（基础数学专业论文）对称在求非线性发展方程的精确解和守恒律中的应用.pdf

聊城大学硕士学位论文 摘要 本文主要应用经典李群方法和直接约化法分别研究了( 2 + 1 ) 维b o u s s i n c s q 方程，( 2 + 1 ) 维高阶b r o e r - k a u p ( h b k ) 系统，( 2 + 1 ) 维多分量b r o e r - k a u p ( m c b k ) 系统，广义变系数 z a k h a r o v - k u z n e t s o v ( v c z k ) 方程等高维、高阶、多分量及变系数非线性发展方程的对称、 约化方程、精确解及守恒律等内容 在第章中，通过利用李群方法，得到了在浅水波长波分析，表层多孔渗水物质材 料的水渗透分析瞄1 中有着广泛应用的( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q 方程的对称、约化及群不变解， 推广了文献 2 9 1 的中相应的结果由于对称和守恒律之间有密切的关系，同时找到了此 方程的无穷多守恒律 第二章主要研究了( 2 + 1 ) 维h b k 系统的p a i n l e v e 性质和无穷多对称利用推广的直 接方法，推导出了此系统的一般对称群定理，基于我们得到的结果，导出了h b k 方程 组的一些新形式的解另外，我们也构造出了此系统的无穷多守恒律 第三章首先利用p a i n l e v e 分析法验证了( 2 + 1 ) 维多分量b r o e r - k a u p 系统具有p a i n l e v e 可积性质，进而应用直接约化方法，得到了的一些相似约化，通过求解这些约化方程， 得到了此系统的一些新解 ， 在第四章中，将待定系数法求对称推广应用到变系数方程上，并扩展了对称的概 念以广义变系数z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程为例，利用此方法得到了对称，并根据对称 的不同对方程进行了群分类，并得到了约化方程 综上所述，本文的特色是利用p a i n l e v e 分析法证明了高阶和多分量b r o e r - k a u p 系统 是p a i n l e v e 可积的，并把直接约化法和推广的直接方法分别应用到多分量和高阶系统上， 得到了较好的对称及相似约化方程，并求出了一些新解；将待定系数法求对称推广应用 到变系数方程上，扩展了经典对称的概念另外，还构造了( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q 方程和高 阶b r o e r - k a u p 系统的守恒律，这些结果都是新的 关键词：非线性发展方程；对称：守恒律；精确解；李群方法；直接方法 聊城大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , m a i n l yu s i n gt h ec l a s s i c a ll i eg r o u pm e t h o da n dt h ed i r e c tr e d u c t i o nm e t h o d ， w eo b t a i nn e ws y m m e t r i e s ，s y m m e t r yr e d u c t i o n s ，g r o u pi n v a r i a n ts o l u t i o n s ，n e we x a c t s o l u t i o n sa n dc o n s e r v a t i o nl a w st os o m eh i g h - d i m e n s i o n a l ，h i 曲- o r d e r , m u l t i - c o m p o n e n ta n d v a r i a b l ec o e f f i c i e n t se q u a t i o n s ，s u c ha s ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a lb o u s s i n e s qe q u a t i o n , ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a lh i g h e r - o r d e rb r o e r - k a u p ( h b k ) s y s t e m , ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a lm u l t i c o m p o n e n t b r o e r - k a u p ( m c b 鼬s y s t e ma n dg e n e r a l i z e dv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sz a k h a r o v - k u z n e t s o v ( v c z k ) e q u a t i o n i nc h a p t e r1 ，w eo b t a i ns y m m e t r i e s ，s y m m e t r yr e d u c t i o n sa n dg r o u pi n v a r i a n ts o l u t i o n st o t h e ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a lb o n s s i n e s qe q u a t i o nb yu s i n gt h el i eg r o u pm e t h o d t h eb o u s s i n e s q e q u a t i o ni s u s e di nt h ea n a l y s i so fl o n gw a v e si ns h a l l o ww a t e ra n dm a n yo t h e rp h y s i c a l a p p l i c a t i o n s s u c h 觞t h ep e r c o l a t i o no fw a t e ri np o r o u ss u b s u r f a c eo fah o r i z o n t a ll a y e ro f m a t e r i a l l 2 5 1 f o re x , 扯- - ts o l u t i o n so f t h ee q u a t i o n ，w eg e n e r a l i z et h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so f t h e p a p e r 【2 9 】a sf o rt h ec l o s er e l a t i o n s h i pb e t w e e ns y m m e t r i e sa n dc o n s e r v a t i o nl a w s ，w ea l s o f i n di n f i n i t ec o n s e r v a t i o nl a w so f t h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lb o u s s i n e s qe q u a t i o n i nc h a p t e r2 ，p a i n l e v ep r o p e r t ya n di n f i n i t es y m m e t r i e so ft h e ( 2 + 1 ) - d i m e u s i o n a lf i b k s y s t e ma r es t u d i e di nt h i ss e c t i o n u s i n gt h em o d i f i e dd i r e c tm e t h o d ，w ed e r i v et h et h e o r e mo f g e n e r a ls y m m e t r yg r o u p st o ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a lh b ks y s t e m b a s e do no u rt h e o r e m ，s o m e n e wf o r m so f s o l u t i o n sa r eo b t a i n e d w ea l s of i n di n f i n i t en u m b e ro f c o n s e r v a t i o nl a w so f t h e ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a lh b ks y s t e m i nc h a p t e r3 ，u s i n gt h ed i r e c tm e t h o do ft h e ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a lm u l t i - c o m p o n e n tb r o e r - k a u ps y s t e m ，s o m et y p eo fs i m i l a r i t yr e d u c t i o n sa r eo b t a i n e d b ys o l v i n gt h er e d u c t i o n s ，o n e c o a lg e tt h es o l u t i o n so f t h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lm u l t i - c o m p e n e n tb r o e r - k a u ps y s t e m i nc h a p t e r4 ，t h eu n d e t e r m i n e dc o e f f i c i e n t sm e t h o do f f i n d i n gs y m m e t r i e si se x t e n d e da n d a p p l i e dt ot h ev a r i a b l ec o e f f i c i e n t s z a k h a r o v k u z n e t s o ve q u a t i o na n dw ee x p a n dt h e c o n c e p t i o no fs y m m e t r y w eg e tg r o u pc l a s s i f i c a t i o na n dr e d u c t i o n sb a s e do nt h eo b t a i n e d s y m m e t r i e so f v c z ke q u a t i o n t h ef e a t u r eo ft h i sp a p e ri n c l u d ep r o v i n gt h eh i g h o r d e ra n dm u l t i - c o m p o n e n tb r o e r - k a u p i l 聊城大学硕士学位论文 s y s t e ma p a i n l e v ei n t e g r a l e x t e n d i n gt h ed i r e c tr e d u c t i o nm e t h o da n dm o d i f i e dd i r e c t m e t h o dt 0t h eh i g h - o r d e ra n dm u l t i - c o m p o n e n ts y s t e m , o b t a i n i n gt h eb e t t e rs i m i l a r i t y r e d u c t i o n sa n df i n d i n gs o m en c ws o l u t i o n s i na d d i t i o n , w ea l s of i n di n f i n i t ec o n s e r v a t i o nl a w s o ft h e ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a lb o u s s i n e s qe q u a t i o na n dh i g h e r - o r d e rb r o e r - k a u ps y s t e m t h e s e w h i c hh a v e n tb e e nr e p o r t e di no t h e rp a p e r sa l en e wr e s u l t s k e yw o r d s ：n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ；s y m m e t r y ；c o n s e r v a t i o nl a w s ；e x p l i c i t s o l u t i o n ；l i eg r o u pm e t h o d ；t h ed i r e c tm e t h o d i l l 聊城大学硕士学位论文 前言 在数学物理和其它许多领域遇到了大量的偏微分方程，如k o r t e w e g d ev r i e s ( k d v ) 方 程，b o u s s i n e s q 方程，( 2 + 1 ) 维高阶b r o e r - k a u p 方程组等( 见 1 3 】) 而非线性发展方程是描 述物理现象的一类重要数学模型，也是非线性物理特别是孤立子理论最前沿的研究课题 之一非线性发展方程的精确解和对称性的研究有助于弄清物质在非线性作用下的运动 规律，对相应物理现象的科学解释和工程应用将起到重要作用 对于给定的非线性偏微分方程，无论是低维的还是高维的，求其通解是很困难的但 在物理等领域中，人们关心的是一些特殊形式的解，如行波解、孤立波解、孤立子解、 相似解、p e a k o n 解和d r o m i o n 解等等目前，对于偏微分方程的求解问题已经发展了一系 列行之有效的方法如t a n h 函数变换及广义t a n h 函数变换法，齐次平衡法，形变映射法， d a r b o u x 变换法，反散射方法，p a i n l e v e 分析方法，多线性变量分离法峥1 9 j 以及李群方法 2 2 2 1 等利用这些方法，人们求解了大量的具有重要物理意义的非线性演化方程( 组) ，一些 新的可以反映更为复杂的物理现象的精确解，如d r o m i o n 解、l u m p 解、振荡型d r o m i o n 解、环孤子解、运动和静止呼吸子解、似瞬子解等正在不断的被国内外的学者所揭示最 近，楼森岳教授等许多专家和学者对高维非线性演化方程的具有自相似结构和多值性的 折叠孤波及具有弹性性质的f o l d o n s 分别进行了广泛研究，向人们展示了更为复杂的波动 现象，他们的工作同时也说明这些能够揭示丰富多彩自然现象的非线性演化方程( 组) 仍 是人们关注的焦点之一由于高维、多空间变量的非线性演化方程的解能够更多的反映 复杂自然规律，其求解问题特别是如何更简便的求解问题则一直是物理学和数学研究的 重要课题 求精确解的关键是构造变换，如何构造变换是技巧性非常强的工作，往往不同的方 程需要不同的变换，只有变换选择恰当了才能达到求解的目的，而应用李群方法使人们 知道了如何选择变换才能合理地得到欲求方程的一些解 李群方法是研究微分方程的有力工具之一，应用李群可得到方程的不变群和约化方 程李群方法的基本思想是：在连续变换群下给定的非线性发展方程保持不变性质根 据这种不变性构造群不变量作为函数变换的基础，使方程( 减少一个自变量) 得到化简或 求解对称是李群理论中的一个基本概念，但应用对称约化求解非线性发展方程，目前 聊城大学硕士学位论文 国内的工作比较少，特别是应用对称约化求解高维或变系数非线性方程就更少了李群 方法主要包括经典李群方法和非经典李群方法经典李群是求解微分方程相似解系统而 标准的方法，非经典李群方法是经典李群方法结合不变曲面条件对方程约化的一种方法 直接约化方法又简称为c k 方法，它是由p a c l a r k s o n 和m d k r u s k a l 于1 9 8 9 年提出来的一种求解非线性发展方程的方法 2 3 1 c k 方法的基本思想：通过选取适当的 变换把求解非线性方程化为求解常微分方程2 0 0 4 年，楼森岳教授等根据上述思想，推 广了c k 方法，提出了一种更加简单的直接方法即推广的直接方法 经典李群方法，非经典李群方法和直接约化方法是求非线性发展方程相似解的三个 最有力的工具 要利用对称约化求解，首先就要求出对称对称的求法，目前已有几种方法，可用 经典李群方法或者楼森岳教授提出的推广的直接方法l 矧先求得向量场，继而求出对称， 然而这两种方法计算量较大再一种方法就是利用待定系数法直接求方程的对称，即假 设给定方程f ( “) = 0 的对称a ( u ) 有下述形式： a ( u ) = a ( x ，y ，o u t + 6 ( 工，y ，t ) u ，+ c ( x ，y ，t ) u y + d ( x ，y ，t ) u + ，( x ，弘f ) ， 利用f ( 妙= 0 ，确定出待定函数a ( x ，y ，f ) ，6 ，y ，f ) ，c ( x ，y ，f ) ，d ( x ，y ，f ) ，f ( x ，y ，t ) 即可这种 方法相比经典李群方法计算起来要简单一些，计算结果是一致的【2 2 1 微分方程的对称在数学物理研究中有着重要的应用，如从方程的原解生成新解，构 造守恒律，约化偏微分方程以及对方程进行群分类等等利用对称将高维方程约化成低 维方程，通过求解低维方程进而达到求高维方程的目的，这也是求解高维方程的一种有 效方法同时，利用对称得到的守恒律也是数学物理研究的中心课题之一在数学中借 助运动常数，对偏微分方程的解做出先验估计，这些估计是方程解的存在性、唯一性及 稳定性的核心与关键在计算数学中较好的稳定差分格式，也用到守恒律更有意思的 是，越来越多的事实表明：孤立子的存在与无穷多个守恒律的存在是有密切联系的因 此由对称来研究守恒律以及是否存在无穷多守恒律也具有重要的现实意义和理论意义 本文应用经典李群方法和直接约化法分别研究了( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q 方程，( 2 + 1 ) 维高 阶b r o e r - k a u p 系统，( 2 + 1 ) 维多分量b r o e r - k a u p 系统，广义变系数z a k h a r o v k u z n e t s o v 方程等高维、高阶、多分量及变系数非线性发展方程的对称、约化方程、精确解及守恒 律等内容 具体是这样安排的：( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q 方程在浅水波长波分析，表层多孔渗水物质 聊城大学硕士学位论文 材料的水渗透分析口5 】中有着广泛应用，第一章就是通过利用李群方法，求出了该方程的 对称、约化及群不变解，推广了文献 2 9 1 的中相应的结果由于对称和守恒律之间有密 切的关系，同时找到了此方程的无穷多守恒律第二章首先利用p a i n l e v e 分析方法证明 了( 2 + 1 ) 维高阶b r o e r - k a u p 系统具有p a i n l e v e 可积性质接着利用推广的直接方法，推导 出了此系统的一般对称群定理并求出了无穷多对称，基于我们得到的结果，导出了h b k 方程组的一些新形式的解另外，我们也构造出了此系统的无穷多守恒律第三章包括 两个内容：一是验证( 2 + 1 ) 维多分量b r o e r - k a u p 系统p a i n l e v e 可积性质，二是应用直接约 化方法，得到此系统的一些相似约化，通过解这些约化方程，求出了此系统的一些新解 第四章将待定系数法求对称推广应用到变系数方程上，并扩展了对称的概念以广义变 系数z a k h a t o v k u z n e t s o v 方程为例，利用此方法得到了对称，并根据对称的不同对方程 进行了群分类，得到了约化方程 本文的几点特色：一是利用p a i n l e v e 分析法证明了高阶和多分量b r o e r - k a u p 系统是 p a i n l e v e 可积的，并把直接约化法和推广的直接方法分别应用到多分量和高阶系统上， 得到了较好的对称及相似约化方程，并求出了一些新解；二是把待定系数法求对称推广 应用到变系数方程上，扩展了经典对称的概念另外，还构造了( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q 方程 和高阶b r o e r - k a u p 系统的守恒律，这些结果都是新的 聊城大学硕士学位论文 第1 章( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q 方程的对称、约化、 群不变解及守恒律 1 1 引言 非线性发展方程( 组) 描述不同领域的复杂现象，因此，求其精确解一直是数学物理 研究的重点问题为此提出了反散射方法，形变映射法，齐次平衡法，广义t a n h 函数法， 李群方法等大量的求解方法考虑下述( 2 + 1 ) 维b o l l s s m e s q 方程 ，、 a u n u 。一“w 一融2 j 舡一甜。= 0 ， ( 1 1 ) 此方程在浅水波长波分析，表层多孔渗水物质材料的水渗透分析1 2 5 1 中有着广泛应用，因 此该方程引起许多作者的兴趣对于( 1 + 1 ) 维b o u s s m e s q 方程，文献 2 6 1 给出了一些对称 和约化最近，对于推广的( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q 方程，利用b a c k l u n d 变换通过具体的符 号演算，文献 2 7 1 获得了( 2 + 1 ) 维b o 吣s i n c s q 方程的一系列精确解在文献 2 8 ，2 9 1 ，陈 和郑等人分别利用齐次平衡法和形变映射法得到了( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q 方程的孤立波解 和行波解 本节将利用李群方法讨论方程( 1 1 ) 的对称，通过得到对称进而得到一些新解和约化， 推广了论文 2 9 1 的结果又由于对称和守恒律之间有密切的关系，因此我们又得到了方 程( 1 1 ) 的无穷多对称，并且检验了守恒律和对称的相关性据我们所知，这些结果还未 见报道过因此，我们得到了方程( 1 1 ) 的守恒律和新解 1 2 ( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q 方程的对称和群不变解 对方程( 1 1 ) 应用李群方法，我们要求方程( 1 1 ) 的解集s = 甜l = o 在变换 i = x + 苗( x ，y ，“) ，y = y + e r ( x ，y ，t ，“) ，f = ，+ 占r ( 工，y ，f ，“) ，订= “+ 占妒( x ，y ，t ，) 下是不变的这样就得出了关于孝，玑r 和妒的由下述方程决定的线性齐次方程组 4 y ( ) | a = o = o ， ( 1 2 ) 4 聊城大学硕士学位论文 其中“矿是由下述方程决定的向量场矿= 善丢+ 叩导+ r 昙+ 妒毛的四阶延拓 【4 】矿= 矿+ 矿+ 矿三+ 矿三+ 矿三+ 垆一， ( 1 3 ) 咖io u 。o u wo u u咖“ 其中，妒“，q y y , 矿，妒一是由善，i ，f ，妒及妒的导数给出的于是e h ( 1 2 ) 得到关于善，r ，f 和妒 的决定方程组 r 。= 0 ，r ，= 0 ，f 。= 0 ，f ，= 0 ，己= 0 ，厶= 0 ，磊= 0 ，缈。= 0 ，乞= 0 ，妒。= 0 ， 妒批= 0 ，f t 一2 六= 0 ， 一r y = 0 ， 妒+ 一量+ 2 ( t 一关) “= o ，+ 2 + f 删= o ， 仍。+ p 一+ 妒奴# = 0 ，仉一2 + 叩 = o ，纯一2 g + 2 f f = 0 ，t t l y = 0 ， 4 吼+ 磊+ 2 妒。一善。= 0 ( 1 4 ) 利用m a p l e 软件得至l j ( 1 4 ) 的解 孝= c 3 x + c l ，7 = 2 c 3 y + c 4 t + c 2 ，f = 2 c 3 t + c 4 y + c 5 ，妒= ( 2 u + 1 ) c 3 ， ( 1 5 ) 其中c l ，岛，c 3 ，和乌是任意常数相应的向量场为 矿= ( c 3 x + q ) 昙+ ( 2 c 3 y + c 4 t + c 2 ) 言+ ( 2 c 3 t + c 4 y + c 5 ) 昙一( 2 1 ) c 3 昙o u ( 1 6 )办卯所 我们也可以写出( 1 6 ) 式的相应对称 盯( “) = ( c 3 x + q ) 虬+ ( 2 c 3 y + c 4 t + e 2 ) u ，+ ( 2 c 3 t + c 4 y + c s ) u , + ( 2 u + d e s ( 1 7 ) 方程( 1 1 ) 的由对称( 1 7 ) 构成的李代数可由下述五个对称延拓得到 o r t = x ，c r 2 = “y ，吒- = l d t ，q = 腭+ ，吒= x l i x + 2 y u ，+ 2 t u t + 知+ 1 ( 1 8 ) 这些对称间的换位关系为 h ，盯：】- o ，h ，吧】- o ，【q ，以】= o ，h ，】= 虬= q ，【o - 2 ，吧】= o ，h ，吒】_ o ， b ：，c r 4 】= 虬- - - - - 0 3 ，【吒，吒】= 2 u ，= 2 0 - 2 ，【巳，吼】- “，= 吒，【吒，c r 5 】= 2 地= 2 巴， 因此，这些对称( 1 8 ) 构成一个五维李代数也就是说，如果q 和盯，是此李代数的对称， 那么线性组合q q + 6 ，q 也是此李代数的对称，但q q + q q 不是一个新对称，其中 q ，屯置为了得到相应对称( 1 8 ) 的单参数群g ：( x ，y ，t , u ) 专( 工，y ，f ，“) ，我们解下列 聊城大学硕士学位论文 丢( x ，f ，“+ ) 2 盯( x 以，甜+ ) ，( ，j ，州；。= ( 训 “) 则有 g l ：i i - - t u + - m u ( x + o o ，y ，r ) ，9 2 ：甜斗”+ = ”( x ，y + z ，t ) ，9 3 ：_ = b y ，t + 6 ) ， f e + p 1e 5 - e 1e - e 1 e + e “1 9 4 寸“刮【墨广 厂广y + 广j 岛：甜1 l * = e - 2 e ( 胛，弦2 , t e 2 s ) + 二】1 一丢 定理：如果“= ，( 工，y ，t ) 是方程( 1 1 ) 的已知解，则 甜( 1 ) = ，( x 一占，y ，f ) ，“( 2 ) = f ( x , y 一占，f ) ，“( 3 ) = f ( x , y ，一占) ， q ( 而竿y 一竿卜丁e z - e - # y + 丁e s + e - s ， ， 砷= e 5 【( 船一，弦- 2 s , t e - 2 t ) + 尹1 一j 1 ， 也是方程( 1 1 ) 的解，其中占是参数利用定理的结果，可通过方程( 1 1 ) 的已知解得到一 个含有参数的新解例如，取文献 2 9 】中解，应用u i 。和群岛可得到方程( 1 1 ) 的新解 + 一怿叫丝鲨掣h - 一，1 其中q ( f = l ，2 ，3 ，4 ) 是任意非零常数当然，取“+ 为种子解，利用9 4 又可以得到另一解 “”謦s 叫塑竽竽创h - - 1 1 3 ( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q 方程的约化 本部分，我们将利用得到的对称( 1 8 ) 约化方程( 1 1 ) 情况l ：由q + c r 2 = 略+ ，= o ，得到“= ，( 矾巧) ，其中o = x y ，巧= r ，则方程( 1 1 ) 约化为下述方程 。一2 - 2 l - 2 嚣* 一 * * m = 0 6 聊城大学硕士学位论文 这是( 1 + 1 ) 维b o u s s i n e s q 方程【2 6 】 情况2 ：由o - i + 吒= 蚝+ = o ，得“= 厂( p ，珂) ，其中0 = x - t ，t i t = y ，则方程( 1 1 ) 约化 为下述方程 乞+ 2 f e 2 + 2 尻+ = 0 情况3 ：f n o - 2 + 乃= 虬+ 甜，= o ，得“= ，( 目，万) ，其e o o = x ，河= y - t ，则方程( 1 1 ) 约化 为下述方程 厶+ 2 l 2 + 2 尻+ = 0 情况4 ：由o - 1 + + 吒= “，+ q + 虬= o ，得“= ( o ，疗) ，其中0 = x - y ，巧= y t ，满 足下述约化方程 。 2 石，一2 石2 2 力0 一品= 0 ， 方程关于0 积分一次并取积分常数为零可得。 厶一崩一三= o ， 这是k d v 型方程 情况5 ：由o 4 = m + = 0 ，得”= 厂( 口，万) ，其中0 = x ，巧= y 2 一t 2 ，f 满足下述变系 数约化方程 4 t a f 阿4 ，+ 精+ 2 f a 3 七2 嚣精七 黼= 0 情况6 ：由吒= 啦+ 2 y u y + 2 t u t + 2 u + l = 。，得“= 一吉+ 厂( 只珂) ，其中口= 手，巧= 手， ，满足下述变系数约化方程 e 。 + 2 0 m f a + 拍 e 矗l 。+ 4 w f w + 2 f f 。一e ：一8 a f f 鲫一4 f i e - 1 6 0 tl j 。e 一4 8 0 f a r o 一1 2 f o s = 0 情况7 ：c a a , + q = 峨+ m + q = o ，得= 厂( 口，万) ，其中o = x - l n ( y + t ) ，帮= y 2 一t 2 ， ，满足下述变系数约化方程 4 毋 狮丰4 f o 一4 f 蛔+ 婚+ 2 静静+ 2 砖七 黼= q 7 聊城大学硕士学位论文 1 4 ( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q 方程的守恒律 现在我们来构造方程( 1 1 ) 的守恒律 d y + 皿x + d ) - - o ( 1 9 ) 假没是方程( 1 1 ) 的解，在u 的守恒形式( 1 9 ) 中分离出“的四阶导数项，并令其系数为零， 得 坼m ：气2 0 ，：气+ k2 0 ，u t t t y ：+ 匕2 0 ，：t + k = 0 ， ：k + k + k2 0 ，1 1 1 0 , y ：乙+ k2 0 ，：。+ k2 0 ，甜m ：k2 0 ， ：k + k + k2 0 ，：k + k + k2 0 ，：乙+ k 2 0 ， “：k 一2 0 ，却，：k + k2 0 ，“。：k + k 。0 ，：k + 匕= 0 因此，我们可以选择 r = 4 l k + b “咿+ 尸( b ，“，f ，工，y ，“) ，x = 一a u m + c u 。口+ d u x y y + q ( 甜，“，f ，x ，y ，“) ， 】，= 一b 。一d “珊，+ c u y + r ( b ，“，f ，x ，y ，) ， ( 1 1 0 ) 其中a ，b ，c 和d 是任意常数，p ，q ；f 铂r 是任意函数表示“关于r ，x f i 口y 的 所有二阶偏导数表示“的所有一阶偏导数于是，在( 1 9 ) 的展开式中余下的方程是i z + u t t n + u n t u + u “t u ，+ u q + u m t 。x + 砭+ + t + + ，+ x ，+ u 。x 。+ u 饥x u t + u 聪x u l + u w x + k + & + k + “。k + “。k + “，咒，+ + 艺+ + + 匕+ k + + k + k + + ( 一k 一2 u u 。一2 “；) = o ( 1 1 1 ) 将( 1 1 0 ) 代入( 1 1 1 ) ，分离出甜的三阶导数项并令其为零，可以得到 t = a u 脯+ 口甜坩+ 户( “，f ，x ，y ，“) ，x = - a 船+ c u m + d u+ q ( 甜，f ，x ，y ，“) ， 因此( 1 1 1 ) 可以写成 y = - b u 砂一d “埘+ c 砖+ r ( “，t ，t y ，材) ， 8 ， ( 1 1 2 ) 聊城大学硕士学位论文 t + u t t u + u # t u 。+ u 戗t u 。+ u 母t u y + x x + u x x u + u 戤x u i + u t x xu i + u y x x u ， + + u y y , + k + 甜p + ( 甜。一“。一2 u u 。一2 ) 匕= o ( 1 1 3 ) 同样地，将( 1 1 2 ) 代a ( 1 1 3 ) ，分离出“的二阶导数项并令其为零，可以得到 r = 4 ”船+ 口甜咿一c u , + 砌，+ g u ，+ 疗( f ) + 缸， x = 一彳z k + o 。+ d u w - f u t + c ( 2 u + 1 ) u ，+ 胁。+ ，( 了) + “， r = 一口“却一d u = y + c u ，一g u t k u ，+ 形0 ，) + 玩， ( 1 1 4 ) 其中f ，g ，k ，j ，上和v 是任意常数代入( 1 1 4 ) 至1 j ( 1 1 3 ) 得至l j u , + 工畋+ = 一珥一以一于是，可以得到，l v 0 和只+ 以+ = o 因此我们得出了下述 守恒向量 r = 4 “船+ 曰甜鲫一函，+ 砌，+ 6 q + 日o ) ， y = 一彳z k + c k 。+ 历w f u , + c ( 2 u + 1 ) u ，+ 勋，+ ，( x ) ， y = 一b u y d w + c b g u , 一k u ，+ ( j ，) ， ( 1 1 5 ) 其中一，b ，c ，d ，f ，g 和k 是任意常数，日，缈分别是r ，工，y 的任意函 数，并且满足q + 以+ 呒= 0 ，因此，方程( 1 1 ) 有无穷多守恒律守恒向量( 1 1 5 ) 满足 d t t + 皿石+ d y y = c ( u 一一一ul 一) = o 下面验证守恒向量( 1 1 5 ) 和对称的相关性 方程( 1 1 ) 不仅吸收主李代数q ，吒和呜，而且也吸收0 4 = h + t u y 和 吒= x ，+ 2 y u ，+ 2 t u ，+ 2 u 一3 通过论文【3 0 】中( 1 8 ) 式可以验证：当分别满足条件日= c ， j = c 和w = c 时，q = u ，0 2 = 口，乃= u t 和守恒向量( 1 1 5 ) 是相关的当满足条件 a = d ，b = f = k = 0 时，吼= y u l + 帆和守恒向量( 1 1 5 ) 是相关的如果= b = c = d 33 = g = 0 ，日( f ) = c l f2 ，o ) = c 2 x 4 并且矿( y ) = g y2 ，那么= x 4 ，+ 2 y u r + 撕。+ 2 u + l 和守恒向量( 1 1 5 ) 是相关的否则，得到的这些对称和守恒向量( 1 1 5 ) 是不相关的 对于( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q 方程( 1 1 ) ，利用李群方法求出了可构成五维李代数的对称， 9 聊城大学硕士学位论文 在此基础上得到了群不变解的公式及一些新解，如“和“”，推广了文献 2 9 】中的相应结 果同时，我们讨论了( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q 方程( 1 1 ) 的约化及无穷多守恒律，并验证了守 恒律和对称的相关性 0 聊城大学硕士学位论文 第2 章( 2 + 1 ) 维高阶b r o e r - k a u p 系统的研究 2 1 ( 2 + 1 ) 维高阶b r o e r - k a u p 系统的p a i n l e v e 性质 本节主要研究( 2 + 1 ) 维高阶b k 方程组 曩= 4 ( k + | 1 1 3 3 h h x + 3 1 诌y - l g x + 3 0 y - 1 ( g ，) ， = - 4 ( 乳+ 3 矗+ 3 而2 9 + 3 9 0 y - l g ，) ， ( 2 1 ) 如果取y = x ，上述方程组就变为( 1 + 1 ) 维高阶b k 方程组 魄= 4 ( k + 3 + 6 垤一3 h h , ) ， & = _ 4 ( + 3 9 ，h + 3 h 2 9 + 3 9 2 ) ， ( 2 2 ) 方程组( 2 1 ) 是由k a d o m t e s v - p e t v i a s h v i l i a p ) 方程通过对称约束而得到的【3 1 1 在文献【6 】中， 白成林等研究了此方程的贝克隆变换得到了多孤子解，特别得到了初值问题解的封闭形 式一些特殊的类孤子解和其他形式的精确解在文献 1 9 ，3 3 ，3 4 ，3 5 仲得到，利用的方法 分别是推广的齐次平衡和扩展的t a n h 函数法在文献【3 2 】中得到了( 2 + 1 ) 维高阶b k 方程组 的更一般的变量分离解通过选择变量分离解中包含的任意函数的不同形式得到了一些 更有趣的局域结构，如分形d r o m i o n ，分j 侈l u m p ，尖峰子，紧致子和折叠子并且还揭示 了这些解的一些有趣性质但是据我们所知，( 2 + 1 ) 维高阶b k 方程组的p a “e v e 可积性质， 无穷多对称及守恒律还没有研究过事实上寻找守恒律往往是求解的第一步 为了利用p a i n l e v e 分析法检验方程组( 2 1 ) 的可积性，将方程组( 2 1 ) 重新写成以下形 式 + 4 ( k + 3 3 坎+ 3 h w + 3 p ) ，= 0 ， ( 2 3 ) 岛+ 4 ( g 。+ 3 9 ，h + 3 h 2 9 + 3 9 w ) ，= 0 ， ( 2 4 ) w 。一g x = 0 ， ( 2 5 ) p y 一( g h ) ，= 0 ， ( 2 6 ) 令w = 0 y - i g x ，p = 0 y - i ( 劝) ， 聊城大学硕士学位论文 应用标准的w e i s s k r u s k a l 方法1 3 6 1 ，假设待定函数有以下奇异展开形式 = 矿_ 妒，g = 矿g ，妒，w = _ ，p = 矿z p ， ( 2 7 ) j i oj _ oj 神j l o 其中l = 一o ，弘f ) ，g ，= g j ，( t 弘，) ，- - - w j ( x ，y ，f ) ，乃= p j ( x ，弘，) 和= 矿( 矗y ，f ) 是 ( x ，j ，) 的解析函数代x ( 2 7 ) 到方程组( 2 3 ) - ( 2 6 ) ，由领头项分析得到 口= - 1 ，p = - - 2 ，= 2 ，r = - 3 ，= 纯，g o = 吨丸，= 电2 ，p o = 啦 或= 2 识，g o = 一2 霞丸，w o = 一2 破2 ，p o = - 4 峻3 ， 并得到一般递推关系 ( j - 2 ) ( j - 3 ) ( j - 4 ) 吮3 q + 3 ( ，一3 ) 丸2 m + 3 ( j - 3 ) # ，p j = z ( ，& ，w f ，a ) ， j ( j - 2 ) ( j - 4 ) 0 。3 9 ，- 3 ( j - 4 ) , 2 丸= 左( 鱼，岛，m ，只) ， ( ，一2 ) 虫g ，一u 一2 ) 式1 叼= 正( 一，g ，m ，易) ， u 一3 ) 识2 以l 一( ，一3 ) 戎2 9 j + u 一3 ) 办p j = a c h , ，品，只) ， 或( j - 3 x j - 4 ) ( j - 5 ) 0 x 3 一十6 ( ，一3 ) 以2 _ + 3 ( _ ，一3 ) 0 ，p ，= 石( 鱼，晶，m ，只) ， 1 2 ( j - 4 ) 0 ，3 办_ - ( j 一4 ) ，( + 1 ) 识3 9 j + 6 ( ，一4 ) 丸2 丸啊= l c h , ，蜀，m ，只) u 一2 ) 4 。g ，一( _ ，一2 ) o y w j = 工( 鱼，g ，嵋，易) ， ( 2 8 ) ( 2 9 ) 2 ( j - 3 ) 0 ，2 0 y h j - 2 ( j 一3 ) 识2 9 ，+ u 一3 ) 0 , p j = 五 ，& ，w i ，只) ， ( 2 1 0 ) j x e e f , ，五，石和是吩，晶，w ，只( f ，一1 ) 和奇异流形矿的导数的复杂函数由方 l u 一2 ) ( _ ，一3 ) ( - ，一4 ) 以3 0 3 ( j - 3 ) 0 ，23 ( - 3 ) 0 ， | u _ 曼：力“骤翠。三办 = 一( _ ，+ 1 ) ( _ ，一1 ) ( _ ，一2 ) ( ，一3 ) 3 ( j - 4 ) ( j - 5 ) 0 ，6