专升本高数复习资料1.doc

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专升本高数复习资料 第一章 函数、极限和连续1.1 函数一、 主要 y=f(x), xd定义域: d(f), 值域: z(f).y=f(x)xd12.分段函数: g(x)xd23.隐函数: f(x,y)= 04.反函数: y=f(x) x=(y)=f-1(y)y=f-1 (x)定理:如果函数: y=f(x), d(f)=x, z(f)=y是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f-1(x), d(f-1)=y, z(f-1)=x且也是严格单调增加(或减少)的。 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),xd,x1、x2d当x1x2时,若f(x1)f(x2),则称f(x)在d)；若f(x1)f(x2),则称f(x)在d)；若f(x1)f(x2),则称f(x)在d)；若f(x1)f(x2),则称f(x)在d)。 2.函数的奇偶性：d(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性：周期函数：f(x+t)=f(x), x(-，+)周期：t最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|m , x(a,b) 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c为常数)2.幂函数： y=xn , (n为实数)3.指数函数： y=ax , (a0、a1)4.对数函数： y=loga x ,(a0、a1)5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x1 y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon xy=arctan x, y=arccot x 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xx 2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数。二、 例题分析例1. 求下列函数的定义域： f(x)=11-x2-x+21解:对于1-x2有: 1-x20 解得: x1对于x+2有: x+20 x2 f(x)的定义域: x-2,-1)u(-1,1)u(1,+)f(x)=1 ln2-x1解: 由ln2-x得：ln(2-x)0 ，解得: x1由ln(2-x) 得：(2-x) 0 ， x2 f(x)的定义域: x(-,1)u(1,2) 例2.设f(x)的定义域为（-1，1）则f(x+1) 的定义域为a.(-2,0), b.(-1,1), c.(0,2), d.0,2 解：-1x+11 -2x0即f(x+1) 的定义域为: x(-2,0)2 应选a. 例3.下列f(x)与g(x)是相同函数的为2a. f(x)=x, g(x)=x) b. f(x)=x2， g(x)=xc. f(x)=lnx2，g(x)=2lnx d. f(x)=lnx， g(x)=2lnx 解：a. d(f)=(-,+)，d(g)=0,+)b. d(f)=(-,+)，d(g)=(-,+)f(x)=x2=-xx0xx0g(x)=x=-xx0xx0 应选bc. d(f)=(-,0)u(0,+)，d(g)=(0,+)d. d(f)=(0,+)，d(g)=(-,0)u(0,+)3 例4.求y=2+loga(x+3)，(a,a1)的反函数及其定义域。解：y=2+loga(x+3)，(a,a1)x(-3,+)，y(-,+)在(-3,+) 取 x=-y24 -1即：y=f(x)=-x2x0,1,y-1,0 （应填-x2） 例6.设函数f1(x)和f2(x)是定义在同一区间d(f)上的两个偶函数，则f1(x)-f2(x)为 函数。解：设 f(x)=f1(x)-f2(x)f(-x)=f1(-x)-f2(-x)=f1(x)-f2(x)=f(x)f1(x)-f2(x)是偶函数 （应填“偶”） 例7. 判断f(x)=ln(x+x2)的奇偶性。 解: f(-x)=ln-x+(-x)2=ln(-x+x2)5 22=ln(-x+x)(x+x)x+x2=ln-x2+1+x2=ln1x+x2x+x22)-1=ln(x+xx+x2=-ln()=-f(x)f(x)为奇函数 例8.设f(x)=coswx ，则f(x)的周期为 。解法一: 设f(x)的周期为t,f(x+t)=cosw(x+t)=cos(wx+wt) = f(x)=coswx cos(wx+wt)=coswx而 co(su+2p)=cous6 2pt= wt=2p， w 解法二：f(x)=coswx=cos(wx+2p)=cosw(x+2pw)=f(x+2pw) t=2p2p w (应填w) 例9. 指出函数f(x)=lnsin(x+1)那是由些简单函数复合而成的？解：令 u=lnsin(x+1)， 则 f(u)=uv=sin(x+1)， 则 u=lnvw=x+1， 则 v=sinwf(x)是由：f(u)=u，u=lnv，v=sinw，w=x+1复合而成的。 3例10. 已知f(x)=x,g(x)=ex,则fg(x)等于7 a. e3x, b. ex3, c. ex3, d. xe3 解: f(x)=x,g(x)=ex3x fg(x)=f(e)=(e)=ex33x(x)=g(x)3=(ex)3或 fg=e3x例11. 已知f(x)=ln(x+1),fj(x)=x求j(x)的表达式。解:fj(x)=ln1+j(x)=x1+j(x)=ex解得ex j(x)=-1 1.2 极 限一、 主要（应选 2.函数的极限：当x时，f(x)的极限：limf(x)=ax-limf(x)= xlim+f(x)=axa 当xx0时，f(x)的极限：xlimxf(x)=a0左极限：xlimx(x)=a0-f右极限：xlimxx)=a0+f(函数极限存的充要条件：limf(x)=a定理：xx0xlimx0-f(x)=xlimx0+f(x)=a无穷大量和无穷小量1 无穷大量：limf(x)=+ 称在该变化过程中f(x)为无穷大量。x再某个变化过程是指：x,xx-,xx+x-,x+,00,2 无穷小量：limf(x)=0 xx09 称在该变化过程中f(x)为无穷小量。3 无穷大量与无穷小量的关系：limf(x)=0lim1f(x)=+,(f(x)0)定理：4 无穷小量的比较：lima=0,limb=0若limba=0,则称是比较高阶的无穷小量；b若lima=c （c为常数），则称与同阶的无穷小量；若limba=1，则称与是等价的无穷小量，记作：；若limba=,则称是比较低阶的无穷小量。 定理：若：a1b1，a2b2；则：lima2=limb2 两面夹定理1 数列极限存在的判定准则：设：ynxnzn （n=1、2、3）10 且： limnyn=limnzn=a则： limnxn=a2 函数极限存在的判定准则：设：对于点x0的某个邻域 (limv(x)0)推论：limu1(x)u2(x)lun(x)=limu1(x)limu2(x)llimun(x)limcu(x)=climu(x)11 nlimu(x)n=limu(x) 两个重要极限sinxsinj(x)1limx0x=1 或 jlim(x)0j(x)=11lim(1+1)x=elim(1+xx2xx x0)=e二、 例题分析2345例1 求数列1,2,3,4ll的极限。yn=解：n=1+nnlimyn=nlim(1+n)=11+2+3+l例2计算 lim+nnn2+3n解：1+2+3+l+n=(1+n)n2 1+2+3+l+n2(1+nlimnn2+3n=lim)nnn2+3n=1lim1+n(1+nn3+n=12lim)n2n(3+n)n12 =1n+112limnn+1=2 1+2+3+l+n误解：limnn2+3n =limnn2+3n+n2+3n+n2+3n+l+n2+3n) =nlimn2+3n+limnn2+3n+limnn2+3n+l+limnn+3=0例3下列极限存在的是(x+1) a.xlim2+x, b. limxxx2,xc.xlim+2x-1, d. limxe, 2解：a.xlim+x=xlim+x+x=+1)-x(x-1)b.xlimx(x-x2=xlim-x2=xlim-(1-x)=-1x(x-1)x(x-1)xlim+x2=xlim+x2=xlim+(1-x)=113 x(x+1)limxx2 不存在 limc. x+2x-1=0 应选cxd. xlim+e=+imexxl-=xli-me-x=0xlimxe 不存在 1例4.当x时，f(x)与x是等价无穷小量，limx2xf(x)= 则。 f(x)1解：x(x) lim2xf(x)=lim2x1=lim2=xxxx2nlim2例5.计算 nn! (n=1,2,3,)2n解: n!=212223ll22n-1n (应填2)14 00 (n=2,3,) 2222240123lln-1nnlimn0=0 又:lim4nn=0 由两面夹定理可得:nlim2nn!=lim2n12223ll2n=0nlim2 nn!=0 例6.计算下列极限3limx-3x+2 xx4-x2 +333limx-3x+2(x-3x+2)4解: xx4-x2+3=limxx4-x2+31x415=limx-x3+x4x1-=0x2+x4 2limx+x-2 x1x-12limx+x-2解: x1x-1=lim(x-1)(x+2)-1=limx1(x+2)=3 x1x 2limxx02 1-+x解法一: 共轭法 x2limx21+x2x02=0limx01-+x01-+x21+x222=limx1+xx01-1+x2=limx21+x2x0-x2 16=lim-1+x=-2x0 解法二： 变量替换法2 设：t=1-+x当2x=t-2t222x0时，t0t-2tlim=lim2x0t0t 1-+xx2()=limt-2=-2t02x+limxx+1-x) 解法一：共轭法x+limxx+1-x2)(-)x+=limxx2+1-x2 x2+1+x =lim xx+1-x2(22x+x+1+xxx2)=limxx+1+xxx+1+x1+x2x+2()x+=lim(x+1+x)=limx+1=+12 解法二：变量替换法17 1x=+设：t 当x+时，t0 xlim+xx2+1-x)=1tlim0+t2t+1-1t2=lim1+t-11+t22t0+t2(=lim0)t0+2-11+t+1t1+t2+1=lim+t2-1t0+t211+t2+1=lim1t0+1+t2+1=12 limsin(3x+x2)x0x limsin(3x+x2)sin(3x+x2)3x2解法一：x0x(=+x)limx03x+x2x=limsin(3x+x2)lim(3+x) x03x+x2x0=13=3 解法二：sin(3x+x2)3x+x2(x0) limsin(3x+x2)2=lim3x+xx0xx0x 18 =lim3+x=3x0 limarcsin2x x0x解：设：t=arcsin2xx=2sint当x0时，t0larcs2inxxi0x(=lit)t02sint=2结论：arcsinxx(x0) lim1-cosx x0x22222解法一：cos2x=cosx-sin=2cosx-1=1-2sinx=2sin21-cos2xx 21-cosx=2sin2sixx(x0)又 2219 x2lim1-cosx2sin2= x0x()limx0x2 =lim2()222=lim11x0xx02=2 2x=sin2解法二：1-cosxlim1-cosx(1-cosx)(1+cos)x0x21+cosx(=lim20)x0x1+cosxsinx2=lim1211x0xlimx01+cosx=12=2解法三：应用罗必塔法则 lim1-cosx2=sinx1 x0x()limx02x=2 x+axlimxa0 x-ax+axx-a+a+axlimxx-a(1=lim解法一：)xx-a20 2a2a=lim1+=lim1+xxx-ax-a xx-a2a+a2a 解法二：x-a=lim2a22aaax1+x-a 1+2ax-a x-a2a=2a2alim x1+x-alim2aax1+x-a =e2a1a=e2a 设t=x-ax=t+a当x时，tlimx+axt+a+at+axx-a(1=)limttta=limt1+2at1+2att2aa=lim2a2at1+lim2a2at1+=ett 21 xxlimxx+a(x+a)x解法三：x-a=limxx-ax=lim(1+x)x1+xaa x1-x=lim(xlim(1-a=e-a=e2aexx) 2例7.当x0时，若ax与tan24为等价无穷小量，则必有a= 22解：axtan4(x0) tan2limx0ax2=1 2limtan4sin2x0ax2=lim4x0ax12cos22=lim4x0axlim112x0cos2=144a 1a=4（应填4）结论：tanxx(x0)arctanxx(x0)22 x例8.若limx(1+x)=e2，则k= k解：limx(1+)xx=limx(1+x=ek=e k=2 （应填2） x2-2x+例9.已知limkx3x-3=4，求k的值。 解：limx3(x-3)=0x2lim-2x+kx3x-3=4limx3(x2-2x+k)=023-23+k=0k=-3 x2-2x+kx2=lim-2x-3由limx3x-3k=-3x3x-3 =lim(x-3)(x+1)x3x-3=limx3(x+1)=4 当k=-3时，原式成立。 x例10.证明：当x0时，(e-1)与x是等价23 无穷小量。证：只要证明 limxx0ex-1=1 成立，即可。x设：t=e-1x=ln(1+t) 当x0时，t0limxln(1+t)x0ex-1(=lim)t0tlimln(1+tx0=lne=1(ex-1)x(x0)结论：(ex-1)x(x0)ln(1+x)x(x0) 1.3 连续一、 主要 1odlimx0dy=dlimx0f(x0+dx)-f(x0)=0 2oxlimxf(x)=f(x0) 左连续：xlimx0-f(x)=f(x0)24)x(f 右连续：xlimx=f(x0)0+f(x) 2. 函数在x0处连续的必要条件：定理：f(x)在x0处连续f(x)在x0处极限存在3. 函数在x0处连续的充要条件：定理：xlimxf(x)=f(x0)xlim0x0-f(x)=xlimx0+f(x)=f(x0)4. 函数在a,b上连续：f(x)在a,b上每一点都连续。 在端点a和b连续是指：xliam+f(x)=f(a) 左端点右连续； xlibm-f(x)=f(b) 右端点左连续。a0 b x5. 函数的间断点：若f(x)在x0处不连续，则x0为f(x)的间断点。间断点有三种情况：1o在x0处无定义；2oxlimxf(x)0不存在； 25)x(f)x(f 3o在x0处有定义，且xlimxf(x)0存在， 但xlimxf(x)f(x0)0。 两类间断点的判断：1o第一类间断点：(x)特点：xlimx0-fxlimx+f(x)和0都存在。 可去间断点：xlimxf(x)0存在，但xlimxf(x)f(x0)0，或在x0处无定义。 2o第二类间断点：limf(x)lim(x)特点：xx0-和xx0+f至少有一个为， 或xlimxf(x)0振荡不存在。limx)lim无穷间断点：xx0-f(x+f(x)和x0至少有一个为函数在x0处连续的性质1. 连续函数的四则运算： 设xlimxf(x)=f(x0)0，xlimxg(x)=g(x0) 26 1o xlimxf(x)g(x)=f(x0)g(x0) 2oxlimxf(x)g(x)=f(x0)g(x0) f(x)f(x