（应用数学专业论文）拓扑空间的逆极限及tychonoff乘积空间.pdf

摘要 摘要 1 9 9 0 年，日本著名拓扑学家i c c h i b a 证明了在a 仿紧条件下正规、集体正规 等拓扑空间的逆极限运算是保持不变的最近十多年来，我国拓扑学者熊朝晖、蒋 继光等在正规盯集体正规、6 正规以及狭义拟仿紧等用覆盖刻画的拓扑空间上， 关于逆极限保持性的研究，又取得一系列重要成果于是，下列问题自然成为人们 研究的热点问题 问题1 ：在什么条件下，可膨胀空间类在逆极限运算下是保持的? 2 0 0 3 年和2 0 0 4 年，朱培勇肯定回答了，在a 仿紧条件下，几乎可膨胀与可膨 胀类的逆极限运算是保持的2 0 0 1 年，2 0 0 4 年，他进一步先后给出了正规狭义拟仿 紧和可膨胀等拓扑空间的t y c h o n o f f 乘积性质于是，这自然产生以下两个问题： 问题2 ：比可膨胀空间和m e s o 紧空间都更弱的盯可膨胀空间类，是否具有逆 极限保持的性质呢? 问题3 ：比正规狭义拟仿紧和狭义拟仿紧更弱的一类拓扑空间性质b ，是否具 有类似的逆极限保持性和t y c h o n o f f 乘积性质? 本文就上述两个问题进行讨论，主要获得如下两类逆极限结果： 设x 是逆向系统仁。，玎；，埘的极限，在a = 1 人| ，并且每个投射是开满映射 1 ) 如果x 是( 遗传) a - 仿紧且每个x 。是( 遗传) p 玎可膨胀的，则x 是( 遗传) 9 c ，可膨胀的 2 ) 如果x 是( 遗传) a - 仿紧并且每个以具有( 遗传) 性质b 。，则x 也具有( 遗传 ) 性质b 其次，在上述逆极限结果的基础上，分别得到了相应空间类t y c h o n o f f 乘积的 一些等价刻画 本文的一系列研究结果，在一定程度上，丰富和发展了拓扑空间的逆极限理 论与t y c h o n o f f 乘积理论，是一般拓扑学中乘积空间理论的进一步补充与完善 关键词：逆极限，a 一仿紧，日- c ，可膨胀，性质b 。，遗传性质 a b s t ra c t a b s t r a c t i n1 9 9 0 ，af a m o u st o p o l o g i s ti cc h i b ap r o v e dt h a tt h et o p o l o g i c a lp r o p e r t ys u c ha s n o r m a l i t y ，c o l l e c t i o n w i s en o r m a la r ei n v a r i a b l eu n d e r t h ei n v e r s el i m i to p e r a t i o n s i n c e t h el a s td e c a d e ，t h et o p o l o g i s tz h a o h u ix i o n ga n dj i g u a n gj i a n go nt h o s et o p o l o g i c a l s p a c e ss u c ha sn o r m a l 盯一c o l l e c t i o n w i s en o r m a l , 6 n o r m a la n ds t r i c t l yq u a s i p a r a c o m - p a c tc t c ，w h i c hw e r ep e d i c t e db ys o m ed o s e dc o v e r a g e ，a c h i e v e d as e r i e so fi m p o r t a n t r e s u l t so nt h ep r e s e r v i n go fi n v e r s el i m i t t h e r e u p o n ，n a t u r a l l yn e x tq u e s t i o nb e c o m e t h eh o tq u e s t i o n si n v e s t i g a t i v e db ys c h o l a r s q u e s t i o n1 ：u n d e rw h a tc o n d i t i o n s ，t h ee x p a n d a b l es p a c e sc a l lb ep r e s e r v i n gu n d e r t h ei n v e r s el i m i to p e r a t i o n ? i n2 0 0 3a n d2 0 0 4 ，p e i y o n gz h up r o v e dt h a ta l m o s te x p a n d a b l ea n de x p a n d a b l e s p a c e c a nb e p r e s e r v i n g u n d e rt h ei n v e r s el i m i t o p e r a t i o n i f t h es p a c e i s 五- p a r a c o m p a e t i n2 0 0 1 a n d2 0 0 4 ，h eo b t a i n e dt h ec h a r a c t e r i z a t i o no ft y c h o n o f f p r o d u c to nb o t hn o r m a ls t r i c t l yq u a s i p a r a c o m p a c ts p a c ea n de x p a n d a b l es p a c e a n d t h e n ，w eg i v e nb i r t ht ot h ef o l l o w i n gq u e s t i o n s 。 q u e s t i o n2 ：c o m p a r e dw i t hb o t he x p a n d a b l es p a c ea n dm e s o c o m p a c ts p a c e ， w h e t h e rt h ec f - e x p a n d a b l es p a c ec l a s sc a nk e e pt h ei n v a r i a b l ep r o p e r t yu n d e ri n v e r s e l i m i to p e r a t i o n ? q u e s t i o n3 ：w h e t h e rt h e p r o p e r t y6 ls p a c e w e a k e rt h a nn o r m a ls t r i c t l y q u a s i - p a r a c o m p a c ts p a c ea n ds t r i c t l yq u a s i p a r a c o m p a c ts p a c e ，h a v et h e s i m i l a r i n v a r i a b l ep r o p e r t yo fi n v e r s el i m i ta n dg o o dt y c h o n o f fp r o d u c tp r o p e r t yw i t ht h o s e s p a c e ? mz b et h el i m i to fi n v e r s es y s t e m x 。，石；，a ) ，i fe a c h 石。b eo n t oa n do p e n m a p p i n g a n d a 。i a l ，w e o b t a i nt h e f o l l o w i n gr e s u l t s ： ( 1 ) i fxi s ( h e r e d i t a r i l y ) a - p a r a c o m p a c ta n de a c h 石。i s ( h e r e d i t a r i l y ) 0 - c fe x p a n d a b l es p a c e ，t h e nxi s ( h e r e d i t a r i l y ) 0 西e x p a n d a b l es p a c e ( 2 ) i fxi s ( h e r e d i t a r i l y ) a p a r a c o m p a c ta n de a c hx 。i s ( h e r e d i t a r i l y ) p r o p e r t y b ls p a c e ，t h e nxi s ( h e r e d i t a r i l y ) l p r o p e r t y 岛s p a c e s e c o n d l y 0 1 1t h eb a s e so fi n v e r s el i m i tr e s u l t ，w eo b t a i n e dab a t c ho fe q u i v a l e n t a b s t r a ( 玎 c h a r a c t e r i z a t i o no i lc o r r e s p o n d a b l et o p o l o g i c a ls p a c ec l a s s i nt h i sp a p e r , as e r i e so fr e s e a r c hr e s u l t s ，t oac e r t a i ne x t e n t ，e n r i c h e da n dd e v e l o p e d t h et o p o l o g i c a ls p a c ei n v e r s el i m i tt h e o r i e sa n dt y c h o n o f fp r o d u c tt h e o r i e s i ti sm o r e c o m p l e m e n ta n dp e r f e c to ft h eg e n e r a lt o p o l o g yp r o d u c tt h e o r y k e y w o r d s ：i n v e r s el i m i t ，a - p a r a c o m p a c t ，0 c fe x p a n d a b l es p a c e ，p r o p e r t yb l ， h e r e d i t a r i l yp r o p e r t y m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：三k 雄日期：铆牌主月2 瑁 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 日期：2 刃善年j 月2 2 ，日 第一章引言 1 1 研究背景及内容 第一章引言 逆极限、t y c h o n o f f 乘积、仃一积与积是一般拓扑空间中最基本的乘积性质 其中，逆极限和t y c h o n o f f 乘积是近代拓扑学研究的最主要方向特别地，用正规 性、分离性、闭开集覆盖等所刻画的拓扑空间的逆极限运算保持性，以及t y c h o n o f f 乘积性的研究，是近三十年来拓扑学者们研究的焦点问题 对于拓扑空间逆极限的最新概念，在1 9 7 7 年，由e n g e l k i n g r t l 】第一次提出的， 他还第一次研究了有关分离性拓扑空间逆极限的保持性问题此后，在1 9 9 0 年，日 本著名拓扑学家i c c h i b a 在文献【2 】中证明了在a 仿紧条件下正规、仿紧、集体正 规、亚紧、次亚紧、亚l i n d e l o f 、仿l i n d e l o f 、o r 仿l i n d e l o f 、o r 亚紧、可缩和性 质笞等一些用覆盖性质刻画的拓扑空间，它们的逆极限运算是保持不变的正是拓 扑学者k c h i b a 对上述拓扑空间逆极限保持性的研究，开启了人们研究拓扑空间逆 极限保持性的先河，逆极限保持性问题已逐渐成为国内外广大拓扑学者追逐的重 点研究对象 近十年来，国内诸多学者开始研究用闭开覆盖所刻画的拓扑空间的逆极限保 持问题熊朝晖在文献【3 1 2 】中分别证明了在正规仃集体正规、o r 满正规、 s u b m e s o 紧、6 正规、可遮、遗传弱口可加细、超仿紧、盯序列m e s o 紧、仃 集体正规以及序列m e s o 紧上，它们的逆极限是保持的1 9 9 8 年，2 0 0 3 年和2 0 0 4 年，朱培勇在文献 1 3 1 5 】中又分别证明了几乎可膨胀类，正规狭义拟仿紧和可膨 胀空间类具有类似于k c h i b a 的良好结果由此可见，随着人们不断对拓扑空间乘 积性质的深入研究，关于分别用闭开覆盖所刻画的拓扑空间，国内外诸多学者已 经在它们的逆极限保持性方面取得了丰富的成果 而近年来，国内外诸多学者开始对乘积空间的另一种形式- 耐c h o n o f f 乘积 的研究产生极大的兴趣直到2 0 0 1 年、2 0 0 4 年文献【1 4 】，1 1 5 ，【1 6 】分别讨论了正规 狭义拟仿紧和可膨胀类以及遗传可遮等无限因子的t y c h o n o f f 乘积性质鉴于以上 对拓扑空间逆极限保持性和t y c h o n o f f 乘积性研究取得的丰富成果，同时又有新的 课题又不断涌现出来 电子科技大学硕士学位论文 因此，本学位论在上述成果的基础上，主要讨论比一般的用闭开覆盖刻画的 可膨胀空间类更弱的拓扑空间，如：0 c ，可膨胀、序列c ，可膨胀、离散序列万 可膨胀以及离散0 c ，可膨胀等空间的逆极限保持性，并且对其在遗传性质下是否 也具有类似的逆极限保持性质进行研究最后，进一步讨论具有性质b ，的拓扑空 间类的逆极限保持性和无限t y c h o n o f f 乘积性同时，还得到了关于c ，可膨胀空间 类的无限t y c h o n o f f 乘积性的一些等价刻画 1 2 符号说明 本文所涉及到的拓扑空间都假设为h a u s d o r f f 空间，所有映射指连续的满映射， 并简称拓扑空间为空间，且7 表示空间的拓扑用y o ) 表示空间x 的子空间y 中 点x 的开邻域系；阳i 、c 纠、i n t a 分别表示空间x 中子集a 的基数、闭包、内部； c f 6 彳、i n t c a 分别表示子空间g 的子集a 在g 中的闭包和内部正表示满足五分离 公理的z 空间n 表示自然数集，( 1 9 表示第一无限序数 对于集合x 的子集族p ，执c x 和a c x ，记 召( x ) = kcx ：k 是x 的紧子集 ， ( 功，= p 尹：z p ， 伊) _ = t p 尹：a n p 驴) ， u p = u l v ：v e p ， 【a l “t p c a ：h t ，1 ) ， 【彳】一一 c a ：j 口j 出， u ( x ) - - u ：u 是x 中点x 的开邻域 ， x 么= x a = l x l x e x ，但x q a 若k ( n n ) 是x 中的一列点， 表x 的子集纯：咒n ) ， 一工表序列 收敛于x 对于积空间班x c 及v 口，以：疆x a _ x a 在第乜个坐标上的投 影，以符号“口”表示命题证明的结束 下面两节是关于拓扑空问的一些知识准备，其中内容主要取自于文献1 1 】和文 献1 1 7 】 1 ，3 基本定义和概念 以下是本文中常应用到的映射的一般定义： 2 第一章引言 定义1 3 1 【1 】设映射厂：x y ( 1 ) 称厂为开映射，若y 是z 的开子集，则f ( v ) 是】，的丌子集 ( 2 ) 称厂为单射，若v x ，y x ，且x y ，则f ( x ) f ( y ) ( 3 ) 称厂为满射( 或称到上的) ，若渺y ，则3 x x ，使得f ( x ) = y 如果，厂 既是开映射又是满映射，则称厂是开满映射 ( 4 ) 称厂为同胚映射，如果是连续映射且其逆映射厂- 1 也是连续的 定义1 3 2 t 1 7 1 设铭秒是空间x 的子集族 ( 1 ) 称秒是彩的加细，如果v v 钐3 u 彩，使得v c u ，并且u 伊u 铭 ( 2 ) 称秒是空间x 的点有限族，如果，帆x ，使得i 修) ，l 国 ( 3 ) 称秒是空间x 的局部有限族，如果，v x x ，存在v 彩( 工) ，使得i 缈) r l 缈 ( 4 ) 称秒是空间x 的离散集族，如果，v x x ，存在v u ( x ) ，使得l ( 秒) y i 1 ( 5 ) 空间x 中集族缈称为是紧有限，如果，v k 律( 柳，i ( 秒) 置i 国 ( 6 ) 空间x 中集族缈称为是岱有限 1 8 , 1 9 ，如果x 的任何收敛序列c 都有 i ( 缈) cl 缈 以下定义本文中常见的一般拓扑空间的概念 定义1 3 3 t 1 7 1 设彩是空间x 的子集族 ( 1 ) 称空间x 是紧【2 0 】的，如果它的每个开覆盖都有有限子覆盖 ( 2 ) 称空间x 是仿紧【1 7 l ，如果它的每个开覆盖都有局部有限开加细 ( 3 ) 称空间x 是力仿紧【2 】当且仅当x 的每个满足矧力的开覆盖彩有一个局 部有限的开加细；空间石称为1 人| 一仿紧当且仅当它是兄仿紧的，其中五是一个基 数且五2 ，名= 1 人i ( 4 ) 称空间x 是可遮【1 6 】，如果x 的每个开覆盖都存在仃一互不相交的开加细； 称x 是遗传可遮，如果z 的每个子集是可遮的 ( 5 ) 称空间x 是几乎可膨胀【”1 ，如果x 内每个局部有限闭集族 只：口a ) 都存在x 中点有限开集族 以：口人) 使得v 口人，只cu 口 ( 6 ) 称空间x 是可膨胀n 7 1 ，如果对x 内每个局部有限闭集族 只：口a ) 都存 在x 中局部有限开集族 u u ：口人) ，使得 c a a ，只c 2 虬 ( 7 ) 称空间x 是矿一可膨胀m 1 ，如果对x 内每个局部有限闭集族 疋：口a ) 都存在x 内紧有限开集族口：口人) 使得v 口a ，瓦cu 口 ( 8 ) 称空间石是序列矿可膨胀埔1 9 1 ( 离散序列矿可膨胀) ，如果对于x 的每 个局部有限( 离散) 的闭集族 c ：口a ) ，存在x 的岱- 有限开集族 ：口人) 使得 v 口a ，ec 以 3 电子科技大学硕士学位论文 ( 称空间x 是臼- 可膨胀1 7 1 ，如果对x 内每个局部有限闭集族 e ：口e h ， 存在x 内的开集族序列 槲，使得合于下列两个条件： v n e n ，v a e a ，疋c k 。； v x e x ，| ，l o ) n ，使得l ( 秒。“) ll ( 1 0 ) 称空间x 是( 离散日q - 可膨胀) 日盯可膨胀1 7 l ，如果对x 内每个( 离散) 局部有限闭集族 疋：口e a ) ，存在x 内的开集族序列 槲，使得 合于下列两个条件： i ) v n n ，v ac a ，疋c 圪。； i i ) v k 雾俾) ，3 n e n ，使得i ( , 。) 置i ( 1 1 ) 称空间x 为狭义拟仿紧m j ，如果x 的每个开覆盖彩，有一个加细uc p ， 使得v n ，是子空间z u ( u 仍) 内的离散闭集族 ( 1 2 ) 称空间x 具有性质b 11 2 2 1 ，如果x 的每个开覆盖彩，有一个加细u ，使 得y n ，是子空间x u ( u 仍) 内的局部有限闭集族 ( 1 3 ) 称空间x 是遗传性质尹当且仅当x 的每个子空间是性质力 本文中尹表示下列空间之一：序列c ，可膨胀，离散序列c f - 可膨胀，口c ，可 膨胀，离散臼c f 可膨胀，性质b ， 定义1 3 4 设x2 x 口是积空间，6 z 是任意一个固定点慨x ，令 s u p p o ) - a s ：z 。一6 ) 则x 的子空间 z ( b ，x 。，s ) = 仁x ：is u p p ( x ) is 称为空间族 x 。：口s ) 的以6 为基点的一积，简记为x 6 1 4 基本引理 引理1 4 1 2 l 设x = l i r a x 。，巧；，a 】，对v a a ，石。：x - x 。是投射，则下 列各条成立： ( 1 ) 一个集族伽：1 ) ：u 开于x 。，a e a 是x 的一个拓扑基； ( 2 ) 如果每个万。是开且到上的，则每个万；是开且到上的 引理1 4 2 t 2 l 设a 是基数，空间x 是a 仿紧的，a 是一定向集且a - i h l ，若 4 第一章引言 h 。：口人) 是x 的定向上升开覆盖，则存在x 的一个定向上升开覆盖震= k ： 口人) ，使得v 口a ，c 啄ch 口称集族( h 口：口人) 是定向上升的，如果 v 口，人，且满足口，则h 口ch 矗 引理1 4 3 【2 4 1 空间彳是五仿紧当且仅当x 的每个势2 的开覆盖彩有一个 仃局部有限的开加细仍使得 矿：v 仍加细钇 引理1 4 4 t 2 2 1 设z 是具有性质b 。的正则空间，】，是盯紧的正则z 空间，则 彳】r 具有性质b l ；称空间x 是仃紧的，如果他可以表示为可数多个紧子集的并 引理1 4 5 2 2 1 若空间x 是具有性质b l ，则x 的每个c 一子空间具有性质b 。；称 子空间a 是c 集，如果他可以表示为可数多个闭子集的并 根据引理1 4 5 我们不难得到如下引理： 引理1 4 6 若空间x 具有性质b t ，则x 每个闭子空间也具有性质b 1 根据性质b 。的定义，我们可以得到如下引理： 引理1 4 7 空间x 具有遗传性质b l 的当且仅当x 每个开子空间是具有性质b 1 引理1 4 8 t 2 5 1 局部有限集族必是紧有限集族 引理1 4 9 t 2 6 1 局部有限集族必是岱有限集族 1 5 本文内容结构 本文共分为五章，结构如下： 第一章，是本文引言部分，首先介绍了本文的选题背景和理论意义；其次对本 文用到的基本符号进行说明；然后，给出相关的概念和基本引理，为后面的理论推 导工作做准备 第二章，本章分别介绍乘积空间和逆极限的基本概念和基本性质 第三章，本章主要针对矿可膨胀类空间的逆极限保持性问题进行研究，特别 是对口矿可膨胀和遗传p 矿可膨胀空间的逆极限运算保持问题进行详细推理和 证明近而，证明了与矿可膨胀空间邻近的空间族p 矿可膨胀、离散0 c f 可膨 胀、序列矿一可膨胀、离散序列矿可膨胀等具有逆极限的保持性同时，本文还给 出以上空间族在遗传性质上，也具有逆极限运算保持性 5 电子科技人学硕十学位论文 第四章，本章对类似于狭义拟仿紧并且弱于狭义拟仿紧的一类拓扑空间性质 b ，空间进行研究，并且得到了性质b 空间的两种乘积性质一一逆极限和无限 t y c h o n o f f 乘积的诸多结果并且，在第三章所得结果基础上，我们又得到关于 臼c f 可膨胀、离散p c f 可膨胀、序列矿可膨胀、离散序列矿可膨胀等拓扑空 间无限t y c h o n o f f 乘积的一些等价刻画 第五章，我们对迄今为止本学位论文所涉及的研究成果，特别是本学位论文 的获得的成果进行系统总结 最后是本文的相关文献和在硕士阶段取得的研究成果 6 第二二章逆极限及相关性质 第二章逆极限及相关性质 2 1 逆极限的历史背景 关于拓扑空间逆极限的历史回顾，文献 1 】做了如下简约的描述 拓扑空间逆向序极限的概念，最早出现在1 9 2 9 年，a l e x a n d o f f 2 7 1 的一篇论文 中但目前所常用到的逆向序极限的概念，在1 9 3 1 年，由l e f s c h e t z 【2 引第一次进行 详细陈述的直到1 9 3 7 年，f r e u d e n t h f l 【2 9 】才开始对拓扑空间逆向序的映射性质和 极限性质进行研究当序数集是由它的序性质而导出的时候，1 9 3 6 年， s t e e n r o d t 3 0 】讨论了在这种特殊情况下逆系统的定义直到1 9 4 2 年，l e f s c h e t z t 3 l 】最 终给出了逆系统比较完整的定义 在1 9 5 2 年，e i l e n b e r g 和s t e e n r o d t 3 2 】在他们的著作里对逆系统的耗散性进行详 细的研究之后，随着文献 1 】的出版，逆极限的概念才得到最完善的定义，逆系统 和逆极限这些概念才得以被广泛地应用在代数和分析的研究中 值得注意的是，逆系统和逆极限的概念都是以每个乘积因子定义出来的，而 不是整个拓扑；自然地，我们迫切地需要了解，逆极限的内部结构到底如何，它又 具备怎样的拓扑性质? 本章就逆极限的概念和基本性质进行详细说明 为了更好地说明逆极限的概念和基本性质首先，介绍乘积空间及相关性质 2 2 乘积空间与乘积不变性 在线性代数、泛涵分析中，有限个集合或可列个集合的乘积集，是按以下方式 定义的 若x i ( i = 1 , 2 ，疗，) 为可列个集合，则 z = ( 而，x 2 ，工。，) i 石f x i ，f = 1 , 2 ，万，) ( 2 - 1 ) 为x ，的乘积集，记作兀x j 若把上式中的元素工= ( 而，x 2 ，) 看作序列，则 l = l 可把x 理解为定义域工( f ) 取值于置的整标映象x = 缸( m ，x ( i ) = 毛x ，a = 1 , 2 ， 刀，) ，那么式( 2 - 1 ) 就可以改写成 7 电子科技人学硕+ 学位论文 兀x ，= 缸= ) ) ) x ，i = 1 ，2 ，甩，) ( 2 2 ) i = l 根据( 2 2 ) 式，我们可以立即把可数乘积集推广为任意乘积集的情况 定义2 2 1 1 若x a ( a r ) 为一族集合，x ：r 专也以为一个映象，使x ( 口) = 屹x 口，则这种映象的全体称为x 口似r ) 的乘积集( 或称笛卡儿集) ，记作兀以， 即 h 耐x a = 小：r _ 旦x 口x 口胙r ) ( 2 - 3 ) 则，x 。位r ) 称为兀x 口的因子集( 或称第口坐标集) 首先定义从乘积集到因子集以的映象p 口：兀以一x 口，满足 p 。( z ) = x 口 则，p 。称为口投影映射，屯称为x 的口分量 前面定义了从乘积集到因子集x 。的映射，下面介绍，如何利用每个x 口上的 拓扑乞来定义乘积集x 上的拓扑 当给予拓扑空间族( x 。，乞) 以r ) 时，考虑乘积集x = 兀x 口上的拓扑问题 定义2 2 2 3 习设为p 。：x 专工口映射，令 才= p ：1 ( u 口) ：u 。乞，口r ) 由君的元的所有有限交构成的集族设为才，显然笤满足拓扑空间的定义，而且还 可以证明以罗为基唯一确定了x 上的拓扑7 从而，7 称为乘积集= 兀x 。上的 口e r 乘积拓扑，则( 疋7 ) 称为乘积拓扑空间( 简称乘积空间) 如上所述，对任意的口f ，投影映象 p 口：兀x 口一x 。 都是连续映象，同时还有下面的定理成立 定理2 2 3 1 设k 位r ) 为一族拓扑空间，则投影映射 p 口：兀以一x 口 a e f 为从乘积空间到因子空间的连续开映射 第二章逆极限及相关性质 命题2 2 4 1 1 设以为x 。中的子集 e f ) ，则 瓦i ( 以) 上述给出了有关于拓扑空间的映射和闭包性质，以下具体介绍乘积空间的不 变性，并且以如下四个定理进行说明 定理2 2 5 1 1 设 也la e f ) 为一族拓扑空间，则丌x 。为王空间的充分必要 言寸 条件间是对任一a r ，x 。为夏空间( f s 3 寺) 若丌x 。是非空的互空间，则每个 二 衬 x 。是l 空间( f s 6 ) 定理2 2 6 1 加i 任意一族连通空间的积空间是连通的 定理2 2 7 驯设i 口n 为一族拓扑空间，并且对于v a r ，也则 空间丌x 。满足第二可数性公理的充要条件是r 存在一个可数子集r l ，使得当 盏酋 v a e r , 时，石。满足第二可数性公理；当a r - r l 时，x 。是平庸空间 定理2 2 8 例( t y c h o n o f f 乘积定理) 设 以 口r ) 为一族拓扑空间，则丌x 。 ：寸 为紧空间的充分必要条件间是对任一a r ，x 。为紧空间 这一节具体介绍了有关乘积空间的基本概念和性质众所周知，一般拓扑学 中的乘积空间理论，主要包括t y c h o n o f f 乘积、逆极限、盯一积与三一积四部分作 为乘积空间的四大乘积性质之一的逆极限，是近二十年来国内外拓扑学者研究的 热点问题特别是逆极限运算的保持性问题，成为近十年来广大拓扑学者广泛关 注的焦点因此，为了更好地研究拓扑空间逆极限的保持性问题，接下来将具体介 绍逆极限的概念及其相关性质 2 3 逆极限的概念 本节的所有定理、引理、命题、推论以及例题，如果没有特别申明，都出自于 文献【1 】 设z 是由关系s 决定的一个定向集，假设v 仃，对应一个空间x 。，并且 v 口，p 适合条件ps a ，一个映射石；：x 。x p 被定义；如果对于v 盯，p ，r 适 合条件fj ps 盯有衫杉- 杉，并且对v 仃，衫= 谢乙在这种情况下，我们称 9 电子科技人学硕士! 学位论文 彳= l ，万；，) 是空间以的逆系统称映射衫为逆系统的链映射 称逆系统x = 五，万：，) 为逆向序列，其中n 表示所有正整数构成的集合； 为了表示的方便，我们简记逆序列为 五，万：) 设x = 以，衫，) 是一个逆系统，称笛卡儿积n ，。z x 。的一个元素 ) 为 x 的一个细丝，如果对v o - ，p 满足条件p 仃都有7 r ；( ) = x p ；称由x 的全体 细丝构成的丌。以的子空间为逆系统x 的极限，简称为逆极限并用记号l i m x 或l i m k ，万；，) 表示即： l i 。m x 2 缸= ( ) 仃。ii 。z l ：万；( ) 2 ) 2 4 逆极限的基本性质 命题2 4 1 设s = 以，衫，) 是逆系统且每个k 是h a u s d o r f f 空间，贝1 l i m s 是兀，。z x ，的闭子集 定理2 4 2 设s = ，衫，) 是逆系统且每个k 是巧空间，则1 四s 也是互空 间其中, i _ 3 芝1 下面介绍，逆极限的基本性质 命题2 4 3 设s = t ，万；，) 是逆系统且v 仃，u 口开于x 盯，则集族 万：1 ( u ，) ：仃， 是l i m x 的一个拓扑基 命题2 4 4 设s = 以，衫，) 是逆系统，且a 是l 四s 的任意子空间则 集族l = ( 彳a ，衫，) 是一个逆系统， f i l i mx 2 acl i + m s 其中，4 = 刀( 彳) ，且 v x 互，衫( x ) = 衫( x ) 推论2 4 5 设s = 以，衫，) 是逆系统，且a l i m s 的任意闭子空间集族 l = 口，y p ，) 是一个逆系统，v 盯，五是以的闭子空间则 彳= l i 。r a a f ，衫，) 定理2 4 6 设尹是具有闭遗传性和有限可乘性的拓扑性质则拓扑空间x 同胚 于具有性质尹的互空间的逆极限当且仅当空间x 同胚于具有性质尹的互一空间的 l o 第二章逆极限及相关性质 笛卡儿乘积 我们首先给定逆系统s = x 叮，衫，) ，s = 匕，衫，t ) ；设 缈，t ) 是s 到s 上 的所有映射构成的集族其中，缈：一是非递增的，并且满足缈( ) 是中的共 尾子集而其中v 盯。，定义：( 一) _ 0 上的连续映射，i ：1 _ v o - ，p 。，满足 盯，使得 衫乃= 乃万鬈；p 。o。o 叭p 则f 是可交换的 任何s 到s 上的映射，都可导出l i m s 到l i m s 上的一个连续映射 -4- 设 缈，乃) ：s _ s 上的一个映射对= 矗) x = y 1 m s i lv a ，我们定 义： y 一= - ( ( 仃) ) 因此，我们得到秒，) 兀匕且 虼) y = l i 。m s 指定工= ) x ，y = 抄，) y ，定义f ：石_ y 上的映射，易证f 是连续的 则映射厂：z y 是由 驴，) 极限导出的映射，记为厂= 岫 缈，) 引理2 4 7 设s = x ，万；，) ，s = 0 ，万；，。) 都是逆系统，且 缈，) ： sj s 是一映射如果，所有映射是单射，则映射厂= l 廿 伊，) 也是单射因 而，如果所有映射t 是满射，则厂也是满射 命题2 4 8 设s = 丘，刀；，) ，s = 匕，万；，) 都是逆系统，且 伊，- ) ： 彳寸x 是一映射如果所有映射是同胚映射，则逆映射厂= 1 廿 妒，) 也是同 胚映射 推论2 4 9 设s = k ，衫，) 是逆系统，且是的共尾子集厂lz 是把 工= l i m s 上的所有细丝限制在的映射，则f 。是x 到x = l i m s 上的同胚映射 其中，s = ，万；，。) 推论2 4 1 0 设s = l ，衫，) 是逆系统如果在定向集中存在一个元素 o o 满足，v o - e ，有仃c r o ，则，x = l 粤s 与空间k 同胚 电子科技大学硕士学位论文 由以上推论，可得如下两个定理： 定理2 4 1 1 对于每个仰，d 】：s 呻s 的映射，都存在一个同胚嵌入映射 ：姆s _ 卫乙。，其中，乙一x ( 口) ，满足，粤 妒，- 卜( - 如果所有的 ( 仃) 是h u 弱d o 心空间，则i i ( 粤s ) 是兀z o - 的闭子集其中，s 一 e ，衫，) ， s 。= 匕，石；，。) 定理2 4 1 2 设s - x d ，万：， 是任意的逆系统如果v c r 0e z ，存在逆系统 s - - l ，石；，) ，其中，v 仃，匕= k 存在一个同胚映射i l ：l i m s 一x 0 0 ，且存 在一个映射却，】- ：s 呻s ，其中，是s 上的链映射满足： 一l i m 和， 本节回顾了有关拓扑空间逆极限的基本概念和性质在定理2 4 2 证明中，关 于分离性空间互( i s 3 去) 的逆极限运算保持性得到了很好证明，那么对于用闭集族 刻画的一类拓扑空间c ，一可膨胀空间类是否具有类似的逆极限保持性呢? 同 时，开覆盖刻画的一类拓扑空间性质轨空间族是否也具有类似的保持性呢? 以拓扑空间逆极限的基本概念和性质作为理论基础，本文将在第三章和第四 章分别对上述两个问题进行肯定的回答，同时对其无限t y c h o n o f f 乘积将作更进一 步的研究 第二章矿一可膨胀类的逆极限运算保持性 第三章盯可膨胀类的逆极限运算的保持性 3 1 相关背景 1 9 9 0 年，日本著名拓扑学家k c h i b a 2 】证明了下面一系列结果： ( ) 设x = l i m 疋，万；，人) ，允= 1 人i ，并且每个投射万口是开满映射，如果x 是名- 仿紧的且每个k 是正规( 仿紧、集体正规、亚紧、次亚紧、亚l i n d e l o f , 仿l i n d e l o f , 盯仿l i n d e l o f , 盯亚紧、可缩、性质才) 的，则x 是正规( 仿紧、集体正规、亚 紧、次亚紧、亚l i n d e l o f , 仿l i n d e l o f , 仃仿l i n d e l o f , 盯亚紧、可缩、性质动 的 1 9 9 7 年，1 9 9 8 年，熊朝晖教授在文献 2 5 ，2 6 ，3 4 分别证明了m e s o 紧空间、口 序列m e s o 紧空间以及正规可遮空间具有类似于( ) 的性质 由于上述结果几乎都是对用开覆盖刻画的拓扑空间的结果然而用闭集族 的膨胀类刻画的空间是否具有类似性质一直倍受国内外拓扑学者的关注 直到2 0 0 3 年，文献 1 3 】给出了有关几乎可膨胀空间的逆极限保持性，到2 0 0 4 年，文献 1 5 1 的作者再次给出了关于可膨胀空间和仃可膨胀空间的逆极限的证明， 并得到以下定理： 定理a 设x = l i m x 。，万；，人) ，a = 1 人l 并且每个投射7 口是开满映射，如果z 是 兄仿紧且每个以是几乎可膨胀的，则x 是几乎可膨胀的 定理b 设x = 1 i m x 口，万；，人) ，a = l a i 并且每个投射万。是开满映射，如果x 是 五仿紧且每个以是可膨胀( 离散可膨胀) 的，则x 是可膨胀( 离散可膨胀) 的 定理c 设x = l i m x 口，万；，人) ，a = l a i 并且每个投射万口是开满映射，如果x 是 遗传力仿紧且每个以是遗传可膨胀( 遗传离散可膨胀) 的，则x 是遗传可膨胀( 遗 传离散可膨胀) 的 那么，比可膨胀类和m e s o 紧空间类都更弱的矿可膨胀类是否具有这种逆极 限保持的性质呢? 本文就此问题进行讨论，肯定地回答这一问题 3 2 主要定理及证明 引理3 2 1 尹表示0 一矿可膨胀、序列矿可膨胀、离散0 c f 可膨胀和离散序 电子科技人学硕十学位论文 列矿可膨胀这四种性质之一 ( 1 ) 若空间x 具有性质幺则x 的每个闭子空间也具有性质尹： ( 2 ) 空间x 是具有遗传性质尹的当且仅当x 的每个开子空间是具有性质矽 我们只证明空间x 是口一矿可膨胀的情形，其他空间的证明可以类似得到 证( 1 ) 设y 为空间x 任一闭子集，且 c o f 人) 是内的一局部有限闭集族 下证】，是秒- 矿可膨胀 首先，我们证明 c o f 人) 是x 内的局部有限闭集族 显然，集族 c o f 人) 是z 内的闭集族下证， c ：口人) 在彳内局部有限 事实上，对比x ，当xey 时，由于 c ：口人) 是y 内的局部有i i l l 牙i 集族， 故，存在u 铭y ( x ) ，使得 i 缸人：unc 矧 c o 并且对于u ，存在y 开于x ，使得u = fny ，且矿彩( x ) ，则 i 口a ：yn 兄) i i 口人：unc ) i 国 当x 诺y 时，则z y ，且y 勿( x ) ，而 陋人：y 。nl 刮= 0 综上所述， c ：口a ) 为x 内的局部有限闭集族 最后，我们证明y 也是秒一矿可膨胀的 事实上，由上面的证明，我们得到 c ：口人) 为彳内的局部有限闭集族由 于x 是护- e f 可膨胀的，则存在x 内的一开集族序列 蒯满 足： i ) v n n ，v a 人，兄g ( n ，口) ； i i ) 坛h ( x ) ，3 n n ，使得i ( 7 7 。) 置i 国 对v n n ，令，六= g ( n ，口) n 】，：口a ) ，下证开集族序列 蒯满足上面两 条 事实上，v ，z n ，v 口a ，c g ( n ，口) ，且瓦c 】，显然r g ( n ，口) n 】r 再者，v h h ( y ) ，存在k h ( x ) ，使得h = kny 对于k 律( x ) ，存在 3 n ( k ) n ，慨( 石) ) 置i 国取甩= 甩( k ) ，则 i ( 孝。) i = l 口人：g ( 以，口) ny n 日) i l ( 刁。( 鬈) ) 置l 国 故，x 的闭子空间y 也是0 c f 可膨胀的 1 4 第三苹一司膨胀类的逆极限运算保持性 ( 2 ) 由遗传性质的定义，。j 。显然成立下证。仁。： 设】，为空间x 任意子集，且 c ：口人) 是内的一局部有限闭集族下证】，是 0