（应用数学专业论文）不完全模型下最优投资组合的选择.pdf

摘要 金融数学是一门新兴的边缘科学，是数学和金融学的交叉，受到国际金融界和应 用数学界的高度重视它涉及现代金融学的资产定价理论、投资组合理论以及现代数 学中的随机分析、随机控制、优化理论、数理统计等学科它的理论研究不仅丰富和 发展了现代金融数学，而且对数学的许多分支的发展起到了推动作用 本文研究了最优投资组合问题的价值函数和最优投资策略着重讨论了局部有界 半鞅最优投资组合问题解的存在性，给出了最优投资问题的价值函数和最优投资策略 的构造，同时在两类特殊半鞅模型( 多维扩散模型和多维随机波动率模型) 下，得到了 最优投资组合问题解存在的充分条件，给出了最优投资问题的价值函数和最优投资策 略的构造主要内容如下： 讨论了局部有界半鞅模型的最优投资组合问题解的存在性给出了局部有界半鞅模型 和效用函数及其凸对偶问题，得到了完全市场的局部有界半鞅最优投资组合问题的解 以及不完全市场的局部有界半鞅最优投资组合问题的解存在的条件，给出了局部有界 半鞅最优投资问题的价值函数和最优投资策略的构造。 对多维扩散模型的最优投资组合问题进行了探讨利用动态规划方法研究了幂效用函 数的最优投资组合问题，利用对数变换将h j b 方程转换为半线性偏微分方程方程，得 到了在投资策略无交易限制的情况下半线性偏微分方程方程的解是光滑的充分条件， 在这个充分条件下得到了最优投资问题的价值函数和最优投资策略的构造 研究了随机波动率模型的最优投资组合问题利用动态规划方法研究了幂效用函数的 最优投资组合问题，利用对数变换将h j b 方程转换为半线性偏微分方程方程，得到 了在投资策略无交易限制和有交易限制两种情况下半线性偏微分方程方程的解是光滑 的充分条件，在此条件下得到了最优投资问题的价值函数和最优投资策略的构造 关键词：投资组合局部有界半鞅多维扩散随机波动率效用函数h j b 方程 a b s t r a c t m a t h e n l a t i c a lh n a n c ei san e wf r ( ) i l t i e rs c i e n c e i t i st h el l l t e r s e c t l o no tm a t h e m a t i c sa n df i n a n c ea n dr e c e i v e sh i g ha n e n t i o ni ni n t e r n a t i o n a ln n a n c ea n da p p l i e d m a t h e m a t 记sc ( ) m l u n i t yt o d a y i ti l o to i l l yi n v 0 1 v e 8a s s e tp r i c i n ga n dp o r t f o l i oi n v e s t m e n ti nm o d e r nf i n a n c i a lt h e o r y ，b l i ta l s ( ) i n c l u d e sm o d e r nm a t l e h l a t i c a it h e o r ys u c h a 略s t o c h a s t i ca n a l y s i s ，s t o c h a s t i cc o n t r 【) l ，o p t i m i z a t i o nt h e o r y ，i i l a t h e n l a t i c a ls t a t i s t i c s a n ds oo n t h es t u d yo ft h i sf i e l di l t j to i l l ye n r i c h e sa n dd e v e l o i ) sn l o d e r nf i n a n c eb u t a l s op r o m o t e sm a n yb r a n c h e so fn l a t h e r n a t i c a l6 e l d t h ev a l u ef u n c t i o na n do p t i m a ls t r a t e g i e so fo p t i m a lp o r t f 0 1 i o sa r ed i s c u s s e d t h e e x i s t e n c eo fo p t i m a lp o r t f b l i o ss o l u t i ( ) ni s ( 1 i s c u s s e da n dt h ev a j l l ef u n c t i o na n do p t i m a l s t r a t e g i e sa r eg i v e n u n d e rt h et w ds p p c i a lm o d e l s ( m u l t i d i m e n s i o n a ld i f n s i o na n d s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y ) w ea c h i e v et h e 吼1 f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fo p t i m a l p o r t f b l i os 0 1 u t i o n ，t h ev a l u ef h n c t i o na n do p t i m a ls t r a t e g i e s t h em a i nr e s u l t sa r e l i s t e da sf 0 1 l o w i n g u n d e rt h el o c a lb o u i l d e ds e m i m a r t i i l g a l ，n l o d e l ，t h ee x i s t e n c ea b o u tt h eo p t i m a lp o r t f o l i os o l u t i o ni sd i s c u 8 8 e d l o c a lb o u n d e ds e m i m 盯t i n g a l em o d e l ，u t i l i t yf u n c t i o na l l d c o n v e xd u a lp r o b l e ma r ec o n s t r u c t e d ；t h ee x i s t e n c ec o n d i t i o n sf b rt h el o c a lb o u n d e d s e m i m a r t i n g a l eo p t i m a lp o r t f o l i os t r a t e g i e sa r ee s t a b l i 8 h e du n d e rc o m p l e t ea n di n c o r n - p l e t em a r k e t ；t h ec o r r e s p o n d i n gv a l u ef u n c t i o na n do p t i m a lp o r t f o l i os t r a t e g i e sa r e g i v e n o p t i m a lp o r t f o l i of o rm u l t i d i m e n s i o n a ld i f r u s i o nm o d e li sa r g u e d a p p l y i n gd y r l a l u i c p r o g r a m m i l l ga p i ) i o a c hw ed i 8 c u s sp o w f 卜o p t i m a lp o r t f o l i op r o b l e m ，b yl o g 盯i t h m t r a n s f b r mh j be q u a t i o ni sc h a n g e dt os p l n i l i n e a rp a r t i a ld i 归0 r e l l t i a le q u a t i o n 1 1 h e c o n d i t i o nu n d e rw h i ( 血t h es o l u t i o no ft l l ps e m i l i n e a rp d ei ss h l 【) o t hi sg i v e nu n d e rn o t r a d ec o n s t r a i n iu n d e rt h ec o n d i t i o nll l p ( o r r e s p o n d i n gv a l u ph i n c t i o na n do p t i n l a l p o r t f b l i os t r a t e g i e sa r ee s t a b l i s h e d o p t i m a lp o r “b h ( 1p r o b l e mi sa r g u e du n ( 1 p rs t o c h a s t i cv o l a t i l i t yi n o ( 1 e i a p p l y i n gd y n a m i cp r o g r a m t l i i l l ga p p r o a c h 、v ed l s c u h sp o w e r o p t i m a lp o r t f o l i op lo b l e l n b yl o g a r i t h mt r a n s f o r n lh j be q u a t i o ni sc h a n g e dt os e m i l i n e a rp a it i a jd i f f p r e n t i a le q u a t i o n t h ec o n d i t i o nu n ( 1 0 rw h i c ht h es o l u t i o no rt h es e m i l i n e a rp d e i ss m o o t hi sg i v e nu n d e r n ot r a d ec o n s t r a i n p da n dt r a d ec o n s t r a i n e du n d e rt h ec o n d i t i o nl l l ec o r r e 8 p o n d i n g v a l u ef u n c t i o i la n do p t i m a lp o r t f b l l os t r a t e g i e sa r ec o n s t r u c t e d k e y w o r d s ：p o n f o l i o ，l o c a lb o u n d e ds p i n i m a r t i n g a l e ，s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y ，m u l 由 d i m e n s i o n a ld i h h s i o n u t i l i t yf u n c t i o n ，h 。l be q u a t i o n 第一章绪论 1 1 金融数学概述 金融数学是一门新兴的边缘科学，在国际金融界和应用数学界受到高度重视 1 9 9 7 午的诺贝尔经济学奖授予了s c h o b 和m e r t o n 就是为了奖励他们在期权定价、 最优投资组合选择等金融数学方面的贡献金融数学之所以被重视，这与金融理论的 发展和金融市场的实际需要是分不开的首先随着金融市场的蓬勃发展，金融市场 呈现高度的不确定性与高风险性，特别是这几年金融衍生工具给国际金融业造成巨大 冲击，促使学术界和实业界开始考虑如何正确评估衍生产品的风险性，如何加强对资 产投资组合的风险管理，这些客观要求使得人们对金融衍生证券的研究更加重视；其 次，由于投资组合理论基本原理已融入其它的经济理论之中，这使得关于最优投资组 合原理的探索，最优投资组合模型的建立及实证研究被金融学界越来越重视；再次， 金融数学模型的建立对金融市场风险分析预测与监控有着十分重要的作用 金融数学是金融学和数学的交叉性学科它通过建立金融市场模型，利用数学工 具研究风险资产的定价、套期保值以及最优投资消费策略的选择金融数学是现代金 融学的核心，它不仅对金融工具的不断创新和金融市场的有效运作产生直接的影响， 而且在公司的投资决策，研究项目的评估和金融机构的风险管理中有广泛的应用金 融数学的研究对象是金融市场上风险资产的投资和交易，其日的是利用数学工具来揭 示金融学的本质，加深对金融市场的研究，以便更好防范金融风险现代金融数学被 认为是两次“华尔街革命”的产物 1 9 5 2 年马科维茨的证券组合选择理论引发了所 谓的第一次“华尔街革命”，1 9 7 3 年布莱克一斯科尔斯( b l a c k s c m o l c s ) 期权定价公式 的问世是所谓的第二次“华尔街革命”两次革命的赢接产物就是一门新兴的交叉学 科一金融数学的诞生 金融数学的历史最早可以追溯到1 9 年，法国天才数学家巴歇里埃在其博士论 文“投机的理论”( t h pt h e o r yo fs p e c l l l a t i 0 1 1 ) 中首次用布朗运动来模拟风险资产的 价格，由此诞生了一对双胞胎：连续时间的随机过程数学与连续时间的期权定价经济 学，但他的工作直到6 1 年代才引起重视 1 9 5 2 年马科维茨的博士论文“投资组合的选择( p o r t f o l i os e k t i ( ) i ，) ”是金融学也 第一章绪论 是金融数学上的重大突破他提出：如果一名投资者为减少风险而同时对多种股票进 行投资，那么怎样的投资组合最好? 为解决这一问题，他提出了均值方差最优投资组 合模型他认为投资者的目标应当是收益的期望效用最大化，而不仅仅尾期望收益最 大化他用收益率的方差来衡量风险，将各证券收益率之间的比例作为变量，从各证 券收益率的统计特性出发，先用二次规划确定可供投资者选择的有效投资组合边界， 然后根据投资者的效用函数确定最优投资组合这是一个单阶段的投资组合问题，后 来许多学者用动态规划的方法将这一理论推广到多阶段的情形 六十年代中期，在马科维茨的均值一方差投资组合理论的基础上，夏普、林特纳 和毛新研究了竞争均衡市场中金融资产的价格形成，提出了著名的资本资产定价理论 ( c a p i t a la s s e tp r i c i n gm o d e l ，c a p m ) 他们用投资组合的价格变化与市场投资组合 的价格变化之间的回归系数来衡量证券交易的风险，他们认为市场投资组合是刻画证 券市场总体变化的量，理论上可由马科维茨的分析得到，实际计算时可由证券指数得 到他们证明了在均衡市场中，市场投资组合是有效投资组合，每种组合资产的预期 收益率和它们与市场投资组合的协方差之间有线性关系，这就是资本资产定价模型 c a m p 在证券估价投资组合绩效的测定资本预算和投资风险分析中得到广泛应用， 马科维茨、夏普、米勒也因其在金融学中的巨大贡献( 投资组合理论、c a p m 、m m 定理) 而荣获1 9 9 0 年经济学奖 1 9 7 3 年布莱克、斯科尔斯提出了著名的b i a c k s c h o l e s 公式几乎同时，默顿在 “合理的期权定价理论”中对b l a c k s c h o l e s 模型和定价公式作了多方面系统地推广 三人关于期权定价理论的开创性工作被誉为华尔街的第二次革命，正因为这些开创性 的工作使得肖尔斯和默顿获得1 9 9 7 年经济学奖，也使得金融衍生物得到了蓬勃的发 展他们的理论和与马科维茨、夏普理论一起构成了一门新兴科学金融数学的主要 内容1 9 7 6 年罗斯提出了资本资产定价的多因子模型( 即套利定价理沦a p t ) 同年 考克斯和罗斯提出了风险中性定价理论，该理论对日后的期权定价的鞅方法产生了重 大的影响正是在考克斯、罗斯工作的基础上，1 9 7 9 年哈里森和克瑞磐斯提出了期权 定价的鞅方法他们用鞅测度来刻画市场的无套利性和完全陛，用概率理论、最优化 理论对期权定价和未定权益的套期保值进行了研究，使得随机分析知识、随机控制理 论在这一方面有了用武之地，这对以后的金融数学的发展产生了巨大而深远的影响 从上个世纪八十年代开始一大批从事不同学科如数学、统计物理学、计算机学的 2 第一章绪论 3 科学工作者云集金融领域，他们都试图用本学科的理论研究方法来揭示金融市场的发 展演变规律，使得金融数学得到了蓬勃的发展，成为当前发展最快的应用数学分支之 一，被称为现代金融中的高技术许多非常抽象非常深奥的现代数学理论与方法被应 用到资产组合选择、金融衍生工具的设计与定价、风险分析与管理、套期保值决策以 及敏感度分析数学给金融经济学带来了巨大的活力，而金融学又为数学的应用提供 了广阔的天地主要工作集中在如下几个方面 1 期权定价和实物期权：金融市场中价格模型的研究，将b l a c k s c h o l e s 模型进 行了推广，提出一大批新的市场价格模型；变异期权的定价和数值计算问题；带违约 风险的期权定价问题；不对称信息及有交易成本、税收、投资约束等等的市场交易、 套期保值；投资实物期权的理论和应用 2 计量经济学与金融中的计算方法与仿真技术：价格模型中参数的估计方法研 究；利率期限结构的研究；金融计算；金融产品和工具的设计和开发等金融工程方面 的研究 3 最优消费一投资组合：最优消费一投资组合解的存在性研究；最优消费一投资 组合策略的研究；最优消费一投资组合的实证研究 1 2 最优消费一投资组合问题的研究现状 最优消费一投资组合问题是金融数学研究的热点问题之一，其目的是如何在证券 市场上选择一个最优投资一消费策略，使得消费或者终期财富效用最大，这个问题通 常也称为默顿问题( m e r t o np r o b l e m ) 1 9 7 1 年m e r t o n 【2 2 】首次研究了最优消费一投资组合问题，并在风险资产服从几何 布朗运动，效用函数为c r r a ( 常数风险厌恶指数) 的幂函数模型下，使用随机控制的 方法在给出了价值函数和最优投资比的闭式解随后许多学者推广了m e r t o n 模型， 如k a r a t z a s f l 5 考察了常系数且有破产风险模型下的最优投资问题，给出了b e l l m a n 方程的闭式解；f l e m i n g 和z a r i p h o p 0 i l l o t l 3 1 研究了借贷利率不同的且有卖空限制 情形下最优投资模型；d u f i i e f 3 】等考虑了有l a b o r ( 伦敦同业银行拆借利率) 收益的消 费模型；这些讨论都是在股票价格服从几何布朗运动的模型下，用非线性的b e l l m a n 方程的唯一光滑解来刻画了价值函数1 9 8 7 年，k a r a t z a s 等f 1 6 1 从随机分析中鞅 第一章绪论 的表示定理出发将完全市场中的动态最优消费一投资组合问题转化为比较容易处理的 静态最优化问题 由于最优消费一投资组合问题在金融数学研究中的重要性，出现r 大量这方面的 文章，主要作了以下几个方面的工作： 1 一般半鞅模型下最优消费投资组合解的存在唯一性问题对于一般半鞅模 型，k r a m k o w 和s c h a c h e r m a y o r f 4 证明了终期财富效用最优投资策略的存在性和唯 一性，并给出了解存在的条件；s c h a c h c r m a y o r 【3 2 l 研究了财富过程可能为负时最优 投资组合问题解的存在性；g o o l 和k a l l s e n l 2 6 】在一定条件下给出了对数效用最优 投资问题的显式解，这推广了以前的一些结果比如说离散模型或i t 6 过程模型，但是 k r a m k o v 和s c h a c h e r m a y o r 4 】的半鞅模型却不能被包含在其中，因为它不满足g o o l 和k a l l s e n 2 6 1 的条件( 3 2 ) 2 特殊模型最优消费一投资组合问题的解及最优策略 n a d i n eb e l l m a y 【2 0 研 究了跳扩散过程下的财富最优问题，证明了该模型下最优投资策略的存在性并在效用 函数为对数函数及幂函数的情形下给出了最优投资策略的显式解；p h a m 1 2 】研究了 有投资约束的随机波动率模型下的最优投资问题，使用动态规划的方法利用对数变换 得到一个了价值函数的半线性偏微分方程，讨论了该方程的光滑解；z a r i p h o u l o u 【27 研究了扩散模型的最优消费一投资组合问题，利用动态规划的方法讨论了最优策略和 价值函数，讨论了价值函数的粘性解；z a r i p h o u l o u 2 8 1 研究了随机波动率模型的最优 投资问题；丁万刚 3 3 】，刘树人等 3 5 ，王光臣等【3 6 分别在随机利率，指数效用，绝 对风险厌恶( h a r a ) 模型下对最优投资问题进行了探讨 3 限制或扩大信息下的最优消费投资组合问题 g r o r u d 和p o n t i e r f l l 讨论了 连续时间金融市场中的内部信息者的最优消费和投资问题；a m e n d i n g e r 等 1 7 1 研究 了内部信息者附加对数效用问题；g r o r u d 2 比较了有初始扩大信息流的带跳市场中 的两类投资者最优投资策略 4 有交易费用时的最优消费一投资组合问题在有交易费用的情形下m a g i l l 和 c o n s t a n t i n i d p s 1 9 】研究了只有一种风险资产的金融市场中的最优投资问题；c o n s t a n + t i n i d e s 1 0 】在离散时间模型下研究了有交易费用的效用最优问题；d a v i s 和n o m a n f l 8 1 在连续时间模型f 对最优投资问题进行了研究；f r a n s t a d 等2 1 1 研究了跳扩散模型 下的投资最优问题；李仲飞和汪寿阳【3 4 】讨论了摩擦市场中的最优消费一投资问题 第一章绪论 对于最优投资组合问题的研究，目前常用的方法有两种：一种是利用随机最优控 制问题的h j b 方程来进行求解，但对于h j b 方程通常会得到一个非线性偏微分方 程，当这个偏微分方程的解是光滑的时，h j b 方程的解才是最优投资组合问题的解， 因此对于偏微分方程的解的光滑性的研究非常重要另一种是由k a r a t z a s f l 3 】f 1 4 1 和 c o x 和h u a n g 1 l 】引入的鞅方法来处理更为通常的价格模型，一个显著的特点就是放 松了h j b 方程的马尔可夫性假设，但是最优投资策略是由鞅表示定理来刻画，显式 解仅能在极少数情形下被写出 1 3 本文解决的问题和主要内容 本文主要研究多维扩散模型和多维随机波动率模型的最优投资组合问题，对于这 两种模型的研究相对来说较多，但对于何种条件下，这两种模型下的最优投资组合的 价值函数解是光滑的研究较为薄弱 基于如上思考，本文首先研究了局部有界半鞅最优投资组合问题解的存在性得 到了最优投资组合问题的解存在的条件，给出了最优投资问题的价值函数和最优投资 策略的构造其次利用文献 1 2 所用的方法研究了两类特殊半鞅模型( 多维扩散模型 和多维随机波动率模型) 的最优投资组合问题，得到了多维扩散模型和多维随机波动 率模型最优投资组合问题的解存在的条件，给出了最优投资问题的价值函数和最优投 资策略的构造其主要内容和结构安排如下： 第一章首先对金融数学的发展历史和研究现状作了简要回顾；其次总结了现有 文献中有关最优投资组合问题的研究现状和研究方法；最后对所作的工作和结构安排 作了简要介绍 第二章介绍了局部有界半鞅最优投资组合问题解的存在性给出了局部有界半 鞅模型和效用函数及其凸对偶问题，得到了完全市场的局部有界半鞅最优投资组合问 题的解以及不完全市场的局部有界半鞅最优投资组合问题的解存在的条件，给出了局 部有界半鞅最优投资问题的价值函数和最优投资策略的构造 第三章研究了多维扩散模型的最优投资组合问题利用动态规划方法研究了幂 效用函数的最优投资组合问题，利用对数变换将的h j b 方程转换为半线性偏微分方 程 程，得到了在投资策略无交易限制的情况下半线性偏微分方程方程的解是光滑的 5 第一章绪 仑 条件，在这个条件下得到了最优投资问题的价值函数和最优投资策略的构造 第四章研究了随机波动率模型的最优投资组合问题利用动态规划方法研究了 幂效用函数的最优投资组合问题，利用对数变换将的h j b 方程转换为半线性偏微分 方程方程，得到了在投资策略无交易限制和有交易限制两种情况下半线性偏微分方程 方程的解是光滑的充分条件，在这个充分条件下得到了最优投资问题的价值函数和最 优投资策略的构造 6 第二章半鞅的最优投资组合问题的价值函数和最优策略 2 1 引言 对于半鞅模型的最优投资组合问题解的存在性许多学者进行丁研究，本章主要引 用文献所得到的结果给出了局郡有界半鞅模型的最优投资组合问题及其解的存在唯一 性条件，得到了最优投资策略及其价值函数的刻画 考虑一个无摩擦的f 无交易费，可交易证券可在交易期内以任意时刻、任意份额 进行交易) 证券市场模型，该市场的投资者在给定的投资期限【o ，丁1 i ( 丁兄+ ) 内可连 续进行交易市场上的所有随机现象用概率空间( q ，f p ) 来描述假设在概率空间 ，fp ) 上有一给定的滤子流( 即信息流) ，= ( e ) z 一满足通常条件，即局包含f 1 中的一切零测集( 即bca f 且尸) = o ) ；，= ( 日) t t 是p 零测集，斤= f 称带有滤子流的概率空间m ，只( 丑) 一，尸) 为滤子概率空 间r 表示市场参与者在t 时刻所掌握的有关市场的全部信息设s o 是正的连续 的，= ( r ) t 适应的有界变差过程，表示无风险资产( 如债券) 在t 时刻的价格， 屏= ( 霹) “是价格过程的折现因子半鞅s = o ，l 墨i 墨d ) 为了叙述方便，不失一般性，假设证券价格的规范化因子鄙= 1 此时g ( 15z d ) 表示第i 种风险资产( 如股票) 在t 时刻的折现价格 定义2 1 1 六元体( n ，f ( r ) k 。t t ，s ，l ( s ) ，j ) ) 被称为市场模型其中s 是风险 资产的价格过程，是定义在( n ，f f = ( f c ) o cc c t ，尸) 上的半鞅，l ( s ) 是所有关于半 鞅s 可积的可料过崔全体，( n ，e ，= ( r ) o o ，使得目关于s 是m 可容许的，称日关于s 是可容许的 定义2 1 3 设s 是定义在滤子概率空间( q ，只( r ) t t - r ，p ) 上的零初值适应的半 鞅，称妒= ( 叩，p ) 为s 的组合策略( p o r t f o l i os t r a t e g y ) ，如果 1 ) 叩是，= ( r ) o t 适应的； 2 ) 口是s 可容许的，并且随机积分j i ! 毕( p s ) = ( 口- s ) t = 爿目。d 只，o 存在 其中口称为s 的交易策略( t r a d i n gs t r 砒c g y ) 称过程g t ( 妒) = ( p s ) t = 矗以d s ，o ts 丁为由s 的组合策略妒产生的收益过程过程x 。( 妒) = 叩f + 巩& 是与组合 策略妒相应的价值过程 吼，吼分别表示投资者在时刻持有无风险资产和风险 资产的数量，五( 妒) 表示在t 时刻按组合策略妒= ( q ，p ) 持有资产的价值如果 x t ( 妒) = 凰( 妒) + g t ( i p ) ，称组合策略妒= ( 卵，口) 为自筹资的( s e i f - 6 n a n c i n gt r a d i n g s t r a t e g y ) 在这一章中所有的交易策略均为自筹资交易策略，且交易策略的价值过程x = ( 五) o o ，称该市场模型是无套利的 定义2 1 5 若概率测度q p ，并且对于任给x x ( 1 ) 在q 下是局部鞅，则称 q 为一个等价局部鞅测度s 的所有等价局部鞅测度集记为m 注：若过程s 是有界( 局部有界) 的，则在等价局部鞅测度q 下s 是鞅( 局部鞅) ， 反之亦然 在这一章中，研究的半鞅模型是无套利的市场模型，因此提出假设 朋d ( 2 13 ) 由资产定价第一基本定理知假设( 2 1 3 ) 等价于市场是无套利的 第二章半鞅的最优投资组合问题的价值函数和最优策略 9 2 2 效用函数及最优投资组合问题 u 7 忙+ ) 兰! i 理u 7 ( z ) 0 ，兰巨薹 m ，兰仁彗 叭砌肛溉，蔷纂。 第二章半鞅的最优投资组合问题的价值函数和最优策略 1 0 ，( ( 。) ) = ni z o ，使得“( z ) = s l l pe u ( 义丁) 】 o 有u ( z ) o ，面( 可) o n ( o ) = 1 i 1 强= o 。，面( o o ) = l i i n 面( 可) = o z + u ”_ ( i i ) 若z z o ，则最优解西( z ) x ( z ) 为 斯h ( ”筹) 小珈 其中z 和满足= z ，( n 【或z = 一矗7 ( “) 】，x ( 。) 是q 下一致可积鞅 ( i i i ) 对0 o ，札( z ) o ，使得对于f o ，画( 可) 是有限值，价值函数 u 和百满足 五( 鲈) = s u p u ( 。) z 可】，可 o z o ”( z ) 2 强) + z 鲥，z o ： 函数u 在( o ，o o ) 上连续可微，函数矗在 豆 。o ) 上袁是严格凸的函数珏和满 足 “7 ( o ) 5 嬲u 强) 2 。，祝( o c ) 2 熙甜( ) = o 若袁( 爹) o o ，则( 2 3 ，3 ) 的最优解矿白) v ( 们存在唯一 为了给出半鞅模型最优投资问题的最优解存在唯一，下面介绍与效用函数有关的 定义 定义2 。3 3 设 倒吣1 t 嬲p 帮，0 。v * j 则称4 e ( u ) 为效用函数( z ) 的渐进弹性 注：对于常见的幂效用函数u ( 。) = 一，y ，7 o ，i ( 9 ) ，任意价值函数札和矗在( o ，0 0 ) 上连续可微，函数u 7 和严 格减，而且满足 ) 2 磐“) 2 。，i 仕) 2 恕( ) = o 第二章半鞅的最优投资组合问题的价值函数和最优策略 t 4 札的渐进弹性4 e ( u ) 小于l ，即 a e ( 札) + d 目( u ) + 1 其中z + n l a x 卫，o ) ( i i ) 问题( 228 ) 的最优解戈( 。) x ( m ) 存在唯一假设p ( ) v ( 可) 是问题( 2 3 ，3 ) 的最优解，则有如下对偶关系 薪( z ) = ( 蝣( ) ) ，埒( ) = u ( 薪( 。) ) 而且过程又r ，( z ) 再( g ) 是【o ，卅上的一致可积鞅 ( i i i ) “，矗7 和戈，p 满足 叫学矾沪f 伊( ”器) ( i v ) 面( ) = ( 醢ep 器) ，其中d q d p 表示q 关于p 的r a n d 。n n i k o d y m 导 数 第三章多维扩散模型的最优投资组合 3 1 引言 多维扩散过程模型是刻画股票价格波动规律的常用模型之一，由于在该模型中影 响股票价格的随机源是b r o w n 运动，所以从某种意义上讲多维扩散过程模型更接近股 票的实际波动规律该模型最典型的特例是几何b r o w n 运动模型，b l a c k 和s c h o l e s 正 是在假设股票价格遵循几何b r o w n 运动的条件下获得了著名的b 1 a c k s c h o l e s 公式 对于扩散过程模型的最优投资组合问题， t z a r i p h o p c m l o u 27 1 研究了下面形式 的最优投资和消费问题，并研究了h j b 方程的解为粘性解时最优投资组合问题的价 值函数和最优投资策略， d & = 弘( s f ) s 疵+ 盯( s ) & d - k 其中是定义在概率空间( q ，f ) 只 o t t ，p ) 上的b r o w n 运动 本章主要研究多维扩散过程，即假设风险资产价格过程s = ( s 1 ，s 2 ，伊) 是 兄”值随机过程，满足随机微分方程 d & = d i a g ( s ) ( t d + e d i 仉) f 31 1 其中= ( w 1 ，w 2 ，w 。) 是定义在概率空间( n ，f ， 只) o t ，尸) 上的d 维b r o w i l 运动， ，= r ) o ! t ! t 是由渺生成的自然盯一域， d i a g ( s ) 表示对角元素分别为 9 ，i = 1 ，2 ，礼的礼n 对角矩阵 在这一章中给出了幂效用函数下多维扩散过程模型( 3 11 ) 的最优投资组合问题； 利用动态规划方法通过对数变换将h j b 方程解的分离为一个半线性偏微分方程的 解，利用这个半线性偏微分方程给出了最优投资组合的价值函数及最优投资策略的表 达式，并研究rh j b 方程的解为光滑函数的条件 3 2 多维扩散模型和最优投资组合问题 考虑个连续时间无摩擦是金融市场，市场上有n + 1 种资产，其中无风险资产 1 5 第三章多维扩散模型的最优投资组合 价格满足 b c 三1 ， 风险资产价格过程满足随机微分方程( 3 11 ) 假设影响股票价格的随机源b r o w n 运动的维数d 大于或等于市场上风险资产 的个数m 5 = ( 1 ，形2 ，“”。) 是定义在滤子概率空间( q ，f ， 砰) 。瑚、，) ) 上的n 维b r o w n 运动，5 = p o ! ! t ，礤= 口( w 1 w 2 ，一，”) ；7 = ( w ”1 ，”。，8 ) 是定义在滤子概率空间( n ，f j 影 。一c r ，p ) 上的d 一，l 维 b r o w n 运动，7 = 砰 o 蜒r ，可= 盯( ”1 ，w n + 2 彬。) ，7 与厂5 独立， 满足厂= r ) 0 c t = ，l s o 碍) 嵯t t 滤子流r 表示在t 时刻所掌握的包括 时刻以前的全部有效信息e 5 是由市场本身的随机源w s = ( 1 ，m ，n ) 产生的直接影响风险资产价格的信息( 市场的内在信息) ，彰是由市场以外的随机源 w 1 = ( n ”“，w 蚪2 ，w “) 产生的外部信息( 市场外部信息) 向量肛= ( 肛1 ，肛2 ，旷) ”和矩阵= ( 盯，口7 ) = ( 口”) 。d 是关于厂= e l o n 时， = ( 盯n 对任意，f o ，t 假设矩阵吼= ( 口y ) ，埘s 。满足i 吼l oos p ，即吼几乎必然为可 逆矩阵( 的秩兄( ) = 几) ，并假设 肛# ( 。1 ) - 1 弘。d 钍 o 。sp( 3 21 ) j 0 特别， f 肛謇( 露) 。弘。d “ 。os p 1( 3 22 ) j o ，r l 0 p 。也 n 时，扩散过程模型下的市场是不完全 的无套利市场 模型( 311 ) 中的系数向量“和矩阵t 是关于丁= e o c 。c ，循序可测的可 料过程，具体形式有多种如关于f 的确定函数或是关于，和s 的随机过程川= 1 6 第三章多维扩散模型的最优投资组合 ( ，s ) ，孝= 盯2 ( t ，) 等形式本章研究的形式为 f zr = 肛( s ) ，巩= 口( s ) 为r 便于讨论，引入记号 巾) - 。瓣知掣，删”， ( 3 。棚 o ( s ) 表示e ”的最小特征值对于任意s r “，n ( s ) 几乎处处是严格正的 设o t ，对任意s ，其中s t ，引，投资者调整其投资策略，投资在无风险资 产b 和风险资产s 的份额分别为7 r ? 和几，其中弧= ( ”：，”；，r ? ) 打，则此时投资 者的财富过程五满足随机微分方程 l 线毯( 枞s 蚺” s d 比) ( 3 2 5 ) lx = z 0 ，0s s 丁， 给定闭凸集，假设k 为交易策略限制集 定义3 2 1 若凡是只一循序可测的，满足可积条件 e 【e x l ) ( 1 ( s ) ”1 2 ) 】 + o 。，( 3 2 6 ) 则称几足可容许的所有的可容许策略集记为a 若假设耳为交易策略限制集，则 满足”，k ，t s t 的可容许策略集记为4 ( k ) ， 给定效用函数 u ( z ) = 兰。0 ， y 其中风险厌恶指数7 0 ，使得 s u pe e x p 0l n o o ( 3 3 8 ) t 【o - 卅 假设( h 2 ) 存在正数c ，使得对于几乎处处的s 胛有 ( o ) ip ( s ) a ( s ) 茎c ， ( 6 ) i l ( s ) ”( s ) d i a g ( s ) i l n ( s ) c 为了简化符号，现妒，。妒中的s 省略假设d 2 ( o ，t ) ，酽) 表示关于变量t n 明是连续可微的，关于变量s r 8 是二阶连续可微，且d 妒( f ，s ) 满足关于s 的线 性增长条件，即v ( t ，s ) 【o ，t ) x 兄”， d 妒 ，s ) f sc ( 1 十 si ) 下面定理给出了最优投资组合问题( 32 7 ) 的价值函数和最优投资策略 定理3 3 1 假设( h 1 ) ，( h 2 ) 成立，半线性偏微分方程( 3 3 4 ) 存在解q 1 2 ( o ，丁) ，舻) n ( o ( 【o ，1 1 】舻) ，而且d ( t ，s ) 是有界的，则最优投资组合问题( 327 ) 的价值函数为 ( ，r ，s ) = e x p ( 一妒( ，s ) ) ，( ，rs ) o ，列兄+ 矗” 第三章 多维扩散模型的最优投资组合 而且最优策略为 赴= 开( t ，s ) ，( 】t 丁) ，对任意( ，s ) o ，丁 舻 椰叼骝 字f ”t 7 ( p ( s ) 一( s ) ( s ) 。7 d i a g ( s ) 。妒( t ，s ) ) 证明对任意”( k ) ，定义测度驴，其密度过程为 d q ” 万i = e x p ( z 。7 棚洲眠 0 r 。( s 。) ”。i 。如1 则由h j 积条件【3 - 2 - 6 ) 得测度q ”有定义由( 3 2 5 ) 得 如= 唧( ，7 咖( 洲一；rl ( 州：d 。 + ，r 啦( 洲眠 代入( 3 28 ) 得 堆 细) = 等e e x p ( 7 1 协( 跏一；7 1 小( 刚叫。d u + ，1 僻( 驯吲& = s 1 ij0 所以 m ，s ，枷，= e x p ( z r 慨吣托) 忙s i ( 。s 剐 f ( s ，”) = 7 ”t r 肛( s ) 一掣i ( 。) t r 。f z 由g 而a 1 1 0 v 定理，对于丌一4 ( ，) ，在q ”下 d & = d i a g ( & ) ( ( ( s c ) + ，y ( & ) ( 岛) ”丌f ) 出+ ( s ) d w ) ，( 33l o ) 其中w 7 是q ”下是d 维b r o w n l 运动 设