北京博飞华侨港澳台联招数学空间平面与直线方程.pdf

专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心1 北京博飞华侨港澳台联考培训中心北京博飞华侨港澳台联考培训中心 港澳台联考必考知识点港澳台联考必考知识点 空间平面及直线方程空间平面及直线方程 一、空间向量的直角坐标运算一、空间向量的直角坐标运算 1. 设a ? 123 (,)a a a，b ? 123 ( ,)b b b 则 (1) a ? b ? 112233 (,)ab ab ab+； (2) a ? b ? 112233 (,)ab ab ab； (3)a ? 123 (,)aaa (r)； (4) a ? b ? 1 1223 3 aba ba b+； 2.设 a 111 ( ,)x y z，b 222 (,)xyz，则aboboa= ? ? ? ? = 212121 (,)xx yy zz. 3空间的线线平行或垂直 设 111 ( ,)ax y z= ? ， 222 (,)bxyz= ? ，则 a b ? ?(0)ab b= ? ? 12 12 12 xx yy zz = = = ； ab ? 0a b= ? ? 12121 2 0 x xy yz z+=. 4. 空间两点间的距离公式 若 a 111 ( ,)x y z，b 222 (,)xyz，则 ,a b d=|abab ab= ? ? ? ? ? 222 212121 ()()()xxyyzz=+. 5.夹角公式 设a ? 123 (,)a a a，b ? 123 ( ,)b b b，则 1 1223 3 222222 123123 cos, aba ba b a b aaabbb + = + ? ? . 推论 2222222 1 1223 3123123 ()()()aba ba baaabbb+，此即三维柯西不等式. 6.向量的混合积（叉乘）a b 例1. 已知三点()1,1,1m、()2,2,1a和()2,1,2b，求amb 例2. 设点()1,2,3a和()2, 1,4b，求线段ab的垂直平分面的方程 例3. 向量a, b, c具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a, b的坐标分别为) 1 , 1 , 0()0 , 1 , 1 (和, 求向量c的坐标 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心2 二、空间平面方程二、空间平面方程 1.点法式方程点法式方程 如果一个非零向量垂直于一个平面，这个向量就叫该平面的法向量。 显然：一个平面有无穷多个法向量；平面内的任意向量均与该平面的法向量垂直。 过空间中一点只能做一个平面垂直于已知的向量，故平面由点和法向量唯一确定。 已知推导已知推导:过过),( 0000 zyxm 法线向量法线向量cban,= 平面方程平面方程 ( n非零向量非零向量) : 0)()()( 000 =+zzcyybxxa 显然含显然含 0 m 说明:满足(1)(2) 例如:过点(2,-3,0) 且以3 , 2, 1= n为法线向量的平面方程 083203)3(2)2(=+=+zyxzyx 推广: 00)()()( 000 =+=+dczbyaxzzcyybxxa 2.一般方程一般方程 : 0=+dczbyax (a,b,c不同时为零) 法线向量cban,= 3.特殊平面方程特殊平面方程 (1) 0=+czbyax 过原点 (2)0=+bbyax 等 柱面z轴 0 ,ban = (3) 0=+dcz 即 0 zz =等平行于坐标平面的平面或坐标平面,亦可视为柱面 4.截矩式方程截矩式方程 1=+ c z b y a x 说明:互化 例1:求通过z轴及过点m(3,1,-2)的平面方程. 一般式:0=+dczbyax (0,0,0) (0,0,1) )0(=+ byax (3,1,-2) 点法式: 0 , 3, 12, 1 , 31 , 0 , 0= n 03= yx 例2:过点p(1,0,3),q(3,1,-1), 且平行于y轴的平面方程 点法式:qppqn或+= 0 , 1 , 0 052=+ yx 一般式: 00 , 1 , 0,=cba + p,q, (点到即可) 例3. 求过三点() () ()2, 1,4 ,1,3, 2 , 0,2,3的平面方程。149150 xyz= 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心3 5、两平面的夹角：设有两平面、两平面的夹角：设有两平面 1 和和 2 ： , 0: 11111 =+dzcybxa , 1111 cban= ? 则两平面的夹角 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 | cos cbacba ccbbaa + + = 从两向量垂直和平行的充要条件，即可推出： （1） 21 的充要条件是0 212121 =+ccbbaa； （2） 21/ 的充要条件是 . 2 1 2 1 2 1 c c b b a a = （3） 21 与重合的充要条件是. 2 1 2 1 2 1 2 1 d d c c b b a a = 6、点到平面的距离、点到平面的距离：. | 222 000 cba dczbyax d + + = 例题选讲 例题选讲 平面的点法式方程 例 平面的点法式方程 例 1 (e01) 求过点)3, 4 , 2(m且与平面5532=+zyx平行的平面方程. 解解 因为所求平面和已知平面平行，而已知平面的法向量为.5, 3 , 2 1 =n ? 设所求平面的法 向量为, n ? 则,/ 1 nn ? 故可取, 1 nn ? =于是，所求平面方程为 , 0)3(5)4(3)2(2=+zyx即.31532=+zyx 例例 2 (e02) 求过点)2, 3 , 1(),4 , 1, 2(ba和)3 , 2 , 0(c的平面方程. 解 解 ,6, 4 , 3= ab,1, 3 , 2= ac取 =acabn ? 132 643 = kji ? ,914kji ? += 所求平面方程为, 0)4() 1(9)2(14=+zyx 化简得. 015914=+zyx 平面的一般方程 例 平面的一般方程 例 3 (e03) 求通过x轴和点) 1, 3, 4(的平面方程. 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心4 解 解 设所求平面的一般方程为, 0=+dczbyax因为所求平面通过x轴， 且法向量垂直于 x轴,于是法向量在x轴上的投影为零，即, 0=a 又平面通过原点，所以, 0=d从而方程成为, 0=+czby (1) 又因平面过点),1, 3, 4(因此有, 03=cb即.3bc= 以此代入当成(1)，再除以),0(bb便得到 所求方程为. 03=zy 例例 4 (e04) 设平面过原点及点)2 , 3, 6( ，且与平面824=+zyx垂直，求此平面方程. 解解 设 平 面 为, 0=+dczbyax由 平 面 过 原 点 知, 0=d由 平 面 过 点)2 , 3, 6(知 . 0236=+cba ,2 , 1, 4,cba 024=+cba, 3 2 cba= 所求平面方程为. 0322=+zyx 平面的截距式方程 例 平面的截距式方程 例 5 (e05) 求平行于平面0566=+zyx而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个 单位的平面方程. 解解 设平面方程为, 1=+ c z b y a x , 1=v. 1 2 1 3 1 =abc 由所求平面与已知平面平行得, 6 1 1 1 6 1 cba =向量平行的充要条件 令t cba = 6 11 6 1 . 6 1 , 1 , 6 1 t c t b t a= 由 ttt6 11 6 1 6 1 1=. 6 1 =t . 1, 6, 1=cba 所求平面方程为, 1 161 =+ zyx 即. 666=+zyx 两平面的夹角 例 两平面的夹角 例 6 (e06) 研究以下各组里两平面的位置关系: (1) , 012: 1 =+zyx ; 013: 2 =+zy (2) , 012: 1 =+zyx . 01224: 2 =+zyx 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心5 解解 ) 1 (,1, 2 , 1 1 =n ? 3 , 1 , 0 2= n ? 且cos 22222 31) 1(2) 1( |311201| + + =, 60 1 = 故两平面相交，夹角为. 60 1 arccos= )2(,1 , 1, 2 1 =n ? 2, 2 , 4 2 =n ? 且, 2 1 2 1 4 2 = = 又,)0 , 1 , 1 ( 1 m ,)0 , 1 , 1 ( 2 m故两平面平行但不重合. 例例 7 求平面ii, 使其满足: (1) 过z轴; (2) ii与平面052=+zyx夹角为 3 . 解解 因为平面过z轴，可设其方程为. 0=+ byax又因为与已知平面夹角为. 3 故 3 cos 222222 )5(120 |0)5(2| + + = ba ba 2 1 =ab3=或ab 3 1 = 03:=+yx或. 03:=yx 例例 8 (e07) 求经过两点)9 , 2, 3( 1 m和)4, 0 , 6( 2 m且与平面0842=+zyx垂直的平面 的方程. 解解 设所求的平面方程为. 0=+dczbyax由于点 1 m和 2 m在平面上，故 , 0923=+dcba. 046=+dca 又由于所求平面与平面0842=+zyx垂直,由两平面垂直条件有. 042=+cba 从上面三个方程中解出,cba、得 , 2/da =,db=, 2/dc= 代入所设方程，并约去因子, 2/d得所求的平面方程. 022=+zyx 点到平面的距离 例 点到平面的距离 例 9 (e08) 求两平行平面 1 ：052210=+zyx和 2 ：x5 01=+zy之间的距离d. 解解 可在平面 2 上任取一点，该点到平面 1 的距离即为这两平行平面间的距离. 为此，在平面 2 上取点),0 , 1 , 0(则 d 222 )2(210 |50)2(12010| + + = 108 3 =. 6 3 = 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心6 练习： 1. 求通过x轴和点()4, 3, 1的平面方程。30yz= 2. 求两平面260 xyz+=和250 xyz+=的夹角。 3 3. 一平面通过两点()1,1,1和()0,1, 1，且垂直与平面0 xyz+=，求该平面的方程。 20 xyz= 4. 求点()2,1,1到平面10 xyz+ =的距离。 3 5. 求过点()3,0, 1且与平面375120 xyz+=平行的平面方程。37540 xyz+= 6. 求过a()2,9, 6，且与连接坐标原点o及点a的线段oa垂直的平面方程。 2961210 xyz+= 7. 求过() () ()1,1, 1 ,2, 2,2 , 1, 1,2三点的平面方程。320 xyz= 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心7 8. 一平面过点()1,0, 1，且平行于向量()()2,1,11, 1,0和，求该平面方程。340 xyz+= 9. 求三平面31,20,223xyzxyzxyz+= +=的交点。()1, 1,3 10. 求平行于x轴且通过两点()()4,0, 25,1,7和的平面方程。920yz= 11.若平面02 =+zkyx与平面032=+zyx的夹角为 4 ,求?=k. 12.求通过点)3 , 2 , 1 (),1, 1, 2(qp且垂直于平面06532=+zyx的平面方程. 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心8 三、空间直线及其方程三、空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程： =+ =+ . 0 , 0 2222 1111 dzcybxa dzcybxa 直线可以看做两个平面相交得到的，故 =+ =+ 0 0 2222 1111 dzcybxa dzcybxa 如: = = 0 0 y x oz轴 二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程： p zz n yy m xx 000 = = 1.点向式方程(对称式方程) 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量。 显然：过空间一点只能做一条直线和已知向量，故直线由点和方向向量唯一确定。 推导 点),( 0000 zyxm 方向向量, ,sm n p = 000 xxyyzz mnp = 2.两点式方程 点),( 1111 zyxm ),( 2222 zyxm 12 1 12 1 12 1 zz zz yy yy xx xx = = 4.参数式方程 0 0 0 xxmt yynt zzpt =+ =+ =+ 例：求直线 234 112 xyz =与平面260 xyz+=的交点。 说明:一般方程化其他 例1:把直线的一般式方程 =+ =+ 0432 01 zyx zyx 化为点向式及参数式方程 同 426 p 如今0=y 得点: (1,0,-2); 向: 3, 1, 43 , 1, 21 , 1 , 1= s 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心9 例 求直线 10, 2340 xyz xyz + = += 的方向向量，及其对称式方程。 12 413 xyz+ = 三、两直线的夹角 三、两直线的夹角 设, 1111 pnms = ? ，, 2222 pnms = ? 分别是直线 1 l， 2 l的方向向量，则 1 l与 2 l的夹角 应是),( 21 ss ? 和=),( 21 ss ? ),( 21 ss ? 两者中的锐角. 因此| ),cos(|cos 21 ss ? =. 仿照对于平面夹 角的讨论可以得到下列结果. （1） 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 21 21 | | | cos pnmpnm ppnnmm ss ss + + = = ? ? ； （2） 21 ll 的充要条件是0 212121 =+ppnnmm； （3） 21/l l的充要条件是. 2 1 2 1 2 1 p p n n m m = 四、直线与平面的夹角 四、直线与平面的夹角 （1）设直线的方向向量为,pnms = ? ，平面的法向量,cban = ? 直线与平面的夹 角为，则 | ),cos(|sinns ? = 222222 | pnmcba cpbnam + + =； （2）l的充要条件是; p c n b m a = （3）/l的充要条件是. 0=+cpbnam 例：求过点()1, 2,4且与平面2340 xyz+=垂直的直线的方程。 例：求与直线 43, 251 xz xyz = = 平行，且过点()3,2,5的直线的方程。 325 431 xyz+ = 五、点到线的距离等问题五、点到线的距离等问题先求垂线或垂面再求垂足最后求目标 例 求点()1,2,0在平面210 xyz+ =的投影（垂足） 。 5 2 2 , 3 3 3 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心10 例：求点()3, 1,2到直线 10, 240 xyz xyz + = += 的距离。 3 2 2 六、平面束 六、平面束 通过空间一直线可作无穷多个平面, 通过同一直线的所有平面构成一个平面束. 设空间直线的一般方程为 =+ =+ . 0 , 0 2222 1111 dzcybxa dzcybxa 则方程 , 0)()( 22221111 =+dzcybxadzcybxa 称为过直线l的平面束方程, 其中为参数. 注注: 上述平面束包含了除平面 0 2222 =+dzcybxa 之外的过直线l的所有平面. 例题选讲 空间直线的对称式方程与参数方程 例 例题选讲 空间直线的对称式方程与参数方程 例 1 求过点)5 , 2 , 3(且与两个平面152=zyx和34 = zx的交线平行的直线的方程. 解解 先求过点)5 , 2 , 3(且与已知平面平行的平面 , 0)5(5)2()3(2 1 =+zyx: : , 0)5(4)3( 2 =+zx: : 即 , 03352 1 =+zyx: : .:.:0234 2 =+zx 所求直线的一般方程为: . . =+ =+ 0234 03352 zx zyx 例例 2 (e01) 设一直线过点),4 , 3, 2(a且与y轴垂直相交, 求其方程. 解解 因为直线和y轴垂直相交,所以交点为),0 , 3, 0( b, 4, 0, 2=abs ? ? 所求直线方程 . . 4 4 0 3 2 2 = + = zyx 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心11 例例 3 (e02) 用对称式方程及参数方程表示直线 . 0432 01 =+ =+ zyx zyx 解 解 在直线上任取一点),( 000 zyx例如, 取1 0 =x = =+ 063 02 00 00 zy zy , 0 0= y, 2 0 =z 得点坐标),2, 0 , 1 (因所求直线与两平面的法向量都垂直, 可取 21 nns ? =,3, 1, 4 312 111= = kji ? ? 对称式方程 , 3 2 1 0 4 1 + = = zyx 参数方程 . . = = += tz ty tx 32 41 两直线的夹角 例 两直线的夹角 例 4 (e03) 求过点)5 , 2 , 3(且与两平面34 = zx和zyx52 1=的交线平行于的直线方程. 解 解 设所求直线的方向向量为,pnms = ? 根据题意知, 21 nsns ? 取,1, 3, 4 512 401 21 = = kji nns ? ? ? 所求直线的方程. . 1 5 3 2 4 3 = = +zyx 例例 5 求过点m(2, 1, 3)且与直线 12 1 3 1 = = +zyx 垂直相交的直线方程. 解 解 先作一过点m且与已知直线垂直的平面, , 0)3() 1(2)2(3=+zyx 再求已知直线与该平面的交点,n 令t zyx = = = + 12 1 3 1 . 12 13 = += = tz ty tx 代入平面方程得, 7 3 =t交点, 7 3 , 7 13 , 7 2 n取所求直线得方向向量为,mn 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心12 , 7 24 7 6 7 12 3 7 3 1 7 13 2 7 2 = =，mn 所求直线方程为 . 4 3 1 1 2 2 zyx = = 直线与平面的夹角 例 直线与平面的夹角 例 6 (e04) 设直线, 2 1 12 1 : + = = zyx l平面, 32:=+zyx求直线与平面的夹角. 解解 ,12, 1 =n ? ,2 , 1, 2 =s ? 222222 sin pnmcba cpbnam + + = 96 22) 1() 1(21 + =. . 63 7 = 63 7 arcsin=为所求夹角. 平面束 例 平面束 例 7 (e05) 过直线 =+ =+ 02 062 : zyx zyx l作平面, 使它垂直于平面. 02: 1 =+zyx 解 解 设过直线l的平面束)(的方程为, 0)2()62(=+zyxzyx 即. .06) 1()1 (2)1 (=+zyx 现要在上述平面束中找出一个平面图,使它垂直于题设平面, 1 因平面垂直于平面, 1 故平 面的法向量)(n ? 垂直于平面 1 的法向量.1 , 2 , 1 1= n ? 于是, 0)( 1= nn ? 即. .0) 1()1 (4)1 (1=+x 解得, 2=故所求平面方程为.:.:0623=+zyx容易验证，平面02=+zyx不是所求平面. 例例 8 在一切过直线l: =+ =+ 02 04 zyx zyx 的平面中找出平面, 使原点到它的距离最长. 解 解 设通过直线l的平面束方程为, 0)2()4(=+zyxzyx 即. .04)1 ()21 ()1 (=+zyx 要使 222 2 )1 ()21 ()1 ( 16 )( + =d为最大, 即使 3 1 ) 3 2 (6)1 ()21 ()1 ( 2222 +=+为最小，得, 3 2 =故所求平面的方程为 . .012 =+zyx 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心13 易知，原点到平面02=+zyx的距离为. 0故平面02=+zyx非所求平面. 课堂练习 课堂练习 1.在直线方程 p z n y m x + = 6 2 2 4 中, m、n、p各怎样取值时, 直线与坐标面xoy、yoz都平行. 2.求直线 = = 52 72 xz xy 与平面xz3=的夹角和交点. 3:求分别与 (1)直线 3 2 12 1+ = = zyx (2)两平面04=yx与082=zyx的交线 平行且过点(-3,2,5)的直线方程 (1)点(-3,2,5) 向:3 , 1, 2 3 5 1 2 2 3 = = +zyx (2)点(-3,2,5) 向: 0 , 8, 20 , 4, 1 = = = + 3 0 5 1 2 4 3 z zyx 4:求过直线l: 32 1 1 1zyx = + = ,且与平面 1 :0234=+zyx垂直的平面方程. 取点(1,-1,0) 法: 11,11,111 , 3, 43 , 2 , 1= n1, 1 , 1 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心14 练习 1. 求过点()4, 1,3且平行于直线 31 215 xyz =的直线方程。 413 215 xyz+ = 2. 求过两点()3, 2,1和()1,0,2的直线方程。 321 421 xyz+ = 3. 求直线 1, 24 xyz xyz += += 的对称式方程。 111 213 xyz = 4. 求过点()2,0, 3且与直线 2470, 35210 xyz xyz += + = 垂直的平面方程。161411650 xyz= 5. 求直线 53390, 3210 xyz xyz += + = 与直线 22230, 38180 xyz xyz += += 的夹角。90? 6. 证明直线 27, 27 xyz xyz += += 与直线 3638, 20 xyz xyz += = 平行。 7. 求过点()0,2,4且与两平面21xz+=和32yz=平行的直线方程。 24 231 xyz = 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心15 8. 求过点()3,1, 2且通过直线 43 521 xyz+ =的平面方程。8922590 xyz= 9. 求直线 30, 0 xyz xyz += = 与10 xyz+ =的夹角。0 10. 求点()1,2,1而两直线 210, 10 xyz xyz + = + = 和 20, 0 xyz xyz += += 平行的平面的方程。0 xyz+= 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心16 空间直线平面方程空间直线平面方程 2012年年 （16）在空间直角坐标系中，经过()1,1,1p和()1,0,2q 且与直线 3220, 350 xy yz += += 平行的平面 方程为_. 2011年年 （16）在空间直角坐标系oxyz中，经过()2,1,1p且与直线 310, 32210 xyz xyz + = + = 垂直的平面方 程为_. 2010年年 如图，在空间直接坐标系oxyz中，平面与xyz、 、轴的正半轴分别交与点abc、 、. 三棱锥oabc的体积等于 9，二面角abco与baco相等，且 1 cos 3 acb=. 求平 面的方程. 2009年年 a b c x z y o a b c x z y o 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心17 （17）在空间直角坐标系oxyz中，经过 a(1，0，2)，b (1 , 1 , -1)和c(2 , -1 , 1)三个点的平 面方程为_。 2008年年 （17）在空间直角坐标系oxyz中，经过点(3,1,0)p且与直线 22 24 xy xyz += + =垂直的平面的方 程为_. 2007年年 （15） 在空间直角坐标系oxyz中， 若原点到平面321xyaz+= 的距离是 1 7 ， 则a的值为_. 2006年年 （15）在空间直角坐标系oxyz中，若平面231axyz+= 与平面22xyaz+=互相垂直， 则 a 的值为_. 2005年年 （22） （本题满分 14 分） 在空间直角坐标系oxyz中，给出点 a（1，0，2）和平面:23xyz+= .过点 a 做 平面的垂线l，点 b 是垂足.求直线l的方程和点 b 的坐标. 2004年年 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心18 16在空间直角坐标中，经过坐标原点作直线垂直于平面223xyz+= ，则垂足的坐标 为 . 2003年年 21 （本小题满分 10 分） 在空间直角坐标系中，给定两点()0,1,0a、()1,0,1b和平面：2350 xyz+=.求过 a、 b两点且与垂直的平面之方程. 2002年年 13在空间直角坐标系中，经过点()1, 1,2p且垂直于平面2231xyz+= 的直线之方程 为 . 2001年年 13经过点（1，2，3） ，且与直线 121 232 xyz+ =垂直的平面之方程式为 . 2000年年 22 （本小题满分 10 分） 设直线 612 : 212 xyz l + = 与平面:224xyz+=相交于点p .在平面内， 过点p 作直 线 1 ll ，求点p的坐标和直线 1 l 的方程. 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心19 空间直线平面方程答案空间直线平面方程答案 2010年年 如图，在空间直接坐标系oxyz中，平面与 xyz、 、 轴的正半轴分别交与点abc、 、. 三棱锥oabc的体积等于 9，二面角abco与baco相等，且 1 cos 3 acb=. 求平 面的方程. 解析：设点()()(),0,0 ,0, ,0 ,0,0,a abbcc，(), ,0a b c 则平面的标准方程为1 xyz abc +=，故平面abc法向量 1 1 1 ,n a b c = ? 。 平面bco的法向量为() 1 ,0,0na= ? ，平面aco的法向量为() 2 0, ,0nb= ? ? ， 因为二面角abco与baco相等，所以其余弦值相等， 则 12 12 n nn n n nn n = ? ? ? ? ? ?，可得ab=。 因为(),0,caac= ? ? ，()0, ,cbbc= ? ? ， 所以 1 cos 3 ca cb acb ca cb = ? ? ? ? ? ? ? ?，即 2 2222 1 3 c acbc = + ，解得2ac=。 因为三棱锥oabc的体积等于 9，所以 1 9 6 vabc=，即 3 1 9 3 c =，得3c=。 所以平面的方程为1 33 23 2 xyz += ，或23 2xyz+=。 2009年年 （17）在空间直角坐标系oxyz中，经过 a(1，0，2)，b (1 , 1 , -1)和c(2 , -1 , 1)三个点的平 面方程为_436xyz+=_。 a b c x z y o a b c x z y o 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 北京博飞教育中心20 2008年年 （17）在空间直角坐标系oxyz中，经过点(3,1,0)p且与直线 22 24 xy xyz += + =垂直的平面的方 程为_. 2007年年 （15）在空间直角坐标系oxyz中，若原点到平面