（应用数学专业论文）大气中尺度非线性重力惯性波的演化方程及数值稳定性研究.pdf

鬓士笋岔越它大气中尺度非线性重力惯性波的演化方程及致值稳定性研究 中文摘要 本文采用f 平面、非静力平衡、滤声波模式，讨论了大气中尺度非线性动 力学方程，通过尺度分析重点突出了扰动在垂直方向上的非线性特征，从而得 到了对称扰动非线性方程，运用多重尺度方法和摄动分析讨论了对称扰动非线 性重力惯性波的演化过程，得到非线性重力惯性波振幅演化服从广义的非线性 s c h r o d i n g e r 方程。分别运用启发性分析方法和网格法，对得到的广义 s c h r o d i n g e r 方程进行差分求解，论证了差分格式的稳定性，并对差分解进行了 估计。 关键词：中尺度环流，非线性重力惯性波，广义非线。眭：s c h r o d i n g e r 方程，差分 格式。 瘸士学岔趁之大气中尺度非线性重力惯性波的演化方程及致值稳定性研究 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w es t u d yn o n l i n e a rp e r t u r b a t i o na n a l y s i so fm e s o s c a l ev e r t i c a l c i r c u l a t i o na n de v o l u t i o ne q u a t i o nb ym e a n so ffp l a n e ，n o n - h y d r o s t a t i cb a l a n c ea n d f i l t e r m o d e l o u t s t a n d i n gn o n l i n e a rc h a r a c t e r i s t i co fm e s o s c a l ed i s t u r b a n c ei n v e r t i c a ld i r e c t i o n , w eo b t a i nn o n l i n e a rs y m m c 嫡cd i s t u r b a n c e e q u a t i o n a n d d i s t u r b a n c ea m p l i t u d e se v o l u t i o ne q u a t i o nb yu s eo fm u l t i s c a l ea n ds i n g u l a r p e r t u r b a t i o nt e c h m q u e t h ee q u a t i o ni sa i le x t e n s i v es c h r o d i n g e ro n e t h e nb y 璐e o ff i n i t ed i f f e r e n c e s c h e m e ，w e g e t t h es o l u t i o no ft h e e x t e n s i v e s c h ro d i n g e re q u a t i o n , a n dt h e nw et r yt op r o v et h es t a b i l i t yo ft h ef i n i t ed i f f e r e n c e s c h e m ea n de s t i m a t et h es o l u t i o n k e yw o r d s ：m e s o s c a l e v e r t i c a lw a v e ，n o n l i n e a r g r a v i t a t i o n a lw a v e ，e x t e n s i v e n o n l i n e a rs c h ro c l i n g e re q u a t i o n ，f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 ，堡持以。求实、创新。的科学精神从事研究工作 2 ，本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 3 、本论文中除引文井，所有实验、数据和有关材辩均是真实的 4 ，本论文中除引文和囊谢的内容外。不包古其他人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果 5 、其他同恚对奉研究所傲的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意 作者签名：鱼堑塑 日期：虹：至丛 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定，学梭 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复铜并允许论文进入学校图书 馆被查厨；有权将学位论文的内容编入有关教据库进行检索：有权将学位论 文的嚣题和接要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 作者签名，益必 日期： 豇曼婴 爱壬乒拉砭玄大气中尺度非线性重力惯性波的演化方程及数值稳定性研究 第一章绪论 1 1 问题背景及国内外研究进展 最近二三十年来，大气中尺度气象学得到了迅速发展，无论在观测事实、理论研究还是 在实际预报方面都有了很大的进步。许多国家开展了有组织的各种中尺度观测实验，做了 大量的研究工作，揭示了许多有意义的事实。许多研究表明：由大气内部过程产生的中尺 度环流系统都受到大气中的动力不稳定制约，因此中尺度问题越来越受到重视。 h o s k i n s 1 1 最早n o r m a lm o d c 方法导出了对称不稳定的的位涡判据。1 9 7 4 年，h o s k i m 考虑了( 囊z ) 平面的二维问题基本场满足热成风关系，引进流函数妒，得到关于妒的单 一变量方程：瓦9 2 ：l ( 0 掰2 p ) + 窘 _ 州2 害+ 签2 毫一参，由此矧频散关系，并 得到了对称不稳定的判据：g = n 2 f 2 一s 4 o 并且得到了在稳定情形下，口血2 厂玩相 当与近似沿等墒面上的惯性振荡。q 0 一2 相当与垂直方向上的浮力振荡，而且 g = 丘a 孟，任何无粘绝热单向流的重新调整对于对称型扰动来说都必须保持最大频率 和最小频率的乘积为常数，这经常在一些锋面和急流的分析中用到。 1 9 9 6 年，周伟灿p 1 采用非静力平衡滤声波模式研究了高空急流入口区右侧非热成风平 衡基流的对称不稳定以及波结构特征。结果表明：非热成风梯度对对称不稳定有重大影响， 它使对称不稳定临界r i c h a r d s o n 数增大。对称不稳定所允许的波长变长并使对称不稳定波 结构发生变化，波振幅随) ，z 按g 指数函数变化，在非热成风梯度存在的空间范围内，波 振幅出现“空间不稳定现象”。并把他所得到的理论分析结果用于解释由高低空急流相联系 的暴雨分布特征，说明与暴雨相联系的中尺度雨带形成的可能机制之一是非热成风平衡基 流的对称不稳定性。 关于对称不稳定的线性理论的研究已取得了丰厚的成果，并已在一些天气现象的触发 机制中想到了一定的应用。而对与对称不稳定中的非线性部分，近几十年来也受到了重视。 l o n g 3 1 ( 1 9 6 4 ) 和b e n n y1 4 1 ( 1 9 6 6 ) 研究了具有水平速度切变的正压r o s s b y 波，认为 其振幅满足k d 矿方程。r e d e k o p p s l ( 1 9 7 7 ) 对斜压层结大气中的孤立r o s s b y 作了研 究，寻求其振幅满足mk d v 方程。k a w a h a r ap 1 在研究随机不均匀性对非线性波的影 响时。求得了调制波的振幅满足s c h r o d i n g e r 方程。刘式达和刘式适( 1 9 8 2 ) u i 在力学平 衡点的附近，采用t a y l o r 展开的方法，得出了大气中各种非线性有限振幅的椭圆余弦波和 质士学岔趁之大气中尺度非线性重力惯性波的演化方程及致值稳定性研究 孤立波解。1 9 9 1 年，许习华吲采用多重尺度分析法在波动之间的弱非线性相互作用时锋面 附近垂直环流的特征，发现锋面附近垂直环流的演变是由非线性s 方程控制chrodinger 的。以上研究表明中尺度对流发展过程中系统间相互作用尤为重要，其运动的特征表现为 非线性过程。因此分析中尺度环流相互作用对中尺度的发展将十分重要。 研究非线性问题行之有效的方法是进行数值研究。从八十年代开始，随着计算机技术 的发展，数值模拟方法被广泛用于研究重力波的非线性传播。1 9 9 5 年，张绍东，易帆p i 指 出重力波的破碎过程是大气中一种强的非线性现象，只有从非线性角度研究它才能真正理 解破碎过程中的物理实质。易帆【1 0 1 采用了数值方法，模拟了重力波波包在上传过程的参量 激发，结果表明重力波波包在相互作用后将其能量的一部分用来激发次级波，主波包在能 量衰减的同时，波包形状也发生强烈的畸变，其中某些部分能量被挖空，形成复杂的空间 结构，波包的空间范围出现扩展。能量散布在更大的范围。 2 0 0 1 年，王咏梅1 l 等利用二维全隐欧拉格式对重力波在可压，非等温大气中的非线 性传播过程进行了数值模拟和分析，结果表明重力波在向上传播过程中经历了发展，位温 翻转，对流直至破碎的演变。重力波的破碎是对流和小尺度波动的重要的源，对流不稳定 和翻转是非线性现象的一个基本特征。计算结果还表明，扰动源的大小直接影响着重力波 的非线性传播过程，当扰动源足够小时，重力波能稳定传播。而大振幅扰动可以加速重力 波的破碎。 - i i t t 启发性分析方法方法最早是由h i r t 在分析线性发展方程差分格式的计算稳定性时 提出的。林万涛、季仲贞、王斌【l2 1 针对非线性发展方程的非守恒差分格式和非周期性边界 条件，以一维非线性平流方程为例，给出了一种判定差分格式计算稳定性的新方法。林万 涛又针对非线性发展方程的非守恒格式，以二维浅水波方程为例，给出了计算稳定的必要 条件，并迸一步讨论了非线性发展方程非守恒格式与初值之间的关系。 1 2 本文主要内容和结构 本文主要分为五章。第一章介绍了中尺度环流对称不稳定问题研究的目的和意义， 以及国内外研究进展。第二章章采用多重尺度分析方法对中尺度垂直环流的菲线性相互 作用以及非线性重力惯性波的演化过程进行分析，突出了垂直环流在时间上对对称不稳 定的影响，研究演化方程的非线性稳定性问题，揭示中尺度环流的相互作用对中尺度波 动演变的动力过程，为实际天气过程分析提供理论依据。第三章利用h i r t 启发性分析方 法构造了一个差分格式，对第二章得出的带扰动项的广义$ c h r o d i n g e r 方程进行差分求 解，并论证了差分格式的稳定性。第四章利用网格法对带扰动项的广义非线性 s c h r o d i n g e r 方程的差分格式进行求解，并对差分解进行了估计，并证明了在一定条件 2 质量笋垃坦之大气中尺度非线性重力惯性波的演化方程及数值稳定性研究 下差分格式的收敛性与稳定性。第五章总结了全文，并提出了未来的展望。 癣士掌岔越之 大气中尺度非线性重力惯性波的演化方程及数值稳定性研究 第二章中尺度环流相互作用所激发的非线性重力惯性对称 演化研究 2 1 引言 观测事实表明，许多中尺度天气过程都是与重力惯性波相联系在一起，如暴雨，雪带 的形成以及台风的不稳定发展等。早在1 9 6 4 年，l o n g 【l 叫就对水平切交流体中的正压r o s s b y 孤立波作出了开创性的研究。后来r e d c k o p p ( 1 9 7 7 ) 【1 4 l 又研究了大尺度斜压r o s s b y 孤立波 的特征，非线性波的振幅满足修正的k d v 方程刘式达和刘式适( 1 9 8 2 ) 嗍在力学平衡 点的附近，采用t a y l o r 展开的方法，得出了大气中各种非线性有限振幅的椭圆余弦波和孤 立波解。王永中，夏友龙口卅用多重尺度方法以及行波法讨论了孤立重力波，重力内波波包 的演变由非线性s c h r o d i n g e r 方程控制，并由此得到孤立波的强度，宽度，以及移动速度 等特征。许习华，丁一汇利用摄动方法研究了非线性重力内波的演化方程n ”。周伟灿【2 1 利 用多尺度摄动方法对两个非线性重力波的相互作用进行了研究。研究表明中尺度对流发展 过程中系统闯相互作用尤为重要，其运动的特征表现为非线性过程。因此分析中尺度环流 相互作用对中尺度的发展的作用十分重要。 本章采用多重尺度分析方法对中尺度垂直环流的非线性相互作用对非线性重力惯性波 的演化过程进行分析，并研究演化方程的非线性稳定性问题，相互揭示中尺度环流的相互 作用对中尺度波动演变的动力过程，为实际天气过程分析提供理论依据。 2 2 中尺度非线性重力惯性波对称演化方程 对于中尺度系统，采用f 平面、非静力平衡、滤声波模式最为合适，所以控制方程可 以写为： 塑一疗：一! 鱼 生+ m ：一土塑 m p 谚 咖毋1a ， i g 百一万言 ( 2 1 ) d o ：q 丝+ 尘+ 盟：o 4 羼士学岔越之大气中尺度非线性重力惯性波的演化方程及数值稳定性研究 u = u ( y ，z ) + u v = v w = w 0 = e ( y ，z ) 十e p = 烈y ，z ) + p 其中：厅( y ，z ) ，o ( ) ，z ) 分别表示基本风场和位温场 将( 2 ) 式代入( 1 ) 式，并考虑扰动关于x 轴对称和绝热， “v ，w ，e ，p ) - ( u 小，缸 s 2 一茜( 寺劭吨， n 2 = 菅8 瓦g - u ) ， 毛= f 一面， 从而得蛩i 研窘中尺度垂盲环流非线性对称不稳定性的控制方程组， i 州a 忙叫歹。w 西 加岔 a 、，a ， 百+ 肛+ i = - v 石w 瓦a 。 西劫 a z 坐一口+ 霉= - - v 掣w 掣 d盘讲盘 翌一s 2 1 ，+ 2 w ：一v 丝w 塑 露 谚 抛 堡+ 鱼：o 匆岔 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 2 ) 同相踅意规常与号符它其热加热绝非 为q a 一钇 w+ a 一刀 v+ a 夏 u+ a a = d m 中 ： 其 役 续壬笋堙醺丈大气中尺度非线性重力惯性波的演化方程及数值稳定性研究 引入质量流函数v ( y ，z ，t ) 使之满足： v ；盟w ；一丑 a z四 ( 2 4 ) 因此( 3 ) 可化为： m 】_ 丢j ( v 2 v m 一主( v 2 v , u ) 一昙j ( v , o ) ( 2 5 ) 其中 上= 等v 2 矾参+ 掘杀争 亿回 其中：妒= 争+ 参，- ，c 吼= 雾鲁一鲁旁 ( 2 5 ) 式右端为中尺度惯性重力波非线性相互作用构成的强迫项，如不考虑该项，则( 2 5 ) 式右端为零时这就变为郭晓岚、h o s k i n s 和张可苏等许多学者讨论大气中尺度线性对称不稳 定性的出发方程，但惯性重力波振幅呈指数增长，只适合描述惯性重力波初始演变阶段， 因此对于有限振幅惯性重力波必须考虑非线性问题。分析表明( 2 5 ) 式右端三项有相同量 级，为简单起见本文暂且考虑第一项的作用，其物理意义为中尺度垂直环流自身的相互作 用随时问的演变将激发中尺度惯性重力波的演变，其控制方程为： l 【v1 一蚤j ( v 2 v ，、l ，) ( 2 7 ) l 、i ，l ：i o h ；0 2 3 非线性对称不稳定问题 2 3 1 非线性摄动分析： 为了求解( 2 7 ) 式，引入小参数s ( 0 g o 彻、 口+ 6 6 丝 0 f ，l 3 a + 2 b 丝 o r h 3 4v o nn e u m a n n 分析方法 r 3 2 3 ) 下面我们对格式1 采用线性化分析方法：设解的形式为彤= 4 ”p 哪，这里，= 、j ， 代入差分格式1 ，得。 l + ( 紊一警 ( 一_ 1 ) 巾j 2 “= 。 毗存肚磊习而 r + ( 紊一警j ( c 0 s ) + r w 由l i o n i 绷口聊稳定性必要条件我们知道：若阻j 蔓1 ，则差分格式1 是稳定的。 由于 l a l - -r l 因此差分格式l 是无条件稳定的。 3 5 结论 ( 1 ) 启发性分析方法与l e o nn e u m a n n 线性分析方法所得的稳定性判据不一致，并不矛盾。 ( 2 ) h i l t 启发性分析方法对于带扰动项的广义非线性s c h r 6 d i n g e r 方程的计算稳定性是实 用和有效的。 灰学缆趁之大气中尺度非线性重力惯性波的演化方程及数值稳定性研究 ( 3 ) 带扰动项的广义非线性s c h r 6 d i n g e r 方程的差分格式稳定的条件是满足( 3 2 3 ) 的条件。 爱芏争岔趁丈大气中尺度非线性重力惯性波的演化方程及敦值稳定性研究 第四章网格法研究带扰动项的广义s c h r o c l i n g e r 方程数值 解的存在性和稳定性 4 1 引言 由第二章的研究我们得出非线性重力惯性波振幅由带扰动项的广义s c h r o d i n g e r 方 程( 2 3 9 ) 决定。在第三章中我们用h i r t 启发性分析方法研究了( 2 3 9 ) 的解以及其稳定性 条件。本章将用另一种方法一网格法来探讨这一问题，并对方程的数值解进行估计。 4 2 带扰动项的广义s c h r o d i n g e r 方程组解的存在性 槲署+ 三等邶i1 2 b = i 蔬丽a 2 b 眩，是带扰动项的s c h r o 。d i n g e 啪， 其中扣= i 为虚数单位。为了讨论的方便，将( 2 3 9 ) 改写成下面的形式，并且给出了初 边界条件： 氓+ 互1b 。+ ( i b l 2b i s , z b , = o 口1 l o = 岛 o 0 ，月0 ) o ， j e o ，m ) 为实值函数， 则有估计： 勃最i 。，+ 嘉扣b i 巳。，一譬i l 曰嘎m i i 眨+ r 骞懈眨一譬l i b i i 岛 陬峨 旦撕真 堡兰堂i ! i 垦苎塑垦壅斐丝丝重垄堡竺婆堕堡! 墨竖墨墼篁整塞丝堡茎 i i t ! 明 ( 4 7 ) 乘以& ，则有 嘎瓦+ 吾毛+ ( 1 8 1 2 ) 瞩一越磊= o ( 4 1 3 ) 因磊= 或p + ) 毋l 一如瓦因为夏l 品2 0 ， 所以隅p + h ) b g = o 又r e ( b 蔚b x ；) = 三i 易e + 三l 乓；1 2 ，黜( 衄。) = j 1 蚓；2 + 三i 毛1 2 ， 于是( 4 1 3 ) 取实部，并对q 求和，得到 一丢i 1 i 屹k 2 一丢；i 如t 1 2 + 萋圭( 蚓2 ) ：+ ；三( 博) i 毛1 2 一以( 例t 2 + l 岛) = 。 由条件得到丢i bi 如l 。1 + 荟丢( 例2 ) 例：一譬j 占i s 。， 上式乘以n ，由引理1 得 乏警l 如( r ) 1 2 + 荔，兰( p ( r 们i b ( r ) 1 2 一磊譬p ( r ) 1 2 磊警l 如( r ) 1 2 + 磊被( i 嚣( r ) 1 4 ) 一磊譬j b ( r ) 1 2 等磊陬( 。) 1 2 + 根陬o ) 1 4 ) - 譬p ( o ) 1 2 硝o l 、 “o l 当s狲有驯毋(o)降肛12揖，磊i口(o)122。iibolv40 2 lo叩j o 磊一( p ( 。) i 4 ) 2 甄i | 4 + i 1 4 ) 四， 从而有 缸。静2 一争i 。( , ) n m i i b o x 扣眨一扣巴 a l 椰dr ，m ，不笺背、给常p ，0 3 常辑c 依素趣千占n 使得 质士岔趁之大气中尺度非线性重力惯性波的演化方程及敷值稳定性研究 怫占k ) 占蝴+ c 1 1 8 1 1 口 ， 甩 i 8 1 1 ，| 口占1 1 8 1 1 。 。+ c 1 8 1 1 口 ， 刀 引理5 若满足引理3 的条件，则对定解问题( 4 9 ) ( 4 1 1 ) 的解b 有估计： 嚣曼0 弓( 氕) k 与其中置为与 无关的常数。 证明由引理2 、3 、4 即得。 引理6 ( 离散的g 阳删，棚不等式) 若对函数4 p ) ，b p ) ，0 茎占p ) s 朋，存在正常数 f 纠 c o ，有b ( 1 ) c ；+ b ( r 1 。p ， o s f l s r ，则有 b ( 1 ) s c ；口 f = c j ，o s q f 。 先考虑下面差分定解问题： 氓+ 圭+ ( 1 8 1 2b + 荫+ 厂( z ，l ，砂- g ( x ，1 ) = o b i 品= o b l 一= 玩 对于( 4 1 4 ) ( 4 1 6 ) 的解，有以下估计。 引理7 对于问题( 4 1 4 ) 一( 4 1 6 ) ，如果满足条件。 ( 1 ) f 厂f ，1 口) 占可怿c ，p 1 2 ，为正常数； ( 2 ) 岛( x ，f 1 ) e 厶，g ( x ，f i ) 厶( q ) ， 则有9 b 嘎，) 2 ( o 岛眨+ ie g l l ：, ( 。) ) e ( 2 g + 1 ) r = 易 ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) ( 4