函数零点问题 课件-2025届高三数学一轮复习

第四单元高考专攻三函数零点问题2025届1利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路：

(1)可转化为用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；(2)证明有几个零点时，需要利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值(最值)、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)＜0.01课堂突破

01课堂突破特训点1特训点2特训点3

特训点1数形结合法研究函数的零点【师生共研类】

卡壳点：极限思想的应用．当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞，根据以上信息，画出f

(x)的大致图象，如图．函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数为y＝f(x)的图象与直线y＝a的交点个数．

含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，则可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围．

…………………练能力学方法

特训点2函数性质法研究函数的零点【师生共研类】

典例4

(2023·济宁一模)已知函数f(x)＝ex－ax＋e2，若f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围．[解题指导]f

(x)求导→分a≤0和a＞0讨论→由几何意义得a－alna＋e2＜0→构造函数h(a)＝a－alna＋e2→对h(a)求导→利用导数得到h(a)的单调性进而求得a的取值范围．解：因为f′(x)＝ex－a，当a≤0时，有f′(x)＞0，所以f(x)在R上单调递增，此时f(x)无两个零点．当a＞0时，若x＜lna，f′(x)＜0，则f(x)单调递减；若x＞lna，f′(x)＞0，则f(x)单调递增．因为当x→－∞时，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以要使函数f(x)有两个不同的零点，此时需f(x)min＝f(lna)＜0，即a－alna＋e2＜0.不妨设h(a)＝a－alna＋e2，函数的定义域为(0，＋∞)，可得h′(a)＝1－lna－1＝－lna，当0＜a＜1时，h′(a)＞0，h(a)单调递增，当a＞1时，h′(a)＜0，h(a)单调递减，且当0＜a＜1时，h(a)＝a(1－lna)＋e2＞0，又h(e2)＝0，所以当a＞e2时，h(a)＜0.综上，a的取值范围为(e2，＋∞)．

利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．

…………………练能力学方法

特训点3构造函数法研究函数的零点【师生共研类】

涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．

…………………练能力学方法解：(1)由题可知f′(x)＝x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如表所示：(2)令g(x)＝f′(x)＋kex－1，若y＝g(x)的图象与x轴有三个不同的交点，求实数k的取值范围．

x(－∞，－2)－2(－2，－1)－1(－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

极大值

极小值

当x∈(－2，1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈