i a n ) 矩阵： j ( x 。) 基生生 ( 1 2 0 ) x - 其中映象的体积收缩率为 人g ) = 志型d n = 1 0 卵e t ，纠 ( 1 2 1 ) 如果对于轨道上的各点都有人g ) 0 ，则映象称为耗散映象。在有些情形下， 人g ) = 常数。特别地，当a ( x ) = 0 i g 就是 d c t j ( x = i i t ，则此时所对应的映象为保守映 象。对于空间维数_ 2 ，而a b ) 又处处为零时，此时映象是平面对其自身的保面积映 象【1 4 】。 2 。可积h a m i l t o n 系统1 5 】 微分方程一般分为可积与不可积的。对自治h a m i l t o n 系统，存在函数f = f “，p ，f ) ， 若l f ，hl - 0 ，就称f 为首次积分。同一自治h a m i l t o n 系统的两个首次积分，若它们 的p o i s s o n 括号为零，则称它们是对合的。对于一个刀自由度的h a m i l t o n 系统，若存 在玎个独立、两两对合的首次积分，则可通过求积( 有限次代数运算与求已知函数的 积分) 得到该系统的积分，这就是刘维( l i o u v i l l e ) 意义上的可积哈密顿系统。 3 不可积h a m i l t o n 系统1 1 5 】 一个嚣仑2 ) 自由度的哈密顿系统，若不存在与哈密顿函数日独立、对合的首次积分 就称为不可积哈密顿系统。不可积系统处理起来比较困难，人们一般只研究近可积系 统，郧加微扰的可积系统，这就是正则摄动理论。设系统的哈密顿量 = 凰( j ) + 幽( j ，功 ( 1 2 2 ) 其中j o 为未受扰可积哈密顿系统的作用角变量，系统的哈密顿函数风只跟作用量j 有关，扰动部分为啦( j ，o ) ，其中蜀( j ，8 ) 是以2 万为周期的函数。未扰动的运动方程 j ：一掣= o 矽：百o n 00 ) ：( j 。) ( 1 2 3 ) 钓：83 、” 受扰哈密顿方程为 j - - - 6 掣，( j ) + 掣 ( 1 2 4 ) 上式中j 为慢变量，o 是快变量，系统的运动是由渐进运动与小的快速振动组成。以前， 人们试图通过一系列变换使( 1 2 2 ) 在一个开集上越来越逼近一个可积哈密顿函数， 但由于小分母的存在，使得变换函数的级数不收敛。人们一般关心的是慢变量的渐进 运动，可采用平均法得到作用变量的方程。如果未扰动系统是非共振的，由平均法可 得到受扰哈密顿系统的作用变量无渐进运动，这个结论已被k a m 理论严格地证明。 4 k a m 定理l l j k a m 定理是研究哈密顿系统稳定性的重要工具。作为一个数学定理，它同样对物 理学、天文学和力学有着深远的影响。由于哈密顿系统的特征根是一正一负或成对出 现，所以系统运动的稳定性的必要条件是所有特征根是虚数。这种情况是李雅谱诺夫 稳定理论不能处理的i 临界情形。那么，对可积系统，不可积微扰的影响到底是怎样的 呢? 由于微扰的存在，对_ 般的系统，若没有哈密顿结构，所有的不变环面都可能被 1 2 破坏。然而在哈密顿系统， 设受扰系统哈密顿量 日= 风( j ) + 幽( j ，口) k a m 定理却给出了完全不同结论。 式中j = p ，以，j n ) 、0 = ，晚，见) 为作用角变量， = 鲁= ，国：，) ，喝( j ，o ) 为周期函数，如果 ( 1 ) 占充分小，q 是j 与0 的光滑函数5 ( 2 ) 在相空间的s 区域内 a e t l l 弘a 2 h 瓦。| o 则对应于s 的大部分区域内满足条件 i m f r m l 吖 ( 1 2 5 ) 风( j ) 为可积部分，具有频率 ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) 的未受扰动态，存在不变环面芎_ - - j + u ( o ，占) ，1 9 = 0 + v ( o ，占) 。式中，m 为整数矢量 m = ，朋，m n ) ，八f 为大于零的常数，1 1 1 、v 是0 的周期函数，且当s = 0 时为零。 当g 专0 时，存在不变环面区域的测度趋向s 区域的全测度。 若受扰哈密顿