第五章 大物.doc

第五章热力学基础习题选解5-1 非弹性小球互相碰撞时会发热，完全弹性小球相碰撞时则不会发热。我们已经假设理想气体分子的碰撞是完全弹性的，问理想气体是否具有热运动能。解：小球作非弹性碰撞时，小球运动的动能转化为小球内部大量分子无规则运动的能量，或者说产生了热，作弹性碰撞时，小球宏观运动的动能并不转化为分子无规则运动的能量，不产生热。对大量气体分子作杂乱运动的热运动形式而言，分子间碰撞是频繁的，经典统计中引用了两个分子间作弹性碰撞的假设，仍然认为分子的运动是杂乱的，这并没有否定气体分子具有热运动。分子间作完全弹性碰撞假设的涵义是分子无规则运动的能量与原子内部的能量不发生转换。5-2 一质量为50，温度为0的冰块，以5.38ms-1的速度沿水平表面滑动。由于冰块与水平表面摩擦的结果，使冰块滑了一段路程后停了下来。已知冰的溶解热为334.5103J-1，假设没有其它热交换，问冰融化了多少？解：以表示冰的溶解热，并设冰块滑行停止后融化的质量为，冰块吸收的热量为。摩擦力对冰块做负功，根据机械能守恒定律，摩擦力的功应为冰块动能变化量 。由于没有其他能量交换方式，由热力学定律有 kg5-3 如图所示，一系统由a态沿abc到达c态时，吸收了350J的热量，同时对外做126J的功。（1） 如果沿adc进行，则系统做功42J，问这时系统吸收了多少热量？（2） 当系统由c态沿着曲线ca返回a态时，（3） 如果是外界对系统做功84J，问这时系统是吸热还是放热？热量传递是多少？ 题5-3图 解：系统从abc进行过程中，吸收热量J，系统对外做功，Aabc=126J。故c态与a态能量之差为J=224J系统经adc过程之后，系统做功J。系统吸收热量为J系统沿ca曲线由c态返回a态时，系统对外做功Aca=84J，这时系统内能减少J。J，负号表示系统放热。5-4 如图所示，一定量的理想气体由状态a经b到达c(abc为一直线)，求此过程中 （1） 气体对外做的功；（2） 气体内能的增量；（3） 气体吸收的热量。 题5-4图解：（1）气体对外界做功A=(1+3)1.013105(31)10-3J=405.2J（2）由理想气体状态方程 有 由于，状态a和c的温度相同，这一过程中内能增量为零。（3）由热力学第一定律 由，有=405.2J5-5 根据热力学第一定律，一个系统内能的增加等于外界对它做的功加上传递给它的热量。问在活塞和内壁间有摩擦力的情况下，对于封闭于此活塞内的理想气体，应用热力学第一定律时，要注意什么问题？答：当活塞和内壁间有摩擦力时，外界所做的功一部分要抵消摩擦力做的功，剩下的另一部分才对内能的增加有贡献。在处理有摩擦力存在的问题时，要注意外界做的功对内能增加有贡献的应当是外界做的功再减去摩擦力做的功。5-6 如图所示，使一定质量的理想气体的状态按图中的曲线沿着箭头所示的方向发生变化。图线的BC段是以轴和轴为渐进轴的双曲线。 （1） 已知气体在状态A时的温度，求气体在B 、C 、D状态时的温度；（2） 从A到D气体对外做的功共是多少？（3） 将上述过程在图上画出，并标明过程进行的方向。解：（1）由理想气体方程 题5-6（a）图有 K=600KK=600KK=300K（2）从AB过程是等压过程，因而AB气体对外界做功为21.013105(20-10)10-3J=2.026103J由BC的过程是双曲线，其中，BC过程中，气体对外界做功=a=21.0131052010-3J=2.81103J从CD又是等压过程，其中，故 CD过程中，气体对外界做功为=1.01310（2040）J=2.026103J所以，从A到D气体对外界所做的总功J（3）（3）在图上对应A到D的过程如图（b）所示。题5-6（b）图5-7 （1）气体比热的数值可以有无穷多个，为什么？在什么情况下，气体的比热是零？什么情况下气体比热是无穷大？什么情况下是正值？什么情况下是负值？（2）气缸中储有10mol的单原子理想气体，在压缩过程中，外力做功209J，气体温度升高1K，试计算气体内能的增量和所吸收的热量。在此过程中，气体摩尔热容是多少？答：（1）比热的定义，对于一定量的气体从状态1变化到状态2，温度变化有确定的值，但是从状态1过渡到状态2的变化过程可以有无穷多个，每个过程吸热都不同，Q是与过程有关的量。所以对应有无穷多个数值。 对绝热过程所以。 对等温过程所以。若体系的温度增加，并且是吸热过程，或体系的温度降低，并且是放热过程，这种情况。若体系的温度增加，并且放出热量，或体系的温度降低，并且吸收热量，以上情况。 （2）已知mol,J,K。对于单原子气体定容摩尔热容量=8.31Jmol-1K-1=12.5Jmol-1K-1J=125JJ=84J气体摩尔热容 Jmol-1K-15-8 摩尔数相同的三种气体He,N2,CO2：均可看作理想气体。它们从相同的初态出发，都经过等体吸热过程，若吸收的热量相同，试问：（1） 温度的升高是否相等？（2） 压强的升高是否相等？解：（1）等容过程 所以 He,N2, 以及CO2分别是单原子分子气体，双原子分子气体，；多原子分子气体，。它们的摩尔数相同，吸热相同，它们的温度升高依次是He最多，N2次之，CO2最少。（2）等容过程=常数，He,N2以及CO2的压强增加以He的最多，N2次之，CO2最少。5-9 1mol的氢气，在压强为1.013105Pa，温度为20时，其体积为V0，今使其经以下两种过程到达同一状态：（1） 先保持体积不变，加热使其温度升高到80 ，然后令其作等温膨胀，体积变为原体积的两倍；（2） 先使其等温膨胀到原体积的两倍，然后保持其体积不变，加热到80。试分别计算上述两种过程中气体吸收的热量、气体对外所作的功和气体内能的增量，并做出图。解：（1）氢气的定容摩尔热量为.在ab等容过程中气体不做功，内能增量8.3160J=1.25103J在bc等温过程中内能不变，氢气体积从V0增加到V，氢气对外做功A1=8.31253ln2J=2.03103J在abc过程中气体吸收的热量=(1.25103)J+(2.03103)J=3.28103J对外所做的功 内能的增量 （2）在ad等温过程中内能不变，气体对外做功的 =8.31293ln2J=1.69103J在dc等容吸热过程中气体不做功，内能增量为 J在adc过程中气体吸收的热量=(1.69103)J+(1.25103)J=2.94103J对外所做的功 内能的增量 题5-9图 5-10 1mol的单原子理想气体从300K加热至350K，（1）体积没有变化；（2）压强保持不变，问在这两个过程中各吸收了多少热量？增加了多少内能？气体对外做了多少功？解：单个单原子分子的平均动能为，温度为T时，一摩尔单原子理想气体的内能为当温度从T1=300K升至T2=350K时，内能变化=8.31(350300)J=623J（1）当体积不变时，系统对外界做功A=0，气体吸收热量 J（2）当压强不变时，气体对外界做功=8.31(350-300)J=416J气体吸收热量 =(623+416)J=1039J5-11 解：由 得当气体从体积膨胀到体积时，该气体所作的功为 5-12 解：此氮气为理想气体，则由理想气体状态方程代入，可求得初始时系统温度同理终止时系统温度在此过程中，气体对外作功 气体内能的增量为 系统吸收的热量为 5-13 证明多方过程中理想气体的摩尔热容量为Cm=Cvm()说明多方指数n=0,1,和时各是什么过程及各过程中的摩尔热容量值。解：气体多方过程的状态方程可表示为 pVn=常数用Cm代表多方过程中摩尔热容量，由定义可知，当系统温度变化dT时，系统从外界吸收热量为 dQ=vCmdTv为气体的摩尔数。同样，当温度变化时，理想气体的内能改为 dE=vCvmdT其Cvm为摩尔定容比热。由热力学第一定律 dE=dQ-pdV有 vCvmdT= vCmdT-pdV 再由理想气体状态方程微分有pV=vRTpdV+Vdp=vRdT 再将多方过程状态方程 pVn=C两边取对数，再微分，可得 将、式中消去dp,dV,和dT，从而有Cm=再由Cp.mCv.m=R有 Cm=Cv.m=Cv.m其中 由 pVn=常数当n=0时，p=常数，这是等压过程。这时 Cm=CV.m=Cp.m当n=1时，pV=常数，是等温过程。这时 等温过程中，温度保持不变，这时气体吸收热量全部转化为气体对外界做的功，而内能保持不变。当n=时，=常数。这时 这是绝热过程。5-14 气缸内有单原子理想气体，若绝热压缩使其容积减半，问气体分子的平均速率变为原平均速率的几倍？若为双原子理想气体又为几倍？解：气体分子平均速率为 对于一定量气体 气体绝热压缩时，体积从V1变为V2温度从T1变到T2，由绝热方程 =所以 对于单原子分子 对双原子分子 5-15 如图所示，一定量的理想气体，当它的体积为V，压强为P，有确定的内能E。 （1） 设它经准静态绝热压缩由a到b，此时p正比于，求此过程中外界所做的功。 题5-15图（2） 气体从a状态到b状态，也可以通过其他不同的过程acb，adb，直线ab到达，分别计算这些过程外界对气体做功和向气体传递的热量。解：（1）设p=C，则p与绝热方程常量，比较得（单原子分子气体）。气体经绝热压缩从，外界对气做的功为A= =J=3600J因为从是绝热压缩的过程，因而内能增加=3600J（2）过程是等压过程，气体对外界做功=1105（18）10J是等容过程，气体对外界做功 所以过程气体对外界做功=700J 外界对气体做功气体吸收热量=（3600-700）J=2900J过程是等容过程，气体对外界做功 是等压过程，气体对外界做功 32105（18）10-3J=22400J所以过程 气体对外界做功 =22400J外界对气体做功 气体吸收热量 =（3600-22400）J=18800J负号表示气体放出热量（3）过程是直线，气体对外界做功 =（32+1）105（18）10-3J=11550J外界对气体做功气体吸收热量 =（360011550）J=7950J同样负号表示这一过程中气体向外界释放热量。5-16（1）理想气体的绝热过程既遵守过程方程，又遵守状态方程，有无矛盾，为什么？（2）同一张图上，表示绝热过程的一条曲线和表示等温过程的另一条曲线能不能有两个交点？为什么？（3） 在同一张图上，两条等温线能不能相交？能否相切？两绝热线能否相交？能否相切？分别说明各结论的物理意义。（4） 分子自由度不同的两种理想气体，从相同的初态开始，作准静态的绝热膨胀过程，它们以后能否再有相同的状态？答：（1）两者无矛盾，过程方程表示绝热过程中和的关系，而在过程中任一状态的间又满足状态方程（2）不可能，否则将意味着从某一初态出发，经绝热膨胀过程能到达另一状态而温度不变。理想气体既不吸热，又不减少内能，而对外界做功， 这是违背热力学第一定律的，但是等温曲线()与绝热曲线()肯定有一个交点。（3）假设两条等温曲线和，如果两条曲线在()点相交或相切，则有，且，这样，两条曲线重合。因而图上两条等温曲线不可能相交。同样两条绝热曲线也不能相交或相切，因为两条绝热曲线与，。如果它们在一点相交或相切，则，这样两条绝热曲线又重合，不再是相交或相切的曲线。（4）不可能。从相同状态()出发的自由度数不等的两种理想气体的绝热方程分别为,且。若再有相同的状态()，则有，与假设矛盾。5-17在标准状态下的0.016氧气，经过一绝热过程对外做功80J，求终态的压强、体积和温度。设氧气为理想气体，且解：氧的摩尔质量为,0.016的氧气摩尔数为mol。标准状态下，K,。由气体状态方程，知此时气体体积m3绝热过程中，因而气体对外界做功，导致内能减少，这时所以 K对于绝热过程=常数=PaPa=9.16104Pa这时m35-18 解：已知热力学系统在作卡诺循环，且 。则系统的循环效率 23为绝热膨胀过程，则有 题5-18图代入数据（）得 12为等温膨胀过程，则从高温热源吸收的热量为由得系统向低温热源放出的热量为气体在此过程中对外作功为 5-19一定量理想气体做卡诺循环，热源温度为=400K，冷却器温度为=280K，设，试求：（1） 及（2） 一循环中气体做出的功（3） 自热源吸收的热量（4） 环效率(ln2=0.69,) 题5-19图 解：（1）设卡诺循环由过程1234组成，12为等温膨胀过程，温度为；23为绝热膨胀过程；34为等温压缩过程，温度为；41为绝热压缩过程。已知：=400K,=10atm,=1010-3m3,=280K,=2010-3m312等温膨胀过程atm=5atm23绝热膨胀过程 m3=48.810-3m3 atm=1.42atm41绝热压缩过程m3=24.510-3m334等温压缩过程atm=2.84atm（2）12等温膨胀过程中系统吸收热量 =101.011051010-3J =7.0103J等温压缩过程中系统放出热量 =1.431.0110548.810-3J =4.9103J气体做功J（3）系统吸收热量=7.0103J（4）循环效率5-20 设一卡诺循环，当热源温度为100和冷却器温度为0时，一个循环中做净功800J，今维持冷却器温度不变，提高热源温度，使净功增加为1600J。若此两循环工作于相同的两绝热线之间，工质设为理想气体，试问：（1） 热源的温度应变为多少度？（2） 此时效率为多大？解：设循环过程从高温热源吸收热量，在低温热源放出热量，由题意，循环过程做功 0J对于卡诺循环，循环效率所以 现在提高高温热源的温度到，在循环过程中从高温热源吸收热量为。因为低温热源温度未改变，且工作物质未变，因而在低温热源释放的热量,仍然是，即有 =。=1600J此时新的热机循环效率为 同样有 由 = K此时循环效率5-21致冷机工作时，其冷藏室中的温度为10，由致冷机放出的水的温度为11，若按理想卡诺循环致冷循环计算，则此致冷机每消耗103J的功，可以从冷藏室中吸出多少热量？解：设致冷机在低温热源吸收热量，在高温热源放出热量，则外界做功 =卡诺致冷机致冷系数为所以 J=1.25104J5-22用空调器使在外面气温为32时，维持室内温度为21。已知漏入室内热量的速率是3.77107Jh-1。所用空调器将需要的最小机械功率是多少？按理想卡诺致冷循环计算。解：设空调器每小时可完成次逆卡诺循环，每完成一次卡诺循环，在高温热源放出热量，在低温热源吸收热量，外界做功。则逆卡诺循环致冷系数 空调器工作功率为 Jh-1 =1.41106Jh-1=1.41106W=390W5-23 如图所示，图中为1mol氧气的一个循环过程，其中AB为等温过程，BC为等压过程，CA为等体过程，已知 Pa， m3m3,试求(1) 此循环过程中气体对外做的功，吸收的热量；(2) 设可将氧气看作双原子刚性理想气体，求此循环的效率。 题5-23图解：一摩尔氧气状态方程为由 m3有 K=12.2K又AB为等温线，因而=12.2K。又则 因BC为等压线，CA为等容线，则有 从AB过程中，气体对外的功 =1.0131051.010-3J=70.2J从BC，气体对外做功J=50.65J而从CA是等容过程，这一过程中气体做功。所以一个循环过程中，气体对外做功J=19.55J气体吸收热量 （2）若将气体看作双原子刚性分子，则 这样从AB过程中，内能不变，气体对外做功。因而这一过程中气体吸收热量，吸收热量等于气体对外界所做的功，即J，从BC等压过程，气体吸收热量为负号表明这一过程中气体释放热量。从CA是等容过程，这时气体吸收热量为 =126.6J循环过程的效率为气体对外界所做的功与从外界吸收热量之比5-24如图所示，ABCD为1mol氧气的一个循环过程，整个过程由两条等压线和两条等体线所组成。已知Pa，m3, m3,Pa，求此循环过程的效率。解：由题知 Pa ， m3 Pa ，m3 Pa ，m3 Pa ， m3氦气可看作单原子分子，这样定容比热 ，定压比热 AB是等压过程，因而 题5-24图 BC是等容过程 同样： 一个循环过程中气体对外界做的总功为而且可以看出因而从外界吸收热量为 热机循环效率为5-25图中所示是一定量理想气体所经历的循环过程，其AB和CD是等压过程，BC和DA为绝热过程，已知B点和C点的温度分别为和，求循环效率。这循环是卡诺循环吗？解：设等压膨胀过程AB，吸热等压压缩过程CD，放热 题5-25图循环效率为AB,CD等压过程有 BC,DA绝热过程有 由、式得 这循环不是卡诺循环。5-26 理想气体的卡诺循环是由热源吸收一定热量而对外做功的，这是否与第二定律矛盾？逆向卡诺循环正是将热量由低温物体传到高温物体，而系统本身又恢复原状的，这是否违背第二定律？答：热力学第二定律的一种表述是：不可能从单一热源吸取热量，使之完全变为有用的功而不产生其它影响。理想气体的卡诺循环在高温热源吸取一定热量，在低温热源要释放一部分热量。做功的部分是在高温热源吸收热量与在低温热源释放的热量之差。在高温热源吸收的热量并未完全转化为功。所以与热力学第二定律不矛盾。热力学第二定律的另外一种表述是：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化。逆向卡诺循环的确是将热量从低温物体传导高温物体，而且系统恢复到原来的状态，系统本身确实也没有变化。但是在循环过程中，外界做了功，外界的影响不能消失。如果外界不改变，外界不对系统做功，系统不可能把热量从低温物体传到高温物体，而本身又会恢复原状态。所以逆卡诺循环不违背热力学第二定律。5-27 试证明任意循环的效率，不可能大于工作于它所经历的最高热源温度与最低热源温度之间的卡诺循环的效率。证明：如图abcda为任一可逆的循环过程，可将整个循环用一系列微小的可逆卡诺循环来代替（如图所示，图中虚线部分为相邻两诺循过程重合部分），当这些小卡诺循环都完成一个循环之后，则图中任意两个相继的小卡诺循环所共有的绝热过程都相互抵消，结果就变为图中实线所示的等温过程和绝热过程相 题5-27图互交替而构成的循环，当每个小卡诺循环无限小而总数趋于无限多时，其极限就趋于循环abcda。因为每一个小卡诺循环的效率都可以写为的形式（其中、分别表示小卡诺循环的高低温热源的温度），如果以分别表示整个循环过程中所经历的最高和最低热源温度，则每一个小卡诺循环的效