（基础数学专业论文）一类分片连续系统的动力学性质.pdf

一类分片连续系统的动力学性质 摘要 本文首先给出了二维环面上抛物型映射可逆的充分必要条件，完善了p a s h w i n 等人的结果；给出了部分可逆抛物型映射的同构分类；并通过参数变 换，将二维环面上抛物型映射化为单参数映射族；在此基础上进一步讨论了有 理抛物型映射以及极限圆映射的周期性，证明极限圆映射的周期点集是稠密 的，且某些有理抛物型映射具有任意周期的周期点；而对于整数抛物型映射， 证明了其拓扑熵为零。 在定义了平面分片抛物型映射后，将二维环面上的抛物型映射展开到平面 上，即为一类特殊的平面分片抛物型映射。本文通过比较极限圆映射分别在环 面拓扑和平面拓扑下的符号熵、复杂度，展现了同一个映射在不同拓扑下这些 量的差异。对于平面分片抛物型映射，讨论了其一般的性质，给出了一类分片 抛物型映射存在全局吸引子的一般条件。 最后，本文介绍了间断动力系统的c o n l e y 指标的概念，并给出了一个一维 分片等距映射的例子，计算了其c o n l e y 指标 关键词：二维环面抛物型映射；平面分片抛物型映射；符号熵；复杂 度：全局吸引子；可逆性 d y n a m i c a lp r o p e r t i e so fac l a s so fp i e c e w i s e c o n t i n u o u ss y s t e m s a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ng i v e sn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r2 - t o r u sp a r a b o l i c m a p st ob ei n v e r t i b l e ，w h i c hi m p r o v e sp a s h w i ne ta l sr e s u l t ，a n dd i s c u s s e st h ei s o m o r - p h i s mb e t w e e ni n v e r t i b l et o r u sp a r a b o l i cm a p s p e r i o d i c i t yo fs o m e2 - t o r u sp a r a b o l i c m a p si si n v e s t i g a t e d ，w h e r ep e r i o d i cp o i n ts e t si nh o r o c y c l i cc a s ea r es h o w n t ob ed e n s e i nt h et o r u st o p o l o g y ，a n ds o m es e m i r a t i o n a lc a s e sa r es h o w nt op o s s e s sp e r i o d i cp o i n t s o fa 1 1p e r i o d s ；f o rt h ei n t e g r a lp a r a b o l i cm a p so nt h et o r u s t h et o p o l o g i c a le n t r o p yi s z e r o f u r t h e r m o r e ，p l a n a rp i e c e w i s ep a r a b o l i cm a p s a r ei n t r o d u c e da n dd i s c u s s e d ，w h e r e 2 - t o r u sp a r a b o l i cm a p sc a nb ev i e w e da ss i m p l ep l a n a rp i e c e w i s ep a r a b o l i cm a p sw i t h g e n e r a lp l a n et o p o l o g y g e n e r a lp r o p e r t i e ss u c ha ss y m b o l i ce n t r o p ya n dc o m p l e x f f yo f p l a n a rp i e c e w i s ep a r a b o l i cm a p sa r ei n v e s t i g a t e d ，a n dt h e i rd i f f e r e n c eu n d e rt h ep l a n e t o p o l o g ya n dt h et o r u st o p o l o g yf o rt h es a m et o r u sp a r a b o l i cm a p si sa l s od i s c u s s e d r h eg e n e r a lc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o r sf o rac l a s so fp l a n a rp i e c e w i s ep a r a b o l i cm a p sa r ep r e s e n t e d f i n a l l y ，t h ec o n c e p t o ft h ec o n l e yi n d e xf o rp i e c e w i s ec o n t i n u o u sm a p si sd e f i n e d ， a n da ne x a m p l ef o rc a l c u l a t i n gt h ec o n l e yi n d e xo fa1 - dp i e c e w i s ei s o m e t r yi sg i v e n k e yw o r d s ： 2 - t o r u sp a r a b o l i cm a p ；p l a n a rp i e c e w i s ep a r a b o l i cm a p ；s y m - b o l i ce n t r o p y ；c o m p l e x i t y ；g l o b a la t t r a c t o r ；i n v e r t i b i l i t y i i 浙江师范大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外。不包含其他人或其他机构已经发表 或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确 的声明并表示了谢意。 作者签名： 林聊 日期：砷年r 月3 ) 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描 等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、 传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后遵守此协议。 名：粹诒新始锄罕眺7 年叫日 4 3 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理条例我的学位论文中 凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明并详细列出有关文 献的名称、作者、年份、刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和版次等内容。论 文中未注明的内容为本人的研究成果。 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。 承诺人( 研究生) ： 指导教师： 赫眵珞 1 1 间断动力系统的研究背景 1 1 1 间断动力系统提出的背景 1 绪论 当动力学方程带有间断系数或迭代映射不连续时，所描述的动力系统称为 非光滑或问断动力系统，这是动力系统中一个方兴未艾的研究领域 二十世纪八九十年代，电子工程中的s i g m a d e l t a 调幅器模型以及数字滤波 模型的混沌性质引起了不少学者的关注，而这两个模型实际上都是非线性的不 连续的离散动力系统对这些不连续离散系统的研究进一步促进了问断动力系统 的发展 1 1 1 1s i g m a - d e l t a 模型 s i g m a d e l t a 模型最初是由0 f e e l y 和d f i t z g e r a l d 在文献【l 】中提出来的其 中，带通( b a n d p a s s ) s i g m a d e l t a 模型如图1 1 所示，其最原始的模型是下面映射 的迭代： “+ 2 = 2 rc o s 口“+ 1 一r 2 u 礼+ 2 rc o so ( z 竹+ 1 8 9 n w n + 1 ) 一r 2 ( z n s 9 n “) 图1 1 s i g m a d e l t a 调节器的个单元 模型的反馈圈中包含一个滤波器，其转换函数为 肫) = 熹， 这里参数口是带通的中心频率 1 1 绪论 哼l 一砍链而：m e m o 的拆意冈，其中坞= ，( a ) u ，( b ) u ，( c ) t j ，( d ) ，即f o 在m o 中几乎啦逆 当系统没有额外的输入( z n 三0 ) 且参数r = 1 时，通过适当的线性变换， 上述迭代模型可简化为 2 】 其中 + ，= 办( ) = 冗( p ) + 6 ( k ) 一鼍饴 ( 1 1 ) 瓦= 【z 。y ni t , 6 ( ) = s g n ( x ns i n 0 + y n c o s 0 ) 一2 c o s 0s g n y ， 而r ( o ) 为2 2 矩阵，表示顺时针旋转口角度此时厂也可以写成 f o ( z ) ：确_ m o ，f o ( z ) = e x p ( - i o ) z + w 6 ( z ) 这里w = 一毒扬，u = e x p ( - i o ) ，m 0 = au bucud ( 见图1 2 ) ， 。配，= 1 - 2 c o s 0 , 曛 一2 一 1 绪论 1 1 1 2 数字滤波模型 在处理任意阶数字滤波器时，二阶数字滤波器是最基本的，它的一种 简单的实现模型如图1 3 所示，其中累加器函数( a c c u m u l a t o rf u n c t i o n ) ：为周期函 数，( z + 2 ) = ，( z ) ，且 ，( z ) = z ，z 【- - 1 ，1 ) 为简化分析，通常考虑不出现输入项，此时该滤波器可由如下的非线性差分方 程描述 ( x z 。l 。( k 七+ + 1 1 ，) = ( ，( 6 z 。丢于娑：z 。忌，) c ，2 ， 其线性方程为 ( 三： 乏：；) = ( ，。6 z ，。嚣笙乙z 2 。后，) = 0 。1 ) ( 三： 竺；) 当参数a ，b 在图1 3 的右图j 角形内时，平衡点( o ，0 ) 在李亚普诺夫意义下 是渐进稳定的；而在三角形边界b = - 1 ，i a l 2 时，系 统( 1 2 ) 是混沌的，且在i a i 2 ，a z 时，此系统是一个环面上的自同构，与 b e r n o u l l i 自转移同构；在l a i 2 时，此系统不是混沌的对于b = - 1 ，i a l 2 时，例外点集( 见定义1 7 ) 的勒贝格测度在【9 】中进行了讨论。 文【5 ，6 ，8 ，1 0 - 1 2 等引入符号动力系统来研究二阶数字滤波器的性状，给 出了符号序列是可允许的条件，并且证明了当b = - i ，i a i 0 s 1 时，对任意的x c ，i t 竹( z ) l _ 。 ( a 3 ) 0 8 1 8 0 时，t i b ( 8 b $ 1 ) 是一个旋转，而对任意的z c b ( s l ，8 1 ) ，i p ( z ) i _ ( a 4 ) 0 8 0 s 1 时，对任意的z c ，z 的轨道都将进入右半平面 ( b ) 8 0 r ，对8 l 进行扰动： 一 ( b 1 ) 局部出现8 。吸引子，即对任意的8 ；的邻域，存在8 1 p l 使得： 1 ) 在尸1 处，以8 1 为中心的分片旋转t 具有周期f 的点8 2 ，8 2 的轨 道首先沿着d l 旋转，再沿着d o 旋转。含点s 2 的胞腔是个圆盘 d 2 = b ( s 2 ，8 2 ) ，且与d o 相切 2 ) 局部映射弘 弘z = 凳：茎著 限制在一个包含d oud 1 的一个邻域m 上，是一个分别以s o ，8 2 为中心的8 吸引子映射。 从而d ou 晚u u 一1 ( d 2 ) 也是一个r 的吸引子 ( b 2 ) 可扰动出无穷多个卫星圆盘 对8 1 r + 进行小扰动，可扰动出具有无穷多个周期点的新系统，且 1 绪论 每个周期点包含在以该周期点为中心的圆盘上，并且这种扰动可以任 意小 ( b 3 ) 存在排斥系统 设8 0 瓞一，8 1 尸1 ，为射线8 0 8 1 与虚轴的夹角，分片旋转的两个 旋转角度分别为o z o ，a 1 ，且o o ，口1 丌2 若m a x ( q o ，o t l ) + p 7 r 2 ， 那么所有在圆盘d o ，d 1 外的点的轨道都会以渐进线性的速度发散到 无穷，即存在常数c o ，c ，使得 c 。 1 i m i n fi t n x _ _ a l i ms u pi t x _ _ a c l n - - 4 0 0 n 7 1 , - - - o o n 除吸引子外，例外点集的测度也是学者们比较关心的问题，在不同的问题 中，为研究方便，学者们会根据不同问题给出不同的例外点集的定义，分别如 下： 定义1 7 在分片连续映射t ：p _ 尸的迭代下，所有能迭代成卜连续点的点构 成的集合的闭包称为该映射的例外点集，记为爵，即 b t = z p i 存在1 1 , 0 ，使得t n x u ：o o p k 这里a r 是原子r 的边界。 r 定义1 8 在分片连续映射t ：p _ p 的迭代下，a r 同上，记d = uo p k ， k = o d 士= u ，oy - k | 厂2 ( d ) ，d = 一d a = ，那么称d 为映射t 的例外点集 对于f 一1 ，1 ) 2 上的二阶无损失数字滤波器模型，在b = - 1 ，i a i 0 ；相反k o c a r e v 等人在【6 】中猜测对所有的a ，其勒贝格测度为0 对于分片等距映射t ：p 一尸，由定义1 7 中例外点集的定义，有以下一些 结果 2 1 1 ： r 1vx 一b t ，有d i s t ( o r ( x ) ，uo p k ) = 0 ， k = o 这里o t ( x ) = ( t n z i 扎o ) 2 设s 为编码映射，令r t = z p i s ( x ) 是终于周期点，即存在k 使得 t ( z ) 为周期点 ，那么一b tur t = p ，d i m h ( 一b t nr t ) 1 ，这旱d i m h 是 指h a u s d o r f f 维数 3 例外点集的测度是一个上半连续函数，即对于带r 个凸原子的剖分，其紧 1 绪论 空间p 上的一族分片旋转映射丁，对于任意的t ，t 7 丁， t x = p i x + 旎，z 只，t z = 反z + ，z 爿 定义其上的距离为d t ( t i ，t 2 ) = 牌磐( f 凤一反i ，i 旎一z l ，d n ( 只，只) ) ，对于无 u 、l 入2 ) 以及抛物型映 射( 入1 = a 2 = 1 ) 椭圆型映射可以通过某种坐标变换变成一个分片旋转映射，它 的研究与分片等距映射密切相关 3 ，1 5 ，2 2 - 2 5 ；双曲型映射有正的李亚普诺夫 指数，是一个用来研究混沌系统性质的较好模型，对此已有很多文献进行研 究 2 6 ，2 7 椭圆型映射可以表示为g om ，其中m = ( 0 ，一1 ；1 ，o ) 当a = 主以时，例 外点集d 的h a u s d o r f f 维数s = d i m 日( d ) = l o g3 l o g ( v 伍十1 ) 1 2 4 6 4 8 ；且此 时具有传递性，但不对初值敏感；映射在例外点集上关于h a u s d o r f f 测度是遍历 的，但不是混合的，从而没有b e r n o u l l i 结构【2 5 】 抛物型映射的所有l y a p u n o v 指数为零，其最大不变集x + 是几乎闭的( 即 与其闭包差一个零测集) 、不变的【1 7 】，对部分参数估计其勒贝格测度如下 1 7 ， 2 8 】 ， l 1 ，f 可逆 = k j ，繁三篙1 li a 口i ，0 a l ，- 1 q 0 一9 一 1 绪论 当0 a 1 ，一去 一1 时，有 e ( x + ) ( 1 + q a ) 禹 并且勒贝格测度限制在最大不变集上是一个彳i 变测度 1 。3 论文的研究意义与主要结果 1 3 1 平面问断动力系统的研究意义 在许多实际问题中，系统因碰撞、分层、断裂、开关、转换等因素而导致 了奇异性与不连续件，从而引出了非光滑或不连续系统动力学演化等多方面的 新课题由于光滑与连续系统的理论与方法在这里往往会失效，间断动力学研究 需要引入新的理论与方法，因而非光滑性或不连续性在理论上是不可回避的 另一方面，这些典型的非光滑或不连续系统的研究结果往往具有更大的应用价 值，因为在实际问题中非光滑性与1 i 连续性更为常见 环面卜的抛物型映射可以看作是介于椭圆型映射与双曲型映射之间的中间 类型，最近已有不少学者对其动力学性质进行了深入的研究 2 2 ，2 7 ，2 9 ，3 0 而 平面上的分片抛物型映射的研究在某种意义下是对平面分片等距映射研究的重 要补充从计算机模拟的结果，我们可以看到很多分片抛物型映射的吸引子具 有复杂的结构，与分片等距映射的吸引子结构截然不同，这也表明了分片抛物 型映射并非分片等距映射的一种甲凡的平推，对其研究也具有重要的理论意义 迭代映射系统的口j 逆性、周期性、拓扑熵、复杂度、吸引子等都是一些最基本 的问题，对它们的研究都具有重要的理论意义 1 3 2 论文的主要结果 ea s h w i n 等人 2 8 】在讨论二维环面抛物型映射动力学性质时给出了映射可 逆的必要条件，但非充分条件本文通过对几个满足该必要条件但仍不可逆的抛 物型映射的分析，最终得到了二维环面上抛物型映射可逆的充分必要条件，完 善了ea s h w i n 等人的结果环面上的抛物型映射在其町逆时，还是一个可逆的 保测( 勒贝格的测度) 变换，同构的保测变换具有相同的测度熵，通过分析本文 得到了可逆抛物型映射的部分同构分类，这将有助于进一步研究可逆抛物型映 射的测度熵同时，本文还讨论了几类特殊的二维环面抛物型映劓的周期性， 证明了极限圆映射以及整数抛物型映射的周期点集和非周期点集都是在环面上 稠密的，且一部分极限网映射和有理抛物型映射有任意周期的周期点另外文 一l o 1 绪论 本还证明了整数抛物型映射在b o w e n 意义下的拓扑熵是零 在给出抛物型映射可逆的条件后，本文进一步考察了一般二维环面上可逆 抛物型映射的逆的形式，发现除整数抛物型映射外，其它的可逆抛物型映射的 逆将不再是环面l - 的抛物型映射，也不会是环面卜的椭凤型或双曲型映射，而 是分块的线性映射，其线性部分的矩阵是同一个抛物型矩阵，由此我们引出分 片抛物型映射的定义，这样环面上的抛物型映射就可以看作是一类特殊的分片 抛物型映射，并进一步对平面分片抛物型映射进行了研究通过对极限圆映射符 号熵、复杂度的估计，发现该映射的张成集的增长特性在环面距离和平面距离 下有很大差别对于一般的平面分片抛物型映射，给出了一致抛物映射的一个必 要条件，并举例说明了该条件并非充分条件；同时可以发现分片抛物型映射是 对初值敏感依赖的，这也是其与分片等距映射的区别之一本文还讨论了类似于 g o e t z 映射的一类分片抛物型映射的轨道的特点，注意到其轨道是落在某个抛 物型上，我们用类似于l y a p u n o v 函数的方法给出了这类分片抛物型映射存在或 不存在全局吸引子的一个一般条件，并且发现其吸引子并非凸集，这与g o e t z 映射的吸引子有很大不同 通过g o e t z 的提升映射，可以将分片连续映射提升成一个带编码的连续的 图映射本文在最后一章通过定义图映射上的c o n l e y 指标给出了分片连续映射 c o n l e y 指标的概念，并对其w a z e w s h i 性质进行了证明，同时计算了一个一维 分片等距映射的c o n l e y 指标 (1露季)：=拿)或(乏。一号，1尼)=11 01 1 ) c 2 ， ( 61 ) 或 ( 。6 ) ， 2 j 侈u2 ；：= 2 2 z x 一5 可 m m 。o d d 。1 ； 靴2 笺曲篙：； 例2 3 ；三言：一5 可 ：兰三； 定理2 1 ( 【2 9 】) 环面抛物型映射，= gom 可逆当且仅当m 是式( 2 1 ) 中4 种矩阵 之一，且其中整数k ，2 瓦素 在证明定理2 1 之前，先给出几个引理： 引理2 2 ( 2 8 】) 环面上局部保测线性映射( 1 5 ) 满足o d b c = 1 在某个开集上不 可逆当且仅当存在( k ，l ) z 2 一 ( o ，o ) ) 使得i k d l b i 1 ，l l o k c 1 1 2 2 环面抛物型映射系统 ( a )( b ) 图2 1 ( a ) 例2 1 在未取模1 时的像；( b ) 例2 2 在未取模l 时的像 ( a ) 图2 2 ( a ) 线性映射( 其线性部分矩阵为m = ( 2 ，一1 3 ；3 ，0 ) ) 在未取模l 时的像；( b ) 抛物犁映射为例2 3 时的像 一1 3 一 2 环面抛物型映射系统 由引理2 2 容易得到： 引理2 3 ( 【2 9 】) 抛物型映射的所有极限圆情况是可逆的 引理2 4 ( 【2 9 】) 如果抛物型映射中矩阵m 足式( 2 1 ) 中非极限圆情况，那么抛物 型映射f = g om 可逆当且仅当整数k ，f 互素，即( k ，f ) = 1 证明：本文只对a = 2 + l ，b = 一k ，c = ( 1 + z ) 2 k ，d = 一l 的情况加以证明，另一 种情况可类似得到 充分性：若，= g 。m f i 可逆，由引理2 2 存在k ，l z 0 ) - 满足 i k d 一6 l 1 ，i l a k c l l ， 即 k l - l k l ，陬2 + ! ) 一k 半 1 整理可以得到k f = l k ，l l i i f i 又( 惫，f ) = 1 ，所以f l 厶这与l i 1 ，那么取k = k p ，l = 1 p 必满足引理2 2 中的不 等式，从而与此抛物型映射不可逆矛盾，故( k ，z ) = 1 。 下面给出定理2 1 的详细证明： 证明：令珑= 【一1 一e ，1 十e 】2 ，则k 是关于原点对称的有界闭集再令a = ( k d l 6 ，l a k c ) i ( k ，l ) z 2 一【( o ，o ) ，那么人也是闭集由m i n k o w s k i 定理【3 2 】， 在k 的内部，存在一个在格a 上非零的点( 惋，九) 由于kn 人是闭的且有界 的，所以也是紧的。因此，对于e _ 0 ，有k _ 0 ，且( 橇，太) _ ( 托，入) v on a 若( k ，入) 是的内点，那么映射不可逆；或者格上的极限点( k ，入) 在 的边界上不失一般性，假设( 仡，a ) = ( 1 ，y ) ，那么存在( k 1 ，l i ) z 2 使得 k 1 d l l b = 1 ，l 1 a k l c = y 对任意格上的点( k 2 d l 2 b ，l 2 a k 2 c ) ，有 d e t ( 虬k i d d - 一l 1 6lia-一k1c)=k1l2-l2b l 2 ak 2 c l 卜 虬d 一 一 1 4 在存 1 j 日n = lk 一 己k 得使 l n = 矛 = 、 为 y y l 2 ) 玩 ，1 x 、 q 在 慨 莉 d 必么 那 = 0 得使 a 若功 y 2 环面抛物型映射系统 从而y = 1 + x y 将( x ，y ) 换成( x k ，y k y ) 使得- 1 x k 0 ，那么 0 y k y 1 如果一1 x k 0 ，那么0 y k y 1 ，则可以得到格上新的点( a p ，u p ) 在方形里面，故 映射不可逆 类似地，如果格点( k ，入) 是( z ，1 ) ，可以得到另一个方程 m l b = 1 ，z 口一k c = 0 ，( k ，z ) = l ( 2 3 ) 从而映射到矩阵部分m 是另一个矩阵，即 m = ( 拿乞二2 2 ) 如果k = 1 或z = 一1 ，那么是极限圆的情形 结合引理2 3 、引理2 4 可以得到，= g om 可逆的充要条件是m 是式( 2 1 ) 中4 个矩阵之一。 口 推论2 1 ( 【2 8 】) 不可逆的抛物型映射全体构成的集合在所有抛物型映射集合中是 稠密的 2 1 2 可逆环面抛物型映射的逆 对于可逆的抛物型映射，有些其逆仍是抛物型，而也有些其逆就不再是抛物 型的y 0 7 】。我们记 f = s a ，口：f a ，口= g0m a a ，o l 兄) ， 只住= f a ，三f ：a ，r ，8 z ，( r ，5 ) = 1 ，r s l a u 乃6 ，h b ：b 冗) ， r 优 = ，= g 。m f ：m = ( 2 + l ，一忌；垒警卫，一2 ) 或m = ( 忌，一堕芋竺；2 ，2 一忌) ， ( k ，z ) z 一 ( o ，o ) ) ，( k ，z ) = 1 ) u 【胪，h b ：b r 引理2 5 ( 【1 7 】) 9omo 夕( ) = gom ( 专) ，v 毒f 0 ，1 1 2 当且仅当m 是整数型矩阵 引理2 6 ( 【1 7 ) 如果厶a 只n 移，a 0 ，五：f ，那么反：= 上a 一1s 一 2 环砸i 抛物型映射系统 命题2 1 ( 【1 7 】) 如果i a ，a 只。，a 0 ，那么压f 当且仅当i a ，蜀帕 证明：这里给出一个简洁证明。假设反：f ，由引理2 6 有反：= 正a ，n = 9om a q ，另b 么9 oa “，a 。9o 正a ，。= 9 ，即 90m a a09 = 9o 肌a ，口 又由引理2 5 ，可以得到f a ，口= 9 om a ，。r 胁充分性比较显然口 但r 伽一最。中映射的逆就不再是抛物型的7 1 7 1 下面计算例2 3 给出的町逆抛物型映射的逆通过对每一块的计算可以得到 ，一3 ( 即厂= 9om ，m = ( 2 ，- 1 3 ；3 ，o ) ) 的逆为如下： f - 1 ( z ，可) = ( ：) + q1 ：1 ) ，矽；z + ；，z 【o ，；， + + + + ( 0 ) ， ， ， 2 z 可 ；z + j ，z 【o ，；) 2 z 一 耖 i z ；z 一1 可 ；z 一；，z ( ；，1 ) 可 i z 一1 ，z ( ；，1 ) 其逆不再是抛物型映射，而日也不是环面上的线性映射，只是环面上的分片线 性映射。 还能进步证明： 命题2 2 ( 【2 9 】) 如果厂e 。口一只胁那么厂1gf ，且，一1 不会是椭圆型或双曲 犁的 此命题的证明需要如下几个引理： 弓i 理2 7 ( 【1 7 ) 女口果o l x + p 可z ，v z ，可【0 ，1 ) ，勇b 么q = p = 0 一1 6 一 、ij、l、lj，lj，lj 1 3 2 l 一3 c 、_ l 一3 2 l 一3 2 1 3 n 二 o o q o 以 o o 。 2 环面抛物型映射系统 引理2 8 ( 【2 9 】) 如果a x + b y + 口【凹+ d y 】z ，v x ，y 【0 ，1 ) ，o tgz ，那么a = b = 0 ，c 0 ，d2 0 证明：若c 0 ，那么类似于【1 7 】，令y = 0 ，则a = o ；类似的，如果d 0 ，就有 b = 0 若c 0 ，令y = 0 ，那么对于所有的z ( 一1 c ，0 ) n 【o ，1 ) 有a o t z ，从而 得到矛盾。 因此a = b = 0 ，c 0 ，d 0 口 结合上述引理，命题2 2 通过类似于 1 7 1 的方法即可证明 2 1 3 环面上可逆抛物型映射的同构 对于环面上整数抛物型映射( 即，鼠n t ) ，由于它们在环面拓扑下是连续 的，在连续映射拓扑共轭意义下，文 1 7 】给出了整数抛物型映射的一个拓扑共 轭不变量，并得到了任意一个整数抛物型映射必与某个极限圆映射拓扑共轭。 注意到，紧宅间上拓扑共轭的映射有相同的拓扑熵对于不连续的但保测的 变换，我们自然可以考虑两个保测变换是否同构 定义2 1 设( 咒，屈，m t ) ，i = l ，2 是概率测度空间，正：咒一x i ，i = 1 ，2 是两个 保测变换若存在舰屈，m t ( 必) = 1 ，i = 1 ，2 ，使得正( 舰) 舰，i = 1 ，2 ，且 存在可逆的保测变换妒：m 1 _ m 2 使得妒乃( z ) = 死妒( z ) ，v x m 1 ，那么称乃 与死是同构的，记为死 一乃 如果两个保测变换是同构的，那么由遍历论知识【3 3 知道他们有相同的测 度熵，而环面上的可逆抛物型映射显然是紧度量空间环面上的保测变换( 这里指 的是勒贝格测度) 。 类似定理2 1 ，由方程( 2 2 ) 和( 2 3 ) 可知： 命题2 3 2 9 1 环面上的所有可逆的保测线性变换可表示为f = g om ，m 为如 下形式之一： q 一 ( 其中，b ，d r ，( k ，1 ) = 1 士k ( k d l 土f 或 卜七 l 0 、 一1 7 一 ( 2 4 ) ) v ， u 6 1 j d 篓 2 环断抛物型映射系统 整数抛物型映射也是可逆的，如果两个整数抛物型映射拓扑共轭，那它们 也是| 一构的 下面我们考虑可逆抛物型映射，a ，n ，如，芦i 司构的条件，即要存在可逆保测线 性映射妒使得：f a ，口= ，b ，卢妒，即 g0m e ，口ogom = g 0m0g0m a ，a ， ( 2 5 ) 这里m 是上述( 2 4 ) 的某个形式 类似于 1 7 1 可以得到： a b + c b b 一1 一a a 十b a s = 0 b b + d b 3 1 一a a s 一1 + b a = 0 一o b p c b c a + d a s = 0( 2 6 ) 一b b l 3 一d b c a s l4d a = 0 b ，b z z ，o r b ，b 3 1 z 即 fa = d e t m ( ( a d + b c ) b + a b b 3 + c d b b 一1 ) a s = d e t m ( 2 a c b + 舻b p + c 2 b 3 - 1 ) ( 2 - 7 ) 【a s 一1 = d e t m ( 2 b d b + b 2 b p + d 2 b 一1 对任意的z ，y 【0 ，1 ) ，有 jb a x + b y 】+ b 3 1 c z + d 可】+ n 【( 1 + a ) x + a s 一1 y 】+ b - a s x + ( 1 一a ) y 】z ib f l a x + b y 】+ b c z + d y 】+ c 【( 1 + a ) x + a s 一1 y 】+ d 【一a s x 十( 1 一a ) y 】z ( 2 8 ) 可逆抛物型映射的同构比整数抛物型映射的共轭要复杂的多，下面我们给 出几个特殊的可逆但非整数抛物型映射同构的情况： ( a ) a ，b ，c ，d ，b ，b p z ，b 卢一1 譬z ，那么下面的如，卢一厶，口，并给出了妒中矩 阵元素。 ( a 1 ) c = 1 ，d = 0 ，b = 一1 ，那么a = 一b ( 1 + a z ) ，a s _ 1 = b p ； ( a 2 ) c = l ，d = 0 ，b = 1 ，那么a = 一b ( 1 + a z ) ，a s 一1 = 一b 3 ； ( a 3 ) c = 0 ，d = 1 ，a = 1 ，那么a = b ( 1 + d z ) ，a s = b z ； ( a 4 ) c = 0 ，d = l ，a = 一1 ，那么a = b ( 1 + d z ) ，a s = - b z ( b ) a ，b ，c ，d ，b ，b 3 1 z ，b 3 隹z ，那么下面的佑，卢厶，并给出了妒中矩 一1r 一 2 环面抛物型映射系统 阵元素 ( b 1 ) a = 1 ，b = 0 ，d = l ，那么a = b p 一1 + c ) ，a a 一1 = 口一1 ； ( b 2 ) a = 1 ，b = 0 ，d = 一1 ，那么a = b z 一1 ( p + c ) ，a a 一1 = 一b z 一1 ； ( b 3 ) a = 0 ，b = 1 ，c = 一1 ，那么a = 一b 3 1 ( p d ) ，a o l = b z 一1 ； ( b 4 ) a = 0 ，b = 1 ，c = 1 ，那么a = 一b z 一1 ( 卢一d ) ，a a = - b z 一1 由上述分析，可以得到下面两个命题： 命题2 4 【3 1