（基础数学专业论文）基于chebyshev多项式零点的若干实插值问题.pdf

前言 函数逼近论是现代数学的一个重要分支1 8 8 5 年德国数学家w e i e r s t r & q s 所证明的连续函数可以用多项式一致逼近的定理以及1 8 5 9 年c h c b y s h e v 建立 的最佳逼近的特征定理奠定了函数逼近论的基础。一百多年来，经过无数数学 家的辛勤努力，特别是随着现代计算机的高速发展，函数逼近论在基础理论及 应用上的研究都有很大的作用。作为函数逼近的重要方法一一插值法，是观 测数据处理和函数制表所常用的工具，也是导出其它许多数值方法( 例如数值 积分，非线性方程求根，微分方程数值解等) 的依据插值法中最早被研究的 是l a g i a n g e 插值，其后是h e r m i t e ，h e r m i t e f e j e r 插值以及g r u n w a l d 插值。在 近二十年内有一些数学家在高阶的l a g r a n g e 型，h e r m i t e 及h e r m i t e f 苟e r 型 插值，当然，也有人研究它们的一些修正形式或插值过程函数插值研究巾的 一个重要方面就是对于某一个特定的插值法，找出尽可能好的结点组，使得对 某一函数类有较好的逼近度，或者对某一特定的插值( 过程) ，研究其在某一 尺度下的收敛性与收敛阶，下面介绍作者在本文中的主要结果。 第一章拟g r i i n w a l d 插值算子的收敛性 首先我f f s l 入一些概念和记号： 我们用q 矗1 1 1 表示定义在【一1 ，1 上的连续函数全体，f 。表示，的 c h e b y s h e v 范数，即i ，( z ) i 在 一1 ，1 上的最大值，l i f l l ，j , = ( 1j ，( z ) j d x ) ； o ) ，( z ) = 出譬* ! i ；盟为第二类n 次c h e b y s h e v 多项式， z ：一1 为( z ) 的零点，那么拟g r i i n w a l d 插值多项式算子( g r f i n w a h l 算子是g g r i n w a m 在文 1 中引入) 为 g i ( ，z ) = ，( z k ) x ；( z ) ， 其中 z ，一h 如) 2 篙x 吐忙，mv 1 一 k 川= 等揣炳“垆等揣 对于此算子g ：( ，z ) ，许贵桥，刘永平在【2 】中仅给出了它的加权l 2 收敛速度 估计，因而本章就它的各种收敛性给出讨论，从而获得如下结果： 定理1 对任意f q 吐1 ”瞵( ，z ) 在i l ，1 上处处收敛于，( z ) 定理2 存在函数f o ( x ) q 吐】 使得c ；( f o ，。) 不一致收敛于f o ( x ) 定理3g i ( ，$ ) 在b 如 o ) 范数下是收敛的。 本章内容发表在“宝鸡文理学院学报”2 0 0 1 ，n o 4 ， 第二章g r i i n w a l d 插值算子的岛收敛速度 设f q 一圳，则以第二类c h e b y s h e v 多项式( 。) 的零点为插值结点的 ，的g r i i n w a l d 插值多项式为 n g 。( ，。) = ，( z ) f l ( z ) ， 女= 1 其中l k ( z ) = 万老啦b ，k = 1 ，2 ，一，n 我们用u 。( ，z ) 表示权为毋( z ) 1 一z 2 的d i t i z a n t o t i k 连续模( 参考 3 】3 ) ，即 u 口( ，t ) = s u pi i ( z 十：( z ) ) 一，( z 一：妒( z ) ) l l 。 0 h t 文 4 讨论了g 。( ，z ) 的岛收敛性，征得： 定理a 若，c i “1 1 ，0 p 2 ，那么 毒骢，怫( 加) 一m ) p d x = = 0 文 2 】证明了瓯( ，z ) 在l 2 尺度下不是收敛算子文 5 讨论了瓯( ，z ) 在l 1 尺度下的收敛速度，证得： 定理b 若，q 吐l 】，则有 一引加) ，( 妣g ( 蚶扣警忖怯) 且估计阶是精确的，c 为一绝对正常数 对此，卒草获得如r 结果： 定理若，c t “1 1 ，则有 ，fq ，扣“华) ， ， ( 一呲圹m 胪出) ”s g 0 彬扣警忖心川， 【q ( 州，：) 枷。p 2 1 1 ：1 1 。) ，l p 0 ) 收敛性对此本章给出了其加权 平均收敛速度，从而证得 定理 设，q 】，1 则 ，i g 。c ，z ，一，c z ，i i 巧- ! 季a z j 兰：；：；! ；：攀 j ，舢，p 。 ，l ；， 第五章具有导数的m a c i n k i e w i c z z y g n m n d 型不等式 m a r c i n k i e w i c z 。z u g m u n d 不等式最初是对三角多项式而言的( 见 6 ) ，具体 为 定理a设，。( ) 为任一次数至多n 的三角多项式，“= 鼎，= 0 1 ，2 ，l 为【0 ，2 7 f i 上的2 n + 1 个结点，那么有 1 p 0 0 ，”n ，7 2 为偶数，7 2n o ( a ) ，我们有 窘( 南) “沥1 玩( n ) c 。o , 这里g n = ；i s i n ”2 i 铲告d u 目n ( o c ) = 鼍 n 擞l 8 一( c o + c l z + ，+ c n z “) e 1 9 9 8 年m r e v e r s 在文献 1 1 中对这问题作了进一步的研究，从而证得： 定理2 设n = 2 m ，m n ，n ( o ，；】u 1 那么有 嘶) 竽 这里局，n ( n ) = 一i ，i 。i a 。x 。】。一矗2 m ( m ) h 而r 2 m ( z ) 为以z 。2 o ，即2 。s ( j 一 ) ”丽1 ( ，= 1 ，2 ，2 m ) 作为插值结点的对r x l “的l a g r a n g e 插值多项式，文【l l 。 提出了一个猜想： 设nsz 曼1 0 。1 那么 麒惦嵩芝警 在( 0 ，z 2 ) 上是凸函数。 显然m r e v e r s 试图通过此猜想的成立来解决o ( ；，1 ) 的情形，本章避开 猜想的回答而证明了 定理3 没n = 2 m ，m n ，n ( 0 ，1 1 、那么我们有 胁) 华 第八章一种修正的插值算子在玩空间中的逼近 前面几章，我们已讨论过g r i i n w a l d 、拟g r f i n w m d 插值算子的一些收敛性 及收敛速度，发现对某些结点组，它们还是具有比较好的( 加权) 平均收敛速 度的，不过被插函数总是要定义在c i 1 1 上，w a n gz i y u 在文 1 3 中引入了 一种定义在垅上的g r i i n w a l d 插值算子如下， g 。( ，。) ：n ( a i ，f l ) 靳) ”( ) 删；( z ) k = l 这里a k 为c h r i s t o f f e l 数( 见 1 4 】) ，比= f ：i i f l l = ( 正li f ( t ) f p w ( t ) d t ) ： 。 对于以p 正规( 见 1 4 ) 的且为关于权函数w ( 。) 正交的j a c o b i 多项式的零点 为插值结点组的情形， 文 1 5 j 证明了此插值算子瓯是加权l ，( p 之1 ) 甲均收敛的，本章就 w ( z ) = ( 1 一z 2 ) 一 的情形，给出其收敛速度估计，从而证得 定理对任意的，- 2 。有 ( i g 。( ，。) 一，( 石) 1 9 d x ) ；e ；( 镌p l ，i i p + u 2 ( ，m 印) p ，) ( 1 0 ) n o r m g ；( ，z ) i sc o n v e r g e n t t i l ec o n t e n to ft h i sc h a p t e ri s p u b l i s h e di n “jo fb a o j ic o l l e g eo fa r t sa n d s c i e n c e ( n a t u r a ls c i e n c e ) ”2 0 0 1 ，n o 4 c h a p t e r 2o n t h e c o n v e r g e n c e r a t eo fg r i i n w a l di n t e r p o l a t o r y o p e r a t o r s i ff 劬一11 1 ，t h eg r i i n w a l di n t e r p o l a t o r yo p e r a t o r sb a s e do i lt h ez e r o e so ft i l e c h e b y s h e vp o l y n o m i a l s ( z ) o f t h es e c o n dk i n do f d e g r e en a r ed e f i n e da s n g n ( ，z ) = ，( z ) f 2 ( z ) ， k = 1 w l l e r e l k ( 。) = 丽搿；b ，女= l 川2 一n l e tu ( ，t ) b e t h ed i t z i m l b t i k m o d u l u so fc o n t i n u i t yw i t hr e s p e c tt ow e i g h t 毋( z ) = 、1 一。2 ( c 3 】) ，t h a ti s ， u ( ，t ) = s u p1 1 ，( z + ：曲( z ) ) 一，( 。一：( 。) ) 1 1 。 0 h t i l ew o r k 4 】s t u d i e dt h el pc o n v e r g e n c eo fg n ( ，z ) ，a n dp r o v e d ： t h e o r e ma i f ，g 卜_ 1 ，1 卜0 p 2 t h e n 撬r 。( 加) 一m 胪幽= o t h e p a p e r 【2 jp r o v e dt h a tg n ( ，。) a r en o tc o n v e r g e n tu n d e rl pm e t r i c t h u s t h el 1c o n v e r g e n c er a t eo fg n ( ，$ ) i si n v e s t i g a t e di n 5 】1 t h e o r e m b l e t q l t h e n rg,df，小)id(w扣l。gnllflig f ( x ) l d xc o g nf 1n 。) ，) 一 ( “j 西( ，二) +。1 j 一 n m o r e o v e r ，t h ea b o v ee s t i m a t ei ss h a r p ，w h e r eci saa b s o l u t e l yp o s i t i v ec o n s t a n t t h i sc h a p t e rg i v e st i mf o l l o w i n gr e s u l t s ： t h e o r e m l e t ，c i 一1 1 1 t h e n ，f 。( “，：) + - i i 。l l _ _ 堕) ， o 一 ， ( ( ，矿m 胪a z ) 95 g ( 呲扣l o 。g n 吵p 乩 【q ( 埘：) + n 宁l l i f 。) ，1 p 1 0 p 1 t i l ec o n t e n to ft h i sc h a t ) t e rh a sb e e na c c e p t e db yj o u r n a lo fz h c j i a n gu n i v e r s i t y ( s c i e n c ee d i t i o n ) c h a p t e r5 o nm a r e i n k i e w i c z z y g m u n dt y p ei n e q u a l i t yw i t h d e r i v a t i v e s a tf i , s t ，m a r c i n k i e w i c z - z y g m u n di n e q u a l i t yw a se s t a b l i s h e df o rt r i g o n o m e t r i c p o l y n o m i a l ，t h a ti s ， t h e o r e mal e t n ( ) b eat r i g o n o m e hi c p o l y n o m i a lo fd e g r e es7 。，“= 熹， ；- ：0 、1 、一，2 n & r e2 n + ln o d e s i n l u ，2 ” ，t h e n w eh a v e 舭撑川硒( 晶量l a ( t k ) l p ) 9 ，1 p o c i h e r e f e r e n c e 【7 】e x t e n d st h e o r e ma t ot h ec a u s eo ft r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a l s w i t hd e r i v a t e s ， 8 e x t e n d st h e o r e mat ot h ec a s eo fa l g e b r a i cp o l y n o m i a l s ，s u h q u e n t l y 9 】e x t e n d st ot h ec a s ew i t hd e r i v a t e s w i t ht h e s ei n e q u a l i t y e ss o i n ec o l l v e l g e n c ep c o b l e m so ft r i g o n o m e t r i ca n da l g e b l a i cp o l y n o m i a li n t e l p o l a t i o na n di , i l o s e o fh i g h e ro r d e ra r es o l v e d o n eo ft h ei n o s ti m p o r t a n tc a s ei n 【9 1 i s ： t h e o r e mbl e tx k = c o s 2 簪( = 1 ，2 ，n ) b ez e r o e so ft h eo fc h e b y s h e vp o l y n o l n i a l ( z ) = c o s ( ，? , a r c c o s t ) ，山( ) = ( 1 。2 ) 一 b et h ew e i g t l tf u n c t i o n c o r r e s p o n d i n gt o ( z ) ，qan o n n e g a t i v en u i n b e r ，r n ( 。) a na l g e b r a i cp o l y n o m i a lo f d e g r e ea tm o s tn = ( q + 1 ) 一1 t h e n ( i 。i r a , ( 圳如) ；q t h i sc h a p t e rw i l lp r o v et h ec & q ep i ( y 7 - ；，l 0 ，a n e v e n n u m b e r n nw i t hn z t 0 ( ( 1 ) ，w eh a v e 鲁( 南4 ) 。去脚) 鲁， ? 。ql 订+2 、，厄二蛳l u ，。r 一 x l ；i w 1 1 冀g = ；协- ”譬j 舻黠4 b ( n ) 2 鼍n 煺。恻。一( c 0 + 邺+ + c n z ”) f i n1 9 9 8 e v e r sf 11 d i df mt h e rr e s e a r c hf o rt h ep r o b l e m ，a n do b t a i n e dt h a l t h e o r e m2 s u p p o s cn = 2 m ，m ( n ，n ( o ，i u 1 t h e n 坼) 譬 w h 。毋仇( 。) = 一n 1 l a 。x li i x “一只2 m ( z j ，a i l dj m ( 石) i st h el a g r a “g ei n t e r p o l a f i o i l p o l y n o m i a lb a s e ( 1o i lz o = 0 ，x j = e o s ( j 一 ) 上2 m ( j = 1 ，2 ，- ，2 m ) t oi x l 。， t h ew o r kf 】j p r o p o s e dac o n j e c t u r ea sf o l l o w l e t0 z 1 ，0 。1 t h e n 口( t ) c o s l o t茁一c 0 8 t i sc o n v e xo n ( 0 ，孙 o b v i o u s l y ，r e v e r st r i e dt os o l v et h a tc a s eo l ( ；，1 ) o ft h ea b o v et h e o r e m2b y f i n d i n gap o s i t i v ea n s w e ro f t h i sc o n j e c t u r ew e w i l l ，w i t h o u tt o u c h i n gt h ec o n j e c t u r e i t s e l f d i r e c t l yp r o v et h a t t h e o r e m3 i f n = 2 m ，7 7 l n ，“( 0 ，l 】，t h e nw eh a v e 晰) 攀 c h a p t e r 8 a p p r o x i m a t i o no f ak i n do fm o d i f i e di n t e r p o l a t i o no p e r a t o r i nl ，s p a c e h it h ep r e v i o u sc h a p t e r s ，w eh a v ei n v e s t i g a t e dv a r i o u se o n v e r g e n c e sa n dc o l l v e r g ( 1 】l 【、p r a t e so fg r f l n w a l da n dq u a s i g r i i n w a l d i n t e r p o l a t i o no p e r a t o r sw ef i n ( t t h a tf , f i tl yg o o d ( w e i g h t e d ) f n e a l lc o n v e r g e n c er a t e sf o rs o n i ci n t e r p o l a t i o nn o d e s “1 l i t l 、7 e d h o w e v e r 、o n l yf u n c t i o n so nc - 【一1 1 3 r er e l a t ，e d w a n gi n t r o d u c e dt h e t b l h m m gg r i i m a i di n t e r p o l a t i o no p e z a t o rd e f i n e di n 三嚣， 。，( t ) 2 ( f ) w ( ) 出) 髭( 功一k 。 【 z ， ” g w h e r e 女i st h ec h r i s t o f f e ln u m b e r s ( s e e 1 4 ) ，工艺= ，：| | ，| | ”，。= ( _ l i ( t ) 1 9 ( ) 疵) ； o 。) w i t ht h en o d e sw h i c ha r 。p1 1 0 m a la n dt h cz e r o e so f j a c o b ip o l y n o m i a l s c o r r e s p o n d i n g t ow e i g h tf u n c t i o n 妒( z ) ，f 1 5 】p r o v c dt h a ti n t e i p o ， a t ，i o no p e r a t o rg ni s w e i g h t e d 岛归1 ) c o i i t * 。g e n t 】1t h i sc h a p t e l ，w eg i v et h e e s t i n l a t i o no fc o n v e r g e n c er a t ef 0 i lt h ec a s e ( 。) = ( 1 z 2 ) 一，a n dp r o v e t h e o r e mf o ra n y f 雠”w eh a v e ，。1 ( 上，j 吼( ，z ) 一f ( x ) 1 9 如) ；sg 碟p m f p + ( ，p b ，) ( 1 p 0 ) 范数下是收敛的 证明 对任给的e 0 ，存在6 0 ，使得当1 z x k l d 时，1 ，( z ) 一，( z k ) l 。 从而便知定理3 成立 由定理1 ，定理3 知g ：( ，x ) 的收敛性确比g 。( ，z ) 好 参考文献 1 许贵桥，刘永平 一种拟g r i i n w a l d 插俺算子的加权三2 收敛速度 j i 程数 学学报，2 0 0 0 ，1 7 ( 2 ) ：1 9 2 4 2 闵国华关于g r i i n w a l d 插值算子及其应用【j 】数学研究与评论，1 9 8 9 ，9 ( 3 ) 4 4 2 4 4 6 3 文成林，张书玲扩充的h e r m i t e f e j d r 插值算予平均收敛性f j 数学学报 1 9 9 9 ，4 2 ( 3 ) ：4 2 9 4 4 0 第二章g r t i n w a l d 插僵算子的l p 收敛速度 2 1 引言 若f e f1 1 1 ，则以第二类t c h e b y s h e v 多项式u 。( z ) ( 其中u n ( c o s 0 ) = 1 ) 口s i l l0 ) 的全部零点 z k ) 2 ：1 为插值结点组的，的g r i i n w a l d 插值多项式为 n g 。( ，。) = ，( z ) f ；( 。) ， 其中 ，、 ( 。) l k ( x ) 2 瓦瓦而= 习 文讨论了g 。( ，。) 的l p 收敛性，证得： 定理a 若f ql ，l 】，0 p 2 ，那么 ，l i + m 。j 一】i g n ( f ，。) 一m ) i ”出= o - 文【2 证明了g 。( ，z ) 在l 2 尺度下不是收敛算子文 3 】讨论了g ，t ( ，。) 在l l 尺度下的收敛速度，证得： 定理b 若f c 一1 1 1 ，则有 ，加)一f(x)lgf ( x ) l d x c ( 叫：) 十警n 。( ，z ) 一( u ( ，) 十半。) ， 一1 ，o h 估计是精确的其中u d ( ，h ) 是文【4 】定义的权( z ) = , i z 2 的一阶光滑模， c 为- 绝对常数 l1 然地我们将亏虑“n 【，zj 的b 【u p z ) 收域迸发平义他恃： 定理若f e 卜l ，1 则有 f q ( 叫，：) + i i f 。l l ) ， 。 一 1 一加阳z ) ； g ( 蚍扣半吖心p 乩 【q ( 叫，：) 栅“i i f l l 。) ，- p 1 此处我们用a 。! b 。表示存在一个与n 无关的正常数m 使ma 。b 。m a 。 引理3 若1sk ，j n ，则有 川嘞2 篙，竺 州一2 篙小j # 。k 吣铲 厂凡 g 一 zd口 7 。 有。刚， p 于对 4 理 证：可d 】文 1 】引理4 类似地算得 2 3 定理证明 取m f ) 为忙) 于f 一1 ，】上的n 次最佳逼讶多项式，则有 g t z ( ，t ) f ( x ) = g 。( ，一p n ，) 一 g 。( p 。，t ) p n ( z ) 】+ 咖。( 一) 一，( z ) 由引理1 引理4 得 1 1 矧h h ，叫蛐z 刊i ” 垫( 蚓p d x c w ：) ，- 1 f l 协“z ) m 妒d 。g “舢：) o p 棚 j 一1 7 7 下面估计 由 1l a 。( p 。，。) 一p 。( 。) 1 9 d 。 j l 由于g 。( p 。) 一p 。( z ) 为2 n 一2 次多项式，i , h t i l i 值多项式的唯一性及引理3 得到 g “肌，矿州班m 一) _ p n ( 1 ) t l + x ( 踹) 2 十 十 g 瓶，n 1 ) 咄( 计字( 糕) 2 + + 妻p 。( 。) 墨。( 。) 一妻p ：( 。) 。( 。) = ，l ( t ) + 厶f z l 十i s ( z ) + ( z ) 得到 从引理2 得到 u 。( 士】) j n 十1 、l l p 。i l 。s2 1 i f ! ! 。，l ( 士1 ) = 1 小! i ( 坩d z s 9 1 1 ：廿1 1 1l 姥l z 皿 j ，l j l 厂一。_ 比业n 蚶pj o 卿s 黯学棚0 辫o ：、 l 【c v r 2h 1 1 5 1 p 2 8 同理有 _ i ，2 ( 叫i ”d z 0 p 1 l l o 。，p = l ， 刑毛，1 p 2 下面估计j 1 11 1 3 ( x ) w d 。：，o p 2 由文 3 ，( 2 5 ) 得 r 是运用h s l d e j 不等式有 九如( z ) l d z 曼g 必塑 j1 n 门酬r 出r 睢妇卜g 警 由文 3 ( 2 4 ) 有 j 1 11 5 ( 。) 1 2 v 气二j i d z c i i f 。l 。l 色 由文【2 2 ( 3 0 ) 有 r 11 i f 2 ，1t i 3 ( z ) f 。出 l 。廊妇) 5 删z 志出) j g 雌 于是由文献 5 中不等式 0 p q o 。 屯协s2 h 协5q 世挚 小附。q 学 9 监，枷 幽。坚。扩 q q，ii，、il 易见当；p 2 时有 对任取的e ，0 f ； 世监、世监 n 2 一p n 警 m 把正l i ( 廊向吲刮丽如 酬2c 一胁1 1 i l a ( z ) 1 2 e 、以r ) 5 剑掣盟 肛p 南咖产 至于正li h ( z ) 1 2 丽b 出， t j l 确- 正1 。r 忐虻。| k 厶= l ，尚创等丑酬“志a z c 器f 。州p 扑旷志出 利用文 6 】引理1 中2 ：i 2 ( z ) 2 及c a u c h y - s c h w a r z 不等式有 这样得到 p 万* 。一ct f 。l 。l g ，。嘶炉志如s 以警 所以 j 1 7 1 2 ，1i 州删一d 。q 噤 f h l f t ；易见，当o e ；1 时有 警i i , o 警 ? l4 ；二一 g 一 髓 、0， z 自 l e l 。 ， 综上可知，对0 p 2 有 【1 z ) 1 ”+ 1 屯( z ) j 7 最后利用文 2 ( 3 2 ) 知l x 1 - 0 p 2 有 以上两式说明定理成立 过程知 g 訾，o p c l o n g 燮1 1 5 1 1 。，p 二= 1 ， c ，i 1 5 1 1 盥p ， 1 p 2 1 t i 4 ( 刮9 咖a 。召，矗1 ) 下面我们说明对于l p 2 ，估计是精确的取，( z ) = l 时，那么由定理证明 晰圹m j _ 【洳l t l + x ( 揣) 2 ! l 一、 + c 静叫叫，字( 揣) 2 + 耋1 慧州叫 + f 2 ( 一i ) i - 二( 篇) + o 女( 。) k = 1 一，7 k = r 一装藩啦卜耋墨 引用引理2 知 嘉， o p 1 c l o g n ，p ：l ， q 去，1 p 2 ，-j、l 一 zd p zh+ ，-jillj(1_-i、 !如 。 嵋 旦妒 二卜 迎弘 ，l 义 注意到 所以有 从而有 蚤r 习x k ( z ( 1 一z 2 ) 2 。( z ) ( 1 一z 2 ) 醒( 。) l 嵩祥黠 虽! ! 鲁z z k - - n + x 去 = 1 “ “k n 帮+ z 皆黑 n 嫩铲一背器 “f 扛) l v d z q 0 p 1 p = 1 ， 1 p 2 f f l 耋意a k ( x ) f d x 卜i 阮( ， 。) f f ( z ) 1 9 d x 【 再考虑到u ( ，j ) = 0 及1 1 1 1 1 。= 1 ，便知估计是精确的 参考文献 p = l l p 2 1 m i ng u o - h u a ，o n l p - c o n v e r g e n c e o fg ii i n w a l di n t e r p o l a t i o n a p p r o xt h e o r y i t sa p p a l ，8 ：2 ( 1 9 9 2 ) ，2 8 一? 7 2 许贵桥，刘永平，一种拟g r f i n w a l d 插值蛸子的删权l 2 收敛速度，i 程数学 学报，1 7 ：2 ( 2 0 0 0 ) ，1 9 2 4 z 盯 一2 k l z 篁 一 。 l p ，哩舻 。们q ，f、【 ( 一 z 暖 罢去 础q 3 罗蕴玲，高印芝，王群，g r i i n w a l d 插值算子的l l 收敛速度，纯粹数学与应用数 学，1 4 ：3 ( 1 9 9 8 ) ，5 5 5 9 4 z d i t z i na n d n t o t i k ，m o d u l io fs m o o t h n e s s ，s p 沌增一v t ”l a gb e t j i n ，1 9 8 7 5 g b f o l l a n d ，r e a la n a l y s i s ，j o h nw i l e ya n ds o n s j n e w 7 k ，1 9 副 6 许贵桥，拉格朗插值多项式于加权l p 下的收敛逼近阶，数学杂志，1 8 ：2 ( 1 9 9 8 ) 1 6 1 1 6 8 1 3 第三章g r t i n w a l d 插值算子的加权l 2 收敛速度 3 1 引言 若，c _ l a l ，则“第二类t c h e b y s h e v 多项式( z ) ( 其中u n ( c 0 8 0 ) = s i n ( n + 1 ) 0 s i n 0 ) 的全部零点 。k z ：l 为插值结点组的，的g r i i n w a l d 插值多项式为 t e g 。( ，z ) = ，( z ) f 融) ， k = = l “= 赫，肚，m 周知，g 。( z ) 在( 一l ，1 ) 上是内闭一致收敛于f ( x ) 的阂国华 3 】证明g n ( ，。) 在l 1 尺度下是收敛的，文 2 】进一步得到了g n ( ，z ) 的工1 收敛速度估计但是，许贵 桥和刘永平f 4 1 证明了g 。( ，) 在上2 尺度下不是收敛算子，从而当