（应用数学专业论文）一类plaplacian方程和方程组边值问题正解的存在性.pdf

目录 j 裔要i a b s t r a c t i i 第一章绪论1 1 1 问题产生的历史背景及意义l 1 2 p - l a p l a c i a n 方程( 组) 及微分方程( 组) 的研究现状1 1 3本文所研究的内容4 1 4 基本概念及相关引理5 第二章一类三维二阶常微分方程组边值问题正解的存在性7 2 1 引言7 2 2 预备知识8 2 3 主要结果。1 0 2 4相关例子。1 3 第三章一类奇异边值问题三解的存在性1 6 3 1 引言。l6 3 2 预备知识1 7 3 3 主要结论17 第四章含p - l a p l a c i a n 三阶刀维方程组三点奇异边值问题正解的存在性2 2 4 1引言。2 2 4 2 准备工作。2 3 4 3 主要结论2 7 结束语3 5 参考文献3 6 作者简介。3 9 致谢。4 0 摘要 本文主要研究了一类二阶微分方程组边值问题和一类奇异p - l a p l a c i a n 方程及万维 p - l a p l a c i a n 方程组边值问题正解的存在性本文共分为四章： 第一章，简述了问题产生的历史背景和现阶段的主要成果，并概述本文的主要工作 第二章，主要运用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，研究了二阶微分方程组边值问题 - “一a ( t ，w ) f ( u ，v ) ， i _ v b ( t ，w ) g ( u ，v ) ， i - - w h ( t ，甜，1 ，) ， 【”( o ) = 甜( 1 ) = v ( o ) = v ( 1 ) = w ( o ) = w ( 1 ) = 0 ， 在某些条件下一个正解的存在性 第三章，主要运用l e g g e t t w i l l i a m s 定理研究了一类形如 l ( ( 甜) ) + ( f ，扰) = o ，0 r l ， l ”( o ) = 彳，“( 1 ) = b ， 的奇异p - l a p l a c i a n 方程边值问题，给出了在一定条件下具有三个解的充分条件 第四章，利用不动点指数理论，建立了疗维p - l a p l a c i a n 方程组三点奇异边值问题 i ( ( 的) + a l ( t ) f ( u l ，“2 ，) = o 0 f 1 ， ，2l ，厶。刀 h ( o ) = ( 1 ) = q ( ，7 ) ，娘，7 ) = 4 ， 一7 一解、两解的存在定理 关键词：p - l a p l a c i a n 方程( 组) ，边值问题，不动点，锥，正解 a b s 仃a c t t h i sp a p e rm a i n l yr e s e a r c h e so nt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sf o rak i n d o fs e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a n ds i n g u l a r p - l a p l a c i a ne q u a t i o na n dn - d i m e n s i o np - l a p l a c i a ne q u a t i o n s t h i sa r t i c l ei sd i v i d e d i n t of o u rc h a p t e r s ： t h ef i r s tc h a p t e ro u t l i n e st h ep r o b l e mo ft h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dt h em a i n r e s u l t so ft h ep r e s e n ts t a g e ，o u t l i n e st h em a i nw o r ko f t h i sp a p e r c h a p t e rn ，b yu s i n gk r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e m ，i tm a i n l yr e s e a r c h e s o nt h e e x i s t e n c eo fo n ep o s i t i v es o l u t i o no fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs e c o n do r d e r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s c h a p t e ri i i ，b yu s i n gl e g g e t t - w i l l i a m st h e o r e m ，i tm a i n l y r e s e a r c h e so nt h e e x i s t e n c co ft h r e ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fo n ek i n do f p l a p l a c i a ne q u a t i o na n d a l s og i v et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c eo ft h r e e p o s i t i v es o l u t i o n s c h a p t e ri v ，b yu s i n g f i x e dp o i n ti n d e xt h e o r e m , i tm a i n l ye s t a b l i s h e s t h e e x i s t c n c ct h e o r e mo fo n ep o s i t i v es o l u t i o na n dt w op o s i t i v es o l u t i o n so ft h r e e - p o i n t s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rn - d i m e n s i o n a lp - l a p l a c i a n k e yw o r d s ：p - l a p l a e i a ne q u a t i o n ，b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s ，f i x e dp o i n t ，c o n e ， p o s i t i v es o l u t i o n 第一章绪论 第一章绪论 1 1问题产生的历史背景及意义 常微分方程边值问题在经典力学和电学中有着极为丰富的源泉，它是常微分方程学科 的重要组成部分之一而现实中的微分方程的模犁往往是非线性模型，这就使非线性常微分 方程的边值问题正解的存在性显得尤为重要近年来，非线性常微分方程边值问题不断出现 在各种应用学科中，如弹性稳定性结论、核物理、流体力学、非线性光学、气体动力学、 桥梁工程、生物学、天文学等研究领域，所以微分方程边值问题的研究有助于为以上各问 题的研究提供理论依据同样地，非线性常微分方程组边值问题是对非线性常微分方程边值 问题的进一步推广和深化，也因为有较广泛的实际应用背景而得到了许多讨论另外，非线 性常微分方程组边值问题起源于流体力学、边界层理论、非线性光学等应用学科，是目前 分析数学中研究最为活跃的领域之一由于这种方程呈现的结构具有深刻的物理背景和现 实的数学模型与自然现象极其吻合，而且应用数学与工程数学有大量模型均可以归结为方 程组边值问题正解的存在性，所以研究微分方程组边值问题正解的存在性具有深刻的内在 价值 1 2 p - l a p l a c i a n 方程( 组) 及微分方程( 组) 的研究现状 由于广泛的数学与物理研究背景，近年来人们对于微分方程边值问题的研究非常活跃， 特别是含有p - l a p l a c i a n 算子微分方程边值问题正解的研究已经引起了很多研究者的兴趣 1 9 9 3 年，a m f i n ki 1 1 等研究了方程组： f 甜( f ) + a a ( t ) f ( u ( t ) ，o ) ) = 0 ， 1 ，。( f ) + 肋( f ) g ( “o ) ，1 ，( ，) ) = 0 ，0 0 ( 或者f ( o ，o ) = 0 ，g ( o ，0 ) = 0 ) 及 口( f ) ，6 ( f ) 非奇异的情况下，利用打靶法和锥拉伸与锥压缩不动点定理证明了问题( 1 2 1 ) 存 在一组非负解后来，a m f i n k 等人研究了将上述方程组中的非线性项分别换成 2 f ( t ，“o ) ，1 ，( f ) ) ，2 9 ( t ，甜( f ) ，v o ) ) 时正解的存在性，厂，g 均为非奇异的，其中所用到的 条件包括厂，g 非负、厂，g 单调、厂，g 超线性或次线性三个条件 关于具p - - l a p l a e i a n 算子两点边值问题正解的微分方程研究有了很多，如： 南京信息工程大学硕士学位论文 1 9 9 8 年，姚庆六1 2 1 等研究了方程 i ( ( y ) ) 7 + g ( f ，力= o ，0 f 1 ) 2 0 0 4 年，丁卫平3 埯研究了方程 f ( ( f ”) 7 + 口( f ) 厂( 即，f ) = o ，o t l ，f ec ( 【o ，1 】孵，倪) ，办是( o ，1 ) 上的非负可 测函数 2 0 1 1 年，王峰，贾宝甜6 】等讨论了一类具p - l a p l a c i a n 的三阶边值问题 l ( ( 甜。”+ j k ( f ) 厂( f ，甜o ) ，“( ，) ) = o ，0 o , r 6 ( o ，1 ) ，励( o ，1 ) ，a o ，利用 k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，得到了一个正解存在的条件 而关于具有p - l a p l a c i a n 算子三点边值问题的研究也有了一些成果，如： 2 蔓二：童笙望 2 0 0 4 年，刘斌川利用不动点指数理论研究了方程 i ( o 坊+ 口( f ) 厂( ) ，( f ) ) = o ，0 f 1 ， 【y ( o ) = 0 ，j ，( 1 ) = 缈( ，7 ) ， 在f c ( 【0 ，佃) ，【o ，佃”，a ：【0 ，1 】专【o ，佃) 的情况下正解的存在性 2 0 0 7 年，刘锡平8 1 等研究了方程 i ( ( x ( f ) ) ) f ( t ，z ( f ) ) ，0 1 ) 同年他1 1 又进一步研究 了三阶p - l a p l a c i a n 方程三点奇异边值问题 鬈浆戮搿0 0 吲叫， 【材( o ) = 甜( 1 ) = 口“( ，7 ) ，“。( o ) = ， 、77 正解的存在性与多重性 以上是单个方程的研究进展与情况，较单个方程来说，方程组的研究要更复杂、更困 难，但是也得到一些成果： 2 0 0 4 年，杨志林，孙经先1 2 1 利用拓扑方法和锥理论研究了非线性二阶常微分方程组边 值问题 卜“。f ( x ，1 ，) ， l - 1 ，g ( x ，材) ， l ( o ) = 材( 1 ) = 0 ， 【v ( o ) = v 0 ) = 0 ， 在一定的条件下存在一个与两个正解其中 f c ( 【o ，1 】吼+ ，吸+ ) ，g c ( 【0 ，1 】孵+ ，孵+ ) ，f ( x ，0 ) 暑0 ，g ( 薯o ) 暑0 2 0 0 6 年，江波，夏大峰1 3 1 等证明了一类非线性二阶常微分程组边值问题 3 雨京信息工程大学硕士学位论文 i - l u = f ( x ，, ，1 ，) ， l _ 加= g ( x ， ，v ) ， 。 l 墨( 材) = “( o ) + 口2 p ( o ) u ( o ) = 恐 ) = 。u ( 1 ) f 1 2 p ( 1 ) u ( 1 ) = 0 ， 【墨( d = a l v ( o ) + a 2 p ( o ) v ( o ) = 恐( 1 ，) = 1v ( 1 ) f 1 2 p ( 1 ) v ( 1 ) = 0 ， 在一定的条件下存在唯一解并给出了解的求法 2 0 0 8 年，刘弧亚，夏大峰【1 4 1 等研究了下列奇异非线性二阶三点方程组边值问题 l 材。( f ) + 口( f ) 厂( f ，材，1 ，) = 0 ，0 f l ， 1 1 ，。( f ) + 6 ( f ) g ( f ，材，v ) = 0 ，0 f 1 ， i 材( o ) = 1 ，( o ) = 0 ， 【u ( 1 ) + a u ( ，7 ) = v ( 1 ) + a v ( 刀) ， 的正解的存在性，其中0 ，7 l ，并且允许口( f ) ，6 ( f ) 在t = 0 ，l 处奇异，通过应用锥上的 不动点定理，得出此类方程组至少存在一个正解的条件 2 0 11 年，王斌，汪卫华1 1 5 1 等利用五个泛函的不动点定理，研究了带p - l a p l a c i a n 算子 的二阶微分方程组 f ( ( x ) ) + 口( f ) 厂o ，x ( ，) ，y o ) ) = o ，0 f 1 ， i ( 7 ) ) 7 + 6 0 ) g ( f ，础) ，y o ) ) = o ，0 f 1 ， 分别在边值条件 x ( o ) = x ( 1 ) = y ( o ) = y ( 1 ) = o ， x ( o ) - 岛( x ( 0 ) ) = y ( o ) - b o ( y ( 0 ) ) = 0 ，x ( 1 ) = y 7 ( 1 ) = 0 ， ，( 0 ) = y ( 0 ) = 0 ，x ( 1 ) - b i ( x ( 1 ) ) = y ( 1 ) - 最o ( 1 ) ) = 0 ， 下至少三个正解的存在性，其中伊，( v ) = i ，l p 2 1 ， 1 3本文所研究的内容 本文第二章，我们主要运用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理讨论二阶微分方程组 f - - 4 。= a ( t ，w ) f ，v ) ， - - v = b ( t ，叻g ( ”，v ) ， 卜= h ( t ，“，) ， 依赖于边值条件 材( o ) = 材( 1 ) = 1 ，( 0 ) = 1 ) = w ( o ) = w ( 1 ) = o 在某些条件下一个正解的存在性 本文第三章，主要运用l e g g e t t - w i l l i a m s 定理研究了奇异p - l a p l a e i a n 方程 ( ) ) + o ，甜) = o ，0 r 1 ， 依赖于边值条件 4 ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) 第一章绪论 “( 0 ) = a ，“( 1 ) = b ， 在某些条件下至少存在三个正解的问题 第四章，我们主要运用不动点指数理论建立了刀维方程组 i ( ( 哟) + q ( f ) 石( ，“2 ，) = 0 0 0 ，使得，而历若 恢一x 2 1 i o ，v x a ，v t i ，t 2 x ，当p ( t l ，t 2 ) 万，x ( t 1 ) 一x ( t 2 ) i 0 ，定义 巧= 缸e ：例i p ，x i 爱f 巧寸k 是个紧算子，在o k p _ l ：，( x ) x ，则 ( i ) 如果对x e o k p ，0 叫| ，则f ( f ，k p ，k ) = o ， ( i i ) 如果对x 翻印，1 , 4 - f , 4 i ，贝j j i ( f ，k p ，k ) = 1 引理1 4 3 埔。( l e g g e t t - w i l l i a m s 定理) 设彳：足专c 全连续，且存在非负连续凹泛函 口( x ) 满足口 ) 刮x 0 ( v x 瓦) ，又设存在o d = g ，当x p ( a ，a ，6 ) 时，有a ( a x ) a 2 ) 当x 巧时，：f f l a x 6 时，有口( 血) 口 则彳在乞中至少有三个不动点，”2 和l f 3 ，且满足 l 口，u u 3 0 d ，r c t ( u 3 ) 口 引理1 4 4 0 1 9 1 ( a r z e l a - a s c o l i 定理) 设x 是紧度量空问则acc ( x ) 是列紧集的充要 条件是a 为c ( x ) 中范数有界的等度连续函数族 6 第二章一类三维二阶常微分方程组边值问题正解的存在性 第二章一类三维二阶常微分方程组边值问题正解的存在性 2 1 引言 关于二阶常微分方程边值问题正解的存在性研究已有许多丰富的结果l 扯2 6 1 ，例如文2 5 1 利用k r a s n o s e l s k i i 锥拉伸与锥压缩不动点定理研究了一类非线性二阶两点边值问题 f 矿( f ) + 砸) ( f ，川) ) = o ，0 0 ； h c ( 【0 ，1 】【0 ，佃) x 【0 ，佃) ，【o ，佃) ) ， 且当甜+ 1 ， 0 时，有h ( t ，“，v ) 0 7 南京信息工程大学硕士学位论文 2 2预备知识 f ，g ：【0 ，佃) 【o ，佃) 州0 ， ，为惩! 霎函效，并记 f m ：l i m 趔，t o ：l 岫掣心：l i m 趔g o ：l 鲰幽， p - - ) + a a o p - - ) o p p _ 枷 op 刈p 其中p ：厨 设工= c o ，l 】，1 2 驾豁k ( f ) i ，此时，x 为b 锄c h 空间 设】，= x xx ，对任意的 ，d 】，i i ( u ，1 ，) 0 = m a x l u i i ，i v ，则l ，也为b 砌空间 令p = x l u ( t ) o ，【o ，1 】 ，e = p x p 由j ：q ( s ) 凼 o 与j ：包o ) a s o 知：存在口( o ，万1 ) ，使得： f 口q o ) a s 0 ，- 口6 l ( s ) 西 0 定义k = 伽尸l 甜( f ) o - ，嚣恕l “( f ) o r m l ) c 尸，显见，尺是x 中的正锥，k k 是 y 中的锥记 q ，= ( 甜，v ) r l ( u ，v ) l ，弛，= ，d 】，| | l ( 材，v ) l l ：n 边值问题( 2 1 1 ) 有正解等价于下列积分方程组 陋) = j ：g o ，s ) 口( s ，w ( s ) ) ( 甜( s ) ，( j ) ) 凼， ，( f ) = j ：g ( f ，s ) 6 0 ，w o ) ) g ( s ) ，o ) ) 凼， ( 2 2 1 ) 1w ( f ) = j ：g ( f ，s ) 厅o ，”( j ) ，( s ”妇， 有正解，也等价于下列积分方程组： f “( f ) = j ：ig ( t ，d 口( s ，j = g ( j ，力办( x ，甜( 功，v ( 功) a 的厂 ( s ) ，v ( s ”凼， i ，l j f ) = j ：g ( f ，j ) 6 0 ，j ：g o ，二) 办( x ，材( x ) ， ，( x ) ) c 妫g ( “o ) ，1 ，o ”矗， 有正解其中g ( t ，s ) 为格林函数： g o ，s ，= ：二：；：a t s a s r s ： 8 墨三兰二耋兰丝三堕堂垡坌查堡丝望笪塑璧垩堡塑查垄丝 易见 g ( t ，s ) g ( s ，s ) ，0 f ，j 1 ( 2 2 2 ) 为此我们定义积分算子互：e - - - hp ( f = 1 , 2 ) t ：e 专e 如下： p lp i 石( “，1 ，) ( f ) 2j og ( t , s ) 口( f ，j 。g ( j ，x ) h ( x ，”( 功，( x ) ) 出) 厂( “( s ) ，1 ，( s ) ) 凼 五( “，1 ，) ( f ) = j ：g ( f ，s ) 6 ( ，j ：g o ，x ) 办( x ，“( x ) ，1 ，( x ) ) 西c ) g ( 材( s ) ，v ( s ) ) 西r t ( u ，力= ( 互( “， ，) ，疋( 甜，v ) ) 边值问题( 2 1 1 ) 的正解存在性问题就转化为积分算子t ：e 专e 至少存在一个正的不动点 引理2 2 1t ( k k ) ck x k 证明为证明：t ( k 回ck k ，先证正( k x 尺) ck 对任意的似，1 ，) k k ，由不等式( 2 2 2 ) 有 互( 甜，v ) ( f ) = j ：g ( f ，j ) 口( f ，j ：g ( j ，x ) j l l ( x ，砧( x ) ，“x ) ) c ) 厂( ”( s ) ，1 ，( s ) ) c 凼 ，ll j 。g ( s ，s ) a ( s ，丘g ( s ，x ) 办( x ，甜( 功，v ( x ) ) 出) ( s ) ，1 ，( s ) ) 豳 ( 2 2 3 ) 1 另外，对前面给定的口( 0 ，去) 及v ，陋，l 一口】，有 g ( t ，j ) g ( s ，j ) t 占 s t t s 口。 s t g ( t ，s ) a g ( s ，s ) ，口s t 1 一口，0 j 1 ( 7 2 4 ) 于是对任意的f 陋，1 一口】，由( 2 2 4 ) 有 互( “，v x t ) = j ：g ( t ，s ) 口o ，j ：g o ，x ) ( x ，“( x ) ，v ( x ) ) c 1 5 r ) 厂( 材( s ) ，v o ) ) 凼 p lf l a j og ( s ，s ) a ( s ，j og ( s ，x ) h ( x ，材( x ) ，( x ) ) 凼) 厂( 甜( s ) ，v ( s ) ) a s ( 2 2 5 ) 综合( 2 2 3 ) 、( 2 2 5 ) 有 删r a i n 刮互( 材，v ) ( f ) 训互( 州) 0 ， 故有 互( k k ) c k 同理可证t 2 ( k k ) c k 这样就证明了丁( k k ) ck k 9 一j竺j 旦卜 ，、三s 旦h，、 南京信息工程大学硕士学位论文 2 3主要结果 定理2 3 i 如果下列两个条件之一满足： 1 ) ”= g 。= 0 ，f o = g o = 4 - 0 0 ， 2 ) f 。= g 。= 4 - o o ，f o = g o = 0 那么，边值问题( 2 1 1 ) 或积分方程组( 2 2 1 ) 至少有一个正解 证明显然互、瓦及丁均为全连续算子 如果条件1 ) 成立，即 f 。= g 。= 0 ，t o = g o = - 4 - 0 0 由a 2 ( f ) ，b 2 0 ) 在【o ，1 】上的连续性知，存在m 1 ，使得 a 2 ( t ) m ，b 2 ( t ) m 。 所以对任意的( f ，叻【0 , 1 】【0 ，佃) 。都有 a ( t ，w ) a 2 ( ，) m ，b ( t ，叻b 2 p ) m 因为厂。_ o ，那么对s = 击，存在， o ，当p = 仃万，时，都有 f ( u ，力 面p ，如，力 0 ，使得对v ( u ，v ) 曰( ，) ，都有 f ( u ，v ) n ，g ( u ，v ) n 取 r = m ( 2 n4 - ，) ， 对 v ( u ，d 面( 2 尺) = ( 材，) i ”o ，v o ， 2 + ，2 2 r ) 当甜2 + 1 ，2 ，时 撕口2 ( f ) ( 甜，) 】2 + 【6 2 ( f ) g ( 材，v ) 】2 汹 r 2 r 当， 丽2 r 时 4 a 2 ( t ) f ( u , v ) 2 + 【6 2 ( f ) g ( “，v ) 1 2 ps 2 r 由于 g ( j ，s ) = s ( 1 一s ) 丢，s o , 1 1 ， 1 0 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 翌三兰二茎三堡二墅! 至堡坌垄垒型望堕型璺至墅塑堡至堡 所以对任意的( “，叻( k x k ) n 孢矗，于是由( 2 3 1 ) 、( 2 3 2 ) 式，以及口( f ，们a 2 ( f ) ， ( f ，忉【0 , 1 x 【0 ，佃) ，有 墨( ，v ) ( ，) ：f 2g ( t j ：g ( t ，s ) 口( f ，i ：g ( s ，x ) h ( x ，“( 功，1 ，( x ) ) 出) 厂 ( s ) ，v ( s ) ) d s 墨( ，v ) ( ，) = ，s ) 口( f ，lg ( s ， ，“( 功，1 ，( x ) ) ( ) 厂( 材( s ) ， j ：g ( s ，s ) 口2 ( s ) o ) ，o ”凼 三j ：( 口2 ( 呦似( 咖( 呦凼三足 所以对任意的 ，功( k x k ) n 触旯，都有： 忆 ，v ) 8 o ( 2 8 ，) ，当o h p ( 2 3 3 ) 对v ( u ，1 ，) ( k x k ) n 施占， 卿捆| 2 + l | v h 【o ，1 】 2 m a x l u | | | | ，0 ) h a 2 m a x “l l | | v 忪- 。g ( s ，s ) q0 ) d s = h a 2 慨训r g ( 叩) q o ) d s 南京信息工程大学硕士学位论文 取 h = 2 口2r g ( 那) q ( s ) 凼 一口 一 则对v ( u ，1 7 ) ( k x k ) n 铀占，都有 互( 甜，1 ，) ( f ) l i ( u ，v ) l l ，f 【口，l - a 于是对v ( u ，力( k x k ) n 弛j ，都有 忱( 材，v ) l l i i ( u ，v ) 1 1 同理对v ( u ，v ) ( k x k ) n m 艿，都有： 恢( 甜，v ) l l l l ( u ，v ) 1 1 所以对任意的 ，v ) ( k k ) n 讹j ，都有 i i r ( u ，v ) 恤v ) 1 由引理1 4 1 ，丁在( k k ) r l ( q 月q 占) 中至少有一个不动点，即边值问题( 2 1 1 ) 至少 有一个正解 如果条件2 ) 成立，即 f 。= g 。= - t o o ，厶= g o = 0 由f 。= g 。= 佃，对任意的日 0 ，存在， 0 ，当p = 砧2 + v 2 r 时，都有 f ( u ，1 ，) l i p ，g ，v ) l i p ( 2 3 4 ) 取足：一2 r ，对v ，) ( k k ) na q r ，当f 陋，l 一口】时 口 厅丽口而疡m 舣 l l 帅i il i = 4 5 口i ( u ，v ) i i ， f h 于a ( t ，w ) a l ( f ) ，( f ，叻【0 , 1 x 【o ，佃) ，所以对v f 陋，1 一t ；t 】，由( 2 2 4 ) 、( 2 3 4 ) 式且类似于条件1 ) 的证明有： i 巧( ”，1 ，) ( f ) = j ：g ( f ，s ) 口o ，j ：g ( j ，x ) 办( x ，”( x ) ，1 ，( x ) ) 西r ) 厂( ”( j ) ，v ( s ) ) d ， t 2 h a 2 肌1 ，) | if 口g ( 踟) qo ) a s 取 肚可蒜 u_u i j j ，“i jj 附 则对v ( u ，1 ，) ( k x k ) n m 尺，都有 1 2 第二章一类二三维二阶常微分方程组边值问题正解的存在性 互( 甜，d ( f ) 0 ( 甜，1 ，川，【口，1 一口】， 类似于条件1 ) 的证明有：对任意的( ，v ) ( kxk ) no ：讹足，都有 0 r ( u ，侧 肌v ) 1 1 另外，由f o = g o = 0 ，对任意的占 0 ，存在8 0 ，当0 p = “2 + v 2 2 8 时，有 f ( u ，力 s p ，g ( u ，) 印，c 3 5 ) 对v ( u ， ，) ( k k ) n m 占，有 厅丽厢_ x 2 m a x 1 悱删) = 压慨v ) l l 2 万 所以，由a ( t ，w ) 6 2 u ) ，( ，忉【0 ，1 j 【o ，佃) ，及( 2 3 5 ) 式且类似于条件1 ) 的证 明有 互( 材，v x t ) = j ：g ( ，j ) 口( ，j ：g ( s ，对 ( x ，“( x ) ，v ( x ) ) 西哆( 甜( s ) ，( s ) ) c 妇 厄慨v ) | | j ：g ( 蹦) 口2 0 ) a s 取 1 占2 2j ：g ( 蹦) 口2 0 ) a s i 一， 则对v ( u ，1 ，) ( x k ) n 2 占，都有 忆( ，v ) i i 忖，训 同样对v ( u ，) ( k k ) n a n 占，也有 忆( 材，v ) i | l 恤v ) i | 所以，对v ( u ，1 ，) ( k x k ) n o a q 占，都有 t ( u ，训 忱v ) i i 由引理1 4 1 ，丁在( k k ) n ( 孬月q 占) 中至少有一个不动点，即边值问题( 2 1 1 ) 至少 有一个正解 2 4相关例子 例1 考虑下列二阶微分方程组边值问题 南京信息工程大学硕士学位论文 令 则 = 眦l + f + 专) ( u 2 + v 2 ) ， 一1 ，= + v ) 2 a r c t a n l + f 2 + s i n w 一w - = l + t 2 + ( 材+ 1 ，2 ) ， 甜( o ) = ( 1 ) = ，( 0 ) = ，( 1 ) = w ( 0 ) = 似1 ) = 0 a ( t ，w ) = l n ( 1 + f + f ( u ，= 材2 + 1 ，2 ， 1 + w 2 ) ，b ( t ，忉= a r c t a n g ( u ，1 ，) = + 1 ，) 2 ， h ( t ，州) ：l + t 2 + + v 2 ) e t , p ：厢 厂：l i m 善：l i m 厢：佃。 p h 。“2 + v 2 p _ ” 旷= 牌筹= 牌c 为+ 南灿 伽p l i 枷l l l - 肌1 2 + v v 2 尹= 翱厮= 。 = 脚( 面u 2 + i v 2 + 2 u v 1 + t 2 + s i n w z z 埘 = i l r n t - - = = = = 。 户斗o 甜2 + v 2 l i i i l 兰竺：o p - - o4 2 u v 满足定理2 3 1 中的条件2 ) ，所以该二阶微分方程组边值问题至少存在一个正解 倒2 考虑下列二阶微分方程组边值问题 令 = l n ( 2 + 专) ( 石+ 石) ， 一，= i 二一( a r c t a n + ， 2 + s i n w 7 一w 。= f 2 ( 砧+ v ) p ”， 甜( o ) = ( 1 ) = v ( o ) = v ( 1 ) = w ( o ) = w o ) = 0 砸，叻= l l l ( 2 + 专) ，6 ( f ，w ) = 1 4 1 + f 2 + s i n w ，f ( u ，1 ，) = 石+ 矗， 等 烛 = 第二章一类三维二阶常微分方程组边值问题正解的存在性 g ( u ，v ) = a r c t a n 甜+ ，h ( t ，甜，v ) = t 2 ( ”+ v ) e u v , p = “2 + 1 ，2 则f 一：l i m 霄4 u + 4 v ：l i m ( 坐+ 坐) ：0 rr rr 尸。“+ ，一pp 弘牌罨警牌蔫一。 类似以上方法易证： f o = g o = 4 - 0 0 满足定理2 3 1 中的条件1 ) ，所以该二阶微分方程组边值问题至少存在一个正解 1 5 南京信息工程大学硕士学位论文 第三章一类奇异边值问题三解的存在性 3 1 引言 鉴于p - l a p l a e i a n 边值问题广泛的数学与物理应用背景，近年来对它的研究非常的活 跃2 i 1 2 9 - 3 s 1 ，例如文【8 】利用范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理研究了一类具p - l a p l a c i a n 算子微分方程的三点边值问题 i ( 缈卢( x o ) ) ) f ( t ，x ( f ) ) ，0 f 1 ， 【x ( o ) = a x ( 1 ) ，x ( 孝) = k ， 单调正解的存在性 对于具p - l a p l a e i a n 算子型奇异边值问题也有很多的结果d o - l l , 2 9 - 3 0 , 3 9 例如文1 2 9 1 应用不 动点指数理论讨论了一类具p - l a p l a e i a n 算子三点奇异边值问题 f ( 6 ( u ) ) + 口( f ) ( f ，甜( f ) ) = o ，0 f 1 ， i ”( o ) = “( 1 ) = “( 刁) ， 至少存在一个或两个对称正解的情形研究这类方程的一般方法有k r a s n o s e l s k i i 不动点定 理、拓扑度理论、s c h a u d e r 不动点理论、上下解方法、打靶法等，但利用这些方法得到的 大多是一个解或两个解的情况，而关于三个解的结果并不多见 文【3 9 1 利用l e g g e t t - w i l l i a m s 定理研究了一维奇异p - l a p l a e i a n 方程 l ( ( “) ) + 口( f ) ( “) = 0 ，0 ， l ，口( f ) 在f = o ，1 处奇异， f c ( 【0 ，) ，【0 ，) ) 文m 利用锥上的不动点定理建立了一维p - l a p l a e i a n 方程 l ( y ，( 材，) ) + 口o ) 厂( ”) = o ，0 r 1 ；口，b 0 上面讨论的是特殊情况，也就是f ( t ，甜) 能够分解为口( f ) 与连续函数厂 ) 乘积的形式， 对于一般情况也得到了一些成果，文犯1 运用l e 戌黟s c h 绷d e r 非线性抉择及上下解方法，通过 构造上解及下解的迭代序列建立了方程 l ( o ) ) 7 + g ( f ，y ) = o ，0 t 1 ， 【j ，( o ) = y ( 1 ) = 0 ， 1 6 兰三兰二耋查墨望篁塑壑三笙塑查垄丝 两个正解的存在定理 受文2 3 事4 0 1 的启发，本章利用l e g g e t t - w i l l i a m s 定理讨论了边值问题 j ( 纬( “7 ) ) + 厂= o ，o l ；f c ( ( o ，1 ) x 0 ，) ，【o ，) ) ；o a ，b + 较文【2 】而言，本章所研究的方程的边值条件更为一般； 较文 3 9 - 4 0 而言，f ( t ，砧) 不能够分解为口( f ) 与连续函数 ) 乘积的形式，因此本章 的研究具有一般性 3 2预备知识 设e 是实b a n a c h 空间显然，c 【o ，l 】在范数i = s u p 卜( f ) lio t 1 - f o 提一个 b a n a c h 空间，且设尸是e 中的一个锥，令 只= & 尸川叫l ，皿= 扛尸l i i 工8 = ，x 耷= 缸尸x l i ， 考虑p 上一个非负连续凹泛函口 ) ( 见定义1 4 3 ) ，即口：p 一【0 ，) 连续，并且满足 a ( t x + ( 1 - t ) y ) t a ( x ) + ( 1 一t ) a ( y ) ，v x ，y p ，0 f 1 以下用p ( a ，口，6 ) 表示集合扛ix p ，a 口( x ) ，0 x l i 6 ，其中0 a b ，易知p ( a ，a ，6 ) 是有界凸闭集 3 3主要结论 m ( 3 1 1 ) 式司得： ( ( 材) ) = _ 厂( f ，“) 两边从1 到t 积分得： r ( 纬( ( s ) ) ) 伍= 一r 厂( s ，”( s ) ) 凼 即 “7 ( f ) 一( 1 ) = 一( r 厂o