（信号与信息处理专业论文）分形理论在动画变形中的应用研究.pdf

摘要 动画变形近年来在计算机图形学领域中备受瞩目，它在热门的动漫制作、电影特效 处理、建筑景观仿真等方面都具有极大的发展潜力和应用前景。本文重点研究的是以分 形理论为基础的动画变形，将静态的分形图通过分形变形技术转换成动态的分形分帧 图。具体工作如下： 利用分形迭代函数系统算法( i f s ) 绘制出自然界中具有分形特征的植物，通过调节带 参数的i f s 吸引子来实现一种分形植物到另一种分形植物的静态变形、分形树在风中摇 曳的动态变形。研究结果表明，加入参数变量的i f s 吸引子对图形变形的控制能力非常 稳定，有效解决了分形变形过程中的图形失真、中断等问题，极大丰富了动画变形技术、 充实了分形理论。 提出了一种利用虚拟现实建模语言( v r m l ) 对分形动画进行真彩渲染的新方法。相 比传统的i f s 二维真彩分形图，该方法能够在三维空间对植物的外观颜色进行描述，并 且具有简单快速、占用内存小、时间短、计算机可操作性强等优势。 改进了传统的l 系统算法，对一种基于v r m l 的交互式l 系统进行研究，在虚拟 现实环境中生成了三维分形植物图。仿真表明改良后的方法生成的分形植物更加逼近真 实世界的植物，实现了良好的虚拟现实交互功能。 关键字：动画变形，分形理论，分形变形技术，i f s ，v r m l ，交互式l 系统 a b s 仃a c t m o r p ha 1 1 i i m t i o ni so u t s t a n d i n gi nt h ef i e l do fc o m p u t e rg r a p h i c si nr e c e n ty e a r s ，w h i c h h a sg r e a td e v e l o p m e n tp o t e n t i a la n da p p l i c a t i o np r o s p e c ti nc a r t o o n , m o v i es t u n t , l a n d s c a p e a r c h i t e c t u r e ，a n ds oo n i ti ss t u d i e dt h a tt h em o t h a n i m a t i o nb a s e do nt h ef r a c t a lt h e o r yi n t h ep a p e r , a n dt h ek e yi st h es t a t i cf i a c t a lg r a p hw h i c hi sc o n v e r t e di n t od y n a m i ct h r o u g h f r a c t a lm o r p h i n gt e c h n o l o g y t h es p e c i f i cw o r ki sa sf o l l o w s ： f i r s to fa l l ，t h ef r a c t a lp l a n ti sd e s c r i b e dw i t hi t e r a t i v ef u n c t i o ns y s t e m ( i f s ) a c c o r d i n g t oa d j u s tp a r a m e t e r so f i f sa t t r a c t o r ，ak i n do ff x a c t a lp l a n tc a r lb ed e f o r m e dt oa n o t h e ra n d s w a yi nt h ew i n d t h er e s u l t so f t h es t u d yd e m o n s t r a t et h a t t h ep r o c e s so f g r a p h i cd e f o r m a t i o n c a nb ec o n t r o l l e ds t a b l y ；m e a n w h i l e ，s o m ed r a w b a c k ss u c hl i k ed i s t o r t i o na n di n t e r r u p t i o na r e r e s o l v e de f f e c t i v e l y t h i sw a ye n r i c h e st h em o r p ha n i m a t i o na n df r a c t a lt h e o r yi nl a r g e s e n c o n d l y , c o m p a r e dw i t ht h et r a d i t i o n a l2 di f st u r e c o l o rf i a c t a lg r a p h ，t h en e w a p p r o a c ho fr e n d e r i n gt h ef r a c t a la n i m a t i o n i sp r o p o s e d - - v l r m a lr e a l i t ym o d e l i n gl a n g u a g e c c r m l ) ，w h i c hc a nd e s c r i b ea p p e a r a n c ea n dc o l o rm o r ee f f i c i e n ta n df e a s i b l ei n3 ds p a c e i nt h el a s tc h a p t e r , t h e3 df r a c t a lp l a n ti ss i m u l a t e db yt h ei n t e r a c t i v el - s y s t e mb a s e do n v r m li nt h ev i r t u a la n dr e a l i t ye n v i r o n m e n t , w h i c hm a k e st h ec l a s s i cl s y s t e mb e t t e r r e s e a r c h sd e m o n s t r a t et h ef r a c t a lp l a n tt h a ti sg e n e r a t e db yi m p r o v e da p p o r o a c hi sm o r e s i m i l a r 晰t l lt h eo n ei nt h er e a lw o d d ，w h i c hr e a l i z et h ef a v o r a b l ei n t e r a c t i o nm o d e l i n gi n v i r t u a lr e a l i t y k e y w o r d s ：m o r p ha n i m a t i o n , f r a c t a lt h e o r y , m o r p h i n gt e c h n o l o g y , i f s ，v r m l ， i n t e r a c t i v el s y s t e m 长安大学硕士学位论文 1 1 研究的背景及意义 第一章绪论 分形一自然界的几何学，它作为现代科学的“时髦 概念，已经渗透到物理、化学、 生物、医学、地理、地质、材料科学、计算机科学以及经济学、哲学、社会学等多个领 域【1 1 。它之所以“时髦 ，是因为它使人看到了一些常被忽略掉的东西，让人类用万花 筒看世界。 其实早在分形几何诞生的两千多年之前，e u c l i d ( 欧几里得) 就创建了经典的欧式 几何。在很长一段时间里，数学家都只是研究e u c l i d 空间范围内的几何学。可是，e u c l i d 中的z - ：f i ( x ，y ) 只能对规则的几何形状进行解释，却无法描述自然界的三维物体( 例如树 木、花朵) 。 为了解决此类问题，科学家们开始了漫长的研究和探索。1 8 2 7 年英国植物学家 r b r o w n 在显微镜里发现液体中的细微颗粒在做无规则的运动，由此创立了布朗运动【2 】。 随后，n w i e n e r 又在布朗研究成果的基础上，创立了随机过程理论。1 8 7 2 年， k t w w e i e r s t r a s s 创造了威尔斯特拉斯函数，它是一个处处连续不可微的三角函数级数。 1 8 8 3 年，g e e c a n t o r 创建了三分集。1 8 9 1 年，在g p e a n o 提出了填满空间的曲线“皮 亚诺曲线”的一年后，h i l b e r t 在数学年刊上发表了他的著名理论一充满平面区域的 h i l b e r t 变换曲线。1 9 0 4 年，瑞典数学家h v o n k o c h 提出了雪花曲线，之后的波兰数学 家w s i e r p i n s k i 构造了s i e r p i n s k i 曲线。1 9 1 9 年，h a u s d o r f f 定义了维数，给后来的分形 理论建立了理论基础。1 9 2 5 年，h c r e m e r 人工绘出了j l l l i a 集，1 9 3 2 年p o n t r y a g i n 提出 盒维数的概念。1 9 6 7 年，美国科学家b b m a n d e l b r o t 发表论文具有1 f 谱的某些噪声， 直流与白噪声之间的一座桥梁，并于同年在美国权威杂志科学上发表英国海岸 线有多长? 的著名论文。1 9 7 7 年，m a n d e l b r o t 在次出版了其英文专著 分形：形、 机遇和维数( f r a c t a l ：f o r m 、c h a n c ea n dd i m e n s i o n ) 。至此，分形几何终于横空出世。 1 9 8 3 年，他的专著 自然界的分形几何学( t h ef r a c t a lg e o m e t r yo f n a t u r e ) = 里初步提出 了分形理论。它有效地解决了欧式几何所不能及的问题，是一个跨时代的突破【2 吲。 现今的人们对分形中的数学理论要求已经逐步提高，研究人员如果要建模、改善不 同的分形理论，需要借助直接交互式的操作软件。因此，分形理论的研究在彰显其理论 中心思想的同时，也突出表现于实际生活的应用中。最近的几十年中，分形理论的应用 第一章绪论 在诸多领域都取得了令人瞩目的成果。例如，生物、化学、物理、地质，甚至自然科学 等各个方面，特别是在广告创意设计、影视剧动画制作、建筑景观模拟仿真、装饰工程 等，分形的应用都取得了一定的成果。不仅如此，有些难题的解决也是借助于分形理论， 才能给出其特有的解释，它广泛的应用价值还衍生到了压缩图像信息时的信息识别和提 取、分割、编码等等。所以，分形学是具有强大的未被开发的潜质的，分形图形的变形 技术更是前景一片光明。 1 2 国内外研究现状 在分形理论经过十几年的发展之后，近年来研究人员已将其研究重心转向了应用领 域。所以，当今国内外对分形理论的研究提出了更高的要求，并出版了大量该方面的书 籍文献。研究人员共同关注的是如何健全完善分形理论，加强其可操作性。从理论上来 说，估计维和分形重建( 即动力系统的吸引集给出f r a c t a l 套) 、扩展j 集和m 集的性 质、维数研究和物理学中的动力特性都会被研究人员所关注。 随着人类的进步，光满足于简单的静态图形生成，以及只能通过文本形式交互生成 变形分形图终究是会被淘汰。所以，分形变形技术，这项在计算机图形学和图像处理领 域有着重要开发应用前景的技术，需要更快更新的探索。 1 2 1 国外研究现状 当今国外对分形图的研究开发，通常是采用迭代函数系统算法i f s ( i t c r a t e df u n c t i o n s y s t e m ) 。非常热门的r i c h a r d w a r s 分形山，好莱坞大片中的宇宙行星演变的序列图， 不过，分形变形技术的发展却没有分形图像生成技术那样快速。产生这个问题的原因是 来自分形仿射变换，它本身具有局限性。现有的几种变形方法 7 1 ： ( 1 ) 根据i f s 码的几何意义，将其进行基变换分解的乘积，方式有平移、旋转、缩放 和错切。然后进行特定参数插值。要实现二维图形的i f s 变形，b u t c h 认为i f s 仿射变 换的线性部分需要用到矩阵极值分解，但是对线性直接进行插值时的中间态变化过程是 非自然过渡。为了改进这个问题，m a r t y n 使用矩阵奇异值分解来变形i f s 吸引子，该 方法通过升级维数和规范i f s 的定义，对空间向量进行统一匹配旋转后，再用奇异值分 解法对仿射变换插值。虽然这该方法在进行插值过程中维数会降低，非奇异性等条件也 会限制参数的改变，但总体相比极值分解法更具优势。另外，i f s 分形吸引子的真彩分 形变形方法和自适应对应变形法虽然不具备吸引子自然连续性的特性，但是给分形图增 2 长安大学硕士学位论文 加了颜色向量。 ( 2 ) s p r o t t 提出带自动参量的迭代函数系统( 自发生i f s ) ，随机可控i f s 码可以由不 同统计特征的随机数生成，集中改变i f s 变换码的对应插值来获得千变万化的变形效 果，然后通过人工试凑生成特定的目标图。 ( 3 ) i f s 吸引集的变形仅适用于i f s 吸引子的仿射变形，存在仿射变换过程中的插值 难问题，目前还在探索过程中。 现有的变形技术有几个缺陷：l 、i f s 吸引子间变形的中间过程会发生离散间断。2 、 参数插值难、几何定义微弱。3 、变形图失真。变形技术的这几个问题如图1 1 所示， 变形图形失真、不连续、断裂，因此不能称之为有效的变形，与自然界有意义的变形相 差太大，算法繁复、难以用文本输入控制。 图1 1 技术缺陷的分形变形图 要解决这些技术上的难题，可以对分形图进行线性插值，用基于起始位置的i f s 代 码点调控变换各类参数，以达到高效生成分形图的目的。这样用户就可以用更主观的方 式模拟虚拟世界的动态图像，以完成虚拟世界和现实世界之间的实时交互特性。 1 2 2 国内研究现状 国内的变形技术研究状况，一般是拓展变形算法中的仿射变换。先给定一个度量空 f 司c h c x ) ，i i l ( d ) ) ，然后对空间内的概率分量乃( os 乃s 1 ) 做放射变换，p = l 。得 ，i o 到 日( ，形七，彳 ，它构成了一个迭代函数系统i f s p ，p 为概率因子。分析i f s p 中的 一一对应的仿射变换，通过对矩阵分解的线性插值可以提取参量系数，即内在动力系统 3 第一章绪论 参数。然后对i f s 的参数增量进行连续地控制调节，得到新生成的i f s 吸引子后就算完 成了下一步变形步骤的准备工作。在计算初始概率向量时，为了维持分形图原始状变形 到目标状的几何特性不变，一般只计算p 对i f s 的影响而忽略一致性概率去。现假定 三：i 口b ，i 为仿射变换的线性矩阵，对该矩阵进行奇异值分解可得l _ u s v f ，其中，正 l c口j 交矩阵为u 和v 分别表示正反两方向的旋转变换，如公式1 1 所示。 三= 瞄篙 ，i = l ，2 m t ， 对角矩阵s 表示了一个尺度变换，尺度系数分别为墨和屯，增加当s i g n = o ，当h o ， s i g n = o 否则s i g n = l 来表示是否存在反射。还需加上平移参量( 以，d ，) r 视为i f s 的内在动 力因子，则公式1 2 是第i 个仿射变换的内在动力因子的参数组的基本表示形式。 p a r a m e t e r ( i ) = 【q ，岛，q ，s 2 ；s i g n ，l ，f 2 】，i = 1 2 ，n ( 1 2 ) 根据式1 1 和1 2 ，对内在动力参数进行调整后得到的n 个新的仿射变换重新组合， 得到新的i f s 吸引子，为下一步的变形做好了准备。 变换的几何性质全部可以通过i f s 放射变换的内在动力系统参数实现，但要注意以 下几点： ( 1 ) 控制仿射变换较困难，因此s i g n 值不变。 ( 2 ) 向量参数随着平移量而变化，但不能超出i f s 吸引子规定的范围值。 ( 3 ) 在i f s 仿射变换过程中，参数的改变不能影响图形的非奇异性和压缩性。 三维i f s 吸引子的变形关键是调整带随机概率量的i f s 码，也就是i f s p 。经仿射 变换构建人工对应的i f s 吸引子后，通过线性插值其分解后的极值得到最终的变形结 果。分形变形图经仿射变换对参数进行变换插值后的效果更加逼真，所以要通过多种途 径实现仿射变换，常见的三种方法都是对其仿射矩阵进行分解：奇异值分解、极值分解 和q r 分解嗍。这三种方法中最有效的是极值分解法，虽然极值分解在分解过程中的参 数和内在动力参数容易发生重组，但是该方法运算量小且能生成与真实物体较为近似的 变形图。无论是二维的仿射变换，还是三维的仿射变换，它们都具备三种相同的变换， 也是仿射变换中最基本的变换：平移变换、旋转变换、缩放变换。只不过，旋转变换在 三维空间内比二维平面要复杂许多，主要原因是在三维空间中要对旋转矩阵进行单位四 4 长安大学硕士学位论文 元数的变换插值，也就是用单位四元数的插值替换原有二维平面中的旋转矩阵插值，可 以得到插值路径改良后的i f s 变形图，效果较理想。单位四元数插值虽然计算复杂，但 是它可以稳定地表现三维空间中物体的旋转变换，非常适合计算机动画的制作。 综上所述，现有的分形理论还是有很多弊端，在实时交互性方面不能被满足。虽然 仿射变换生成图形变换有很多成果，但是还有很多不足。而比较具有优势的点控制的参 数变换领域又不成熟，需要我们进行进一步的探索研究，挖掘其巨大潜质。 1 3 论文的研究内容和结构框架 1 3 1 论文的研究内容 在自然界中，树木的建模和生长过程，一般可以利用分形技术简单实现。但是，这 些都是静物，“风吹杨柳动 的图像如何模拟? 动画片如何制作? 目前来说，我们对连 续运动的树木这一方面的研究还不是很深入。因此，树木随自然风摇曳的动画模拟，这 是一个相当有挑战性的研究方向。从内在因素来说，树木的形状千变万化，结构也是千 差万别；从外在因素，树木在风中摇曳受到风力控制，而风的变化又是随机、不确定、 混沌的。 本论文的一个重要研究内容，就是如何真实快速地仿真出树木在风吹环境下来回摆 动的动画效果。本文首先采用i f s 分形变形算法对自然界具有分形特征的树进行绘制， 然后加入参量，也可以看做是风力因子，结合传统科学中的物理学，通过调整变换参量 实现来回摇摆的树木的动画变形。因此风力模型的建立也是一个关键部分，需根据自然 规律来模拟不同强度的风力级数。该方法的优势是可以根据不同树木的层次结构特点， 生成更具有真实感的树木，并且能与力学原理相结合模拟摇曳的树木，可操作性强。 用传统方法只能生成静态图像，绘制图形复杂且耗时长，这是因为传统分形迭代系 统一般是通过仿射变换来进行图形的绘制，具有空间上的局限性：而现有的方法在实现 交互控制方面又有一定的局限性。所以要实现目标图形的插值变形，我们要引进“人工 试凑 的思想。因此，本论文用i f s 分形变形算法中的基于参数的i f s 吸引子控制建模 分形图，在分析分形图的仿射变换参数后，通过人工调整带参数的i f s 代码，对自然风 吹动效果下的分形植物进行动画变形。并给出了在虚拟的三维空间中，利用 v g m l ( v i r t u a lr e a l i t ym o d e l i n gl a n g u a g e ) 编程语言渲染出真彩的分形动画效果图，使计 算机产生的分形动画更接近现实世界中的真实物体。最后为了达到虚拟和现实世界之间 的有效交互性，本文采用v r m l 与j a v a 结合的交互式l - 系统来模拟虚拟世界中的三维 5 第一章绪论 植物图像，较好地弥补了传统l 系统算法只能在二维平面生成分形植物图的不足。 1 3 2 论文的结构框架 第一章绪论。介绍了论文的研究背景、研究意义，综述了国内外分形变形理论的 研究现状和技术上的一些缺陷，提出了主要研究内容和组织结构。 第二章理论。介绍了分形理论和分形变形技术的基本概念，包括分形的定义、分 形的特点、分形维数，几种分形模型及特性。重点分析了l 系统算法模型和迭代函数 系统i f s 算法模型，并提出了使用带参量的i f s 代码描述分形植物图的思路。 第三章核心。基于带参数的i f s 码分形动画的设计和仿真。首先确定了使用拼贴 法和i f s 吸引子参数变换法，简单介绍两种绘制i f s 吸引子的算法，确定了动画变形的 基本方法。在此基础上对i f s 吸引子加入参数的变换，仿真了枫叶变形为树的过程和树 在自然风中摇曳的动画效果。 第四章创新。基于v r m l 汇编语言的真彩动画效果渲染，对传统的基于i f s 二 维真彩变形图作出了改进。首先对虚拟现实建模语言v r m l 的技术特点和空间节点类 型进行了简介，然后对已有分形动画进行颜色设计，用v r m l 语言在计算机中仿真出 真彩动画。 第五章扩展。通过基于v r m l 与j a v a 结合的交互式l 系统，对原有的l 系统算 法只能在二维平面生成分形图的方法进行拓展，在虚拟现实的环境中构造出三维分形植 物图。 总结与展望。 6 长安大学硕士学位论文 第二章分形变形技术及算法模型 分形自从1 9 7 0 年首次被提出以来，经过几十年的长足发展，已逐渐成为一项前沿 学科，它与自然密不可分，是事物在数学中的不完全抽象。分形理论是科学界的一次重 大发现，与混沌理论及耗散结构【3 】并称为2 0 世纪末期的三大理论。它将现代科学的不同 领域紧密相连，可以作为自然界不规则图形强大的理论支撑。 随着分形思想和方法的不断扩充，现代社会又越来越离不开电子计算机技术，分形 理论已经彰显出越来越强大的生命力。而与计算机技术中的软件图形学息息相关的变形 技术，也逐渐成为焦点，因为它主要的变形对象是具有分形特征的图形图像，它已经成 为计算机图像学的一个重要研究区域。 2 1 分形和分维 2 1 1 分形的概念 ： 2 0 世纪6 0 年代，美籍法国数学家b b m a n d e l b r o t 首次提出了分形思想，在美国权 威杂志科学上发表了一篇名为“英国的海岸线有多长”的著名论文。7 0 年代，他提 出了分形几何的概念，同年出版了专著 三 规则集p 呻 尸3 ：一三尺 - + _ p 4 ：l 专r l 2 4 2 海龟爬行法则 l 系统算法生成分形图的原理，是基于规则变换对一个初始字符串进行多次反复的 重写。给重写后字符串中的字符给出特定的几何图形定义，s z i l a r d 和q u i u t o n 提出了一 种新的方法一海龟爬行法则( l o g o s t y l et u r t l e ) 1 射。 我们可以想象有一只海龟在沙滩上爬行，当前状态为( x ，y ，口) 。海龟在沙滩的位置 ( x ，y ) ，前进方向口( 海龟头部指向) ，爬行步长d ，头部扭转角度增量万。其在二维平 面的运动定义： ( 1 ) f - 海龟向前移动每步为d 的n ( | 1 = 1 ) 步，从( x ，y ) 向( x ，j ，) 画一条直线段，移动后 的坐标( x ，y ，口) ，可得： f x ，= x + n d c o s 口 ( 2 4 ) ，4 i i - y = y + n - d s i n c e r 长安大学硕士学位论文 ( 2 ) + ：逆时针转向艿，状态坐标变为( 菇，y ，口q - 艿) 。 ( 3 ) 一：顺时针转向占，状态坐标变为( x ，y ，a - 8 ) 。 例如，经多次替换后得到字符串：f f f f f + f f + f f f f f 。设海龟初始爬行方向 = 9 0 。，旋转增量万= 9 0 。，爬行步长d 为方格单位长度，海龟在二维平面的爬行路线 如图2 1 所示。 f 。 f jl 一7 一，r f f j 一、 ， j k 户。 f f+ 、 jl + ，r f f 一、， 起万、f 、f、f 始 点 图2 1 海龟的二维平面爬行路径 自然界植物的一个共性就是分枝，因此，要模拟分枝结构需要增加两个符号“【”( 分 枝的起始状态) 、“】 ( 分枝的结束状态) 。含义如下： 【：将海龟的实时方位和爬行方向入栈； 】：将海龟的实时方位和爬行方向出栈。 植物的一个完整分枝可以由中括号内的字符串组成。例如字符串f + f 】f 【- f f ，通过 “【 和“】”实现了分枝结构。分枝的表示可以由海龟的初始爬行方向a o = 9 0 。，旋转增 量变为万= 4 5 ，爬行步长d 依然用方格的单位长度表示，爬行路径如图2 2 所示。 一 l l l 起始点 图2 2 分枝结构的海龟爬行 1 5 第二章分形变形技术及算法模型 以上是海龟爬行法则对二维平面中的字符串的解释，该法则同样可应用于三维空间 中。因为l 系统要对自然界植物更进一步地进行描述，就要从二维到三维空间进阶。虽 然l 系统字符串缺少三维拓扑信息，但是其运行机制还与二维平面中一样，但是，在三 维空间中的运动范围更大，需要加入控制符号。 三维空间的l 系统中的海龟爬行轨迹由三个向量组成，如图2 3 所示。 日一向前；z 一向左；u 一向上；u = 日- - b 三。 一 u 海龟在三维空间的状态描述为组件( x ，y ，z ，h 啼，z ，孑) ，其中x 、y 、z 为三维空间的状 青，五，孑 = 五互，彦 欠。咒( 9 ) 、焉( 口) 、足( 秒) 分别为绕方、五、z 旋转的角度9 。 rc o s 9s h z oo l 也( 矽) = l s i n o c o s oo i ( 2 5 ) l 001 i ic o s 00 一s i l l 目i 忍( 0 ) = l 010 i ( 2 6 ) is i n 0 0c o s 0l 砷，性0 0 0 - s i n 0 0 c o s 0 足( 口) = l c o s p i ( 2 7 ) i s i n p l 1 6 长安大学硕士学位论文 控制海龟在三维空间中爬行的方向，一般用如下符号表示： + ( 9 ) ：绕u 左转矽6 角，用矩阵r ( 0 ) ； - ( o ) ：绕u 右转口角，用矩阵足( 一目) ； & ( p ) ：绕z 下转口角，用矩阵足( 乡) ； ( 9 ) ：绕z 上转( 目) 角，用矩阵足( 一0 ) ； ( o ) ：绕日左转口角，用矩阵 r ( 1 8 0 。) 口_ x z _ x y p l ：x - - + x y p 2 ：y 专f x ( 9 ) ：绕日右转口角，用矩阵兄( - 0 ) ； i ：绕u 旋转1 8 0 。，用矩阵r ( 1 8 0 。) 。 2 4 3l 系统描述植物 l 系统是以描述植物的拓扑结构为目的，遵照特定的公理( 初始状态) 和描述规则 ( 产生式集合) ，对字符进行不停重复的改写生成新的字符序列，从而得到植物生长过 程的抽象和模拟。产生式集的规则用来描述不同生长规律的植物的生成规则是有区别 的，需要用产生式集中的不同规则来对应其生长规律。例如，植物在的生长过程是随着 时间不段变化的，所以各个生长阶段的规律是不同的，这样一来，就需要针对每个阶段 写出不同的生成规则。 由此，我们可以讨论复杂的植物图形结构。一般来说，无论多么复杂的图形，都是 由线条组成，线条又是由初始点、线长、方向确定。因此，可以将绘制复杂图形分解为 若干线条的组合连接。用l 系统在计算机上绘制复杂图形的第一步，确定一个起始态和 一个线条方向。当图形的绘制到某一阶段时，用三个向量确定此阶段的状态( x ，y ，a ) ， ( x ，y ) 为当前坐标，a 为当前线条方向角度。可以看出，要完成一种状态到另一种状态间 的转换，通过平移和选择就可以轻易实现，只需要用符号来定义一些诸如平移、旋转的 状态变换动作即可绘制简单的图形状态。一般一串绘图指令用“f 、“+ 、“一 、“【”、 “】 组成，换句话说，给定一个符号串就能用计算机绘出这个符号串所代表的相应图 形。用l 系统就能生成这样一个符号串指令序列，并由此绘制出符号串所对应的图形。 1 7 第二章分形变形技术及算法模型 生成规则由a 专x 表示，代表x 能由a 推导出，其中a 是前段，x 是后续。此产生式 ( 生成规则) 可以进行无限次嵌套，使字符串可以反复重写而迭代下去，例如，x 专x y 就是一种嵌套的形式。砂作为替换x 的后续，包含前段字符x ，而后继砂中的这个新产 生的x 又可以通过嵌套形式x 专x y 来重新迭代，该过程可如此往复进行重写。 每个产生式都有它的规则，被包含与集合中，这些产生式规则可以互相独立地实现 重写字符串的功能。例如，对于如下的产生式集合： p 1 ：x - - 9 , 爿y p 2 ：yjf x 若开始时刻的字符串是x ，对字符串中的每个字符都用产生式集合中的相应规则来进 行重写替换，重写一次就能得到字符串y ，重写两次得到字符串x y + f x ，重写三次就是 x y + f x + f x y 了，如此迭代进行下去，直到得到了所需的结果字符串为止。对于最后的 结果字符串，将其中无绘图指令意义的x 、y 字符忽略，就得到了指导计算机进行绘图的 指令字符串。 以上论述详细解释了l 系统描述图形的步骤，其生成分形图的流程如图2 4 所示。 图2 4l - 系统描述分形图 由该图可以看出，符号串序列在计算机绘图的过程中作为指令，指导产生式集合将 简单的初始字符串生成复杂的符号串序列。它的核心思想是通过简单规则构建复杂行 为。显而易见，l 系统方法可以模拟植物结构的生长的过程是可以用产生式规则进行描 1 8 长安大学硕士学位论文 述的，只需要将计算机绘制的一条线段看做植物分枝的一次生长。所以，l 系统可以通 过此生成规则描述与现实植物相类似的虚拟植物。 许多经典的分形图都是由l 系统生成，尤其是在一些具有复杂分枝结构的植物描述 中，l 系统更是有其独到运用。此外，l 系统应用到信息学中的特性是释放压缩图形图 像的信息，让其出栈。所以，l 系统无论是在计算机图形图像学还是信息科学中都具有 重要的研究地位。 2 5i f s 迭代函数系统算法模型 2 5 1i f s 变形算法原理 定义2 1 ：迭代函数系统是由一个有限的压缩映射集x = ：n = l ，2 ，n ( 若的 压缩比为，o s m a x q 1 ) 及其一组对应的伴随概率磊( o 0 ，选定一个 i f s x ：，f = 1 ，2 ，万 ，其压缩因子为0s s o ，i = l ，2 ，刀 ( 3 1 4 ) f l l 其中概率只对应于变换w 。把带概率的i f s 表成 ，w 2 ，a ，p 2 ，见 。通常可取 a 掣，净1 ，2 ，卅( 3 1 5 ) d e t & l k = l 式中4 = ：主 ，若：d e t = 。，可取a 为很小的正数c 如。，并且同时对其它 的胁做少许调整，使岛= l 。 用随机迭代算法绘制分形图，原理清楚，程序简单，省机时。下面以分形树为例， 用随机迭代算法来绘制。 表3 2 分形树的i f s 码 i abc def p w l o00o 500o 0 5 w 2 o 4 2- 0 4 20 - 4 20 4 2o 0 2 0 4 坞 o 4 2 o 。4 20 4 2o 4 2o0 2o 4 h o 10o0 1 o0 2o 1 5 通过利用上表中的i f s 码，用随机迭代算法生在计算机上仿真出了简单的分形树， 如图3 5 所示。 3 2 长安大学硕士学位论文 图3 5 随机迭代生成的简单分形树 3 4 分形动画的变形仿真 ： 由定理3 1 可知，只要是仿射压缩变换下生成的分形图就是有且唯一存在的，其生 成的分形图称为吸引子或吸引子集。因此若干个仿射压缩变换决定了分形图的结构和形 态，要实现分形动画仿真，只需要规律地调控一组仿射变换中的i f s 代码来改变分形图 的目标状态即可。 通过前面对i f s 的综合论述，现在可以用迭代函数系统来实践生成一个分形集，与 常见的生成静止物不同，怎样绘制动态的分形集? 怎样制作动画片? 要解决此问题，我 们可以引入带参量的i f s 代码，也就是说在映射中加入参数p ，成为形( p ) 2 7 - 3 3 。本节 运用该方法对两种变形动画进行仿真实验。 引理3 1 ：设( p ，吒) 和( x ，d ) 是度量空间，且( x ，d ) 是完备空间，令矽：p x x x 是以0 s j 生成一棵树，现加入参数口，即风力因子p o w f , 公 式2 2 1 变为： 赫珊讣阴 2 。， 然后设置其对各分支m 、w 3 、心的影响分别为1 0 、0 4 5 、0 4 5 、0 1 ，可以理 解为p o 、f 对树的顶端分枝m 影响最大，依次减弱，对主干心影响最小，符合现实中树 被风吹动的实情，其中： m 顶端树枝，即嵋= p o w f 左树枝，p 嘶= 0 4 5 p o w f w 3 一右侧树枝，即嵋= 0 4 5 p o w f 心一树干，p o w a = o 1 p o w f 为能得到一颗风中摇曳的树，公式3 2 0 变形为 f 口 = ，ic o s ( ( 岛+ p o w f , , ) 万1 8 0 ) 端+p即ow心f,)a石11 8 8 0 3 ，n 哥- 2 ，3 一 lq = ，i 如( ( q) u 垆一1 【西= r 2c o s ( ( 岛+ 印蜕) 万1 8 0 ) 3 6 、_、一、 口 口 + + 佾 ? 5 | 。l = 1 j x y ，l 长安大学硕士学位论文 表3 4 树在不同p o w f 作用下的i f s 码 0 l岛 ef p l ，i吒 巧 o 5 2 0 7 1 4 3 0 0 0 + w i n d 0 0 0 + w i n d 0 0 00 6 00 2 5 0 2 80 5 1 4 34 5 0 0 + 0 4 5 w i n d 4 5 0 0 + o 4 5 w i n d0 0 00 2 8o 2 5 w 3 0 4 00 5 1 4 34 5 0 0 + 0 4 5 w i n d4 5 0 0 + 0 4 5 w i n d0 0 00 3 50 2 5 w 4 0 0 0 0 4 2 8 00 0 0 + 0 1w i n do o o + o 1w i n d0 0 0 o o o0 2 5 根据上述分析，通过调节风力因子( 参数) 对i f s 吸引子进行连续变换，来实现对 自然风吹下的树木摇曳进行动画变形，其实现步骤如下： 1 、确定变形的图像帧数n ，选取源图像的初始坐标( ，) ，并确保( 而，y o ) 为吸引 子中的点才能使仿射变换中生成的所有点都落在其中，初始点可以将任一的仿射变换参 数代入式3 2 1 获得。 m 刚篇意 州爿j ( 生2 ) 1 2 、利用随机迭代算法绘制i f s 吸引子的概率，并从w l 、w 2 、w s 、w 4 随机选出一个 变换并求出一个新的( x , y ) ，这时的迭代次数为i + 1 次。 3 、重复步骤2 ，将新生成的坐标点( x ，y ) 作为初始点，随机抽取一个变换进行反复 多次迭代到1 1 次，最终得到分形的树。 4 、加入风力因子增量p o w f , 令w = 0 + p o w f , 重复步骤2 即可生成第二幅分帧图。 5 、重复步骤3 ，继而生第三幅分帧图、第四幅分帧图，直到p o w f 大于最大风 力值，迭代结束。大风力值可以认为根据真实环境的树摇曳运动的幅度来规定。 图3 7 所示为计算机通过该步骤实现的风中摇曳的分形树的具有代表性的几幅特征 图像。 图3 7 风中摇曳的树 3 7 第三章基于s 的动画变形 3 5 本章小结 对以往只对静态分形植物进行模拟不同，本章专门研究了动态带参的i f s 吸引子的 变形方法，首先通过拼贴交互式定理确定i f s 吸引子，再用随机迭代算法绘制出i f s 吸 引子，从而构建静态的具有分形特征的初始分形枫叶和分形树。然后，在已有分形植物 的i f s 码中加入参数因子，通过调节i f s 吸引子参数连续地对分形植物的形状进行改变， 从而实现了分形图形的动态变形，对i f s 模拟分形图领域作出了有效补充。 3 8 长安大学硕士学位论文 4 1v r m l 技术原理 4 1 1v r m l 的简介 第四章v r m l 真彩动画渲染 虚拟现实建模语言v r m l ( v i r t u a lr e a l i t ym o d e l i n gl a n g u a g e ) ，是- n 新型语言，是 计算机科学的前沿技术【3 4 1 。作为第二代网络程序设计语言的v r m l 完全改变了网络的二 维平面世界，实现了真正意义上的三维立体网络世界、动态交互与智能感知等。实现计 算机网络、多媒体及人工智能的完美结合。顾名思义，该语言就是通过创建一个虚拟场 景以达到现实中的效果。v r m l 作为三维造型和渲染的图形描述语言把“虚拟世界”看 作一个“场景 ，而场景中的一切都被看作“对象 ( 即节点) 。v r m l 的节点是对现实世 界中各种对象和概念( 如球、光和材质等) 的抽象描述，是v r m l 文件中最基本的组成 部分，其作用是描述空间造型及其属性。一系列节点之间并列使用或层层嵌套就构成了 v r m l 场景。v m r l 具有对象化，可交互，生成物体逼真立体等特点。它将对于对象的 旋转、缩放、位移等三维操作均放在对象节点中作为一个域出现，其域值即为三维操作 的参数，表达简洁，清晰，易于描述实现。此外还可结合编程语言扩充其功能，实现对 植物结构的控制，进行动态交互。v r m l 的主要特点有： ( 1 ) v r m l 具有强大的网络功能，可以通过运行v m r l 程序直接接入i n t e r n e t 建立立 体网页与网站； ( 2 ) 具有多媒体功能，能够实