（应用数学专业论文）一类具时滞生态系统的概周期解.pdf

摘要 ( 生态系统的持久性、稳定性及概周期解的存在性问题是数学生态 学理论中一个重要研究方向对于较复杂的l o t k a - v o l t e r r a 麴，给出 上述性质的明确判定准则是数学生态学的一个重要课题，受到理论生态 学家与数学家的广泛重视 对于生态系红而言，系统在某时刻的状态( 即种群密度的增长率) 不仅受到当时各种群间关系的影响，也应当受到历史的制约，也即是时 滞效应的影响，因而在生态系统中考虑时滞因素，将能更正确的描述系 统的变化于发展；另一方面，由于环境或人为因素的影响而使种群的分 布呈现一定的区域性，这就使得我们在对其进行研究时不仅要考虑时 间因素，更应该考虑空间因素，即种群间的扩散效应将这种空间扩散 效应纳入生态系统的研究，始于s k e l l a m 的工作，之后l e v i n 推动了生 态系统的这方面定性性质研究的发展然而对于具扩散效应的概周期系 统，研究成果还相对较少尸、一 本文主要研究一类带扩散和具时滞的非自治l o t k a - v o l t e r r a 竞争 系统的解的持久性，稳定性以及正概周期解的存在唯一性和全局渐近稳 定性全文安排如下： 第一节简要介绍了本文的研究背景，给出改进后的模型并进行了 适当的准备工作；第二节证明了一定条件下系统的解是一致持久的；第 三节通过构造l y a p u n o v 函数的方法证明了一定条件下系统的解是全局 渐近稳定的；第四节给出了堡旦塑丕统的正概周期解的壹查堕= 丝和全 局渐近稳定性的充分条件 关键词：时滞，扩散，一致持久，全局渐近稳砖概周期，正概 周期解yl y a p u n o v 函数 1 1 a b s t r a c t t h e p e r s i s t e n c e ，s t a b i l i t ya n dt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ea l m o s tp c - r i o d i cs o l u t i o n so fa ne c o l o g i c a ls y s t e mi sa ni m p o r t a n td i r e c t i o no f m a t h e m a t i c a le c o l o g yr e s e r c h i th a sb e e na ni m p o r t a n tt o p i ct og i v e ad e f i n i t ec r i t e r i o no ft h e s eu p p e rp r o p e r t i e so fac o m p l i c a t e dl o t k a v o l t e r r as y s t e m ，a n dm a n ys c h o l a r sh a v ep a i dm o r ea t t e n t i o nt ot h i s f i e l d f o re c o l o g i c a ls y s t e m ，t h es t a t eo ft h es y s t e mi nam o m e n tw i l l b ei n f l u e n c e db yt h es t a t ei nh i s t o r ya 8w e l la sb yt h er e l a t i o no f s p e c i e s a tt h a tm o m e n t ，s a y 】t h ei n f l u e n c eo ft i m ed e l a y ，a n ds oi fw ec o n s i d e r i t ，w e w i l lb em o r ep r e c i s e l yi nd i s c r i b et h ec h a n g ea n dd e v e l o p m e n t o ft h es y s t e m ；o nt h eo t h e rh a n d ，t h ep o p u l a t i o no fs p e c i e sm a yb e d i s t r i b u t e di nd i f i e r e n tp a t c h sb e c a u s eo ft h ei n f l u e n c e so fe n v i o n m e n t o ra r t i f i c i a le l e m e n t ，t h i sm a d eu sh a dt oc o n s i d e rn o to n l yt h et i m e e l e m e n tb u ta l s ot h es p a t i a le l e m e n t ，s a i dt h ed i f l u s i o no f s p e c i e s t h e t h e o r e t i c a lw o r k so nt h i sp r o b l e mw e r ep i o n e e r e db ys k e l l a m ，a n dl e v i n p r o m p t e di t h o w e v e r i t ss e e m e dt h a tt h er e s e a r c hr e s u l to fd i f l u s i o n m o d e li na na l m o s tp e r i o d i ce n v i r o n m e n ti sr a r et oa p p e a r t h i sp a p e rm a i n l ys t u d yt h eu n i f o r m l y p e r s i s t e n c ea n dt h ep r o p - e r t i e so fa l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o nf o rak i n do f c o m p e t i t i v es y s t e mw i t h d i f f u s i o na n dt i m ed e l a y w eo b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rg l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l ys t a b l eo ft h es y s t e m w jo r g a n i z e dt h ew h o l ep a p e ra s f c i l l o w ： i ns e c t i o n1 ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h i sa r t i c l ei nb r i e f a n d g i v eo u t t h ei m p r o v e dm o d e la n dd os o m e p r e p a r ew o r k s ；i ns e c t i o n 2 ，w ew i l lp r o v et h es y s t e mi su n i f o r m l yp e r s i s t a n tu n d e rs o m ec o n d i t i o n s ；i ns e c t i o n3 ，w ew i l lp r o v et h es y s t e mi sg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l y s t a b l eb yu s i n gl y a p u v o vf u n c t i o n ；i ns e c t i o n4 ，w ew i l lg i v es u f f i c i e n t c o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c e ，u n i q u n e s sa n d g l o b a la s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y o fp o s i t i v ea l m o s tp e r i o d i cs o l u t i no ft h ea l m o s tp e r i o d i cs y s t e m k e yw o r d s ：，t i m ed e l a y , d i f f u s i o n ，u n i f o r m l yp e r s i s t e n c e ，g l o b a l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e ，a l m o s tp e r i o d i c ，p o s i t i v ea l m o s tp e r i o d i cs o l u t i n ，l y a - p u n o v f u n c t i o n n 1 独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表的研究成果，也不包含他人为获得东北师 范大学或其它教学机构的学位或证书而取得的研究成果。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 签名 墼。敛毫 口期：z 0 0 2 6 关于论文使用授权的说明 本人了解并遵守东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留、向国家有关部门送交学位论文的复印件，允许论 文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影 印、缩印或其它复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名： ：盘。亟名 指导教师签名：五也 期：2 螋盟：g 51 引言 生态系统的持久性、稳定性及概周期解的存在性问题是数学生态 学理论中的一个重要研究方向，历来受到学术界的重视。研究非自治的 l o t k a v o l t e r r a 系统解的定性性质，给出明确的判别准则已是目前数学 生态学理论的一个重要课题，在实际应用方面有着广阔前景。 本文研究一类带有扩散效应的两种群时滞l o t k a - v o l t e r r a 系统的 概周期解的一些定性性质，得到了系统的一致持久性和概周期解的存在 性，唯一性以及全局吸引性的充分条件。将空间扩散效应纳入生态系统 的研究，始于1 9 5 2 年s k e l l a m 【1 的工作，其后，l e v i n 2 】于1 9 7 4 年首 次建立了这种类型的自治l o t k a v o l t e r r a 生态模型，开创了数学生态学 研究的新领域。陈兰荪及其学生们近年来在这方面做了大量工作，取得 重要进展 3 - 7 l 。他们将这一系统推广到非自治情形并研究了解的持久 性和周期轨道存在性。文【4 7 1 在文【3 的基础上进一步引入时滞，并对 此系统解的一致持久性和全局吸引性作了研究。由于概周期现象在实际 中足更容易见到的，是比周期现象更广泛的现象，它以周期现象作为特 例然而，对于这类时滞扩散l o t k a v o l t e r r a 系统，有关其概周期解的 定性性质的研究工作目前还相对较少，本文在7 1 的基础上对模型进行 了改进，并进一步在概周期环境下对模型进行了研究，从而推广了7 的工作。 本文研究如下形式的l o t k a v o l t e r r a 系统 圣2 ( t ) 9 ( t ) = z 1 ) r l ( t ) 一o l ( ) z l ( t ) 一b l ( t ) k l ( s ) 茁1 ( t 十s ) d s - - c 1 ( t ) ( ) 】+ d t ( t ) ( x 2 ( t ) z l ( t ) ) r o = z 2 0 ) r 2 ( ) 一0 2 0 ) z 2 ( ) 一6 2 ( ) k j ( s ) z 2 ( 4 - s ) d s + d 2 ( ) ( z l ( ) 一z 2 ( ) ) r 0 = ( t ) r 3 ( ) 一a a ( t ) x l ( t ) 一6 3 ( z ) k 3 ( s ) ( t + s ) d s c 3 ( t ) 可( ) 】 ( 1 1 ) 其中z l ( t ) 和g ( ) 分别是斑块i 中种群x 和种群y 在时刻t 时的密 度，z 2 ( t ) 是斑块i i 中种群x 在时刻t 时的密度种群y 被限制在斑块i 中雨x 能在两班块间扩散，扩散系数是d i ( t ) ( i = 1 ，2 ) 蚝( s ) 0 = 1 ，2 ，3 ) 是【一r ，0 】上的非负逐段连续函数，且满足正规化假设，即k i ( s ) d s = 1 我们还假设n ( t ) ，o i ( t ) ，以( ) ( i = 1 ，2 ，3 ) 及c i ( t ) 0 = l ，3 ) ，d i ( t ) ( i = l ，2 ) 皆是严格正的连续概周期函数，从而在r + = ( 0 ，+ ) 上有界。 对于r + 上连续有界函数，( t ) ，我们总是假设 f = i n f f ( t ) ：t r + ) ， f m = s u p f ( t ) ：ter + ) 于是在系统( 1 1 ) 中我们有 0 r t r i ( t ) r + 。，0 a lsa i ( t ) 冬n ， + o o ， 0 砝sb i ( t ) + o o ( i = 1 ，2 ，3 ) ；o 毒sq ( t ) = 1 ，3 ) ， 0 0 表示。ei n t r a + 由( 1 2 ) 可知，存在o ( 0 ，+ o o ) 和系统( 1 1 ) 唯一的解g ( t ，圣) ，使得对t 【0 ，o t ) 有x ( t ，垂) 0 ，这样的解叫做( 1 1 ) 的正解由生态学意义，我们仅在i n t r a + 中考虑系统( 1 1 ) 定义：【7 】系统( 1 1 ) 称作是一致持久的，如果存在紧集dci n t r 3 + ，使 得系统( 1 1 ) 满足初始条件( 1 2 ) 的每一个解。( t ) = ( x l ( f ) ，x 2 ( t ) ，耖( ) ) 都将最终进入并停留在d 中 2 系统( 1 1 ) 的正解称作是全局渐进稳定的，如果它是稳定的并吸 引所有的正解 2 持久性 本节研究系统( 1 1 ) 的一致持久性 引理2 1 集合避= p = 向，x 2 ，) 月3 ：况 o ( i = 】，2 ) ，y 吣是 满足( 1 2 ) 的系统( 1 1 ) 的正不变集 证明： 若x = ( z l ，x 2 ，y ) 0 ，则对任意t 0 ，+ o 。) 由原系统可得 x l ( t ) = z l ( o ) e x p 1 s ) 一a l ( s ) 茁】( s ) j i j 一6 1 ( 8 ) k l ( u ) z l ( s + u ) d u c l ( s ) ( s ) l ( s ) 鬻_ d l ( s ) d s ) 从而x l ( t ) o ；同理可知z 2 ( t ) 0 ，y ( t ) 0 引理证毕 引理2 2 若z ( t ) = ( z 1 ( t ) ，茁z ( t ) ，g ( t ) ) 是系统( 1 1 ) 满足初始条件( 1 2 ) 的正解，则存在t 0 使得 孔( t ) 缸( i = 1 ，2 ) ，y ( t ) m 2 ，t t ( 2 1 ) 这里 m 1 m ；，m 2 m i ， 聊= m a x 奇r m ，筹) ，蟛= 筹 证明： 对于系统( 1 1 ) 的前两个方程有 当x l ( t ) z 2 ( t ) 时有 圣1 0 ) 。- ( t ) 【r 1 ( t ) 一n 1 0 ) 茹1 ( ) 】扰( t ) l r r o 。l ( t ) 】 当z 2 ( t ) 。1 ( t ) 时有 圣z ( t ) x 2 ( t ) r 2 ( t ) 一o ：( t ) z z ( t ) 】墨z 2 ( t ) p r n j z 2 ( ) 】 我们定义( t ) = m a x x l ( t ) ，z 。( t ) 于是得到 y o ( t ) 孔( t ) f r 8 一o ? q ( ) ( 22 ) 这里i = l 或i = 2 由( 2 2 ) ，我们可以选取尬使得 若m a x x 1 【o ) ，z 2 ( o ) ) 曼m l ，则有t b a x _ 【x 1 ( ) ，x 2 ( t ) sm i ，t 0 若m a x x 1 ( ) ，。2 ( t ) 如，则有 惦( t ) 兰甄( t ) i r y 。? 尬1 这里i = l 或i = 2 若v o ( o ) = x l ( o ) m l ，则存在h 0 ，使得当 t 0 ，h 时有( ) m 1 ，于是 ( ) = 圣：( t ) 0 ，使得当t 【0 ，h 时有 v o ( t ) m 1 ，于是 v o ( t ) = 圣2 ( t ) m 1 【r 笋一a l m l 】= 一m i a l m i r r 】 m t 时有y o ( t ) 乃时有 v o ( t ) = m a x x 1 ( ) ，x d t ) m 1 对于系统的第二个方程有 口o ) 可( t ) r 3 ( t ) 一c s ( t ) y ( t ) 】( t ) 【r r 一砖9 0 ) 】 同样可以选取m 2 蟛使得 若y ( o ) o ) 则有 妒( ) m + = m a x ，噬( 23 ) r 一6 r 矸一c r 露 0 ，r 一b 2 m m ； 0 则系统( 1 1 ) 是一致持久的 证明： 设z = ( x l ( t ) ，z 2 ( t ) ( t ) ) 是( 1 1 ) 满足( 1 2 ) 的任一正解 由( 1 1 ) 的第三个方程及引理2 1 可知存在矸 t + r ，使得 9 )可0 ) l r ；n r 彳l 一6 r 如一c r ( ) y ( t ) r k ( o r + b m ) m + 一孝( ) f ( z ) 瞄一( 8 r 十谬) m 一掣( f ) 1 t 耳 这里m = m a x m 1 ，m 2 由条件( 2 3 ) 可知 砖( o r + b m ) m 4 0 从而我们可以选取m 充分接近于m + 使得嘈( o r + 6 r ) m 0 成 立 令 m 净r l - ( a 可m + b m ) m 。 则我们可选取t f 2 , 2 ，0 0 于是存在h 0 ，使得当t 田，耳+ h 时有y ( t ) 冬m 2 ， 令 7 = ( 耳) 时一( + 掣) 一m 2 0 于是可知口( t ) 7 0 ，从而( ) 严格单调增，则存在写 日，使得 y ( t ) m 2 ，t 写 从而对任意t e ，我们得到y ( t ) m 2 对系统( 1 1 ) 的前两个方程同样有当t2 写时： 毒。( t ) x l ( t ) f r 一n f z z ( t ) 一6 y 以一c r l 如】+ d t ( t ) ( z 2 ( t ) 一x l ( t ) ) ， 圣： ) 芝x 2 0 ) r 一口笋z z 0 ) 6 罗m 】+ d 2 ( t ) ( x l ( t ) 一x 2 0 ) ) ( 2 4 ) 我们定义 v y ( t ) = m i n x l ( t ) ，z 2 ( t ) ) 由( 2 4 ) ，沿着系统( 1 1 ) 的正解我们有：对任意t 巧 耳有 噼姒蛇 ：燃二戮：；篡f 掣圳景撼篙? 由条件( 2 3 ) ，我们可以使引理( 2 2 ) 中选取的m l ，m 2 充分接近a 虻，蟛 使得 r 一6 r 尬一c f 如 0 ，砖一6 笋m 1 0 同时成立令 m 1 - - m i n _ 学，挚 _ 选取m l ( 0 ，m ：) ，可以得到 则存在h 0 ，使得当t 【巧，巧+ h ) 时有 优( t ) = 圣l ( t ) x l ( 巧) p 一b m m l 一a m m , 一c r 如 若( 写) = z 2 ( 写) 0 ，使得当t 田，巧+ h ) 时有 ( t ) x 2 ( 写) 【r 一n r m 一b m m i 令 6 = m i n x 。( 写) 【r 一b m m l 一r m l 一c r 如 ，x 2 ( 写) p ；一口r m - 一6 r 彳l 】) 于是可知当( o ) 6 0 于是h ( ) 严格单调增，于 是可知存在露 露，使得当t 骘时有 ( t ) = m i n x l ( t ) ，茁2 ( t ) ) m 1 令 n = ( z 1 ( t ) ，x 2 0 ) ，可0 ) ) 兄辜： q l z d t ) m 1 ( i = 1 ，2 ) ，? n 2 y ( t ) m 2 则q 显然是磁中的正有界闭集，从而是磷中的紧集令t o 写， 则由以上证明可知对任意t t o ，系统( 1 1 ) 满足( 1 2 ) 的任何正解都将 最终进入并停留在区域q 中，即系统( 1 1 ) 是一致持久的 3 全局渐近稳定性 这一节我们讨论系统( 1 1 ) 的解的稳定性质首先介绍一个引理 引理3 1 ( b a r b a l a t sl e m m a ) 设f ( t ) 是定义在 h ，+ o 。) 上的非负函数， 其中 是一非负实数，若，在限，+ o o ) 可积且一致连续，则。旦臻，( t ) = o 7 m 等 = - = 为m口 0 ，使得 对一切t 蜀有 0 m 1 z 。0 ) m l ( i = 1 ，2 ) ，0 m 2 y ( t ) m 2 ； 0 砰砖 础归簿蘩； 讼归拳豢： 对于d ，( t ) 有 州蚴蛊糯揣s 箬旧i 对于西2 ( t ) 有 蚴蚴摇崭器s 丝1 n l 旧圳 从而，由( 3 2 ) 可知 d + y ( ) 一( 。一血r 一掣) x ，( t ) 乱- 0 ) f 一( 。 一蟛) f x 2 ( t ) “z 0 ) + ( c r c ；+ 6 f ) l9 0 ) 一 ( t ) l + 西1 ( t ) + d 2 0 ) 一( a 一n ；f 山y 一等) t ) 咄( ) 1 一( 。j 一6 r 一羔) i z z ( t ) 咄( t ) i + ( c r c ；+ 6 f ) l 0 ) 一u ( t ) l ，t 2 t o 由条件( 3 1 ) 可知，存在常数c 0 ，使得 d + v ( t ) 墨一c ( elz i ( ) 一u 。( t ) i + l 口( t ) 一v ( t ) i ) ，t t o ( 3 , 3 ) i = 1 将( 3 3 ) 两端从到t t o 积分得 t t z 矿( f ) + c 厶( f 黝0 ) 一“t o ) f + f 可0 ) 一u 0 ) f ) d s v ( t o ) + o 。 0 1 0 i 一1 9 这就表明 2 1 翰( t ) 一u 。( t ) i + l ( t ) 一v ( t ) i l 1 ( t o ，+ ) 由方程( 1 1 ) 和费理2 2 我们知道l 筑( ) 一t ( t ) f ( i = 1 ，2 ) ，iy ( ) 一”( z ) 及其导数在m ，+ o o ) 上有界，从而ei 甄( ) 一u ；( t ) i + i ( t ) 一 ( ) 在m ，+ o 。) 上一致连续 于是由引理3 1 可得 2 。l i m ( 1 翰( t ) 一n i ( t ) i + i 可 ) 一”( t ) 1 ) = o 从而 。墨l 黝0 ) 一u t ( t ) i = 0 0 = 1 ，2 ) ，。里i ( t ) 一u 0 ) i = 0 这表明( 1 1 ) 的任何正解都是稳定的和全局吸引的证毕 4 正概周期解的存在唯一性和全局渐近稳定性 本节研究系统( 1 1 ) 的概周期解的存在唯一i 生和全局渐近吸引性 考虑泛函微分方程 以及其乘积系统 f 4 】) 士( t ) = f ( t ，轧) ，口( t ) = f ( t ，y t )( 4 1 ) + 这里f ：r c 咒“连续，c = c ( - r ，o 】，r “) 对于妒c ，定义范数为 m l = s u piv ( o ) i ， 畦 一r ，o 】 1 0 这里| 1 为r “中的范数令 c 0 一= 妒cj jj 妒j 日+ ) ，8 h - = z r “jj xj 月嶂) 这里我们总是假设0 0 时有v ( s ) s ，使得当 p ( v ( t ，x l ，x 2 ) ) v ( t + 0 ，妒( 目) ，妒( 目) ) ，0 【- - r ，0 】 时有d 矗1 ) ，v ( t ，妒( o ) ，吵( o ) ) 一c v ( t ，妒( o ) ，妒( o ) ) ，c 0 是常数 如果方程( 4 1 ) 的每一个解满足怯( 删s1 1 ，t t o ，则方程 ( 4 1 ) 存在一个一致渐近稳定的概周期解，并且m o d ( p ) cm o d ( f ) 更进 一步，若f ( t ，妒) 关于t 是u - 周期的，则( 4 1 ) 存在一个u 一周期解 对于系统( 1 1 ) ，作变换 z ：( ) = l n z ；( t ) ) ( i = 1 ，2 ) ，鲈+ ( t ) = l n ( ) 则系统( 2 1 ) 变为 ，n 圣：( ) = n ( t ) 一口i ( ) e 。i ( ) 一b 1 ( ) 凰( s ) e x p z ：0 + 8 ) ) d s c l ( t ) e x p y + ( t ) ) + d l ( t ) ( e x p ( x ；( t ) 。i ( t ) ) ) 一1 ) r o 尘；( t ) = r 2 0 ) 一n 2 ( t ) e x p t z ；( t ) ) 一6 2 0 ) j 幻( s ) e x p x ；( t + s ) d s + d 2 ( t ) ( e x p ( 。：( t ) 一z ；( t ) ) ) 一1 ) e o 9 + ) = n ( t ) 一n 3 0 ) e x p 。：( t ) ) 一6 3 ( z ) k j ( s ) e x p y 4 0 + s ) d s c a ( t ) e x p y + ( t ) ( 4 2 1 若定理2 2 的条件满足，则对于系统( 4 2 ) 我们有 q = ( z ：( o ) ，z ；( ) ，剪( ) ) fi n7 7 1 z ：( ) l nm ( i = 1 ，2 ) ，i n t f t 2 + ( f ) i nm 2 定理4 3 设系统( 1 1 ) 满足条件( 2 穹) ，( 3 1 ) ，且 如“筹拦m l “ 等+ 箬 ( 4 。) 。l 。f + 丝 卜 其中卢为某一常数，b = m l b m + m 1 蟛+ m 2 b 扩则系统( 1 1 ) 在q 中 存在唯一的一个概周期解，此解是全局渐近稳定的更进一步，若系统 ( 11 ) 的右端关于t 是u 一周期的，则系统( 1 1 ) 存在一个u 一周期解 证明：考虑系统( 1 1 ) 的乘积系统 = x l ( t ) r l ( t ) 一0 1 ( t ) 茁1 0 ) 一6 1 0 ) k 1 ( s ) 茁1 0 + s ) d s c l ( t ) y ( t ) 】+ d 1 ( t ) ( x 2 ( t ) 一z ( t ) ) r 0 = x 2 ( t ) r 2 ( t ) 一a 2 ( t ) x 2 ( t ) 一6 2 ( t ) j 岛( s ) 。2 ( t + s ) d s 】 + d 2 ( t ) ( x l ( t ) z 2 ( t ) ) r o = y ( t ) r a ( t ) 一a a ( t ) x l ( t ) 一6 3 ( t ) k 3 ( s ) 可 + s ) d s c 3 ( t ) y ( t ) ，0 = u 1 0 ) 【r 1 0 ) 一a l ( t ) u , ( t ) 一6 1 ) k l ( s ) u l ( t + s ) d s c l ( t ) v ( t ) 】+ d 1 ( t ) ( u 2 0 ) 一u 1 ( t ) ) ，0 = u 2 ( t ) r 2 ( t ) 一a 2 ( t ) u 2 ( t ) 一6 2 ( t ) j g ( s ) 札2 + s ) d s + d 2 ( t ) ( u l ( t ) 一u 2 ( t ) ) ，0 = v ( t ) r 3 ( t ) 一a a ( t ) v , ( t ) 一6 3 ( t ) k a ( s ) v ( t + s ) d s c a ( t ) v ( t ) 】 ( 4 4 ) 1 2 t、， t t、， 姒 姒 郎 姒 姒 她 对x ( t ) = ( x l o ) ，2 0 ) ，9 ( t ) ) q ，和u ( t ) = ( 1 ( t ) ，u 2 ( t ) ， ( t ) ) q ，令 x i ( t ) = i n 甄( t ) ，u ；( ) = i n u ( t ) 0 = 1 ，2 ) 妒( z ) = i n ( ) ，口+ ( ) = i n 口( ) 贝0x + ( t ) = ( z i ( ) ，z ；( ) ，+ 0 ) ) q ，u + ( t ) = ( u ：o ) ，“；( t ) ， + 0 ) ) q ，这 里n 的定义如定理2 2 ，q 的定义如引理4 2 在q 上定义l y a p u n o v 函数为 w 7 ( t ) = w ( t ，x 4 ，u + ) = ix t ( t ) 一u ：( t ) i + i + ( ) 一u + ( t ) l 则w ( t ) 是fx + 一u + i 的连续非减函数，显然满足引理4 1 之( i ) ，( i i ) 对于乘积系统( 4 4 ) 在q q 上的任一解x ( t ) = ( x l ( ) ，z 2 ( t ) ，可( t ) ) ， u ( t ) = ( 乱l ( ) ，珏2 ( t ) ，口( z ) ) ，因为 iz 。( t ) 一乱i 0 ) i = ie 印( z ；( t ) ) 一e 印( u ：( t ) ) = e 。巾( ( t ) ) iz ：( t ) 一“：( t ) l ( i = 1 ，2 ) i ( t ) 一v ( t ) i = le 。e p ( + ( t ) ) 一e x p ( v + ( t ) ) 1 = e 印( 叼( t ) ) 1g + ( t ) 一”+ ( t ) 1 其中d t ) ，印( ) 分别位于i n m l 与i n m l 之间及i n m 2 与i n m 2 之间 则我们得到 m ，iz ；o ) 一让：( t ) l l 她( ) 一u d t ) i m 1i2 ： ) 一“：0 ) l0 = 1 ，2 ) ， ，n 2i + ( t ) + ( t ) iy ( t ) 一v ( t ) i m 2i + ( t ) 一 + 0 ) 1 于是对于w ( t ) 有 。吲归砉( 鬻一鬻净毗飞) + ( 鬻一器酬蛳h ) s 七；一。r 一等) i x 1 ( 旷札m ) 1 一( 。 一等) ) - u 2 ( t ) 1 一( 砖一掣) l 口( t ) 叫t ) i + 6 r k 1 ( s ) iz 1 ( t + s ) 一u l ( t + s ) 1 d s + 6 r k 2 ( s ) ix 2 0 + s ) 一u 2 0 + s ) i d s + 6 r k 3 ( s ) fy ( t + s ) 一口( + s ) f d s s 一( 。；一口r i d f ) m ，z ) “j 一( 。 一蔷d m ) m ，旧( ) 一“荆i 一( c ；一c r ) r n 。l 可+ ( t ) 一可( t ) | ) iz ：( t + 8 ) ) fz ；0 + s ) 如果w ( t ，x + 0 + s ) ，u + ( + s ) ) 1 是常数则 。州t ) _ ( 0 一n r 一等) 州蜊”u 徘) i 一( 。 一等) 州删叫i 一( c v ) 。m ：) 一u + ( 。) i + m 6 r 卢( = 1 iz ： ) 一u ：( ) i + l + ( 。) 一口+ ) i ) + m 。6 p ( 2iz ：( t ) 一u ： ) i + l 矿0 ) 一。+ ( t ) i ) + 6 r 卢( 2 iz ：o ) 一u ：( t ) l + l 圹( t ) 一。+ ( t ) i ) 一( n ? 一。r 面d 7 一z m b ，) m 。t ) 一u im 1m 1 一( 。j 一面d v 一等) m 1 旧“( f ) 1 一( c 一c r 一等) 吲州“( t ) i 1 4 畅 蚝 彬醪够 帆 蛳 恤 + + + 其中b = m ，即+ m 2 6 舻十m 2 6 护从而由条件( 4 3 ) 可知存在常数血 0 ， 使得有 d + w ( t ) n w 7 ( ) 于是由引理4 1 我们知道系统( 4 2 ) 在q 中存在一个一致渐近稳定的概 周期解p + ( t ) ，若系统( 4 2 ) 的右端关于t 是叫一周期函数，则系统( 42 ) 在q 中存在u 一周期解 根据系统( 4 2 ) 与系统( 1 1 ) 的关系，对于系统( 1 1 ) 则有： 系统( 1 1 ) 在q 中存在一个一致渐近稳定的概周期解p ( t ) 三 e x p ( p + ( t ) ) 若( 1 1 ) 的右端关于t 是“一周期的，则( 1 1 ) 在q 中存 在u 一周期解 由于条件( 4 3 ) 蕴含条件( 3 1 ) ，则由定理3 2 可知此h 寸p ( t ) 是全 局吸引的，从而p ( t ) 是全局渐近稳定的 设p o ( t ) 是系统( 1 1 ) 的任一个概周期解，则由定理3 2 有 ir ( f ) 一p ( t ) i - - - + 0 ，t + 于是由概周期函数的性质我们得到 p o ( t ) 三p ( t ) ，t t o ，+ o o ) 即( 1 1 ) 在q 中的概周期解是唯一的定理证毕 1 5 参考文献 jg s k e l i a m ，r a n d o md i s p e r s a li nt h e o r e t i c a lp o p u l a t i o n s ，b i o m e t r i k a ， 1 9 5 1 3 8 1 9 6 2 1 8 2 s a l e v i n ，d i s p e r s i o n a n d p o p u l a t i o ni n t e r a c t i o n s ，t h e a m e r ，n a t 1 9 7 4 ，1 0 8 ，2 0 7 2 2 8 3 1g ，z ，z e n g ，l s c h e n ，j fc h e n ，p e r s i s t e n c ea n dp e r i o d i co r b i t sf o rt w o s p e c i e sn o n a u t o n o m o u sd i f f u s i o nl o t k a - v o l t e r r am o d e l s ，m a t h c o m p u t m o d e l l i n g ，1 9 9 4 ，v 0 1 2 0 ，1 2 ，6 9 - 8 0 j z h a n g ，l s c h e n ，p e r m a n e n c ea n dg l o b ms t a b i l i t yf o rt w os p e c i e s c o o p e r a t i v es y s t e mw i t hd e l a y si nt w o p a t c he n v i r o m e n t ，m a t h c o m p u t m o d e l i n g ，1 9 9 6 ，v 0 1 2 3 ，1 7 2 7 f 5 x y a n g ，l s c h e n ，j fc h e n ，p e r m a n e n c ea n dp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n f o rt h e s i n g l e s p e c i e n o n a u t o n o m o u s d e l a y d i f f u s i v e m o d e l s ，c o m p u t m a t h a p p l ，1 9 9 6 ，3 2 ( 4 ) 6 】j r z h a u g ，l s c h e n ，p e r i o d i cs o l u t i o n so fs i n g l e - s p e c i e sn o n a u t o n o m o u s d i f f u s i o nm o d e l sw i t hc o n t i n o u st i m e d e l a y c o m p u t m o d e l i n g ，1 9 9 6 ， 2 3 ( 7 ) 7 1j r ，z h a n g ，l ，s c h e n ，x d c h e n ，p e r s i s t e n c ea n dg l o b a ls t a b i l i t yf o rt w o - s p e c i e sn o n a u t o n o m o u sc o m p e t i t i o nl o t k a - v o t e r r ap a t c h s y s t e mw i t h t i m ed e l a y n o n l a n a l ，1 9 9 7 ，3 7 ，1 0 1 9 1 0 2 8 8 r y u a n ，