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分裂有向平衡不完全区组设计 摘要 分裂有向平衡不完全区组设计 摘要 分裂平衡不完全区组设计( s p n t t i n gb a l a n c e di n c o m p l e t eb l o c kd e s i g n s ) 是o g a t a , k u r o s a w a , s t i n s o n 和s a i d o w o g a t a , kk u r o s a w a , d s t i n s o na n dh s a i d o ，n e w c o m b i n a t o r i a ld e s i g n sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n st oa u t h e n t i c a t i o nc o d e sa n ds e c r e ts h a r e s s c h e m e s ，d i s c r e t em a t h , 2 0 0 4 ，2 7 9 ，3 8 3 4 0 5 最近为研究七分裂认证码的需要而引进的 一类设计，用分裂平衡不完全区组设计构造的认证码在信息论上的意义是最优的对 于分裂平衡不完全区组设计存在性的研究已做了一些工作：d u b ，d u , s p l i t t i n g b a l a n c e di n c o m p l e t eb l o c kd e s i g n s ，t h ea u s t r a l a s i a nj o u r n a lo f c o m b i n a t o r i c s ，2 0 0 5 ，3 1 ， 2 8 7 2 9 8 ，b d u ，s p l i t t i n gb a l a n c e di n c o m p l e t eb l o c kd e s i g n sw i t hb l o c ks i z e3 2 ，j c o m b i nd e s i g n s ，2 0 0 4 ，1 2 ，4 0 4 - 4 2 0 以及g e ，m i a o 和w a n g gg e ，ym i a o ，l w a n g ， c o m b i n a t o r i a lc o n s t r u c t i o n sf o ro p t i m a ls p l i t t i n ga u t h e n t i c a t i o nc o d e s ，s i a mj o u r n a lo i l d i s c r e t e m a t h e m a t i c s ，2 0 0 5 ，1 8 ，6 6 3 6 7 8 】研究了当0 ，j i ) = ( 2 ，2 ) ，( 2 ，3 ) ，( 3 ，2 ) 和( 4 ，2 ) 时，( v ， b , 2 后，兄) 一s p l i t t i n gb i b d 的存在性；w a n g j w a n g ，ai l c wc l a s so fo p t i m a l3 - s p l i t t i n g a u t h e n t i c a t i o nc o d e s ，d e s i g n s ，c o d e sa n dc r y p t o g r a p h y , 2 0 0 6 ，3 8 ，3 7 3 3 8 1 】研究了当 0 ，后) = ( 3 ，3 ) 时，o ，b ，f = 2 x | ，a ) s p l i t t i n gb i b d 的存在性 本文研究了分裂有向平衡不完全区组设计( s p l i t t i n gd i r e c t e db a l a n c e di n c o m p l e t e b l o c k d e s i g n s ) “，= 2 x k ，丑) 的存在性，给出了当k = 4 时，以，= 2 x k ，五) 一s p l i t t i n g d b i b d 存在的谱 关键词：分裂有向平衡不完全区组设计，分裂平衡不完全区组设计，分裂有向可分组 设计 作者：杨琴 指导老师：杜北梁 分裂有向平衡不完全区组设计 a b s t r a c t s p l i t t i n gd i r e c t e db a l a n c e di n c o m p l e t e b l o c k d e s i g n s a b s t r a c t i nt h ei n v e s t i g a t i o no fa u t h e n t i c a t i o nc o d e so g a t a , k u r o s a w a , s t i n s o na n ds a i d o w o g a t a , i ck u r o s a w a , d r s t i u s o na n dh s a i d o ，n e wc o m b i n a t o r i a ld e s i g n sa n dt h e i r a p p l i c a t i o n st oa u t h e n t i c a t i o nc o d e sa n ds e c r e ts h a r e ss c h e m e s ，d i s c r e t em a t h ，2 0 0 4 ，2 7 9 ， 3 8 3 - 4 0 5 f o u n dt h a ts p l i t t i n gb a l a n c e di n c o m p l e t eb l o c kd e s i g n sc a l lb eu s e dt oc o n s t r u c t k s p l i t t i n ga c o d e s ，w h o s ei m p e r s o n a t i o na t t a c kp r o b a b i l i t i e s a n ds u b s t i t u t i o na t t a c k p r o b a b i l i t i e sa l la c h i e v et h e i ri n f o r m a t i o n - t h e o r e t i cl o w e rb o u n d s t h e r eh a sb e e ns o l l 蟹 w o r kd o n eo nt h ee x i s t e n c eo fs p l i t t i n gb a l a n c e di n c o m p l e t eb l o c kd e s i g n s ：o u e d u ， s p l i t t i n gb a l a n c e di n c o m p l e t eb l o c kd e s i g n s ，t h ea u s t r a l a s i a nj o u r n a lo fc o m b i n a t o r i c s ， 2 0 0 5 ，31 ，2 8 7 2 9 8 ，b d u ，s p l i t t i n gb a l a n c e di n c o m p l e t eb l o c kd e s i g n sw i t hb l o c ks i z e3 x2 ， j c o m b i nd e s i g n s ，2 0 0 4 ，1 2 ，4 0 4 4 2 0 】a n dg e ，m i a oa n dw a n g 【gg e ，ym i a o ，l w a n g ， c o m b i n a t o r i a lc o n s t r u c t i o n sf o ro p t i m a ls p l i t t i n ga u t h e n t i c a t i o nc o d e s ，s i a mj o u r n a lo i l d i s c r e t em a t h e m a t i c s ，2 0 0 5 ，1 8 ，6 6 3 - 6 7 8 g a v et h es p e c t r ao f 扣，b ，j = 2 x _ | ，a ) 一s p l i t t i n g b i b d sf o r0 ，七) = ( 2 ，2 ) ( 2 ，3 l ( 3 ，2 ) a n d ( 4 ，2 ) ；w a n g j w a n g ，an e wc l a s so fo p t i m a l 3 - s p l i t t i n ga u t h e n t i c a t i o nc o d e s ，d e s i g n s ，c o d e sa n dc r y p t o g r a p h y , 2 0 0 6 ，3 8 ，3 7 3 3 81 g a v e t h es p e c t r a o fd ，b ，= 2 x k ，a ) s p l i t t i n g b i b d s f o rq ，七) = ( 3 ，3 ) t h i sa r t i c l ei n v e s t i g a t e st h ee x i s t e n c eo fs p l i t t i n gd i r e c t e db a l a n c e di n c o m p l e t eb l o c k d e s i g n s ( v ，1 = 2 x _ | ，z ) ，a n dg i v e st h es p e c t r u mo f 扣，l = 2 ，a ) 一s p l i t t i n gd b i b d sf o r k = 4 k e yw o r d s ：s p l i t t i n gd i r e c t e db a l a n c e di n c o m p l e t eb l o c kd e s i g n , s p l i t t i n gb a l a n c e di n c o m - p l e t eb l o c kd e s i g n ，s p l i t t i n gd i r e c t e dg r o u pd i v i s i b l ed e s i g n w r i t t e nb y y a n gq i n s u p e r v i s e db yd ub e i l i a n g 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本 声明的法律责任。 研究生签名：挞 日 学位论文使用授权声明 期：兰! ! 垒：! ! ：呈 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论 文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的 保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 导师签名： 日期：兰堕! 三墨 日期：丑芝一 分裂有向平衡不完全区组设计一引言 引言 分裂平衡不完全区组设计( s p l i t t i n gd b i b d ) 是o g a t a , k u r o s a w a , s t i n s o n 和s a i d o 1 】 最近为研究后。分裂认证码的需要而引进的一类设计，用分裂平衡不完全区组设计构 造的认证码在信息论上的意义是最优的设v ，b ，“，k ，五为给定的正整数，分裂平衡不 完全区组设计v ，b ，= u 七，五) 一s p l i t t i n g b i b d 是一个二元组( z ，固，其中x 为y 元集， 当= b ，b 2 , - - b 。) 为石的f 一子集( 区组) 的集合，且满足下列两个条件： 1 对任意b 男，均可表示成甜个长为k 的互不相交的子区组的并：b = b u b ， u u b 。； 2 x 中任意一对元素k 力恰好包含在a 个区组b = b 。u b ：u u b 。中，且x b i ，y b i l 革j ) 对于分裂平衡不完全区组设计的存在性的研究已经做了一些工作：d u 2 ，3 】以及 g c ，m i a o 和w a n g t 4 究- f 当0 ，k ) - - ( 2 ，2 l ( 2 ，3 l ( 3 ，2 ) f f ：i ( 4 ，2 ) 时，( v ，b ，= 2 x k ，a ) 一s p l i t t i n gb i b d 的存在性；w 抽g 5 】研究了当0 ，j i ) = ( 3 ，3 ) 时，( v ，b ，= 2 x k ，a ) 一s p l i t t i n gb i b d 的存在性 设v , b , l ，k ，名为给定的正整数，分裂有向平衡不完全区组设计，b , l = 砧x ，五) 一 s p l i t t i n gd b i b d 是一个二元组( x ，男) ，其中x 为y 元集，男= b 。，b z , - - , b 。 为x 的，一 子集( 区组) 的集合，且满足下列两个条件： 1 对任意b 当，均可表示成砧个长为是的互不相交的子区组的 并：b = b u b ：u u b ； 2 盖中任意一对有序元素g y ) 恰好包含在五个区组b = b ，u b ：u u b 。中，且 x b ，y b j u 办x y j = , q x 、 o ) ) 子集b 6 ( 1 h r ) 叫作初始区组易见，如果x 中存在o ，= ”x k ，五) 一s p l i t t i n gd d f , 则 通过把它的初始区组在群x 的作用下循环生成区组集召，可得到( v ，b ，f - “x k ，幻一 s p l i t t i n gd b i b d ( 石，男) 引理2 1 2 存在0 7 ，2 x 4 ，1 ) 一s p l i t t i n gd b i b d 证我们直接构作设计如下： 点集x = z 1 。 区组集豸由下列初始区组在群z i ，的作用下循环生成： o l ，2 , 3 ；4 ，8 ，1 2 ，1 6 引理2 1 3 存在( 8 ，2 x 4 , 4 ) - s p l i t t i n gd b i b d 证我们直接构作设计如下： 点集石= z , u n ， 区组集当由下列初始区组在的群乙作用下循环生成： 0 1 24 ；3 ，5 ，6 ，x ) ，扛，0 ，2 ，3 ；1 ，4 ，5 ，6 分裂有向平衡不完全区组设计 二构作方法 设( g ，+ ) 是v 阶a b e l 加群，m = l ，2 ，m 1 ) ，令x = g x m = 扛s ：j m ) g 可 看作以下述方式作用在x 上的变换群： 口。+ p = b + p ) i ，v p g 对于任意子集a c z ，同上定义集合a + 尸= 伽+ ：工a ) 设母1 ，b 2 ，b 7 是的 r 个子集所组成的子集族，对于任意b 6 0 h ，) 都可表示成“个长为七的互不相交的 子集的并：b 6 = b ? ub u u 磁并且满足： u 。，扛一j ，：b ? ，见b ；( f 以x y = 五( g o ) ) ，v s e m ， u l 蛐扛一y ：b ? ，乃b ；( f ) = 名g ，协，f m ，s f 子集矽0 h ，) 叫作初始区组易见，通过把所有初始区组在群g 的作用下循环生 成区组集当，可得到o 删，b ，= ”| j ，五) - s p l i t t i n g d b i b d ( x ，当) 我们需要利用上述循环构作方法来构作不完全分裂有向平衡不完全区组设计 设”，k ，a 为给定的正整数，w 0 ，不完全分裂有向平衡不完全区组( v ，w , 2 x k ，a ) s p l i t - t i n g i d b i b d 是一个三元组( z ，y 固，其中z 为v 元集，y 是彳的w 元子集( 1 ，称为洞) ， 男的元素叫作区组，且满足下列三个条件： 1 对任意b 当，都有i b _ 2 k ，都可表示成2 个长为k 的互不相交的子区组的 并：b = b i u b 2 ； 2 。y 中任意一对有序元素k y ) 都不包含在任何区组b = b 。u b ：中，使 工b j ，y b ，q ，) ； 3 石中任意一对有序元素g ，y ) 或者同时包含在y 中，或者恰好包含在a 个区组 中，使x b f ，y b ，o 歹) 当w = o 和l 时，“w , 2 x k ，五) 一s p l i t t i n g i d b i b d 的存在性显然等价于0 ，b ，= 2 七，a ) s p l i t t i n gd b i b d 的存在性 引理2 1 4 存在( 1 0 ，2 ；2 x 4 ，8 ) s p l i t t i n g i d b i b d 和0 1 , 3 ；2 x 4 ，8 ) - s p l i t t i n g i d b i b d 证我们直接构作设计如下： 0 0 ，2 ；2 x 4 ，8 ) s p l i t t i n gi d b i b d 点集z = z 4 l ，2 u 缸，y ， 区组集毋由下列初始区组在群乙的作用下循环生成： ( 0 ，1 ) ( 1 ，1 l ( o ，2 x ( 1 ，2 l ( 2 ，1 x ( 3 ，1 ) ( 2 ，2 l ( 3 ，2 ) ) ， ( o ，1 ) ，( 1 ，l l ( 0 ，2 x ( 1 ，2 ) ；( 2 ，1 ) ( 3 ，1 l ( 2 2 l ( 3 ，2 ) ) ， 4 ( o ，0 , 0 ，1 l ( 2 ，2 l ( 3 ，2 l ( 2 , t 1 0 ，1 1 ( 0 , 2 1 ( 1 ，2 ) ) ， ( o ，0 , 0 ，1 1 ( 2 ，2 1 0 ，2 t ( 2 ，1 l ( 3 ，l l x , y ， ( ( 0 ，1 ) ( 2 , 1 1 ( o ，2 1 0 ，2 2 ( 1 ，0 , 0 ，1 ) ，y ) ， ( o 1 ) ，0 ，1 1 ( 0 ，2 1 ( 2 ，2 t 0 ，2 1 0 ，2 1 葺y ， ( o ，1 1 0 ，1 1 ( 2 ，2 1 0 ，2 t ( o ，2 1 0 ，2 1 x , y ， ( o ，i 1 ( 2 ，1 1 x ，”( 1 ，1 1 0 ，1 1 ( o ，2 1 0 ，2 ) ) ， ( o ，2 1 ( 2 ，2 1 x ，弘( o ，1 1 0 ，1 l ( 1 ，2 1 0 ，2 ) ) ， ( o , 2 1 0 ，2 1 x ，y ；( o ，1 1 ( 1 ，1 1 ( 2 ，1 1 0 ，1 ) ) ， ( o ，0 , 0 ，1 l 五 ( o ，2 1 0 ，2 1 ( 2 ，2 l ( 3 ，2 ) 01 ，霉2 4 ，8 ) 一s p l i t t i n gi d b i b d 点集x = z 4 1 ，2 0 k ，屯，而) ， 区组集召由下列初始区组在群乙的作用下循环生成 ( o ，0 , 0 ，1 1 ( 0 ，2 ) ( 1 ，2 x ( 2 1 l ( 3 ，1 ) ( 2 , 2 1 0 ，2 ) ， ( 0 ，0 , 0 ，l l ( o ，2 工0 ，2 t ( 2 ，吐( 3 ，1 1 x a ，恐) ， ( 0 ，1 ) ，( 1 ，1 l ( o ，2 ) ，( 1 ，2 t ( 2 ，1 ) ，( 3 ，l l 工：，毛 ， ( o 1 ) ( 1 ，1 1 ( 2 , 2 1 0 ，2 2 ( 2 ，1 l ( 3 ，1 ) ，而， ， ( o ，0 , 0 ，1 1 ( o 2 l ( 2 ，2 t 0 ，2 1 0 ，2 ) , x l ，屯 ， ( o ，1 ) ( 1 ，l l ( o , 2 1 ( 2 ，2 1 0 ，2 l o ，2 l 而，毛) ， ( o ，0 , 0 ，1 l ( 2 , 2 1 0 ，2 t ( o , 2 1 0 ，2 ) 而， ， ( o ，1 ) ( 2 ，l l ，而；( 1 ，l l ( 3 ，1 ) ，( 0 ，2 1 ( 1 ，2 ) ) ， ( o ，1 1 ( 2 ，1 1 , 1 1 ，毛；( 1 ，1 ) ( 3 ，吐( o 2 l ( 1 ，2 ) ， “o ，2 1 0 ，2 l 而，黾；( o ，0 , 0 ，1 x ( 2 ，2 ) ( 3 ，2 ) ， ( o ，2 1 ( 1 ，2 l 工：，b ；( o ，1 ) ，( 1 ，1 l ( 2 ，2 ) ( 3 ，2 ) ， ( o ，2 1 0 ，2 ) ，毛，屯；( o ，1 ) ，( 1 ，1 ) ，( 2 ，0 , 0 ，1 ) ) ， ( ( o ，0 , 0 ，1 ) ，五，屯；( o ，2 1 0 ，2 1 ( 2 ，2 1 ( 3 ，2 ) ) 2 ，2 s p l i t t i n gd b i b d 递归构作 为建立本文结果，我们需要若干类型的辅助设计及有关的存在性结果本小节我 们对此作一介绍读者可从文【6 】( 7 】中得到更多的相关信息 设v 与五为给定的正整数，k 与肘为给定的正整数集，可分组设计g d k ，五，m ； 川是一个三元组( 石，劳，男) ，其中z 为y 元集，眵构成x 的一个划分，眵的元素叫作组， 分裂有向平衡不完全区组设计 二构作方法 当的元素叫作区组，且满足下列四个条件： 1 对任意b 男，都有l b k ； 2 ，对任意g 多，都有i g l m ； 3 对任意g 毋与任意b 易，都有i b n g l 1 ； 4 x 中任意一对属于不同组的元素恰好都包含在a 个区组中； 若缪包含个大小为的组，1 f j ，且v = e 二，则称此可分组设计是一个型为 碍州，川。的可分组设计 为方便起见，我们用o d k ，l ，研；v 】表示g d 肛l l ，切t v ，用记号足g d d 来表示 g d i k ，1 ，m ；v 1 对于可分组设计，我们有如下显然结果： 引理2 2 1 设脚，胛和甜为给定的正整数，则存在型为m 。，l 的2 - g d d 为建立本文结果，我们需要引入分裂有向可分组设计的概念设v 为给定的正整 数，k 与m 为绘定的正整数集，分裂有向可分组设计( s p l i t t i n g d o d d ) s p l i t t i n g g d k ， 1 ，m ，y l 是一个三元组( x ，9 ，当) ，其中z 为y 元集，够构成彳的一个划分，鸟的元素叫 作组，当的元素叫作区组，且满足下列五个条件： 1 对任意b 当，都有l b l b k ； 2 对任意g 9 ，都有l g i m ； 3 对任意b 男，都可表示成材个长为| 的互不相交的子区组的并： b = b ，u b ：u u b 。； 4 对任意g 缪与任意b 召，都有b d g 至多包含一个子区组； 5 x 中任意一对属于不同组的有序元素k y ) 恰好都包含在一个区组 b = b lu b 2 u u b 。中，且工b ，y b j o _ ，) 若缪包含个大小为m ，的组，l f s j ，且v = 二，则称此分裂有向可分组设计是 一个型为m ：的分裂有向可分组设计我们用记号k s p l i t t i n gd g d d 来表示 s p l i t t i n gd g d k ，i ，魍y j 引理2 2 2 存在型为4 “的2 x 4 一s p l i t t i n gd g d d ，其中 2 证 我们在x = 互 l ，2 ，3 ，4 ) 上构作设计如下，它的组集是爹= ，g i ，g 2 , - - , 色) ，其中 q = 誊一1 ) x l ，2 ，3 ，4 ) ，区组集毋由以下区组组成： ( f ，1 ) ，( f ，2 ) ，o ，3 ) ，o ，4 l ( f + ，1 ) ，( ，+ _ ，2 ) ，( f + ，3 ) ，( f + 工4 必， 6 分裂有向平衡不完全区组设计 二构作方法 缸+ _ ，1 l ( f + ，2 ) ，0 + j ，3 ) ，( f + ，4 ) ；( f ，1 l ( f ，2 l ( f ，3 ) ( f ，4 ) ) ， 0 i “一2 i j s “一i 一1 易验i , t ( x ，纺当) 是型为4 。的2 x 4 s p l i t t i n g d g d d 本文主要使用“填洞”构作，运用此构作，我们还需要组长并不都相等的分裂有 向可分组设计，为了得到这些设计，我们引入下面的加权构作 定理2 2 3 如果存在下述设计： 1 型为g t 9 2 的k g d d ； 2 ，对每个k k ，存在型为矿的2 x k s p l i t t i n g d g d d ； 则存在型为嘛：) ( 慨) 的2 x k s p l i t t i n g d g d d 证假设( 工，毋，西) 是给定的型为蜀g ：邑的k g d d ，它的组集萨 g l ，g 2 ，玩 ， f q | = 岛对于每个区组b 8 ，记b = t a , ，口：，唯j ，设b = b x 1 ，2 ，厅) ，在点集b 上构作型为矿1 拘2 x k s p l i t t i n g d g d d ( b + ，岔b ，贸日) ，孚b = h 1 ，2 ， 如f 妄_ ) ， 下面我们构作所需设计，它的点集为 工+ = x 0 , 2 ， l 组集为 够。= g ；0 , 2 ， j 1 f 站 ， 区组集为 $ = u m 贸b ， 易验证( ，岔，男+ ) 是型为( ? 辔。勋g ：) o g ) 的2 x k s p l i t t i n g d g d d ， 构作2 2 4 如果存在下述设计： 1 型为g t 9 2 g 。桶2 x k s p l i t t i n gd g d d ； 2 对每个f ，l g i u ，存在型为q f + w , w , 2 x k ，力- s p l i t t i n g i d b i b d , 3 存在q 。+ w ，2 x k ，五) ，s p l i t t i n g d b i b d ； 则存在型为0 ，2 x k ，旯) 一s p l i t t i n g d b i b d ，其中v = w + i 岛 证假设( x ，够，男) 是给定的型为蜀9 2 邑的2 x k s p l i t t i n g d g d d ，其中萨 g l ，g 2 ， ，瓯 ， g f i = 岛，i f “，对于每个组g ，1 f “，设( g f u w ，舅，) 是b + w ，9 2 x k ，a ) 一 s p l i t t i n g i d b i b d ，其中矿| - w ，x n 矽= ，y i 受( a u w ，, y l 。) 是，+ w ，2 x k ，五) 一s p l i t t i - n gd b i b d ，现在我们构作所需设计，它的点集为 x = x u 区组集为 召= 当u l 。研， 7 尘墨堕堕! 堕至塞全垦望堡生 三塑堡查垄 其中当一是召中每个区组重复五次后得到的区组集容易验证( ，男+ ) 是以2 k ，五) s p l i t t i n gd b i b d 特别地，我们得到如下构作： 引理2 2 5 设历，行和是正整数，w 0 如果存在下述设计： 1 4 m + 嵋m 2 4 ，五) 一s p l i t t i n gi d b i b d ； 2 【4 胛+ w , 2 4 ，五) 一s p l i t t h a gd b i b d ； 则存在( 4 所“+ 4 n + w , 2 x 4 ，兄) s p l i t t i n gd b i b d 证由引理2 2 1 和引理2 2 2 ，存在型为删。疗1 的2 - g d d 和型为4 2 的2 x 4 s p l i t t i n g d g d d ，应用定理2 2 3 即得到型为( 4 历y ( 4 n y 的2 x 4 。s p l i t t i n gd g d d ，再由已知条件 根据构作2 2 4 即得所需结论 我们还需要下述构造，其证明是容易的 引理2 2 6 如果存在p ，2 后，五) - s p l i t t i n g d b i b d 和p ，2 x k ，五) 一s p l i t t i n g d b i b d ，则存 在o ，2 x k ， + 如) 一s p l i t t i n gd b i b d 8 分裂有向平衡不完全区组设计三主要结果 三主要结果 这一节中，我们将研究化2 x 4 ，3 - ) - s p l i t t i n gd b i b d 的存在性由定理1 1 ，我们得 到( v ，2 x 4 , 3 ) - s p l i t t i n gd b i b d 存在的必要条件如下： 当五i 1 ( m o d 2 1 时，v ；l ( m o a1 6 ) 当五 2 ( m o d 4 ) 时，v ；1 ( r o o d8 ) 当 4 ( r o o d8 ) 时，v e 0 ，l ( r o o d4 ) 当五z 0 ( r o o d8 1 时，1 ，8 由引理2 2 6 ，我们只需考虑下述情况：( 1 ) 当a = 1 时， ，；l ( m o d l 6 ) ；( 2 ) 当五= 2 时，i i ( m o d8 ) ；( 3 ) 当五= 4 时，v - = 0 ，l ( r o o d 4 ) ；( 4 ) 当a = 8 时，v 8 我们首先研究o ，2 x 4 ，1 ) 一s p l i t t i n gd b i b d 的存在性 引理3 i 当v i l ( r o o d k 2 ) 且 ，k 2 + l 时，存在p ，2 x k ，1 ) 一s p l i t t i n gd b i b d 证我们在x = 互上构作设计，区组集召由下列初始区组在群互的作用下循环生成 ( o ，l ，k - l ；i k 2 + 七，i k 2 + 2 k ，( f + 1 弦2 ) ， 0 i p 1 ) k 2 易验证( z ，召) 是0 ，2 x k ，1 ) 一s p l i t t i n gd b i b d 于是，我们有 定理3 2 当v = 1 ( m o d1 6 ) 且v 1 7 时，存在( v , 2 x 4 ，1 ) 一s p l i t t i n g d b i b d 其次，我们研究( v ，2 x 4 ，2 ) s p l i t t i n gd b i b d 的存在性 定理3 3 当y m - 1 ( r o o d8 ) g _ v 8 时，存在p ，2 x 4 ，2 ) s p l i t t i n g d b i b d 证由引理2 1 1 ，我们只需考虑y 1 7 的情况对于任意v = 1 ( m o d8 ) 且v 1 7 ，可将 删2 v = 8 u + 8 + w ，g q 口w = 1 由引理2 1 1 知，存在( 8 + w 2 4 ，2 ) s p l i t t i n gd b i b d ， 应用引理2 2 5 即得所需结论 然后，我们研究p ，2 x 4 ，4 ) s p l i t t i n gd b i b d 的存在性 引理3 4 当v = 1 2a z 戈1 3 时，存在( v ，2 x 4 ，4 ) - s p l i t t i n gd b i b d 证我们直接构作设计如下： 9 分裂有向平衡不完全区组设计三主要结果 0 2 ，2 x 4 , 4 ) - s p l i t t i n gd b i b d 点集x = z 1 。u 1 4 ， 区组集男由下列初始区组在群z l 。的作用下循环生成： o i2 3 ；4 568 ) ， o l ，2 ，4 , 3 ，9 ，1 0 , x ，伽，0 ，1 ，9 ；2 ，7 ，8 ，1 0 ) ( 1 3 ，2x4 ，4 ) 一s p l i t t i n gd b i b d 点集x = z l ， 区组集当由下列初始区组在群z l ，的作用下循环生成： o ，l ，2 ，3 ；4 ，5 ，6 ，8 ) ，1 0 ，l ，2 ，1 0 ；7 ，9 ，11 ，1 2 ， o 138 ；2 ，9 ，i1 ，1 2 定理3 5 当v i o ，1 ( r o o d 4 ) 且v 2 1 2 时，存在( v ，2 x 4 ，4 ) 一s p l i t t i n g d b i b d 证由引理2 1 1 ，2 1 3 和3 4 ，我们只需考虑y 1 6 的情况对于任意当y ；0 ，1 ( r o o d4 ) 且y 1 6 ，又可将其写成，= 8 u + ( 8 + s ) + w ，其中j = 0 ，4 ，w ：o ，1 由上面的引理知， 存在( 8 + j + 2 4 ，4 ) s p l i t t i n gd b i b d ，应用引理2 2 5 即得所需结论 最后，我们研究p ，2 4 ，8 ) 一s p l i t t i n gd b i b d 的存在性 引理3 6 当y 0 0 ，11 , 1 4 ，1 5 时，存在( v ，2 x 4 ，8 ) - s p l i t t i n gd b i b d 证我们直接构作设计如下： 0o ，2 4 ，8 ) 一s p l i t t i n gd b i b d 点集x = z 9 u 扛 ， 区组集写由下列初始区组在群z 口的作用下循环生成： ( 0 ，1 , 2 ，3 ；4 ，5 ，6 ，7 ， o 124 ；3 ，7 ，8 x ) ， o 126 ；3 ，7 ，8 ，x ) ， 仁，0 ，l ，4 ；2 ，3 ，5 ，8 ，扛，o 2 ，6 ；1 ，5 ，7 ，8 ) ( 1 1 ，2 x 4 ，8 ) 一s p l i t t i n gd b i b d 点集x = z l 。， 区组集当由下列初始区组在群z l 。的作用下循环生成： 1 0 ，1 ，2 , 3 ；4 ，5 ，6 ，7 ) ，o 123 ；4 ，5 ，9 ，1 0 ) ， 0 128 ；3 ，7 ，9 ，1 0 ) ， 0 ，1 ，2 , 9 ；3 ，7 ，8 ，1 0 ，( o 135 ；2 ，4 ，9 ，1 0 0 4 ，2x4 , 8 ) 一s p i r t i n gd b i b d 点集x = z t ，u 扛) ， 1 0 分裂有向平衡不完全区组设计 三主要结果 区组集8 由下列初始区组在群z 1 ，的作用下循环生成： o 123 ；4 ，5 ，6 7 ) 二次， o l ，2 ，3 ；8 , 9 , 1 0 ，11 ， 0 12 4 ；3 ，1 1 ，1 2 ，x ) ， o ，l ，3 ，4 ；2 ，1 0 ，1 2 ，x ) ， 扛，0 , i ，1 0 ；2 ，9 ，1l ，1 2 ，扛，0 ，2 ，4 ；1 ，3 ，1 0 , 11 ( 15 ，2 4 ，8 ) 一s p l i t t i n gd b i b d 点集x = z l ， 区组集男由下列初始区组在群z 1 ；的作用下循环生成： o l ，2 ，3 ；4 ，5 ，6 ，7 二次， o ，l 2 ，3 ；8 ，9 ，1 0 ，1 1 ) ， o 1 ，2 ，4 ；3 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ) ， o ，1 ，2 ，1 2 ；8 ，11 ，1 3 ，1 4 ) ， o ，1 ，2 ，1 2 ；1 0 , 11 , 1 3 ，1 4 ， o ，l ，5 ，7 ；2 ，6 , 8 , 1 4 ) 定理3 7 当v 8 时，存在0 ，2 x 4 ，8 ) 一s p l i t t i n g d b i b d 证由引理3 6 和定理3 5 ，我们只需考虑v s 2 ，3 ( m o d4 ) 且y 1 8 的情况对于任意 1 ，- - - 2 ，3 ( m o d4 ) 且v 2 1 8 ，可将其写成v = 8 u + ( 8 + j ) + m ，其中j = o ，4 ，w = 2 ，3 ：由引 理3 6 知，存在( 8 + j + w 2 4 ，8 ) 一s p l i t t i n gd b i b d ，由引理2 1 4 知，存在( 8 + w m 2 4 ，8