计算原理之容斥原理练习题.docx

学而思课程配套习题集计数原理之容斥原理练习题一 夯实基础：1. 在1至2011的自然数中，(1)能被3或7整除的数有个；(2)既能被3整除，又能被7整除的有个；(3)能被3整除，但不能被7整除的有个；(4)能被7整除，但不能被3整除的有个.2. 在2至400 的偶数中，既不能被3整除，又不能被5整除，同时不能被7整除的整数有多少个？3. 有编号为12010的2010个气球.有一个神枪手，他第一次把所有编号是3的倍数的气球打破；第二次把编号是5的倍数的气球打破；最后把编号是7的倍数的气球打破.那么，最后还剩几个没有被打破的气球？4. 真分数是最简真分数，问有多少种取值？5. 某班级学生人数有60人，班中很多同学参加了课外兴趣小组，参加课外兴趣小组的学生中的参加了计算机兴趣小组， 参加了艺术兴趣小组，参加了数学兴趣小组，又知道同时参加两个以上兴趣小组的学生人数有4人，求参加三个兴趣小组的学生有多少人？二 拓展提高：6. 在1至2011的自然数中，(1)能被3或5或7整除的数有个；(2)能同时被3,5,7整除的有个；(3)能被3整除，但不能被5和7整除的有个；(4)能被5和7整除，但不能被3整除的有个.7. 1000到1000000的自然数中，既不是平方数，也不是立方数的有多少个？8. 某班人数60人，在一次抽考英语、数学、化学的考试中，英语及格的有41人，数学及格的有39人，化学及格的有42人；英语、数学两科不及格的有14人，数学、化学两科不及格的有13人，英语、化学两科不及格的有11人，有两科或两科以上不及格的人数为20人，则：(1)三科都不及格的有几人？(2)至少有一科不及格的有几人？(3)三科都及格的人数有几人？9. 参加语文竞赛的有人，参加数学竞赛的有人，参加英语竞赛的有人，每人最多参加两科，那么至少有 人参加这次竞赛三 超常挑战10. 六年级班有人参加数学竞赛，有人参加英语竞赛，有人参加语文竞赛，其中参加数学和英语两科的有人，参加了英语和语文两科的有人，参加了数学和语文的有人，那么六年级班全班至少有多少人？11. 在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？12. 某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？13. 学而思的一场奥数选拔考试，试卷一共有道题，规定答对道及道以上的人能通过考试.发卷子时，唐老师说：“这次考试一共有个班的位同学参加，答对第题到第题的依次有、人.在公布每位同学的成绩之前，我想问大家一个问题：这次考试最少有多少位同学能通过呢？四. 杯赛演练： 14. (西城实验考题)在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有 个15. (黄冈名校试题)唐僧西天取经共经历了81难，其中单独度过了3难，与孙悟空一起度过了77难，与猪八戒一起度过了65难，与沙和尚一起度过了62难，同时与孙悟空和猪八戒一起度过了64难，同时与孙悟空和沙和尚一起度过了61难，同时与猪八戒和沙和尚一起度过了60难.请问：师徒四人共同度过的有多少难？16. (101中学考题)一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出段17. (日本算术奥林匹克预赛试题)有100人参加算术测验，从第1题到第5题共有5道题.答对每道题的人数分别是：第1题92人，第2题86人，第3题61人，第4题87人，第5题57人.这次测验规定，5道题只要做对3道题就及格.那么最少有多少人及格？答案：1. 如图，我们用方框表示12011中的所有自然数；圆表示能被3整除的自然数；圆表示能被7整除的自然数；那么中间重叠部分表示既能被3整除，有能被7整除的自然数，即.那么我们能求出：；.(1)(2)(3)(4)2. 首先2至400共200个偶数，即：，从而符合条件的个.3. 仔细分析，我们发现这道题实际上是要求12010中有多少个数不能被3,5,7整除.被3整除的数有个；被5整除的数有个；被7整除的数有个；其中，同时被3、5整除的数有个；同时被3、7整除的有个；同时被5、7整除的数有个；同时被3、5、7整除的数有个.那么，能被3、5、7整除的数共有：个.那么，不能被3、5、7整除的数共有个.4. 作为真分数，与互质，同时，这就要求在1到1001内，不是7的倍数，不是11的倍数，也不是13的倍数，本题中：，从而取值条件的有个.5. 由于参加了课外兴趣小组的学生人数小于60，且为4、9、3的公倍数，所以参加了课外兴趣小组的学生人数为36人，9人参加了计算机兴趣小组，20参加了艺术兴趣小组，12参加了数学兴趣小组，这41人中，参加两个以上兴趣小组的人数被统计了两遍，参加三个兴趣小组的学生被统计的3遍，所以参加三个兴趣小组的学生人数为41-36-4=1人.6. 如图，我们用方框表示12011中的所有自然数；圆表示能被3整除的自然数；圆表示能被5整除的自然数；圆表示能被7整除的自然数.那么我们能求出：；.(1)(2)(3)(4)7. 平方数：，因此平方数共有个.立方数：，因此立方数共有个.既是平方又是立方：，共有个.从而符合条件的数有：个.8. 使用韦恩图辅助分析，将不及格作为条件，则英语不及格的有(人)，数学不及格的有(人)，化学不及格的有(人)，英数14人、英化11人、数化13人也如图所标，并设三科不及格的人.题目中所谓两科或两科以上不及格20人，即，解得.即，从而，还知道，.从而：三科都不及格的有：人.至少有一科不及格的有：(人).三科都及格的有：(人).9. 由于每人最多参加两科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，要求参加的人最少，那么尽可能让每人都参加两科，所以理论上至少有人参加竞赛，但参加英语竞赛的有人，因此至少应该有人参加竞赛10. 要使全班人最少，需参加三科竞赛的人最少（可通过三元容斥公式来证明），至少有人下面只需验证人是否成立，如下图所以全班至少有(人)11. 为了恰好被3个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个人浇过的花数量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是30盆，那么接下来就变成乙浇了45盆，丙浇了50盆，丁浇60盆了，这时共有盆花，我们要让这70盆中恰好被3个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了，恰好被3个人浇过的花最少有盆12. 为了让三项都会的人尽量少，那么考虑让尽量多的人参加两项运动.如果每个学生都参加2项运动，那么参加3种运动的共有（人次）.而实际上参加3种比赛的共有（人次）.那么还余下人次的运动.因此至少有4人这三项运动都会.下面我们来验证能否构造一种情况，使得恰好有4个学生会这3项运动：该情况可以用韦恩图来构造和示意：13. 因为要算至少有多少人能通过考试.所以应该让答对题的尽量多，且答对题的尽量多，然后是答对题的也尽量多.因为(道)题，去掉每人题，还有(道)题，答对题的最多能有人，而，也就是说可以让所有不是刚好答对题的同学都答对题.那么还有人全对.因此至少有人能通过考试.14. 1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有个，3和7的倍数有个，5和7的倍数有个，3、5和7的倍数有个所以，恰好是3、5、7中两个数的倍数的共有个15. 唐僧与徒弟共同度过了难，设师徒四人共同度过了难，根据容斥原理有，解得，因此师徒四人共同度过了难.16. 要求出截出的段数，应当先求出木棒上的刻度数，而木棒上的刻度数，相当于1、2、3、100、101这101个自然数中2或3或5的倍数的个数，为故木棒上共有74个刻度，可以截出75段17. 答对题数的合计是：人.为使及格人数最少，设全员答对的题不少于2道，余下的答对题的数量不多于人.把这尽可能少分给一些人.从5道题都答对的最